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出于朴素的好奇心，我们想考虑哈密顿体系下的广义相对论。我们遇到的第一个难点就是，既然在广义相对论中我们的时间和空间是耦合在一起的，我们该如何计算广义速度等等与时间有关的量？幸运的是，对于一个足够好的时空流形（简单来说，“足够好”意味着我们在这个流形上能够找出合法的柯西面），我们总能对其做分解： $M \cong \mathbb{R}\times \sigma$ . 这也就是说，

\forall t \in \mathbb{R},\quad \exists X_t : \sigma \to M. \quad(X_t(x):= X(t,x))

其中 $X^\mu$ 是 $M$ 上选定一个坐标系后的坐标， $x^a$ 是 $\sigma$ 上的坐标， $\mu = 1,2,3,\cdots, D+1, \quad a = 1,2,3,\cdots, D$ .我们可以发现，这时对时空流形的分解是依赖于坐标系的；因此，对于 $M$ 的一个微分同胚变换 $\varphi$ ，有

X^\prime = \varphi\circ X \Rightarrow \varphi = X^\prime \circ X^{-1}.

这也就意味着 $M$ 的微分同胚不变性等价于我们取分解 $X$ 时的任意性。

接下来我们对这个分解做参数化。考虑一个形变向量场

T^\mu(X):= \left(\frac{\partial X^\mu(t,x)}{\partial t}\right) =: N(X)n^\mu(X) + N^\mu(X).

其中 $N^\mu(X)$ 是 $\Sigma_t$ 上的基矢量，衡量 $\Sigma_t$ 上 $x^a$ 点相对于 $\Sigma_{t^\prime}$ 上 $x^a$ 点的空间位移； $n^\mu(X)$ 是 $\Sigma_t$ 法线方向上的单位矢量， $N(X)n^\mu(X)$ “连接”两个相邻的超曲面，系数 $N(X)$ 衡量的是固有时 $t$ 流逝的速率：

\Sigma_t \to \Sigma_{t+dt}: \Delta t = Ndt.

他们有如下性质：

g_{\mu\nu}n^\mu n^\nu = s, \quad g_{\mu\nu}N^\mu X^\nu_{,a} = 0.

我们还能发现， $n^\mu$ 正比于一个1-形式： $n = Fdf$ .鉴于以上原因，我们称 $N^\mu(X)$ 为shift， $n^\mu(X)$ 为lapse。

我们先观察一下正常的E-H作用量：

S = \int d^{D+1}x\sqrt{|det(g)|}R^{(D+1)}.

为了能够分离出时间和空间，我们需要分解的是体元 $d^{D+1}x\sqrt{det(g)}$ 和曲率 $R^{(D+1)}$ .这两者都依赖于 $M$ 中的度规张量，因此我们应该试图构建一个 $\Sigma$ 上的张量微积分系统，然后再考虑怎么用其上的张量表示这两个部分。

我们考虑一个任意的嵌入 $X:\sigma\to M$ ， $\Sigma = X(\sigma)$ ，并有法向量 $n^\mu(X)$ .我们定义两个张量：

q_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - sn_\mu n_\nu, \quad K_{\mu\nu} = q_\mu^\rho q_\nu^\sigma\nabla_\rho n_\sigma.

其中 $\nabla$ 是与 $g$ 适配的导数算符， $s$ 指代时空的类型。在之后的推导中，我们取 $s = -1$ .我们立刻可以发现，这两个张量都是“纯空间的”；或者说，他们都在 $\Sigma$ 上。这是因为， $q$ 和 $K$ 的任意一个指标和 $n^\mu$ 缩并都得0：

q_{\mu\nu}n^\nu = g_{\mu\nu}n^\nu - sn_\mu n_\nu n^\nu = (1-s^2)n^\mu = 0.

$K$ 同理。另一个非常有用的性质是， $K$ 的两个角标是对易的：

\begin{aligned} K_{[\mu\nu]} &= q_{[\mu}^\rho q_{\nu]}^\sigma\nabla_\rho n_\sigma = q_\mu^\rho q_\nu^\sigma(\nabla_\rho n_\sigma - \nabla_\sigma n_\rho),\\ &= q_\mu^\rho q_\nu^\sigma[\nabla_\rho(F\nabla_\sigma f) - \nabla_\sigma(F\nabla_\rho f)],\\ &= q_\mu^\rho q_\nu^\sigma[(\nabla_{[\rho}F)(\nabla_{\sigma]}f) + F\nabla_{[\rho}\nabla_{\sigma]}f],\\ &= q_\mu^\rho q_\nu^\sigma[\nabla_{[\rho}(\ln F)(F\nabla_{\sigma]}f) + F\nabla_{[\rho}\nabla_{\sigma]}f],\\ &= q_\mu^\rho q_\nu^\sigma[\nabla_{[\rho}(\ln F)n_{\sigma]} + F\nabla_{[\rho}\nabla_{\sigma]}f] = 0. \end{aligned}

这就导致

2K_{\mu\nu} = 2K_{(\mu\nu)} + 2K_{[\mu\nu]} = 2K_{(\mu\nu)} = 2q_\mu^\rho q_\nu^\sigma(\mathcal{L}_n q)_{\rho\sigma}.

如果我们考虑一个纯空间的向量 $v^\nu$ ，由于 $v^\nu n_\nu = 0$ ，我们可以立刻得到

q_{\mu\nu}v^\mu v^\nu = g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu.

这告诉我们 $q$ 其实是 $\Sigma$ 上的一个度规。如果再观察 $q$ 的具体形式，我们可以发现 $q$ 实际上是一个投影算符；它将所有的张量投影到 $\Sigma$ 上，并且不同角标独立投影。因此，由于李导数已经显然是纯空间的了，那么 $q$ 就退化成了delta函数.再代入 $n^\mu = (T^\mu - N^\mu)/N$ ，有

(\mathcal{L}_n q)_{\mu\nu} = \frac{1}{N}(\mathcal{L}_{T-N} q)_{\mu\nu} + (\partial_\mu \frac{1}{N})q_{\rho\nu}n^\rho + (\partial_\nu \frac{1}{N})q_{\rho\mu}n^\rho = \frac{1}{N}(\mathcal{L}_{T-N} q)_{\mu\nu}.

因此我们可以自然的考虑一个与 $q$ 适配的导数算符：

D_\mu q_{\nu\rho} = 0, \quad D_{[\mu}D_{\nu]}f = 0.

我们也有显然的指标变换公式：

D_\mu f = q^\nu_\mu\nabla_\nu f, \quad D_\mu u_\nu = q^\rho_\mu q^\sigma_\nu\nabla_\rho\tilde{u}_\sigma.

构造导数算符的目的是为了导出 $R^{(D)\,\sigma}_{\mu\nu\rho}$ . 先不考虑协变导数的对易子，而是

\begin{aligned} D_\mu D_\nu u_\rho &= q^{\mu^\prime}_\mu q^{\nu^\prime}_\nu q^{\rho^\prime}_\rho \nabla_{\mu^\prime}D_{\nu^\prime}u_{\rho\prime}\\ &= \end{aligned}