Srednicki §20 单圈二粒子弹性散射

系列文章：Srednicki QFT 共 97 篇

上一节把连通函数分解成完整传播子与顶角组成的树；现在用六维 $\varphi^3$ 理论计算二粒子弹性散射，看看这一组织方法怎样把已经求出的圈图变成散射振幅。仍记 $\alpha=g^2/(4\pi)^3$ ，耦合 $g$ 由零外动量三点顶角定义。所谓弹性，是指入射和出射的粒子种类及数目相同。计算先在一般的在壳运动学下进行，得到包含所有一圈修正的参数积分；随后取高能固定角极限，把这些积分算成对数函数，从中看出散射振幅随能量和角度的变化。

三个通道与一圈截断

先把外部粒子的运动学确定下来。物理动量记为 $p_1,p_2\to p_3,p_4$ ，各粒子都取正能并满足 $p_i^2=-m^2$ ，动量守恒写成 $p_1+p_2=p_3+p_4$ 。顶角函数采用所有动量流入的约定，因此出射粒子的动量在顶角中要取反号：

(k_1,k_2,k_3,k_4)=(p_1,p_2,-p_3,-p_4). \tag{20.1}

三个交换通道的内线动量平方，可以用Mandelstam变量统一表示：

s=-(p_1+p_2)^2,\qquad t=-(p_1-p_3)^2,\qquad u=-(p_1-p_4)^2. \tag{20.2}

这三个变量受到动量守恒的约束。展开右边三项，便有 $s+t+u=6m^2-2p_1\cdot p_2+2p_1\cdot(p_3+p_4)=4m^2$ 。为了看清它们在物理散射区的取值，再到质心系中，令入射空间动量的长度为 $p$ 、散射角为 $\theta$ ，于是

s=4(m^2+p^2),\qquad t=-2p^2(1-\cos\theta),\qquad u=-2p^2(1+\cos\theta). \tag{20.3}

这里用到的只是空间矢量的长度和夹角，因此在本节的五维空间中仍然成立。一般散射有 $s>0,t<0,u<0$ ；到了阈值或前后向， $t,u$ 还可以等于零。这些边界在后面选择高能固定角极限时会起作用。

运动学确定后，便可用第19节的四点树装配写出振幅。四条外腿或者都连在一个完整四点顶角上，或者分成两组，由一条完整内线连接两端的完整三点顶角。后一种情形共有三个外标签分组，恰好对应 $s,t,u$ 三道，如下图所示。

图20a：完整四点核和三道交换。方块为 $iV_4$ ，圆圈为 $iV_3$ ，双线为 $\widetilde{\boldsymbol\Delta}/i$ ；外部短线取单位在壳留数。箭头标示物理动量 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 。右下两条外线交叉处没有顶点。

在每个交换通道中，两端三点核的三个腿平方分别相同，因而它们给出的乘积为 $V_3(z)^2$ ，其中 $z=s,t,u$ 。按照费曼规则，把两个顶角与中间的传播子相乘，其相位为 $(iV_3)(\widetilde{\boldsymbol\Delta}/i)(iV_3) =iV_3^2\widetilde{\boldsymbol\Delta}$ 。除去散射矩阵元共有的整体 $i$ 后，精确振幅便写成

\mathcal T =\sum_{z=s,t,u}V_3(z)^2\, \widetilde{\boldsymbol\Delta}(-z) +V_4(s,t,u). \tag{20.4}

这时外腿的极点已经截去，每条腿只留下单位留数，场的归一化因而已经包含在上式中。先取各核的最低阶，即 $V_3=g$ 、 $V_4=0$ 、 $\widetilde{\boldsymbol\Delta}=\widetilde\Delta_0$ ，四点核项消失，三个交换项便给出树振幅：

\mathcal T^{(0)} =g^2\left[ \frac1{m^2-s-i0} +\frac1{m^2-t-i0} +\frac1{m^2-u-i0}\right]. \tag{20.5}

这也把完整核的写法与第10节逐腿约化所得的三个交换项联系起来：在树级，两端是立方顶点，中间是自由传播子；圈修正则分别进入这些核，并产生非零的四点顶角。

接下来在式（20.4）中代入各核的一圈表达式。由于分块式包含平方和逆分母，这一步还会产生更高阶乘积，需要再按同一微扰阶数展开。为此，令 $a_z=m^2-z-i0$ 、 $v_z=(V_3(z)-g)/g=O(\alpha)$ 、 $\Pi_z=\Pi(-z)=O(\alpha)$ 。在运动学固定、远离另需重求和的极点时，顶角的平方和传播子的逆分母分别展开为

\begin{aligned} V_3(z)^2&=g^2[1+2v_z+O(\alpha^2)],\\ \frac1{a_z-\Pi_z} &=\frac1{a_z} \left[1+\frac{\Pi_z}{a_z}+O(\alpha^2)\right]. \end{aligned} \tag{20.6}

把这两式相乘并加入四点核，就能将各类一圈贡献分开。用 $O(\alpha)$ 表示相对于树级所保留的阶数，所得振幅记为 $\mathcal T^{[1]}$ ：

\mathcal T^{[1]} =\sum_{z=s,t,u}\frac{g^2}{a_z} \left[1+2v_z^{(1)}+\frac{\Pi_z^{(1)}}{a_z}\right] +V_4^{(1)}(s,t,u). \tag{20.7}

括号中的因子2来自两个三点顶角：圈修正可以放在左端，也可以放在右端。相乘时产生的 $v_z^2,v_z\Pi_z,\Pi_z^2$ 都已超出一圈阶，故在展开中舍去。这样定义的“一圈振幅”包含树级部分，新增的修正为 $O(g^2\alpha)$ ；后面组装各个显式结果时，也都沿用这一截阶方式。

把前面求出的核放到质量壳上

接下来把前面几节的两点、三点和四点函数代入这个振幅。它们虽然含有不同数目的费曼参数，却可以统一采用归一化的参数测度：

dF_n=(n-1)!\prod_{a=1}^n dx_a\, \delta\!\left(1-\sum_a x_a\right),\qquad x_a\ge0. \tag{20.8}

这个归一化的作用，可以直接从参数区域看出。对 $x_n$ 作delta积分时，雅可比为1；其余参数的积分界限依次为 $0\le x_1\le1$ 、 $0\le x_2\le1-x_1$ ，直到 $0\le x_{n-1}\le1-x_1-\cdots-x_{n-2}$ 。这一区域的单纯形体积是 $1/(n-1)!$ ，所以 $\int dF_n=1$ 。测度中的阶乘来自分母的参数合并，图的对称因子仍按原来的图计算。

先看两点核。在第14节的在壳减除式中，内线动量平方取 $k^2=-z$ 。记 $a_x=x(1-x)$ ，动力学分母和减除点的分母便分别成为

D_2(z)=m^2-a_xz,\qquad D_0=m^2(1-a_x). \tag{20.9}

由于 $0\le a_x\le1/4$ ，减除分母满足 $D_0\ge3m^2/4>0$ ，对数的支割只须由动力学分母来确定。原减除式中的 $-a_x(k^2+m^2)$ 积分后给出 $-\alpha(m^2-z)/12$ ，因此在壳重整化后的自能为

\Pi^{(1)}(-z) =\frac{\alpha}{2}\int_0^1dx\,D_2(z) \ln\frac{D_2(z)-i0}{D_0} -\frac{\alpha}{12}(m^2-z). \tag{20.10}

其中已经包含有限减除项；把它放回传播子时，逆核仍是 $m^2-z-i0-\Pi(-z)$ 。

对于交换图两端的三点核，两条外腿在壳，中间一条腿的平方为 $-z$ 。第16节的参数质量为 $m^2+x_1x_3k_1^2+x_2x_3k_2^2+x_1x_2k_3^2$ ；依次将前两个腿平方置为 $-m^2$ 、第三个置为 $-z$ ，便得到

\begin{aligned} D_3(z)&=-x_1x_2z+[1-(x_1+x_2)x_3]m^2,\\ \frac{V_3(z)}g &=1-\frac{\alpha}{2}\int dF_3 \ln\frac{D_3(z)-i0}{m^2}+O(\alpha^2). \end{aligned} \tag{20.11}

对数分母中的 $m^2$ 仍由零外动量的耦合减除点决定。这里求值的 $V_3(z)$ 具有两个在壳腿，而三个外动量全零的顶角则用来定义 $g$ ；它们是同一个函数在不同运动学点上的取值。因此，改变外腿运动学以后，原先固定的减除项仍须保留。

四点函数的四个腿平方都取 $-m^2$ ，而每个箱图还保留两个相邻外动量之和的平方。沿用第17节有序首图 $1234$ 的标签，这两个量是 $(k_1+k_2)^2=-s$ 和 $(k_2+k_3)^2=(k_1+k_4)^2=-u$ 。四个单腿项的参数系数相加为 $(x_1+x_2)(x_3+x_4)$ ，于是它们与原来的质量项合并，给出

D_{1234} =m^2[1-(x_1+x_2)(x_3+x_4)] -x_1x_2s-x_3x_4u. \tag{20.12}

把两个不变量暂记为一般的自变量，定义

D_4(z,w) =-x_1x_2z-x_3x_4w +[1-(x_1+x_2)(x_3+x_4)]m^2. \tag{20.13}

便可把三个箱图的参数分母列在一起：

第17节环序	在壳参数分母
$1234$	$D_4(s,u)$
$1324$	$D_4(t,u)$
$1243$	$D_4(s,t)$

要将这个结果排成通道的循环和，只需对第一项交换参数对 $(x_1,x_2)\leftrightarrow(x_3,x_4)$ 。这一变换保持测度和质量项不变，雅可比绝对值为1，于是积分中的 $D_4(s,u)$ 可改写为 $D_4(u,s)$ 。三个箱图仍各计一次，它们的和为

V_4^{(1)}(s,t,u) =\frac{g^2\alpha}{6}\int dF_4 \left[ \frac1{D_4(s,t)-i0} +\frac1{D_4(t,u)-i0} +\frac1{D_4(u,s)-i0}\right]. \tag{20.14}

这里的系数 $g^2\alpha/6=g^4/[6(4\pi)^3]$ 来自第17节已求出的六维圈积分，每个固定外标签箱图的对称因子仍为1。这样，参数测度、环序和通道标签都已与前面的结果接上。

把这些核代入式（20.7），便得到任意非奇异在壳运动学的一圈振幅。不过，这时的答案仍包含几个参数积分。为了看清圈修正的能量和角度依赖，下面选取一个能将它们显式算出的极限。

高能固定角下的自能和三点顶角

令 $s,|t|,|u|\gg m^2$ ，同时固定 $t/s,u/s$ 并使它们离开零。由式（20.3）可见，这要求散射角离开前向和后向。此时各动力学分母只需保留关于 $m^2/s$ 的领先项，因而可略去 $D_2,D_3,D_4$ 中的质量项。定义在壳减除和耦合时所用的 $m$ 则继续作为对数的参照尺度；以下所求的正是原有质量理论在这一条件下的高能渐近式。

质量项略去以后，对数中将直接出现各个不变量。它们在物理区域内有不同的符号，因此先把费曼规定包含在记号中：

L_z=\operatorname{Log}\frac{-z-i0}{m^2}. \tag{20.15}

从 $s$ 的正虚部接近物理轴时， $-s$ 从下方接近负实轴，因此在物理固定角区域，这三个边界值分别为

L_s=\ln\frac{s}{m^2}-i\pi,\qquad L_t=\ln\frac{|t|}{m^2},\qquad L_u=\ln\frac{|u|}{m^2}. \tag{20.16}

对于负实数 $t$ 本身，如果从上方取边界值，则有 $\operatorname{Log}[(t+i0)/m^2]=\ln(|t|/m^2)+i\pi$ 。后面即使把两个对数写成比值的对数，也要保留这里分别规定的边界值，因为它们决定了振幅的虚部。

先计算自能。用 $D_2(s)\simeq-a_xs$ 代入式（20.10），将能量依赖与参数依赖分开，得到

\Pi^{(1)}(-s)\simeq -\frac{\alpha s}{2} \left[ L_s\int_0^1a_x\,dx +\int_0^1a_x\ln\frac{a_x}{1-a_x}\,dx \right] +\frac{\alpha s}{12}. \tag{20.17}

其中参数分母的对数已经在第14节式（14.44）中积分完毕：

\int_0^1a_x\ln(1-a_x)\,dx =-\frac{17}{18}+\frac{\pi}{2\sqrt3}. \tag{20.18}

余下的是分子所带的参数对数。利用 $x\leftrightarrow1-x$ 的对称性，将 $\ln a_x=\ln x+\ln(1-x)$ 的两项归并，再用 $\int_0^1x^r\ln x\,dx=-1/(r+1)^2$ 逐项积分，便有

\begin{aligned} \int_0^1a_x\ln a_x\,dx &=2\int_0^1(x-x^2)\ln x\,dx =2\left(-\frac14+\frac19\right)=-\frac5{18},\\ \int_0^1a_x\ln\frac{a_x}{1-a_x}\,dx &=\frac23-\frac{\pi}{2\sqrt3}. \end{aligned} \tag{20.19}

再用 $\int_0^1a_xdx=1/6$ 积分能量对数的系数，并把有限减除项合进去，常数部分成为 $6(2/3-\pi/(2\sqrt3))-1=3-\pi\sqrt3$ 。这样就得到了高能自能：

\Pi^{(1)}(-s)\simeq -\frac{\alpha s}{12}(L_s+3-\pi\sqrt3). \tag{20.20}

将它代回传播子时，先写成 $-s-\Pi(-s)=-s[1+\Pi(-s)/s]$ ，再对括号取倒数并保留至一阶，得到

\widetilde{\boldsymbol\Delta}(-s)\simeq -\frac1s \left[1+\frac{\alpha}{12}(L_s+3-\pi\sqrt3)\right]. \tag{20.21}

这里及以下用 $\simeq$ 同时表示一圈截阶和质量的领先项近似。自能经逆核展开后已化为对自由传播子的乘性修正，现在只需以同样精度求出两端的三点顶角。

三点函数中取 $D_3(s)\simeq-sx_1x_2$ ，对数就分解为 $L_s+\ln x_1+\ln x_2$ 。由于单纯形的 $x_1$ 边际测度是 $2(1-x_1)dx_1$ ，每个参数对数的积分都可化为一维积分，例如

\int dF_3\ln x_1 =2\int_0^1(1-x_1)\ln x_1\,dx_1 =2\left(-1+\frac14\right)=-\frac32. \tag{20.22}

由参数的交换对称性， $x_2$ 项给出相同结果；能量对数则乘以 $\int dF_3=1$ 。将这三项合起来，便得

\frac{V_3(s)}g\simeq1-\frac{\alpha}{2}(L_s-3). \tag{20.23}

式中的常数 $-3$ 来自两个参数对数的积分。参数边界上出现的 $\ln x_i$ 仍然可积，故在欧氏域中可以用这些对数控制领先质量极限，再沿同一个费曼解析继续取到物理值。至此，交换图所需的自能和三点核都已经算成显式函数，还剩四点箱图。

箱积分及其对数分支

箱图的参数分母含有两对参数乘积。按交错的参数对换元，可以先积掉两个变量，再对剩余积分中的比例参数求导，求出闭式。

先在欧氏不变量域取 $A=-s>0,B=-t>0$ ，使参数分母为正。无质量箱积分写成

J(A,B) =6\int_{x_i\ge0}\prod_{i=1}^4dx_i\, \frac{\delta(1-\sum_i x_i)}{Ax_1x_2+Bx_3x_4}. \tag{20.24}

将参数对 $(x_1,x_3)$ 的总量记为 $r$ ，另一对的总量就是 $1-r$ ；用 $z,y$ 分别表示各对内部的比例：

\begin{aligned} x_1&=rz,&x_3&=r(1-z),\\ x_2&=(1-r)y,&x_4&=(1-r)(1-y),\\ \left|\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(r,z,y)}\right| &=\left|\det\begin{pmatrix} z&r&0\\-y&0&1-r\\1-z&-r&0 \end{pmatrix}\right|=r(1-r). \end{aligned}

三个新变量都在 $[0,1]$ 内。分母变成 $r(1-r)[Azy+B(1-z)(1-y)]$ ，消去雅可比中的同一因子后， $r$ 积分给1。剩余分母对 $y$ 为一次式，故

\begin{aligned} \frac{J(A,B)}6 &=\int_0^1dz\int_0^1dy\, \frac1{Azy+B(1-z)(1-y)}\\ &=\int_0^1dz\, \frac{\ln[Az/(B(1-z))]}{(A+B)z-B}. \end{aligned}

在 $z=B/(A+B)$ 处分子分母同时为零，其比值的极限为 $(A+B)/(AB)$ ；两端的对数也可积。令 $a=A/B$ ，把对数中的比值本身换成变量 $w=az/(1-z)$ ，则

\begin{aligned} z&=\frac{w}{a+w},&dz&=\frac{a\,dw}{(a+w)^2},\\ \frac{J(A,B)}6&=\frac{K(a)}{A+B},& K(a)&=\int_0^\infty dw\,\ln w \left(\frac1{w-1}-\frac1{w+a}\right). \end{aligned}

括号中的差在无穷远按 $w^{-2}$ 衰减， $w=1$ 处由 $\ln w$ 消去极点。对正参数 $a$ 求导后令 $w=av$ ，有

\begin{aligned} K'(a) &=\int_0^\infty\frac{\ln w}{(w+a)^2}\,dw =\frac1a\int_0^\infty\frac{\ln a+\ln v}{(1+v)^2}\,dv\\ &=\frac{\ln a}{a},\qquad K(a)=\frac12\ln^2a+K(1). \end{aligned}

其中 $\int_0^\infty dv/(1+v)^2=1$ ；另一积分在 $v\mapsto1/v$ 下变号，因而为零。求导的被积函数在 $a$ 的任意正紧区间内受 $|\ln w|/(w+a_{\min})^2$ 控制，允许交换求导和积分。

最后求积分常数。把 $K(1)$ 在 $w=1$ 处分开，令上半段的 $w=1/v$ ，两段就成为相同积分。展开几何级数并逐项积分，得到

\begin{aligned} K(1) &=-4\int_0^1\frac{\ln w}{1-w^2}\,dw =4\sum_{n=0}^\infty\int_0^1(-\ln w)w^{2n}\,dw\\ &=4\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2} =\frac{\pi^2}{2}. \end{aligned}

所用的平方倒数和也可由傅里叶系数核对： $x$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上的正弦系数为 $b_n=2(-1)^{n+1}/n$ ，Parseval 等式给出

\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =4\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2},\qquad \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n+1)^2} =\left(1-\frac14\right)\frac{\pi^2}{6} =\frac{\pi^2}{8}.

代回 $J=6K/(A+B)$ ，便得到

J(A,B)=\frac3{A+B} \left[\pi^2+\ln^2\frac AB\right]. \tag{20.25}

例如两个不变量相等时， $J(A,A)=3\pi^2/(2A)>0$ ；交换 $A,B$ ，闭式保持不变，而将两者同时放大，它按共同尺度的逆一次幂缩小。这些性质也可直接从参数积分看出，并与四点函数的质量维数 $-2$ 相符。

有了有限的闭式，还可以说明欧氏域中为何能把质量取到零。质量项的系数满足 $b(x)=1-(x_1+x_2)(x_3+x_4)\ge3/4$ ，从而 $0<1/[D^{(0)}+m^2b]\le1/D^{(0)}$ 。式（20.25）表明右边在参数区域内可积，因此支配收敛允许在积分内取领先质量极限。所得函数再按费曼规定延拓，就给出物理不变量下的箱图。

这一延拓也确定了平方对数的分支。在复域中，将 $\ln(A/B)$ 理解为 $\operatorname{Log}A-\operatorname{Log}B$ ，然后令 $A=-s-i0,B=-t-i0$ 。最后，在领先质量阶利用 $s+t+u=0$ ，便得到物理箱积分的两种形式：

\begin{aligned} \int\frac{dF_4}{-s x_1x_2-t x_3x_4-i0} &=-\frac3{s+t}\left[\pi^2+(L_s-L_t)^2\right]\\ &=\frac3u\left[\pi^2+(L_s-L_t)^2\right]. \end{aligned} \tag{20.26}

例如 $L_s-L_t=\ln(s/|t|)-i\pi$ ，而 $L_t-L_u=\ln(|t|/|u|)$ ；前者有虚部，后者为实数。各通道的平方对数都由这样的对数差来确定。如此便可将欧氏域得到的闭式用于物理散射，同时保留正确的虚部。

把三个核合起来

现在所有参数积分都已完成，可以按最初的分块式组装振幅。先处理一个交换通道：由式（20.23），两个三点顶角相乘给出 $V_3(s)^2/g^2\simeq1-\alpha(L_s-3)$ ；再乘式（20.21），保留至 $O(\alpha)$ ，得到

\frac{V_3(s)^2 \widetilde{\boldsymbol\Delta}(-s)}{g^2} \simeq-\frac1s \left[ 1-\frac{11\alpha}{12}L_s +\frac{\alpha}{12}(39-\pi\sqrt3) \right]. \tag{20.27}

对数系数中的 $-1+1/12=-11/12$ ，分别来自两个顶角和内线自能；常数项也按同样方式相加，成为 $3+(3-\pi\sqrt3)/12$ 。于是交换图的全部一圈修正已经合在一个括号内。

为了把箱图接到这个结果上，可按最终出现的 $1/s$ 、 $1/t$ 、 $1/u$ 分母将四点核分为三组。其中，与 $1/s$ 交换项同组的是 $D_4(t,u)$ ，因为式（20.26）将它的积分写成

\frac{\alpha}{6}\int \frac{dF_4}{D_4(t,u)-i0} \simeq\frac{\alpha}{2s} \left[\pi^2+(L_t-L_u)^2\right]. \tag{20.28}

把这一项加到式（20.27）上，平方对数与常数分别归并，括号中的常数变为 $\alpha(39-\pi\sqrt3-6\pi^2)/12$ 。为简化最后的表达式，定义

c=\frac{6\pi^2+\pi\sqrt3-39}{11} =2.3326385908\ldots, \tag{20.29}

再加上另外两个通道的循环项，所得振幅为

\begin{aligned} \mathcal T^{[1]}_{\rm hard} &=g^2[F(s,t,u)+F(t,u,s)+F(u,s,t)],\\ F(s,t,u) &=-\frac1s\left\{ 1-\frac{11\alpha}{12}(L_s+c) -\frac{\alpha}{2}(L_t-L_u)^2 \right\}. \end{aligned} \tag{20.30}

每个 $F$ 在最后两个变量互换时保持不变，所以三个循环项的和对全部三道置换对称，正好满足相同实标量的交换对称性。每一项又都带有一个逆不变量，因而 $[\mathcal T]=-2$ 。圈修正保留了树振幅的对称性和量纲，同时在其能量与角度依赖中引入了对数及平方对数。

这个闭式给出固定角下的质量领先项及一圈修正。取 $\alpha\ll1$ 、 $\alpha|\ln(s/m^2)|\ll1$ ，高阶耦合项受到抑制；质量修正按 $m^2/s$ 的幂及其对数趋零。

一个直角散射的例子

作为补充，考察 $\theta=\pi/2$ 的高能散射，看看这些对数怎样进入可测的散射率。这时 $t=u=-s/2$ 。记 $L=\ln(s/m^2)$ ，三个边界对数便是 $L_s=L-i\pi$ 、 $L_t=L_u=L-\ln2$ 。由于后两者相等， $s$ 组中的平方对数为零；另外两组相同，其中的平方对数可展开为

(L-\ln2-L+i\pi)^2 =\ln^22-\pi^2-2i\pi\ln2. \tag{20.31}

把各项代入三个 $F$ ，树级部分的系数相加为 $-1+2+2=3$ ，能量对数的系数相加为 $11/12-44/12=-11/4$ 。再将实部和虚部分开，便可写成

\begin{aligned} \mathcal T^{[1]}_{\rm hard}\big|_{\pi/2} &=\frac{g^2}{s} \left[3+\alpha R_{90}(L) +i\pi\alpha\left(4\ln2-\frac{11}{12}\right)\right],\\ R_{90}(L) &=-\frac{11}{4}(L+c) +\frac{11}{3}\ln2-2\ln^22+2\pi^2. \end{aligned} \tag{20.32}

这里的虚部从一圈开始出现，来自物理 $s$ 道的费曼边界及箱图中的对数差。它在振幅中与实部一同存在，但进入这一阶截面的方式，还要由振幅与共轭的乘积来确定。

在同一能量和角度比较圈修正前后的微分截面，相空间和通量因子会相消。树振幅为实数 $3g^2/s$ ，因此只需将 $\mathcal T^{(0)}+\delta\mathcal T$ 与其共轭相乘，并保留至一阶，得到

\left. \frac{d\sigma^{[1]}}{d\sigma^{(0)}}\right|_{\pi/2} =1+\frac{2\alpha}{3}R_{90}(L)+O(\alpha^2) \tag{20.33}

这里仍取相同的领先质量近似。一圈虚部的平方属于相对 $O(\alpha^2)$ ，所以当前阶数的截面修正由实部与树振幅的干涉给出。振幅中的对数依赖由此转化为散射率随能量和角度的变化。

← 第 19 节 · 章节地图 · 第 21 节 →