Srednicki §2 洛伦兹不变性

上一节把时空坐标用作场算符的标签。现在换到另一个惯性系，坐标之间由洛伦兹变换联系，态和场算符也要相应变换。我们要求这套变换保持内积，并遵守与坐标变换相同的复合规则。由此可以求出角动量、推动和四动量之间的对易关系。

洛伦兹变换会混合能量和动量，因此先须统一二者的单位。取 $H$为物理能量，保留 $x^0=ct$，就应将四动量的时间分量定义为 $H/c$：

四动量各分量都有动量量纲，$P\cdot x$具有作用量量纲。采用自然单位 $c=1$ 时，便有 $P^0=H$。

从间隔不变到群的四个分支

洛伦兹变换是线性齐次坐标变换 $\bar x=\Lambda x$。取闵可夫斯基度规 $g=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$，要求任意 $x$ 的间隔 $x^Tgx=\mathbf x^2-c^2t^2$ 在变换后保持不变，就有

满足这个条件的矩阵组成洛伦兹群（Lorentz group）。熟悉的空间转动已经包含在内：取 $\Lambda=\operatorname{diag}(1,R)$ 时，度规条件就化为 $R^TR=I_3$。

要说明这些矩阵确实组成群，首先须保证连续作两次变换仍属于同一集合。若 $\Lambda_1,\Lambda_2$各自保持 $g$，则

矩阵乘法满足结合律，恒等矩阵也保持度规。把度规条件左乘 $g^{-1}$，得到 $g^{-1}\Lambda^Tg\Lambda=I$，于是

由此还可写成 $\Lambda g^{-1}\Lambda^T=g^{-1}$，后面变换场的导数时会再次用到。

接下来从接近恒等的变换中找出独立参数。令 $\Lambda=I+\omega+O(\omega^2)$，代入度规条件并保留一次小量：

这里反对称的是两指标都放下的 $\omega_{\mu\nu}=g_{\mu\rho}\omega^\rho{}_{\nu}$，混合指标矩阵 $\omega^\mu{}_{\nu}$本身未必反对称。四维中共有 $4\cdot3/2=6$个独立参数：三个描述空间转动，另三个描述推动（boost）。我们取参数约定 $\omega_{ij}=-\epsilon_{ijk}n_k\,\delta\theta$、$\omega_{i0}=n_i\,\delta\eta$，其中 $\epsilon_{123}=+1$，推动参数 $\delta\eta$称为快度（rapidity）。

无穷小变换能够连续复合，但未必到达全部洛伦兹变换。对度规条件取行列式，得 $(\det\Lambda)^2=1$；其00分量又给出 $-(\Lambda^0{}_0)^2+\sum_i(\Lambda^i{}_0)^2=-1$，所以 $\Lambda^0{}_0\ge1$或 $\Lambda^0{}_0\le-1$。从恒等矩阵出发的连续路径既不能让行列式越过零，也不能让时间分量经过 $(-1,1)$，因而始终满足 $\det\Lambda=1$、$\Lambda^0{}_0\ge1$。这部分变换称为正规正时子群。

正时条件也可以从光锥的几何意义理解。对未来指向的类时向量 $v$，有 $v^0>|\mathbf v|$；由 $\Lambda g^{-1}\Lambda^T=g^{-1}$的00分量，又有 $\sum_i(\Lambda^0{}_i)^2=(\Lambda^0{}_0)^2-1$。应用Cauchy–Schwarz不等式，得到

变换既保持类时间隔，又保持时间分量为正，因此仍把向量送到未来类时锥内。连续作两次正时变换也保持这个锥；逆矩阵的00分量又等于原矩阵的00分量，所以逆变换同样正时。

还可以证明，每个正规正时变换都能由恒等变换连续得到。令 $u=\Lambda(1,\mathbf0)^T=(\gamma,\mathbf w)^T$，则 $\gamma^2-\mathbf w^2=1$、$\gamma\ge1$。构造推动矩阵

直接相乘可得 $B^TgB=g$ 和 $B(1,\mathbf0)^T=u$。所以 $R=B^{-1}\Lambda$ 保持时间轴不动，由度规条件必为 $\operatorname{diag}(1,R_3)$，其中 $R_3\in SO(3)$。于是 $\Lambda=BR$：先作一次空间转动，再作一次推动。写 $\mathbf w=\mathbf n\sinh\eta$，把快度 $\eta$ 和转动角同时连续减到零，就得到从 $\Lambda$ 到恒等矩阵的路径。

要得到其余分支，还须引入离散变换。宇称和时间反演的坐标矩阵分别为

两个矩阵的平方都是恒等，也都保持度规。其中 $\mathsf P$正时而非正规，$\mathsf T$既非正时也非正规，$\mathsf P\mathsf T=-I$则正规但非正时。因此，全洛伦兹群的四个分支可以写成正规正时分支，以及它左乘 $\mathsf P$、$\mathsf T$、$\mathsf P\mathsf T$所得的三个陪集。记号上，这里的 $\mathsf P,\mathsf T$专指坐标矩阵，与动量 $P^\mu$和稍后定义的量子平移算符 $T(a)$含义不同。

通常说场论具有洛伦兹不变性，是指它在正规正时子群下不变。宇称和时间反演分别讨论；量子态上的时间反演涉及反幺正算符，留到第23节。下面研究与恒等相连的部分。

洛伦兹变换的幺正表示

在量子态空间中，给每个正规正时变换 $\Lambda$ 配上幺正算符 $U(\Lambda)$，并要求它连续依赖变换参数，满足 $U(\Lambda'\Lambda)=U(\Lambda')U(\Lambda)$。幺正性保持态的内积，群律则保证先后作两次变换与直接作复合变换有相同结果。

对半整数自旋，这个群律应理解为洛伦兹群的双覆盖群上的表示；例如 $2\pi$ 转动作用于旋量会给出负号。这个区别在第33节展开，本节求出的无穷小对易关系同样适用。

与六个独立的无穷小参数相应，我们引入六个生成元，将无穷小幺正变换展开为

生成元的对称部分与 $\omega$ 缩并为零，因而只须保留反对称部分。系数中的 $1/2$ 消去 $(\mu,\nu)$ 与 $(\nu,\mu)$ 两次求和的重复，$\hbar$ 则使指数无量纲。把展开代入 $U^\dagger U=I+O(\omega^2)$，一次项给出 $M^{\mu\nu\dagger}=M^{\mu\nu}$。

生成元描述无穷小变化，但我们也需要知道它们在有限变换下怎样改变。为此，先作一个有限变换，再插入一个无穷小变换，最后变回原来的系。按照群律，这等于对无穷小矩阵作共轭：

将 $\omega''=\Lambda^{-1}\omega'\Lambda$的第一个指标降下，并用 $g\Lambda^{-1}=\Lambda^Tg$，得到 $\omega''_{\rho\sigma}=\Lambda^\mu{}_{\rho}\Lambda^\nu{}_{\sigma}\omega'_{\mu\nu}$。这样，右端可以完全写成原来的无穷小参数。再把式（2.6）代入群律两侧，消去单位项与共同系数，就得到：

反对称参数的六个独立分量可以分别选取，而等号两侧的系数本身也已反对称。因此各个独立分量的系数必须相等：

生成元的两个矢量指标各自经历一次洛伦兹变换。群的共轭规律由此转化为反对称张量的变换律，也为求生成元之间的对易关系提供了出发点。

从无穷小变换求李代数

有限变换律同时包含了无穷小变换的复合信息。为了把它提取为对易子，在式（2.9）中令 $\Lambda=I+\omega$。左侧展开逆算符后成为 $M^{\mu\nu}+i\omega_{\rho\sigma}[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]/(2\hbar)$；右侧的一阶变化为 $\omega^\mu{}_{\rho}M^{\rho\nu}+\omega^\nu{}_{\rho}M^{\mu\rho}$。与前一步相同，须用六个独立参数比较系数，因而先把两个 $\omega$的指标都写在下方，再把系数反对称化：

例如，第一项 $\omega_{\rho\sigma}g^{\mu\rho}M^{\sigma\nu}$先用 $M^{\sigma\nu}=-M^{\nu\sigma}$调整次序，再与交换 $\rho,\sigma$所得的项平均；其余部分同样处理，就得到上面的四项。与左侧的一阶展开比较时，除以 $i/\hbar$等于乘 $-i\hbar$，正好消去前面的负号。于是得到生成元之间的对易关系：

这组关系称为六个洛伦兹生成元的李代数（Lie algebra）。右侧在 $\mu\leftrightarrow\nu$、$\rho\leftrightarrow\sigma$以及交换两对指标时，都具有对易子所需的反对称性；两侧的量纲也同为作用量平方。

为了看清这些关系的物理意义，把六个生成元重新分成三个转动和三个推动。定义角动量与推动生成元：

这里的逆关系来自 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{kab}=\delta_{ia}\delta_{jb}-\delta_{ib}\delta_{ja}$；对反对称的 $M^{ab}$缩并时，右端给出两份相同贡献。将空间指标代入式（2.11），再作两次epsilon缩并，四个项可化为相同形式，因而

第一行中，$\delta_{bd}M^{bd}=0$，剩余部分为 $-M^{ji}=M^{ij}$，也就是 $\epsilon_{ijk}J_k$；第二行的两项在交换 $a,b$后同号；第三行则因 $g^{00}=-1$而带负号。前两组分别恢复角动量代数，并说明推动生成元在转动下构成三维矢量；第三组揭示了相对论中不同方向推动的特殊性质。

按本书的符号约定，一个小推动写为 $e^{i\eta K_i/\hbar}$。要看不同方向的推动为何不能交换，考虑先推动再反向返回所组成的群对易子： $e^{i\eta K_1/\hbar}e^{i\zeta K_2/\hbar}e^{-i\eta K_1/\hbar}e^{-i\zeta K_2/\hbar}$，作用于态时右端因子先作用。把各指数展开到总二阶，零阶给1，一次项彼此抵消，留下 $[i\eta K_1/\hbar,i\zeta K_2/\hbar]=i\eta\zeta J_3/\hbar$。因此，最低非平凡阶等价于绕3轴转过 $-\eta\zeta$，忽略项为 $O(\eta^2\zeta,\eta\zeta^2)$。这一小参数结果说明推动的复合会产生转动；一般有限推动的复合还包含推动部分。

四动量、时间演化与庞加莱代数

至此只讨论了改变惯性系的转动和推动。为了把对称性与时间演化联系起来，还要纳入总能量和总动量。要求它们组成一个四矢量，即

这一有限变换律同样可以展开成生成元的对易关系。令 $\Lambda=I+\omega$，左侧的一阶项为 $i\omega_{\rho\sigma}[P^\mu,M^{\rho\sigma}]/(2\hbar)$，右侧为 $\omega_{\rho\sigma}g^{\mu\rho}P^\sigma$。把系数与交换 $\rho,\sigma$所得的项平均，再比较独立参数，得到

此处对易子的次序是 $[P,M]$；若改成相反次序，右侧整体变号。

为了写成通常的能量、动量和角动量关系，逐个选择时间或空间指标。由 $[P^0,M^{ab}]=0$得到 $[J_i,H]=0$；在 $[M^{ab},P^j]=i\hbar(\delta_{aj}P^b-\delta_{bj}P^a)$两侧乘 $\epsilon_{iab}/2$，则得到角动量对动量的矢量作用。其余两个混合式是 $[M^{i0},P^0]=i\hbar P^i$和 $[M^{i0},P^j]=i\hbar\delta_{ij}P^0$。最后代入 $H=cP^0$，合起来得到

式（2.16）中的光速因子也可用量纲核对：$K_iH$有作用量乘能量的量纲，右端的 $\hbar cP_i$具有同一量纲。

剩下的问题是四个平移生成元彼此之间的关系。普通时空平移的复合与次序无关；在其真实连续表示中，相应的平移算符定义及群律为

对两侧独立的小参数 $a_\mu,b_\nu$展开，交叉二阶的差为 $-a_\mu b_\nu[P^\mu,P^\nu]/\hbar^2$。因为次序无关性对任意参数都成立，这个差必须为零，故

四动量之间的对易关系因而来自平移群律。四个平移生成元和前面的六个洛伦兹生成元一起组成庞加莱群（Poincaré group）的十个生成元。

这套代数还告诉我们怎样在不同惯性系之间辨认同一类粒子。考察四动量平方 $P^2=g_{\mu\nu}P^\mu P^\nu$，用式（2.15）和对易子的乘积法则，得到 $[P^2,M^{\rho\sigma}]=2i\hbar(P^\sigma P^\rho-P^\rho P^\sigma)=0$，其中合并两项用到了平移生成元彼此对易。对能量动量谱位于未来光锥内的粒子态，定义质量平方算符为 $-P^2/c^2$；质量为 $m$ 的态满足 $P^2=-m^2c^2$。上述对易关系保证洛伦兹变换保持质量不变，因此可以按不变质量来组织粒子态空间。

标量场的有限变换与导数的指标

现在把这些对称关系用于场算符。从已经熟悉的海森堡演化开始：对于不显含时间的薛定谔场，第1节给出 $\varphi(\mathbf x,t)=e^{iHt/\hbar}\varphi(\mathbf x,0)e^{-iHt/\hbar}$。空间标签也可由平移从原点移到指定位置。将空间平移协变性与时间演化合并，就得到

取 $\mathbf x=0$时，式（2.1）给出 $P\cdot x=-Ht$，上式恰好恢复原来的海森堡时间演化。这也说明平移指数的符号与前面保留 $c$的约定相互一致。由于 $T$彼此可交换，群律随即给出任意位置场的平移规律：

对前式的 $a$求导，左边的一阶项为 $+ia_\mu[P^\mu,\varphi]/\hbar$，右边为 $-a_\mu\partial^\mu\varphi$，比较后便得到所示对易子。也可以直接对式（2.19）的 $x$求导，结果相同。这里共轭作用 $T(a)^{-1}\varphi(x)T(a)$使标签变为 $x\mapsto x-a$；它的符号因而与通常薛定谔态的正向时间演化写法不同。

纯洛伦兹变换保持原点不动，标量场在原点又没有内部的分量混合，所以规定 $U^{-1}\varphi(0)U=\varphi(0)$。一旦这个性质给定，其他位置的变换便由平移和四动量变换决定。利用度规不变性，有 $U^{-1}T(x)U=\exp[-i(\Lambda P)\cdot x/\hbar]=T(\Lambda^{-1}x)$，因而

我们由原点场的标量性质得到了任意位置的有限变换律。式中固定标签 $x$，改变的是该处的算符；第1节的被动标量关系 $\bar\varphi(\bar x)=\varphi(x)$则用两套坐标比较同一个事件。这就是两种表达式的自变量看起来不同的原因。

要构造运动方程，还需要场的导数。令 $y=\Lambda^{-1}x$，对 $x$求导；因为 $U$是全局常算符，不随 $x$改变，导数只作用于场的自变量。应用链式法则并升起指标，得到

这里的 $\partial_{y^\rho}$表示 $\partial/\partial y^\rho$。两个导数缩并时，所带的两个 $\Lambda$由度规条件消去，因此场的梯度按矢量变换，波算符作用后的场仍按标量变换。方程 $(-\partial^2+m^2c^2/\hbar^2)\varphi=0$也就在变换后保持形式，其中质量项 $m^2c^2/\hbar^2$具有与波算符相同的逆长度平方量纲。

转动与推动的具体矩阵

抽象的生成元关系确定以后，可以用具体坐标矩阵看清转动角和快度怎样出现在有限变换中。为此引入洛伦兹群的矢量表示。它作用于四维分量空间；前面的 $M^{\mu\nu}$则作用于物理态的Hilbert空间。矢量表示的生成矩阵为

将第一式代入第二式，两个反对称项相加为 $2\omega^\rho{}_{\tau}$，抵消前面的 $1/2$，便恢复所需的无穷小坐标变换。绕3轴时，$S_V^{12}$只有12平面上的块 $\hbar\left(\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}\right)$非零。令 $A=-iS_V^{12}/\hbar$，该平面上有 $A^2=-I$。因此指数级数的偶次幂与奇次幂分别求和为 $\cos\theta$、$\sin\theta$，在垂直补空间上则保持恒等：

推动的计算与转动类似，区别在于生成块平方的符号。沿3方向时，$S_V^{30}$的03平面块为 $-i\hbar\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right)$。令 $B=iS_V^{30}/\hbar$，此平面上有 $B^2=I$，所以指数的偶次幂和奇次幂分别给出双曲函数：

让推动作用于原先静止的世界线 $\mathbf x=0$，新坐标中的速度为 $v'^3=c\tanh\eta$，可见快度与速度并不是同一个参数。若采用被动坐标推动中常见的负非对角元写法，就须把参数相应换号。沿同轴连续推动时，双曲角直接相加，这正是用快度描述推动的便利之处。

式（2.24）是普通正交矩阵，式（2.25）保持的是闵可夫斯基度规，所以矢量表示中的推动矩阵不幺正。物理态空间上的 $U(\Lambda)$ 则保持 Hilbert 空间内积；这两个表示分别作用于坐标分量和量子态。

场的变换律还给出一个微分表示。在式（2.21）中令 $\Lambda=I+\omega$，两侧分别展开：

比较反对称参数的系数便得到

这与 $[P^\mu,\varphi]=i\hbar\partial^\mu\varphi$ 一起，把场的无穷小变化写成了坐标导数。

相对论动力学因此不仅要有正确的能量公式，还须使具体构造的 $H,\mathbf P,\mathbf J,\mathbf K$满足上述对易关系，并使场具有相应的变换律。下一节将从洛伦兹标量作用量出发，用变分得到实标量场的经典方程，再通过正则量子化构造粒子态和哈密顿量。

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