Srednicki §32 连续对称性的自发破缺

实标量的反射对称性把两个真空互换；连续对称性破缺时，最低能量的场值则组成一条连续轨道。让场值沿这条轨道缓慢地随空间变化，不会增加势能，只需付出梯度能。因此波长越长，激发能量就可以越低。这提示我们，连续的真空族应当伴随无质量的激发。本节先在复标量模型中求出这种Goldstone玻色子，说明它的无质量性怎样由对称性维持，再把结果推广到$N$个实标量。

以下在四维洛伦兹不变真空中讨论连续的整体内部对称性，取$\lambda>0$。为分清树级展开与量子真空，将树级幅度记为$v_0$，含圈修正的一点函数幅度记为$v$。

最低点组成的圆

从第22节的复标量模型出发。其拉格朗日量及整体相位变换为

共轭场取得相反相位，而$\alpha$是常数，导数不作用于相位，所以动能与势的每一项都保持不变。现在把质量平方取为负值，寻找新的最低点。由于势只依赖场的模，令$r^2=2\varphi^\dagger\varphi$，可把它配方为

比较配平方前后的二次项，就确定了$v_0^2$。这里出现的系数是4；上一节单实场的四次项取$\lambda/24$，相应系数则是6，两者来自耦合定义的不同。在允许均匀场的边界条件下，梯度能非负，使平方项为零并取空间上均匀的相位，就得到最低能量配置

U(1)把这些最低点彼此联系起来，势只依赖半径，沿圆的角向移动因而不需要势能。这里保留$1/\sqrt2$的归一，是为了在$\varphi=(\varphi_1+i\varphi_2)/\sqrt2$中让两个实场分别具有$-\frac12(\partial\varphi_i)^2$的动能。

量子论中的选相仍沿第30节的次序进行：先用一个很小的定向源选出方向，再取空间体积无穷，最后撤去源。在破缺相中，由此定义的真空族及其序参量为

这里定义的是精确幅度$v$，其树级值才是$v_0$。不同相具有不同的宏观平均场；只要平均区域扩大时涨落趋于零，第30节的柯西–施瓦茨论证就说明两相正交。连续破缺的涨落中包含无质量模，它们的远距离关联须重新估计。下面将从无质量模展开求出平滑平均场方差的 $R^{-2}$ 行为。相位的周期也须同时保留，所谓不同相是指$\theta$模$2\pi$不等。

直角坐标中的两种激发

要看真空附近有哪些粒子，先选$\theta=0$，把两个实涨落场写成

此处$a,b$是实场。把这个表达式代回动能，两个虚交叉项相消，留下各自标准归一的实场动能。势中的平方则按涨落场展开为

将各项乘上$\lambda/16$并连同动能代回拉格朗日量，得到

二次项直接区分了两种激发：$a$沿径向偏离最低圆，会受到势的恢复力；$b$沿切向运动，二次势为零，所以两者的树级质量分别为$M_0$和0。这个切向实场$b$就是直角坐标中的Goldstone场。

展开式也给出二者的相互作用，但从单项式读顶角时还要计入相同场的排列。例如$a^3$项乘$3!$，$ab^2$项只乘$2!$，而$a^2b^2$项乘$2!2!$，相应顶角为

这些顶角将用于比较不同的场坐标。特别是$abb$顶角允许径向激发衰变成两个无质量粒子，因此这里的$M_0$是树质量；含更高阶修正的径向激发应按第25节用共振的复极点描述。

极坐标使平坦方向显明

直角坐标已给出无质量场，极坐标则能把它与最低圆的角向运动直接对应起来。在圆附近的一个局部坐标片内，取$r=v_0+\rho>0$，场及其导数为

导数与其共轭相乘时，径向导数和角向导数之间的虚交叉项相消；势依然只取决于半径。将两部分合并，得到

二次项给出的两种树质量与直角坐标相同，而势中完全没有$\chi$，平坦方向因而显明。原来的U(1)变换在这组坐标中成为

位移幅度中的$v_0$来自角坐标的定义：指数中的$\chi/v_0$须增加相位参数$\alpha$，因此$\chi$增加$v_0\alpha$。$\chi$的质量维数为1，而$\alpha$无量纲，二者的量纲也由$v_0$联系。

角场虽然不出现在势中，仍会通过动能同径向场相互作用。展开角向动能的平方，两个相互作用项为

取$e^{ikx}$的逆傅里叶展开，两个导数贡献$-k_1\cdot k_2$。再对两个相同的$\chi$求导，得到$2!$；第二项还含两个$\rho$，另给$2!$。把这些因子与拉格朗日量系数相乘，以全部动量流入顶点的约定，得到

用这些含动量的顶角，可以与直角坐标中的计算比较：设两条无质量腿的动量为$p_1,p_2$，径向树级运动学要求$(p_1+p_2)^2=-M_0^2$，于是$p_1\cdot p_2=-M_0^2/2$。第一个顶角因而化为

它与直角坐标的$abb$顶角相等；两条$b$与$\chi$在线性关系中各有一个负号，相乘后也抵消了。这个例子说明，顶角在不同参数化下虽然看起来不同，代入相应运动学并比较同一激发时仍可对应。

换元时场、测度与物理量

为进一步说明这种对应，先写出两种坐标之间的精确关系：

在真空附近，其线性部分是$a=\rho$、$b=-\chi$，所以两种参数化具有相同的二次动能归一。非线性部分还会改变路径积分测度，对坐标关系逐项求导，局部雅可比矩阵为

行列式的绝对值是$1+\rho/v_0$，它与$\chi$无关。因此，在有限调节的路径积分中作此换元，须带入$\prod_x(1+\rho(x)/v_0)$。把这个乘积写成指数，会得到只依赖$\rho$的局部测度项；维数正则化中相应的形式系数$\delta^{(d)}(0)=\int d^dk/(2\pi)^d$按无尺度约定为零，用其他调节时则须保留该调节下的换元因子。在$r=0$处极坐标退化，所以固定真空附近的微扰只使用$r>0$的坐标片。

场重新定义前后的粒子质量和散射幅，可以用LSZ公式联系起来。可逆局部换元若同时作用于拉格朗日量、测度和算符插入，路径积分描述的仍是同一理论，谱中的能量与稳定粒子壳也就相同。不同插值场可以具有不同的单粒子重叠；这些重叠在多点函数的单粒子极点处逐腿出现，LSZ再按所用场的极点留数把它们除去，留下同一个物理散射幅。对于径向共振，则比较同一稳定态散射函数中的复极点。式（32.14）展示的是这种对应的树级例子。

圈修正后的无质量方向

接下来考虑量子修正是否会给角场产生质量。先用式（32.13）考察带两条外部$\chi$线的1PI图：每条外线进入顶角时都带一个外动量，所以相应自能具有$k_\mu k_\nu I^{\mu\nu}(k)$的形式。在保持常数位移对称性的调节和减除下，反项也不能含无导数的$\chi^2$项。保留这些动量因子并控制零动量极限，就得到

外动量因子保留到积分和减除完成后，再取受控的红外极限。对于本节的四维弱耦合破缺相，如果低动量二次项具有$k^2-\Pi_\chi(k^2)=K_\chi k^2+o(k^2)$的形式，并满足$0<K_\chi<\infty$，那么传播子就在原点有一个无质量简单极点，其留数为$\mathcal R_\chi=K_\chi^{-1}$。这把没有质量项与传播的无质量粒子联系起来。

同一结论也可以从量子作用量的对称性推导，不必逐图追踪外线。第21节的变量替换表明，在保持U(1)的测度和相容边界下，有

对于恒定场，量子作用量满足$\Gamma=-\int U$，所以真空使$\Gamma$驻定，并使$U$取最低能量。将对称性作用于这个势，就能得到沿真空轨道的约束。

现在在$\theta=0$的真空附近写平均场$\varphi=(v+\bar a+i\bar b)/\sqrt2$。无穷小U(1)变换给$\delta\bar a=\alpha\bar b$、$\delta\bar b=-\alpha(v+\bar a)$，代入势的不变性，便有

要读出切向曲率，对$\bar b$求导，再令$\bar a=\bar b=0$，可得$U_a-vU_{bb}=0$。精确真空已经满足一点条件$U_a=0$，所以

这里正是利用了真空的一点函数归零，才把沿对称轨道的变化转成零曲率方向。若仍在未经修正的树驻点代入圈势，一点项会留下来，也就漏掉了上一节讨论的真空位移。

守恒流中的无质量极点

除了考察曲率，还可以通过守恒流寻找与角向激发相耦合的物理态。第22节的流为 $j^\mu=-i\varphi^\dagger\overleftrightarrow{\partial^\mu}\varphi$。代入极坐标，记 $r=v_0+\rho$，两个乘积分别给出

相减后径向导数消失，再乘 $-i$ 得到

其中 $\pi_\chi$ 是正则动量。由等时正则对易子，有限支撑荷在局部插入处满足 $[Q,\chi]=-iv_0$。因此第22节的 Ward 恒等式用于角场时，接触项正比于位移幅度 $v_0$；相应的流—场关联函数及恒等式为

流本身守恒，但微分时间序乘积时还会对时间序阶跃函数求导，留下上面的接触项。在傅里叶变换中分部积分，$\int e^{-ikx}\partial_\mu C^\mu=i k_\mu C^\mu(k)$，因此恒等式成为

在洛伦兹不变真空中，这个矢量—标量关联函数的矢量结构只能由$k^\mu$组成。与外动量收缩后既然要给出非零常数，纵向系数就须包含$1/k^2$奇性；关于$k$的局部多项式接触项本身不能提供这个极点。

为了识别它所代表的态，沿第13节在两算符之间插入物理态的谱展开。普通无质量极点的留数来自零质量单粒子态。将流矩阵元写成$\langle k|j^\mu(x)|0\rangle=ifk^\mu e^{-ikx}$，用常数$f$表示流与粒子的耦合强度。选择态的相位使$c_\chi=\langle k|\chi(0)|0\rangle>0$，关联函数的极点部分就为

这个负号也与树级关系$j^\mu=-v_0\partial^\mu\chi$及$\langle\mathrm T\chi\chi\rangle=\boldsymbol\Delta_\chi/i$相符。恒等式由此把非零破缺幅度与非零的流—粒子耦合联系起来；如果有几个简并无质量态，则右式应由各态的重叠之和代替。在本节单一 U(1) 方向的弱耦合粒子描述中，$c_\chi^2=\mathcal R_\chi$，于是

树级流只需保留 $-v_0\partial^\mu\chi$。取通常归一的单粒子态，使 $\langle k|\chi(x)|0\rangle=e^{-ikx}$，便有 $\langle k|j^\mu(x)|0\rangle=iv_0k^\mu e^{-ikx}$，即 $f_{\rm tree}=v_0$。这里“衰变常数”表示流与粒子的耦合强度。对流矩阵元取散度，守恒性又给出 $fk^2=0$，所以非零的 $f$ 所耦合的这一粒子无质量。

圈修正中的流是按同一荷归一重整化的复合算符，其有限顶角与场留数一起满足 Ward 恒等式。角坐标中 $v_0$ 是定义 $\chi/v_0$ 的参数尺度；若作有限重标度 $\chi'=c\chi$，位移幅度与单粒子重叠都乘 $c$，它们的比值 $f$ 保持不变。改用直角场 $b$ 时，变分含 $-(v_0+a)$，接触项则由精确真空幅度 $v=v_0+\langle a\rangle$ 决定。

破缺荷与宏观平均场

荷怎样联系不同相，可以先在指数和对易子有定义的共同域上计算。由 $[Q,\varphi]=-\varphi$，令 $F(\alpha)=e^{-i\alpha Q}\varphi e^{i\alpha Q}$，有

记 $U(\alpha)=e^{-i\alpha Q}$。作用后的态具有一点函数

因此对称变换把 $\theta$ 相送到 $\theta+\alpha$ 相。如果自伴荷可作用于真空，且 $Q|0\rangle=0$，则 $\langle[Q,\varphi]\rangle=0$，与 $\langle[Q,\varphi]\rangle=-v/\sqrt2\ne0$ 矛盾。通常的记号 $Q|0\rangle\ne0$ 就表达了破缺对称性改变真空。

无限体积时，这个记号还涉及荷的极限。若不同角度的纯相正交，那么任意非零的小 $\alpha$ 都给 $\|U(\alpha)|0\rangle-|0\rangle\|^2=2$。这条真空轨道不强连续，因而不能由单相空间内的通常自伴荷指数生成。可以保留有限支撑荷，直接计算它在局部算符上的作用。

在四维自由 Goldstone 近似中，荷的极限与平均场的涨落都能由模展开求出。取实光滑紧支撑函数 $h$，使它在原点邻域等于 1，定义 $h_R(\mathbf x)=h(\mathbf x/R)$ 及

作用于真空时只留下产生项，时间导数给 $+i|\mathbf k|$。再用 $[a_{\mathbf k},a^\dagger_{\mathbf k'}]=(2\pi)^3\,2|\mathbf k|\delta^3(\mathbf k-\mathbf k')$，得到

第二步用 $\widetilde h_R(\mathbf k)=R^3\widetilde h(R\mathbf k)$，再令 $\mathbf q=R\mathbf k$。两个傅里叶幅度给 $R^6$，动量测度和能量分别给 $R^{-3}$、$R^{-1}$，最终留下 $R^2$。

若改为归一化的空间平均，取实光滑紧支撑函数 $g$ 满足 $\int d^3x\,g=1$，定义 $\bar\chi_R=R^{-3}\int d^3x\,g(\mathbf x/R)\chi(0,\mathbf x)$。相同的收缩不再含时间导数，所得方差为

两个积分的低动量径向测度分别为 $q^3dq$ 与 $q\,dq$，高动量则由平滑函数的傅里叶衰减控制。因此全空间荷作用于真空的范数增长，宏观平均场却越来越集中。在线性涨落近似下，直角场的平均值由有质量径向模和上述角模组成，两者的方差都趋于零；不同相的非零序参量差再通过 第30节的重叠界给出正交性。

对完整理论的破缺判据，可以固定局部插入，取经适当时空平滑的截断荷，再考察 $\lim_{R\to\infty}\langle[Q_R,\varphi(x)]\rangle=-\langle\varphi(x)\rangle\ne0$。这一局部作用是守恒流与序参量的联系；上面的自由模计算则具体展示了它怎样与荷范数的红外增长共存。

SO(N)模型的破缺与残余群

复标量的例子有一个独立的角向方向；多个实场可以产生更多方向。取$N\ge2$个实场，考虑

本段重复指标从1到$N$求和。每个内部坐标平面的旋转各有一个生成元；对每对$r<s$，沿用第24节的厄米生成元，写成

这些矩阵纯虚且反对称，共有$N(N-1)/2$个，$a$就是按上述指标对排列的编号。令$t^a=-iT^a$，则$t^a$为实反对称矩阵；由$\varphi_i t^a_{ij}\varphi_j=0$可知场的范数不变，同理动能也不变，所以式（32.24）具有SO($N$)对称性。

寻找最低点及其小涨落，需要势的一、二阶导数：

当$m^2<0$时，最低向量的长度固定为$v_0^2=-4m^2/\lambda$，方向则任意。SO($N$)可以把任何这样的方向转到最后一根坐标轴，故选$v_i=v_0\delta_{iN}$。把它代入二阶导数，最低点的质量矩阵为

矩阵只有径向本征值$M_0^2$非零，另有$N-1$个横向零本征值。要看这些零模如何对应对称变换，计算真空期望值的变化：

若$T^av\ne0$，相应变换改变真空，这个方向的生成元称为破缺生成元；若$T^av=0$，则是未破缺的。在上述标准基中，两种作用分别为

第一组在末轴与各横向轴之间旋转真空，恰好给出质量矩阵的$N-1$个独立零方向；第二组只在前$N-1$个分量内部旋转，组成$\mathfrak{so}(N-1)$。其生成元数目为

有限变换也给出同一个残余群。满足$Rv=v$的正交矩阵只能写成$R=\operatorname{diag}(O,1)$；再由$\det R=1$，可得$O\in{\rm SO}(N-1)$。因此这个群的作用具体保留了最后一个分量，其生成元数目也与刚才的计数一致。

选相时沿第 $N$ 方向加入小源，并取保持 SO($N-1$) 的体积极限，剩余群便同时保持真空和序参量。由 第24节的荷代数 $[\varphi_i,Q^a]=T^a_{ij}\varphi_j$，在荷可作用于真空且真空荷取零时，有

对于这里的残余群，$U_h|0\rangle=|0\rangle$ 反过来给出其生成元湮灭真空。破缺的 $rN$ 方向则改变序参量，在无限体积中按前面的局部截断荷判据理解。

下面把残余对称性直接写进涨落场的拉格朗日量。将势配平方、略去场无关常数，再令$\varphi_N=v_0+\rho$、$\varphi_r=\pi_r$，其中$r=1,\ldots,N-1$，得到

平方中的二次项、交叉项和四次项，分别产生第三行的$1/4,1/4,1/16$。在残余群下，$\rho$是标量，$\pi_r$是向量，而横向指标始终通过$\pi_r\pi_r$收缩，所以SO($N-1$)在平移后的拉格朗日量中仍然显明。同时，$\pi_r$没有二次势，正对应前面数出的$N-1$个Goldstone场。它们仍有相互作用，例如四价顶角为

这个系数由对$(\pi_r\pi_r)^2$作四次微分得到：三种指标配对各有8种排列，乘上原来的$-i\lambda/16$即可。取$N=2$时，只剩一个横向场，顶角退回$b^4$的$-3i\lambda/2$。

Goldstone计数的量子形式

上述质量零模与破缺方向的对应，只依赖势的对称性及真空条件，可以用于包含圈修正的有效势。在选定的量子真空附近，用实平均场$\phi_i$表示它，连续内部对称性要求

为了得到二次涨落的关系，对$\phi_k$求导。导数既作用于势的一阶导数，也作用于变换中的场，两项都须保留：

在量子真空中满足$U_i(v)=0$，第二项因而消失，剩下

每个改变真空的独立群方向，由此都是质量曲率矩阵的零方向。还须通过动能把这些方向归一为传播模：若低动量二次核为$-\Gamma^{(2)}=\mathcal M^2+Kk^2+\cdots$，且$K$正定，作涨落场变换$\eta=K^{-1/2}\zeta$即可归一动能，质量矩阵同时成为$K^{-1/2}\mathcal M^2K^{-1/2}$。这是可逆的变换，零空间的维数保持不变，因此仍有同样数目的无质量粒子；其物理极点也可以用前面的守恒流论证识别。

计数时只应取这些方向中线性独立的部分。线性映射$t\mapsto tv$把李代数$\mathfrak g$送到真空轨道的切空间，其核就是保持$v$不变的子代数$\mathfrak h$。由秩—零度定理，

这里得到的是对称性所要求的无质量方向数，额外的偶然零模应另计。不同生成元的非零线性组合也可能改变$v$，但不会因此增加独立方向。对于本节的SO($N$)模型，$G/H={\rm SO}(N)/{\rm SO}(N-1)$就是最低球面，其维数为$N-1$，与显式平移所得的场数一致。在保持整体内部对称性、采用正确真空驻点及非退化物理动能的四维洛伦兹不变标量理论中，这便是Goldstone定理的计数。

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