Srednicki §85 自发破缺的阿贝尔规范理论

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上一节说明，标量场的真空值可以使规范粒子获得质量，同时仍留下一个实标量粒子。现在要把这个描述用于量子计算。首先沿幺正规范量子化有质量矢量场，找出它的三个偏振态和传播子；随后考察圈图，便会看到为什么还需要保留角向标量，并采用另一种规范固定。这样得到的 $R_\xi$ 规范既保持良好的大动量行为，又容许我们在计算中检查规范参数是否消去。

沿用标量电动力学的协变导数，以及上一节的真空和质量归一。

从标量真空到三个矢量偏振

取标量电动力学

\begin{aligned} \mathcal L&=-(D_\mu\varphi)^\dagger D^\mu\varphi -V(\varphi)-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\\ D_\mu&=\partial_\mu-igA_\mu,\qquad V(\varphi)=\frac{\lambda}{4} \left(\varphi^\dagger\varphi-\frac{v^2}{2}\right)^2, \qquad g,v,\lambda>0 . \end{aligned} \tag{85.1}

势的最低值在 $|\varphi|=v/\sqrt2$ 处。这与上一节的势有相同的形状，只是加上常数使最低值为零。为了把径向振动和真空圆周上的转动分开，仍写

\begin{aligned} \varphi&=\frac{v+\rho}{\sqrt2}e^{-i\chi/v},\\ V&=\frac{\lambda}{4} \left(v\rho+\frac{\rho^2}{2}\right)^2 =\frac{\lambda v^2}{4}\rho^2 +\frac{\lambda v}{4}\rho^3+\frac{\lambda}{16}\rho^4 . \end{aligned} \tag{85.2}

因此势不含 $\chi$ 。在 $v+\rho>0$ 的局部坐标片内，用上一节的规范变换令 $\chi=0$ ，就得到幺正规范（unitary gauge）。此时协变导数的实部是 $\partial_\mu\rho/\sqrt2$ ，虚部是 $-g(v+\rho)A_\mu/\sqrt2$ ；复共轭相乘时两个交叉项相消，故

\begin{aligned} -(D_\mu\varphi)^\dagger D^\mu\varphi &=-\frac12(\partial\rho)^2 -\frac12g^2(v+\rho)^2 A_\mu A^\mu,\\ M&=gv,\qquad m_\rho^2=\frac{\lambda v^2}{2},\\ \mathcal L_{\rho A,\mathrm{int}} &=-g^2v\rho A_\mu A^\mu -\frac12g^2\rho^2 A_\mu A^\mu . \end{aligned} \tag{85.3}

这一局部展开确定了后面所有质量和顶角的归一。质量在此均指树级二次项的系数。

先暂时略去相互作用。矢量场的自由拉格朗日量为

\begin{aligned} \mathcal L_{A,0} &=-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac12M^2A_\mu A^\mu,\\ 0&=\partial_\mu F^{\mu\nu}-M^2A^\nu =(\partial^2-M^2)A^\nu-\partial^\nu(\partial\cdot A). \end{aligned} \tag{85.4}

对第二式取散度，反对称张量 $F^{\mu\nu}$ 的双散度为零，于是 $M^2\partial\cdot A=0$ 。由于 $M>0$ ，将所得约束代回运动方程便有

\partial_\mu A^\mu=0,\qquad (-\partial^2+M^2)A^\mu=0. \tag{85.5}

四个分量都满足克莱因—戈登方程，但它们不是四个独立的振子：散度条件除去了一个自由度。

这个约束在正则量子化中也必须保留。用下标 $A_0$ 作为时间分量，动量和哈密顿密度为

\begin{aligned} \pi^i&=\dot A_i-\partial_iA_0,\qquad \pi^0=0,\\ \mathcal H &=\frac12\boldsymbol\pi^2+\frac14F_{ij}F_{ij} +\frac12M^2\boldsymbol A^2 +\pi^i\partial_iA_0-\frac12M^2A_0^2 . \end{aligned} \tag{85.6}

时间分量没有独立共轭动量。对空间积分中的 $\pi^i\partial_iA_0$ 分部积分，边界项在所取边界条件下消失；再变分 $A_0$ ，得到 $A_0=-\partial_i\pi^i/M^2$ 。代回之后，

H_{\mathrm{red}}=\int d^3x\left[ \frac12\boldsymbol\pi^2+\frac14F_{ij}F_{ij} +\frac12M^2\boldsymbol A^2 +\frac{(\partial_i\pi^i)^2}{2M^2}\right]. \tag{85.7}

剩下的三对正则变量具有正定的自由能量。特别地，对一个空间动量为 $\boldsymbol k$ 的实傅里叶模，沿 $\boldsymbol k$ 的部分是

\begin{aligned} H_L&=\frac12\frac{E_{\boldsymbol k}^2}{M^2}\pi_L^2 +\frac12M^2 A_L^2,\qquad E_{\boldsymbol k}=\sqrt{\boldsymbol k^2+M^2},\\ Q_L&=\frac{M}{E_{\boldsymbol k}}A_L,\qquad P_L=\frac{E_{\boldsymbol k}}{M}\pi_L,\qquad H_L=\frac12P_L^2+\frac12E_{\boldsymbol k}^2Q_L^2 . \end{aligned} \tag{85.8}

变换中两个比例互为倒数，故保持正则对易关系。这个振子和两个空间横向振子有相同的频率 $E_{\boldsymbol k}$ ；它就是有质量矢量粒子的第三种物理偏振。

固定产生、湮灭分支的相位，将自由场展开为

\begin{aligned} A^\mu(x)&=\sum_{\lambda=-,0,+}\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3\,2E_{\boldsymbol k}} \Bigl[ \varepsilon_\lambda^{\mu *}(k)a_\lambda(\boldsymbol k)e^{ikx} \\ &\hspace{37mm} +\varepsilon_\lambda^\mu(k)a_\lambda^\dagger(\boldsymbol k)e^{-ikx} \Bigr],\\ [a_\lambda(\boldsymbol k),a_{\lambda'}^\dagger(\boldsymbol q)] &=(2\pi)^3\,2E_{\boldsymbol k}\, \delta_{\lambda\lambda'}\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol q). \end{aligned} \tag{85.9}

这里 $k^0=E_{\boldsymbol k}$ ， $kx=-E_{\boldsymbol k}t+\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x$ 。静止系中 $k^\mu=(M,0,0,0)$ ，偏振选择为

\begin{aligned} \varepsilon_+(0)&=\frac{(0,1,-i,0)}{\sqrt2},\\ \varepsilon_-(0)&=\frac{(0,1,+i,0)}{\sqrt2},\\ \varepsilon_0(0)&=(0,0,0,1). \end{aligned} \tag{85.10}

这组偏振使用固定自旋轴。一般动量下可对这组三矢量作洛伦兹推动；若要用螺旋度基底，再把自旋轴转到 $\boldsymbol k$ 方向。例如沿正 $z$ 方向运动时，

k^\mu=(E,0,0,p),\qquad \varepsilon_0^\mu(k)=\frac{(p,0,0,E)}{M}, \qquad k\cdot\varepsilon_0=0,\quad \varepsilon_0^2=1 . \tag{85.11}

所以“空间纵向”不妨碍四维正交条件。本节的 $\varepsilon_-=\varepsilon_+^*$ 与第60节的相位不同。若 $\varepsilon_\lambda\to e^{i\alpha_\lambda}\varepsilon_\lambda$ ，在本节场展开中须同时取 $a_\lambda\to e^{i\alpha_\lambda}a_\lambda$ 、 $a_\lambda^\dagger\to e^{-i\alpha_\lambda}a_\lambda^\dagger$ ，于是场及散射概率均不变。

在静止系直接相乘，三偏振之和的矩阵是 $\operatorname{diag}(0,1,1,1)$ ，亦即 $g^{\mu\nu}+k^\mu k^\nu/M^2$ 。两边都是洛伦兹张量，对它们作同一个推动便得

\varepsilon_{\lambda'}\cdot\varepsilon_\lambda^* =\delta_{\lambda'\lambda},\qquad \sum_\lambda\varepsilon_\lambda^{\mu *}(k) \varepsilon_\lambda^\nu(k) =g^{\mu\nu}+\frac{k^\mu k^\nu}{M^2}. \tag{85.12}

也可以把 $k^\mu/M$ 加入三个偏振中，组成闵可夫斯基空间的一组完备正交基；类时基矢的负范数正好给出右边的正号。这给出了偏振的归一与完备关系。

场展开的归一还能与正则条件直接核对。由式（85.12）的空间和混合分量，

\sum_\lambda\varepsilon_\lambda^{i *} \left(E_{\boldsymbol k}\varepsilon_\lambda^j -k^j\varepsilon_\lambda^0\right) =E_{\boldsymbol k}\left(\delta^{ij}+\frac{k^ik^j}{M^2}\right) -k^j\frac{E_{\boldsymbol k}k^i}{M^2} =E_{\boldsymbol k}\delta^{ij}. \tag{85.13}

括号中的组合来自 $\pi^j=\dot A^j+\partial_jA^0$ 。正、负频率两项各给出一半等时delta函数，因此式（85.9）确实产生 $[A_i(t,\boldsymbol x),\pi^j(t,\boldsymbol y)]=i\delta_i{}^j\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$ 。正则约束由此与产生、湮灭算符方法衔接起来。

传播子中的极点与接触项

从自由作用量求传播子，最方便的是直接求二次核的逆。在动量空间，Proca核及其候选逆为

\begin{aligned} K^{\mu\nu}(k)&=(k^2+M^2)g^{\mu\nu}-k^\mu k^\nu,\\ \widetilde\Delta_U^{\mu\nu}(k) &=\frac{g^{\mu\nu}+k^\mu k^\nu/M^2}{k^2+M^2-i0}. \end{aligned} \tag{85.14}

先在极点以外验算有理式。由于 $K^\mu{}_\alpha k^\alpha=M^2k^\mu$ ，

K^\mu{}_\alpha \left(g^{\alpha\nu}+\frac{k^\alpha k^\nu}{M^2}\right) =(k^2+M^2)g^{\mu\nu}-k^\mu k^\nu+k^\mu k^\nu =(k^2+M^2)g^{\mu\nu}. \tag{85.15}

再按费曼处方取边界值。极点在 $k^2=-M^2$ ，其留数正是三个物理偏振之和。沿既定约定， $\Delta=iG$ ，图中的内部矢量线实际带 $\widetilde\Delta_U/i$ 。

协变逆核与普通时间排序的 $i\langle TA^\mu A^\nu\rangle$ 并不完全相同：对于受约束的时间分量，两者相差一个局部接触项。可以从已经量子化的模式明确看出差别。记自由标量的传播子为

\Delta_M(t,\boldsymbol x) =i\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3\,2E_{\boldsymbol k}}\, e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x-iE_{\boldsymbol k}|t|}. \tag{85.16}

它在 $t=0$ 连续，而时间导数的跃变为 $\partial_t\Delta_M(0^+,\boldsymbol x) -\partial_t\Delta_M(0^-,\boldsymbol x)=\delta^3(\boldsymbol x)$ 。因此再次微分会产生 $\delta(t)\delta^3(\boldsymbol x)$ 。在 $t\ne0$ 处，偏振和可以写成作用于标量核的 $g^{\mu\nu}-\partial^\mu\partial^\nu/M^2$ ；把时间排序完整保留下来则得到

\begin{aligned} i\langle0|T A^\mu(x)A^\nu(y)|0\rangle &= \left(g^{\mu\nu}-\frac{\partial^\mu\partial^\nu}{M^2}\right) \Delta_M(x-y) +\frac{n^\mu n^\nu}{M^2}\delta^4(x-y),\\ n^\mu&=(1,0,0,0). \end{aligned} \tag{85.17}

右边第一项的傅里叶变换就是式（85.14）。例如取 $\boldsymbol k=0$ ，场展开中所有 $\varepsilon^0$ 为零，普通时间排序的 $00$ 分量也为零；协变逆核的该分量却是 $-1/M^2$ ，恰由上式的接触项抵消。时间微分产生的局部项由此将普通时间排序与协变逆核联系起来。

正则路径积分与协变逆核的关系也可由高斯积分直接建立。从 $H_{\rm red}$ 出发，将其中最后一项写成

\exp\left[-i\int d^4x\,\frac{(\partial_i\pi^i)^2}{2M^2}\right] \ \propto\ \int\mathcal DA_0\, \exp\left[i\int d^4x \left(\frac12M^2 A_0^2+A_0\partial_i\pi^i\right)\right].

右边完成平方后，平方中心为 $A_0=-\partial_i\pi^i/M^2$ ，余项就是左边的指数。再对 $A_0\partial_i\pi^i$ 分部积分， $\pi^i$ 的指数成为

-\frac12\boldsymbol\pi^2+\pi^i(\dot A_i-\partial_iA_0) =-\frac12\{\pi^i-(\dot A_i-\partial_iA_0)\}^2 +\frac12(\dot A_i-\partial_iA_0)^2 .

积掉平方项就恢复式（85.4）的Proca拉格朗日量。引入的 $A_0$ 除了正则约束值，还有无导数的高斯涨落；其 $i$ 乘二点为 $-\delta^4/M^2$ ，恰是从普通时间序到协变核所减去的接触项。路径积分的费曼规则因而使用协变时间排序 $T^*$ 及式（85.14）。 $\rho^3,\rho^4,\rho A^2,\rho^2A^2$ 的系数已由式（85.2）和（85.3）确定，足以进行树级计算。

极坐标测度为何留下鬼场

圈图还涉及场积分的测度。幺正规范把 $\chi$ 设为零以前，原来积分的变量是 $\operatorname{Re}\varphi$ 和 $\operatorname{Im}\varphi$ 。在每个时空点写 $r=v+\rho$ ，局部变量代换为

\begin{aligned} \operatorname{Re}\varphi&=\frac{r}{\sqrt2}\cos\frac{\chi}{v}, &\operatorname{Im}\varphi&=-\frac{r}{\sqrt2}\sin\frac{\chi}{v},\\ \det\frac{\partial(\operatorname{Re}\varphi,\operatorname{Im}\varphi)} {\partial(\rho,\chi)} &= \det\begin{pmatrix} \cos(\chi/v)/\sqrt2&-r\sin(\chi/v)/(\sqrt2v)\\ -\sin(\chi/v)/\sqrt2&-r\cos(\chi/v)/(\sqrt2v) \end{pmatrix} =-\frac{r}{2v}. \end{aligned} \tag{85.18}

在 $r>0$ 的坐标片取绝对值，并把与场无关的常数收入整体归一，便有

\mathcal D\operatorname{Re}\varphi\,\mathcal D\operatorname{Im}\varphi \ \propto\ \mathcal D\rho\,\mathcal D\chi\, \prod_x(v+\rho(x)). \tag{85.19}

规范变换使 $\delta_\theta\chi=gv\theta$ ，所以 $\chi=0$ 的FP行列式只是常数；插入 $\prod_x\delta(\chi(x))$ 并对 $\chi$ 积分之后，径向雅可比仍留在测度中。也可以始终用笛卡儿坐标，直接固定 $\operatorname{Im}\varphi=0$ ；该规范条件的FP因子正比于 $v+\rho$ ，给出同一个结果。两种做法各产生一次这个因子。

将常数 $v$ 提出，径向测度的行列式可写成

\begin{aligned} J[\rho]&=\det(1+\rho/v),\\ J[\rho]&\ \propto\ \int\mathcal D\bar c\,\mathcal Dc\, \exp\left[-i m_{\rm gh}^2 \int d^4x\,\bar c(1+\rho/v)c\right]. \end{aligned} \tag{85.20}

这里使用第44节已求出的复Grassmann 高斯积分，核代为 $m_{\rm gh}^2(1+\rho/v)$ ；因子 $-i m_{\rm gh}^2$ 的行列式与场无关，由整体归一消去。 $m_{\rm gh}$ 只是为了方便选取的归一参数。由于没有导数项，鬼场在不同的时空点不传播，动量空间规则为

\widetilde\Delta_{\rm gh}(k)=\frac{1}{m_{\rm gh}^2}, \qquad \text{内部鬼线}=\frac{1}{i m_{\rm gh}^2}, \qquad \rho\bar c c\text{顶角}=-\frac{i m_{\rm gh}^2}{v}. \tag{85.21}

鬼场只与 $\rho$ 相连，没有鬼场–矢量场顶角。闭鬼圈还须带Grassmann负号。它们不作为外部物理粒子出现，因而不改变前面的纯物理树图。

行列式的展开把这些圈图的内容表达得更直接：

\begin{aligned} \log J[\rho] &=\delta_{\rm reg}^4(0)\int d^4x\, \log(1+\rho/v)\\ &=\delta_{\rm reg}^4(0)\int d^4x \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{\rho}{v}\right)^n,\qquad |\rho|<v,\\ \delta_{\rm reg}^4(0)&=\int_{\rm reg}\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}\,1 . \end{aligned} \tag{85.22}

写成作用量时，这一贡献为 $S_J=-i\log J$ ，因为 $J e^{iS}=e^{i(S-i\log J)}$ 。每一项对应一个带 $n$ 条外部 $\rho$ 线的鬼圈；顶角和内部线中的 $m_{\rm gh}^2$ 逐一抵消，留下 $v^{-n}$ 和同一个无衰减的圈积分。硬截止给出幂发散，而在维数正规化中，此处无任何尺度的积分按该方案取零。

矢量线也有类似的大动量问题。在远离类光方向、所有分量一同放大的动量区域，式（85.14）的 $kk/M^2$ 项使传播子保持 $M^{-2}$ 量级，不像通常的玻色线那样按 $k^{-2}$ 下降。因此增加内部线并不必然改善幺正规范图的表面收敛性，带许多外线的图也可能发散。这个现象使逐图的重整化分析很不方便。要恢复适合圈计算的幂次计数，我们转回线性标量变量，并在规范固定中消去矢量与角向振动之间的混合。

用规范固定消去混合项

现在采用笛卡儿变量：

\begin{aligned} \varphi&=\frac{v+h+ib}{\sqrt2},\\ h&=(v+\rho)\cos(\chi/v)-v,\qquad b=-(v+\rho)\sin(\chi/v). \end{aligned} \tag{85.23}

真空附近 $h=\rho+\cdots$ 、 $b=-\chi+\cdots$ ；负号来自原来极坐标指数的选择。由于 $\varphi^\dagger\varphi-v^2/2=vh+(h^2+b^2)/2$ ，势成为

V=\frac{\lambda v^2}{4}h^2 +\frac{\lambda v}{4}h(h^2+b^2) +\frac{\lambda}{16}(h^2+b^2)^2 . \tag{85.24}

此时 $b$ 在势的二次部分仍无质量。将 $\partial_\mu-igA_\mu$ 作用于复场，并分别收集实、虚部，得到

\begin{aligned} D_\mu\varphi &=\frac1{\sqrt2} \left[\partial_\mu h+gbA_\mu +i\{\partial_\mu b-g(v+h)A_\mu\}\right],\\ -(D_\mu\varphi)^\dagger D^\mu\varphi &=-\frac12(\partial h+gbA)^2 -\frac12\{\partial b-g(v+h)A\}^2 . \end{aligned} \tag{85.25}

第一平方的交叉项为 $-gbA^\mu\partial_\mu h$ ，第二平方的交叉项为 $g(v+h)A^\mu\partial_\mu b$ 。把含 $v$ 的部分与真正的相互作用分开，便有

\begin{aligned} \mathcal L_{\varphi,\mathrm{kin}} &=-\frac12(\partial h)^2-\frac12(\partial b)^2 -\frac12M^2 A^2+gvA^\mu\partial_\mu b\\ &\quad+gA^\mu(h\partial_\mu b-b\partial_\mu h) -g^2vhA^2-\frac12g^2(h^2+b^2)A^2 . \end{aligned} \tag{85.26}

其中 $gvA\cdot\partial b$ 仍是二次项，若直接求传播子就必须同时逆转 $A,b$ 的混合矩阵。第二平方中的 $-g^2(v+h)^2A^2/2$ 给出 $hA^2$ 项的系数 $-g^2v$ ，与幺正规范的 $\rho A^2$ 项一致。

对未破缺的阿贝尔理论，通常取 $G=\partial\cdot A$ ，加入 $-G^2/(2\xi)$ 。现在希望规范固定再产生一个与 $gvA\cdot\partial b$ 相反的交叉项，因此选

G_\xi=\partial_\mu A^\mu-\xi gvb,\qquad \mathcal L_{\rm gf}=-\frac{G_\xi^2}{2\xi}, \qquad 0<\xi<\infty . \tag{85.27}

这里 $\xi$ 无量纲；两个相减的量都具有质量维2。将平方展开，

\mathcal L_{\rm gf} =-\frac{(\partial\cdot A)^2}{2\xi} +gvb\,\partial\cdot A-\frac12\xi M^2 b^2 . \tag{85.28}

对中间项的时空积分分部积分， $\int b\,\partial\cdot A=-\int A\cdot\partial b$ ，于是混合项恰好消去。同时 $b$ 获得质量平方 $\xi M^2$ 。这正是规范函数中选择 $-\xi gvb$ 的目的。当 $v=0$ 时，它又回到普通洛伦茨规范。

第一项还可改写为 $-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu/(2\xi)$ 。这个等式是在作用量的积分内成立的。去掉共同系数 $-1/(2\xi)$ 后，两种导数乘积满足

\int d^4x\,(\partial\cdot A)^2 =-\int d^4x\,A^\mu\partial_\mu\partial_\nu A^\nu =\int d^4x\,\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu .

以下推导均取场在边界衰减，或取容许这些分部积分的相容边界条件。

规范固定还需要FP行列式。普通无穷小变换为

\begin{aligned} \delta_\theta A_\mu&=-\partial_\mu\theta,\qquad \delta_\theta\varphi=-ig\theta\varphi,\\ \delta_\theta h&=g\theta b,\qquad \delta_\theta b=-g\theta(v+h). \end{aligned} \tag{85.29}

后两式由 $\delta h+i\delta b=-ig\theta(v+h+ib)$ 的实、虚部直接得到。代入 $G_\xi$ ，有

\begin{aligned} \delta_\theta G_\xi(x) &=\{-\partial^2+\xi g^2v(v+h(x))\}\theta(x),\\ \mathcal M_{\rm FP}(x,y) &\equiv\frac{\delta G_\xi(x)}{\delta\theta(y)} =\{-\partial_x^2+\xi g^2v(v+h(x))\}\delta^4(x-y). \end{aligned} \tag{85.30}

因此鬼场拉格朗日量为

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm gh} &=-\bar c\,\{-\partial^2+\xi g^2v(v+h)\}c\\ &=-\partial_\mu\bar c\,\partial^\mu c -\xi M^2\bar c c-\xi g^2vh\,\bar c c . \end{aligned} \tag{85.31}

从第一行到第二行只作普通时空分部积分，始终保持 $\bar c$ 在 $c$ 前面，没有交换两个Grassmann变量。这里鬼场与 $b$ 有相同的质量平方 $\xi M^2$ ，并且与 $h$ 相互作用。阿贝尔群并不保证鬼场总是自由的：在未破缺理论中， $G=\partial\cdot A$ 的变分给出 $\delta G/\delta\theta=-\partial^2$ ，不含场；现在 $G_\xi$ 含 $b$ ，而 $b$ 的变换又含 $h$ ，于是产生了最后一个顶角。

FP构造用于所选真空附近的局部微扰积分。自由算符为 $-\partial^2+\xi M^2$ ，按指定边界值求逆；含 $h$ 的项再作为相互作用展开。这样便完成了规范固定，同时使 $A,h,b,c,\bar c$ 的自由二次部分互不混合。

把矢量二次核分成两个投影

将矢量动能及规范固定项分部积分，得到坐标空间二次核：

\mathcal L_{A,0} =-\frac12 A_\mu \left[g^{\mu\nu}(-\partial^2+M^2) +(1-\xi^{-1})\partial^\mu\partial^\nu\right]A_\nu . \tag{85.32}

傅里叶变换使每个 $\partial^\mu$ 变为 $ik^\mu$ ，两个微分的乘积因而给出 $-k^\mu k^\nu$ 。相应的动量核是

\begin{aligned} S_{A,0}&=-\frac12\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4} \widetilde A_\mu(-k)K_\xi^{\mu\nu}(k)\widetilde A_\nu(k),\\ K_\xi^{\mu\nu}(k)&=(k^2+M^2)g^{\mu\nu} -(1-\xi^{-1})k^\mu k^\nu . \end{aligned} \tag{85.33}

两个 $i$ 的乘积固定了 $k^\mu k^\nu$ 项前的负号；接下来直接验算逆矩阵。

先取 $k^2\ne0$ ，定义混合指标的两个投影

(P_L)^\mu{}_\nu=\frac{k^\mu k_\nu}{k^2},\qquad (P_T)^\mu{}_\nu=\delta^\mu{}_\nu-(P_L)^\mu{}_\nu . \tag{85.34}

由于 $k_\alpha k^\alpha=k^2$ ，有 $(P_L^2)^\mu{}_\nu=k^\mu k_\nu/k^2=P_L^\mu{}_\nu$ 。再用 $P_T=I-P_L$ ，便得 $P_T^2=P_T$ 、 $P_TP_L=P_LP_T=0$ 和 $P_T+P_L=I$ 。因此核可写为

\begin{aligned} K_\xi &=(k^2+M^2)P_T+ \{k^2+M^2-(1-\xi^{-1})k^2\}P_L\\ &=(k^2+M^2)P_T+ \xi^{-1}(k^2+\xi M^2)P_L . \end{aligned} \tag{85.35}

两个子空间不混合，故只须分别把各自的本征值取倒数。乘回核时，两个交叉项都为零，同一投影的系数均为一；这就给出

\widetilde\Delta_\xi^{\mu\nu}(k) =\frac{P_T^{\mu\nu}(k)}{k^2+M^2-i0} +\frac{\xi P_L^{\mu\nu}(k)}{k^2+\xi M^2-i0}. \tag{85.36}

两个分母中的 $i0$ 表示相应的因果边界值。若在移去调节之前逐项验算，可对原核统一作 $K_\xi\mapsto K_\xi-i\epsilon I$ ，此时第二个分母是 $k^2+\xi M^2-i\xi\epsilon$ ；固定正 $\xi$ 后，它给出同一费曼边界值。

投影式中出现了 $1/k^2$ ，但完整传播子并没有额外的无质量极点。令 $a=k^2+M^2-i\epsilon$ 、 $b=k^2+\xi M^2-i\xi\epsilon$ ，有 $\xi a-b=(\xi-1)k^2$ ，于是

\begin{aligned} \frac{P_T^{\mu\nu}}a+\frac{\xi P_L^{\mu\nu}}b &=\frac{g^{\mu\nu}}a+ \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}\left(\frac{\xi}{b}-\frac1a\right)\\ &=\frac{g^{\mu\nu}+(\xi-1)k^\mu k^\nu/b}{a}. \end{aligned} \tag{85.37}

先合并再取 $k^2\to0$ ，结果有限；前面的投影只是在该点不能单独定义。这个形式也显示，固定有限 $\xi$ 时，传播子的所有分量在一般欧几里得大动量方向上都按 $k^{-2}$ 下降。鬼场和两个标量也具有通常的二阶动能，幺正规范中无衰减内部线造成的困难由此消除。

当 $\xi=1$ 时，两个投影重新合成度规，得到费曼规范的传播子：

\widetilde\Delta_{\xi=1}^{\mu\nu}(k) =\frac{g^{\mu\nu}}{k^2+M^2-i0}. \tag{85.38}

这使圈图的张量代数最简便。若保留一般 $\xi$ ，则可以在最终物理幅中检查所有 $\xi$ 项是否相消。

对于 $\xi\ne1$ ，物理质量极点的留数为 $P_T^{\mu\nu}|_{k^2=-M^2}=g^{\mu\nu}+k^\mu k^\nu/M^2$ ，秩为三，正是式（85.12）。另一极点属于沿四动量 $k^\mu$ 的 $P_L$ 分量，其质量平方为 $\xi M^2$ 。这里所说的“纵向分量”是指沿四动量的投影。式（85.11）的物理螺旋度零态满足 $k\cdot\varepsilon_0=0$ ，属于 $P_T$ ，仍然可以作为外态。当 $\xi=1$ 时两个极点重合，必须依靠物理态条件来区分它们，不能只凭分母判断。

其余自由线由各自二次项给出：

\begin{aligned} m_h^2&=\frac{\lambda v^2}{2},& \widetilde\Delta_h(k)&=\frac1{k^2+m_h^2-i0},\\ m_b^2&=m_c^2=\xi M^2,& \widetilde\Delta_b(k)&=\widetilde\Delta_c(k) =\frac1{k^2+\xi M^2-i0}. \end{aligned} \tag{85.39}

这些仍是 $\Delta$ ，内部线都须再除以 $i$ 。外部矢量取三个物理偏振， $b,c,\bar c$ 及沿 $k^\mu$ 的矢量分量不取作物理入射、出射粒子。物理态的这一限制与规范参数独立性由BRST条件联系起来，下面在给出顶角之后说明。

相互作用与物理态

把式（85.24）、（85.26）和（85.31）中三次以上的项合在一起，相互作用密度为

\begin{aligned} \mathcal L_1 &=-\frac{\lambda v}{4}h(h^2+b^2) -\frac{\lambda}{16}(h^2+b^2)^2\\ &\quad+gA^\mu(h\partial_\mu b-b\partial_\mu h) -g^2vhA_\mu A^\mu\\ &\quad-\frac12g^2(h^2+b^2)A_\mu A^\mu -\xi g^2vh\,\bar c c . \end{aligned} \tag{85.40}

$hA^2$ 中的 $g^2$ 来自前面的协变动能平方。其余系数的阶乘可以逐项从相同场的排列得到： $-\lambda vh^3/4$ 有 $3!$ 种收缩， $-\lambda vhb^2/4$ 只有两个 $b$ 可以交换，分别给出 $-3i\lambda v/2$ 和 $-i\lambda v/2$ 。四次混合项的系数为 $-\lambda h^2b^2/8$ ，再乘 $2!2!$ ；两个同类四次项则各乘 $4!$ 。

对矢量项，两个 $A$ 给出因子 $2!$ 及 $g_{\mu\nu}$ ，若还含两个相同标量，再乘一个 $2!$ 。微分顶角取全部动量流入， $e^{ikx}$ 使 $\partial_\mu$ 给出 $ik_\mu$ ；连同作用量展开的 $i$ ，有 $i\,g\,i(k_b-k_h)_\mu=g(k_h-k_b)_\mu$ 。鬼与反鬼彼此不同，固定 $\bar c c$ 次序后没有相同粒子的阶乘。所有顶角于是为：

入射场	顶角因子
$h,h,h$	$-3i\lambda v/2$
$h,b,b$	$-i\lambda v/2$
$h,h,h,h$ 或 $b,b,b,b$	$-3i\lambda/2$
$h,h,b,b$	$-i\lambda/2$
$h,A^\mu,A^\nu$	$-2ig^2v\,g_{\mu\nu}$
$h,h,A^\mu,A^\nu$ 或 $b,b,A^\mu,A^\nu$	$-2ig^2g_{\mu\nu}$
$A^\mu,h(k_h),b(k_b)$	$g(k_h-k_b)_\mu$
$h,\bar c,c$	$-i\xi g^2v$

三次顶角具有质量维1，四次顶角无量纲，微分顶角的质量维由一个外动量提供。交换两个同类外场不改变相应顶角； $Ahb$ 中的动量差按表中 $h,b$ 的标签定义。

在幺正规范中，将表中的 $h$ 换为 $\rho$ ，保留 $\rho^3,\rho^4,\rho A^2,\rho^2A^2$ 四种物理顶角，系数完全相同；鬼场顶角则用式（85.21）。因此前面得到的幺正规范树规则也已在表中逐项求出。

不同 $\xi$ 给出同一物理散射，可以用第74节的BRST物理态条件证明。以奇微分 $s$ 表示BRST变换：

\begin{aligned} sA_\mu&=\partial_\mu c,& sc&=0,&s\bar c&=B,&sB&=0,\\ sh&=-gcb,&sb&=gc(v+h). \end{aligned} \tag{85.41}

这里 $B$ 是辅助场。相对于式（85.29），规范参数替换为 $\theta=-c$ 。反对易的 $c$ 保证 $s^2=0$ ：例如 $s^2h=g c\,sb=g^2c^2(v+h)=0$ ， $s^2b=-g c\,sh=g^2c^2b=0$ 。规范函数的变分则是 $sG_\xi=-\mathcal M_{\rm FP}c$ 。

选择奇泛函

\Psi_\xi=\int d^4x\,\bar c \left(-G_\xi+\frac{\xi}{2}B\right). \tag{85.42}

$s$ 越过奇变量 $\bar c$ 时给出负号，故

\begin{aligned} s\Psi_\xi &=\int d^4x\left[ -BG_\xi+\frac{\xi}{2}B^2+\bar c\,sG_\xi\right]\\ &=\int d^4x\left[ -BG_\xi+\frac{\xi}{2}B^2-\bar c\mathcal M_{\rm FP}c\right]. \end{aligned} \tag{85.43}

辅助场的方程为 $B=G_\xi/\xi$ ，代回前两项得到 $-G_\xi^2/(2\xi)$ ，恰好还原本节的规范固定与鬼场作用量。这样，改变 $\xi$ 只改变一个BRST恰当项（BRST-exact term）。

在保持BRST的调节及重整化下，且没有规范反常时，路径积分作BRST变量代换给出 $\langle sX\rangle=0$ 。取不显含 $\xi$ 的偶观测量 $\mathcal O$ ，满足 $s\mathcal O=0$ ；对归一化期望求导，分母的导数扣掉真空断开部分，于是

\begin{aligned} \partial_\xi\langle\mathcal O\rangle &=i\left\langle \mathcal O\,s(\partial_\xi\Psi_\xi)\right\rangle_{\rm conn}\\ &=i\left\langle s\{\mathcal O\,\partial_\xi\Psi_\xi\}\right\rangle_{\rm conn} =0 . \end{aligned} \tag{85.44}

第二行用到了 $s\mathcal O=0$ 和 $\mathcal O$ 的偶性。散射情形按第74节将入出态取为BRST上同调类，插入的恰当项在物理矩阵元中消失；相应的外腿极点留数及LSZ因子也须一并处理。这就是保持一般 $\xi$ 可以检查物理幅的理由。

物理极点还可以直接用规范不变的局域算符提取。标量密度和带一个矢量指标的流分别给出

\begin{aligned} \mathcal O_h &=\frac{\varphi^\dagger\varphi-v^2/2}{v} =h+\frac{h^2+b^2}{2v},\\ \mathcal O_\mu &=\frac{i}{gv^2} \left[\varphi^\dagger D_\mu\varphi -(D_\mu\varphi)^\dagger\varphi\right]\\ &=\frac{gA_\mu[(v+h)^2+b^2]-(v+h)\partial_\mu b +b\partial_\mu h}{gv^2}\\ &=A_\mu-\frac{\partial_\mu b}{M}+O(\text{二次场}). \end{aligned} \tag{85.50}

协变导数与 $\varphi$ 同相变换，故两个双线性中的相位各自消去。在自由BRST变换中， $sA_\mu=\partial_\mu c$ 、 $sb=Mc$ 也使最后一行的两个变分相消。将矢量插入与满足 $k\cdot\varepsilon=0$ 的偏振收缩，导数 $b$ 项给零，留下的三个偏振包括物理的螺旋度零态。

在树级二点函数中，只需保留插入算符的线性部分。 $A,b$ 的自由混合传播子为零；两个 $b$ 导数分别作用于两个端点，傅里叶变换给 $(ik^\mu)(-ik^\nu)=k^\mu k^\nu$ 。使用协变时间排序，得到

\begin{aligned} \widetilde\Delta_{\mathcal O}^{(0)\mu\nu}(k) &\equiv i\langle T^*\mathcal O^\mu\mathcal O^\nu\rangle_k^{(0)}\\ &=\widetilde\Delta_\xi^{\mu\nu}(k) +\frac{k^\mu k^\nu}{M^2(k^2+\xi M^2-i0)}\\ &=\frac{g^{\mu\nu}+k^\mu k^\nu/M^2} {k^2+M^2-i0}. \end{aligned} \tag{85.51}

最后一步将式（85.36）中的纵向系数与 $b$ 项合并； $k^2=-\xi M^2$ 的极点相消，只剩三个物理偏振的极点。对稳定的径向标量一粒子态， $\mathcal O_h$ 在线性阶与 $h$ 有相同的极点耦合。 $b$ 、鬼场及沿四动量的规范分量则属于BRST非物理部分。这里使用BRST不变真空及相容边界条件。

幺正规范怎样从大规范参数极限恢复

现在令规范参数增大，考察 $R_\xi$ 规则与幺正规范的关系。将式（85.37）与Proca传播子相减，先在极点以外计算有理式：

\begin{aligned} \widetilde\Delta_\xi^{\mu\nu} -\widetilde\Delta_U^{\mu\nu} &=\frac{k^\mu k^\nu}{k^2+M^2} \left[\frac{\xi-1}{k^2+\xi M^2}-\frac1{M^2}\right]\\ &=-\frac{k^\mu k^\nu}{M^2(k^2+\xi M^2)} \ \longrightarrow\ 0\qquad(\xi\to\infty). \end{aligned} \tag{85.45}

所以固定动量下的矢量线回到幺正规范；相应的因果边界值按同一处方取得。 $b$ 的传播子 $1/(k^2+\xi M^2)$ 趋于零，而它的相互作用系数没有 $\xi$ 的正幂，看起来可以将它消去。

鬼场需要另作计算。它的质量平方也是 $\xi M^2$ ，但 $h\bar c c$ 顶角为 $-i\xi M^2/v$ 。沿一个闭鬼圈，将每个顶角和一条内部线配起来，有

\frac{-i\xi M^2/v}{i(k^2+\xi M^2)} =-\frac1v\frac{\xi M^2}{k^2+\xi M^2} \ \longrightarrow\ -\frac1v . \tag{85.46}

因此 $n$ 个顶角与 $n$ 条线中的质量因子逐一抵消，鬼圈并不趋于零。取 $m_{\rm gh}^2=\xi M^2$ ，它恰好回到式（85.21）的无导数鬼场规则。

为了更清楚地看出留下来的是什么，可以先保持有限的紫外调节，将场积分看成有限维积分。在固定的有界标量背景上，

\begin{aligned} \mathcal M_{\rm FP} &=\xi M^2\left(1+\frac h v -\frac{\partial^2}{\xi M^2}\right),\\ \frac{\det\mathcal M_{\rm FP}}{\det(\xi M^2)} &\ \longrightarrow\ \det(1+h/v). \end{aligned} \tag{85.47}

有限调节使微分矩阵的本征值保持有界，故先取大 $\xi$ 时，最后一项逐矩阵元趋于零，行列式的连续性给出第二行。分母与场无关，已经由归一化积分消去。这个结果正是幺正规范的径向测度。

同一极限也可以在鬼场作用量中逐项实现。引入任意固定质量 $m_{\rm aux}>0$ ，作常数变量代换

\begin{aligned} c&=\frac{m_{\rm aux}}{\sqrt{\xi}M}\,\widehat c,\qquad \bar c=\frac{m_{\rm aux}}{\sqrt{\xi}M}\,\widehat{\bar c},\\ \mathcal L_{\rm gh} &=-\frac{m_{\rm aux}^2}{\xi M^2} \partial_\mu\widehat{\bar c}\,\partial^\mu\widehat c -m_{\rm aux}^2\widehat{\bar c}(1+h/v)\widehat c\\ &\ \longrightarrow\ -m_{\rm aux}^2\widehat{\bar c}(1+h/v)\widehat c . \end{aligned} \tag{85.48}

Grassmann测度的雅可比是比例因子的倒数，但仍与场无关，归一化后不影响结果。最后一行就是幺正规范的鬼场作用量，任意的归一质量仍然保留。

对 $b$ 则作 $b=\beta/\sqrt\xi$ 。其质量项与其他项分别变成

-\frac12\xi M^2b^2=-\frac12M^2\beta^2,\qquad (\partial b)^2=O(\xi^{-1}),\qquad h b^2,\ h^2b^2,\ A^2b^2=O(\xi^{-1}). \tag{85.49}

$Ah\partial b-Ab\partial h$ 中的每项为 $O(\xi^{-1/2})$ ， $b^4$ 为 $O(\xi^{-2})$ 。因此在有限调节下、对固定背景取此局部微扰极限， $\beta$ 只留下与其他场无关的高斯积分，测度中的常数比例也由归一化消去。剩余标量满足 $b=0$ ，在 $v+h>0$ 的片内就是 $h=\rho$ 。矢量线、标量作用量和鬼行列式由此同时恢复为幺正规范，完成了传播子层面之外的测度比较。

固定有限 $\xi$ 后让圈动量增大，式（85.37）仍按 $k^{-2}$ 下降；先令 $\xi\to\infty$ 则得到不衰减的Proca分子。两种近似在 $|k^2|\sim\xi M^2$ 的区域相遇，大 $\xi$ 极限对全部圈动量不一致。所以上述比较先保留有限紫外调节；去掉调节时，测度与局部项也参与匹配。实际圈图通常在有限 $\xi$ 完成， $\xi=1$ 尤其方便。

下一节将把这一构造推广到非阿贝尔群，处理多个破缺方向及其在质量本征基中的混合。

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