Srednicki §10 散射振幅与费曼规则

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对生成泛函 $Z[J]=e^{iW[J]}$ 求源导数，得到相互作用场的关联函数；再用LSZ公式约去外部传播线，就得到散射振幅。以两个粒子入射、两个粒子出射的最低阶过程为例，源微分产生三个树图，顶点积分确定内线动量，动量空间的费曼规则也随之得到。

精确传播子与连通关联函数

先考虑两个场的时间序乘积。相互作用会修正其真空期望值，为此用粗体定义精确传播子：

G_2(x_1,x_2)\equiv \langle0|\mathrm T\varphi(x_1)\varphi(x_2)|0\rangle =\frac1i\boldsymbol\Delta(x_1-x_2). \tag{10.1}

普通 $\Delta$ 仍表示上一节图中的自由核。要计算精确核，只须对完整生成泛函求两次源导数；简写为

\delta_j=\frac1i\frac{\delta}{\delta J(x_j)},\qquad \mathcal F[J]=iW[J],\qquad Z[J]=e^{\mathcal F[J]}. \tag{10.2}

这里 $\delta_j$ 就是此前的 $\mathscr D_{x_j}$ 。求导时先保留外源。第一次用指数函数的求导法则，第二次再对所得两因子的乘积求导：

\begin{aligned} \delta_2Z&=(\delta_2\mathcal F)Z,\\ \delta_1\delta_2Z &=\big[\delta_1\delta_2\mathcal F +(\delta_1\mathcal F)(\delta_2\mathcal F)\big]Z. \end{aligned} \tag{10.3}

然后令外源为零。此时 $Z=1$ ，而上一节选定的零平均值条件给出 $\delta_j\mathcal F|_0=\langle\varphi(x_j)\rangle=0$ ，乘积项便消失，只留下

G_2(x_1,x_2) =\left.\delta_1\delta_2(iW)\right|_{J=0}. \tag{10.4}

这个微分过程在图上十分直接：一次 $\delta_j$ 移去一个源，把相连线端固定在 $x_j$ 。最低阶两点图只有一条自由线，两个导数分配到两端有两种方式，恰好抵消源图的 $S=2$ 。于是 $\boldsymbol\Delta=\Delta+O(g^2)$ ；两点圈图与反项给出其二阶修正，第14节将计算这些贡献。

四点函数则还含有分成两个两点函数的项。为把这种结构数清楚，可以继续使用同一乘积法则：每一项将外点标签分成若干块，同一块的导数全作用在同一份 $\mathcal F$ 上。设 $n$ 次导数已经按这些集合分拆列出，再作用第 $n+1$ 个导数。如果它打在 $e^{\mathcal F}$ 上，就产生一个单独的新块；如果打在已有某块上，就把新标签并入该块。任何新分拆都恰好属于其中一种情形，因此

\delta_1\cdots\delta_n Z =Z\sum_{\pi} \prod_{B\in\pi}\left(\prod_{j\in B}\delta_j\right)\mathcal F, \tag{10.5}

其中 $\pi$ 遍历 $\{1,\ldots,n\}$ 的不重复集合分拆，每种分拆的系数都是1。再使用一点函数为零的条件，所有含单元素块的项都消失；四点函数剩下一整块及三种两两分拆，即

\begin{aligned} G_4(1,2,3,4) ={}&G_{4,C}(1,2,3,4) +G_2(1,2)G_2(3,4)\\ &+G_2(1,3)G_2(2,4) +G_2(1,4)G_2(2,3), \end{aligned} \tag{10.6}

第一项把全部四个点接在同一连通部分中，后三项则分别是两个精确二点函数的乘积。将所有外点导数作用在同一份连通泛函上的结果，定义为

G_{E,C}(x_1,\ldots,x_E) =\left.\delta_1\cdots\delta_E(iW)\right|_{J=0}. \tag{10.7}

下标 $C$ 表示连通（connected）。上一节的 $iW$ 是连通图之和，求导把其中的源叶换成固定外点，所以它生成的正是这里的连通关联函数。相互作用下，三点函数一般也不为零：第8节奇数点的消失来自自由高斯的两两配对，立方相互作用则允许奇数个外点接成连通图。

非连通项与未散射的粒子

现在把这些关联函数用于散射。令入射动量为 $k_1,k_2$ ，出射动量为 $k_1',k_2'$ ，都取正能质量壳。第5节的LSZ公式给每条外腿一个约化因子 $+iD_x$ ，其中 $D_x=-\partial_x^2+m^2$ 。若先取四腿连通部分，约化式为

\begin{aligned} S_{fi}^{\rm conn} ={}&i^4\int d^4x_1\,d^4x_2\,d^4x_1'\,d^4x_2'\, e^{i(k_1x_1+k_2x_2-k_1'x_1'-k_2'x_2')}\\ &\hspace{2em}\times D_1D_2D_{1'}D_{2'}\, G_{4,C}(x_1,x_2,x_1',x_2'). \end{aligned} \tag{10.8}

这里继续使用第5节建立的波包、渐近态和单位单粒子重叠条件。选择连通部分的物理意义，可以从其余三种分拆看出。

例如取 $G_2(x_1,x_1')G_2(x_2,x_2')$ ，两组坐标各在自己的因子中，约化积分也随之分开。先将能量与三动量都保留为独立的傅里叶变量，用平移不变核 $F(x-x')$ 表示每组坐标的依赖。把其中一组换成相对坐标与中心坐标，令

r=x-x',\qquad R=\frac{x+x'}2,\qquad x=R+\frac r2,\quad x'=R-\frac r2. \tag{10.9}

每个四矢量分量的变换矩阵为 $\left(\begin{smallmatrix}1&1/2\\1&-1/2\end{smallmatrix}\right)$ ，行列式为 $-1$ 。四组分量合起来的绝对Jacobian仍为1，因此 $d^4x\,d^4x'=d^4R\,d^4r$ 。相位随之变为 $(k-k')R+\bar kr$ ，其中 $\bar k=(k+k')/2$ ，于是

\begin{aligned} \int d^4x\,d^4x'\,e^{i(kx-k'x')}F(x-x') &=\int d^4R\,e^{i(k-k')R} \int d^4r\,e^{i\bar kr}F(r)\\ &=(2\pi)^4\delta^4(k-k')\,\widetilde F(-\bar k). \end{aligned} \tag{10.10}

按式（8.10）的傅里叶约定，右边出现 $-\bar k$ 。实标量时间序二点核满足 $F(r)=F(-r)$ ，再令 $r\to-r$ ，也可将它写成 $\widetilde F(\bar k)$ 。

对两组坐标分别作这一步，便得到

(2\pi)^4\delta^4(k_1-k_1') (2\pi)^4\delta^4(k_2-k_2') \,\widetilde F(\bar k_{11'})\widetilde F(\bar k_{22'}). \tag{10.11}

两份delta各自要求一对入、出动量相等，说明两个粒子保持了原来的动量，这一分拆因而属于未散射部分。另一种入出配对只把两个相同的出射粒子交换。若改为将两个入射腿相配，就出现 $\delta^4(k_1+k_2)$ ；正能质量壳上 $k_1^0+k_2^0\ge2m>0$ ，所以该项没有支撑。

前面的傅里叶计算显示了各对动量相等的支撑。未散射内积的系数由第5节的波包约化确定：先依次取渐近极限，再提取在壳动量核，得到

\begin{aligned} N_{a'b}&=(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf k_b}\, \delta^3(\mathbf k_a'-\mathbf k_b), \\ S_{fi}&=N_{1'1}N_{2'2}+N_{1'2}N_{2'1}+S_{fi}^{\rm conn}. \end{aligned} \tag{10.12}

对本节相同稳定粒子的 $2\to2$ 过程，两个未散射内积以外的部分就是 $S_{fi}^{\rm conn}$ 。外粒子数更多时，还可能有其他分拆，例如 $3\to3$ 中一粒子旁观，另外两粒子散射。这些过程也属于完整 $S$ ；连通振幅对应的是将全部指定外腿连在一起的过程。以下便计算这样的四腿振幅。

四个源怎样给出三个树图

最低阶连通四点来自上一节的四源树图：两个三价点由一条内线相连，另有四条线各接一个源。对它求四次源导数，共有 $4!=24$ 种外点标记方式。按两个顶点各接哪一对外点来分，只有三种不重复的无序分组：

\{1,2\}\mid\{1',2'\},\qquad \{1,1'\}\mid\{2,2'\},\qquad \{1,2'\}\mid\{2,1'\}. \tag{10.13}

在每种分组内，交换两个内部顶点，以及分别交换每端的两个外点，共有 $2\cdot2!\cdot2!=8$ 种分配给出同一积分。这八种分配抵消原来带源图的 $S=8$ ，所以每个固定外腿图的系数为1。

对于一般三价树图，这个结论也可从连接关系看出。任取一个内部顶点，从它伸出的三个分支各选一个外叶，这个顶点就是三叶之间路径的共同交点。保持每个外叶不动的图置换，也必须保持这些路径及其交点不动，因而全部内部顶点都被固定。树中又没有自环或平行线构成的圈，也就不再有线的交换，所以 $S=1$ 。

下图将三种连接画在一起，并标出随后傅里叶变换所用的动量。端点 $1,2,1',2'$ 是外部场位置，内部顶点记为 $y,z$ ；箭头表示动量方向，入射流入顶点，出射流出顶点。

s 道树图，内线传递两个入射粒子的总动量 — s 道：两个入射粒子接在同一顶点。

t 道树图，内线动量为第一对入出动量之差 — t 道：1 与 1′ 接在同一顶点。

三条内线的动量分别为 $q_s=k_1+k_2$ 、 $q_t=k_1-k_1'$ 、 $q_u=k_1-k_2'$ 。图中的连接关系决定散射道；移动外点的位置或弯曲线条不改变图的贡献。

把每条线换成上一节的坐标空间核 $C=\Delta/i$ ，对两个内部顶点积分，三个分组的贡献便为

\begin{aligned} G_{4,C}(1,2,1',2') ={}&(ig)^2\int d^4y\,d^4z\,C(y-z)\\ &\times\big[ C(x_1-y)C(x_2-y)C(x_1'-z)C(x_2'-z)\\ &\quad+C(x_1-y)C(x_1'-y)C(x_2-z)C(x_2'-z)\\ &\quad+C(x_1-y)C(x_2'-y)C(x_2-z)C(x_1'-z) \big]+O(g^4). \end{aligned} \tag{10.14}

每项共有五条传播线，改写为 $\Delta$ 时就带有 $(1/i)^5$ 。由于 $Z_g-1=O(g^2)$ ，当前两个顶点各取 $ig$ 即可；顶点修正、圈图与二次反项都从四阶进入。

逐条截去外部传播线

关联函数已经写出，接着将式（10.14）代入式（10.8）。每个外坐标只出现在一条传播线中，约化算符便只作用于这条线。利用传播核的Green方程，有

+iD_x\,C(x-y) =+iD_x\,\frac{\Delta(x-y)}i =\delta^4(x-y). \tag{10.15}

这里使用带Feynman边界条件的 $D\Delta=\delta^4$ 。

外坐标积分现在由delta完成。以第一项为例，四次积分依次给出 $e^{ik_1y}$ 、 $e^{ik_2y}$ 、 $e^{-ik_1'z}$ 、 $e^{-ik_2'z}$ ，留下两个顶点和相连的一条内部传播线。把LSZ、顶点与五条原传播线的相位合在一起，有

i^4(ig)^2\left(\frac1i\right)^5 =(ig)^2\frac1i=ig^2. \tag{10.16}

其余两种分组的外坐标积分同样完成，只在两顶点所带的外动量组合上不同。把三项列在一起，得到

\begin{aligned} S_{fi}^{\rm conn} ={}&ig^2\int d^4y\,d^4z\,\Delta(y-z)\\ &\times\big[ e^{i[(k_1+k_2)y-(k_1'+k_2')z]}\\ &\quad+e^{i[(k_1-k_1')y+(k_2-k_2')z]}\\ &\quad+e^{i[(k_1-k_2')y+(k_2-k_1')z]} \big]+O(g^4). \end{aligned} \tag{10.17}

外线的因子成为1，正是 $+iD$ 与 $\Delta/i$ 相消的结果。第5节的约化已经采用相对论态的 $(2\pi)^3 2\omega$ 归一化，因此这里不再出现另一套 $1/\sqrt{2\omega}$ 因子。经过约化，计算只涉及内部传播和顶点之间的动量传递。

作完顶点积分并定义振幅

三个积分只有相位中的动量组合不同，可以统一计算。把两顶点上的有号外动量和记为 $a,b$ ：第一道为 $a=k_1+k_2$ 、 $b=-k_1'-k_2'$ ，第二道为 $a=k_1-k_1'$ 、 $b=k_2-k_2'$ ，第三道为 $a=k_1-k_2'$ 、 $b=k_2-k_1'$ 。于是只须求

\begin{aligned} I(a,b) &=\int d^4y\,d^4z\,e^{iay+ibz}\Delta(y-z)\\ &=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac1{k^2+m^2-i0} \left[\int d^4y\,e^{i(a+k)y}\right] \left[\int d^4z\,e^{i(b-k)z}\right]\\ &=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{(2\pi)^4\delta^4(a+k)(2\pi)^4\delta^4(b-k)} {k^2+m^2-i0}\\ &=(2\pi)^4\delta^4(a+b)\, \frac1{a^2+m^2-i0}. \end{aligned} \tag{10.18}

第二行代入内部传播子的傅里叶表示以后，顶点坐标只出现在相位中，各自产生一份动量delta。第一份令 $k=-a$ ，并用它的 $(2\pi)^4$ 消去动量积分测度中的分母；第二份留下总体守恒delta和一份 $(2\pi)^4$ 。传播核的分母依赖 $k^2$ ，所以也可按图中箭头的方向，将内线动量记为 $q=a=-k$ ，这个反向变量变换的绝对Jacobian为1。

三道的 $a+b=k_1+k_2-k_1'-k_2'$ 相同，故都带同一总体守恒因子：

\begin{aligned} S_{fi}^{\rm conn} ={}&(2\pi)^4\delta^4(k_1+k_2-k_1'-k_2')\,ig^2\\ &\times\left[ \frac1{q_s^2+m^2-i0} +\frac1{q_t^2+m^2-i0} +\frac1{q_u^2+m^2-i0} \right]+O(g^4). \end{aligned} \tag{10.19}

总体delta是平移不变性所要求的动量守恒，过程的其余信息都在它的系数中。将这个因子和一个 $i$ 提出，定义散射振幅（scattering amplitude） $\mathcal T$ ：

\begin{aligned} S_{fi}^{\rm conn} &=(2\pi)^4\delta^4(k_{\rm in}-k_{\rm out})\,i\mathcal T,\\ \mathcal T_{\rm tree} &=g^2\sum_{r=s,t,u}\frac1{q_r^2+m^2-i0}. \end{aligned} \tag{10.20}

其中 $k_{\rm in}$ 、 $k_{\rm out}$ 分别是全部入射和出射粒子的总四动量；时间排序仍用 $\mathrm T$ 表示。振幅 $\mathcal T$ 的整体号承接本节的传播子及相互作用约定，由式（10.16）中的相位乘积确定。

为了看出三道与散射运动学的关系，引入Mandelstam变量（Mandelstam variables） $s=-q_s^2$ 、 $t=-q_t^2$ 、 $u=-q_u^2$ 。在 $(-+++)$ 度规下，振幅因而可写为

\mathcal T_{\rm tree} =-g^2\left[ \frac1{s-m^2+i0} +\frac1{t-m^2+i0} +\frac1{u-m^2+i0} \right]. \tag{10.21}

整体负号来自每个传播子分母中提出的一份负号，相互作用的约定保持不变。以质心系为例，入射三动量取为 $\pm\mathbf p$ ，出射三动量取为 $\pm\mathbf p'$ ，其中 $|\mathbf p'|=|\mathbf p|=p$ 。四个粒子的能量均为 $E=\sqrt{m^2+p^2}$ ，散射角由 $\mathbf p\cdot\mathbf p'=p^2\cos\theta$ 确定。把这些动量代入三个四矢量平方，得到

\begin{aligned} s&=4(m^2+p^2),& t&=-2p^2(1-\cos\theta),\\ u&=-2p^2(1+\cos\theta),& s+t+u&=4m^2. \end{aligned} \tag{10.22}

交换两个出射粒子，将 $\theta\to\pi-\theta$ ，也就是 $t\leftrightarrow u$ ，而三道之和保持不变，符合相同粒子的交换对称性。对 $m>0$ 的物理弹性区， $s\ge4m^2$ 、 $t,u\le0$ ，三个内部单粒子极点都在该区域之外。再取阈值极限 $p\to0$ ，振幅为 $\mathcal T_{\rm tree}=5g^2/(3m^2)$ ：其中 $s$ 道给出 $-g^2/(3m^2)$ ，另外两道各给 $g^2/m^2$ 。这个简单极限同时保留了三种交换途径的相对号及总的质量量纲。

从顶点守恒得到圈积分测度

前面的两个顶点各产生一份四维delta，一份消去内线动量，另一份表示整个过程的四动量守恒。推广到一般连通图时，也可以先按这个办法处理所有顶点。考虑至少含一个相互作用顶点的图，设其内部线数为 $I$ ，内部顶点数为 $V$ 。给每条内线任选方向并赋予四动量 $q_e$ ，则每个顶点的坐标积分给出

\int d^4x_v\, \exp\!\left[i x_v\left(p_v+\sum_e \mathsf B_{ve}q_e\right)\right] =(2\pi)^4\delta^4\!\left(p_v+\sum_e\mathsf B_{ve}q_e\right). \tag{10.23}

这里 $p_v$ 是进入该顶点的有号外动量之和，出射动量取负号。连接矩阵 $\mathsf B$ 在内线起点取 $-1$ ，在终点取 $+1$ ，其余为零；若选用相反的傅里叶动量方向，同时令 $q_e\to-q_e$ ，所得关系不变。把全部顶点的约束相加，一条内线总是出现两次且符号相反，内部动量于是全部抵消，留下 $\sum_vp_v=k_{\rm in}-k_{\rm out}=0$ 这一总体约束。

其余 $V-1$ 个约束的独立性，可以用生成树直接说明。在连通图中选一棵连接全部顶点的树，它含有 $V-1$ 条线。先将其余内线动量作为自由变量，再从树的一片叶子开始消元：该叶子只有一条尚未确定的树线，顶点守恒以系数 $+1$ 或 $-1$ 唯一解出它的四动量。删去这个叶子，便可对新的叶子重复同一步骤，直到只剩根点。这样恰好确定全部 $V-1$ 条树线，根点方程则是总体守恒；各次消元的绝对Jacobian均为1，所以不再产生额外的行列式。

每条非树内线与树上连接其两端的唯一路径组成一个独立圈。把这些非树线的动量作为圈动量，尚未被守恒确定的四动量数便为

L=I-V+1. \tag{10.24}

这里 $L$ 指独立圈数。复杂图中可能画出更多闭合路径，但其他路径可由这些独立圈组合得到，不会增加独立积分变量。树图的 $L=0$ ，因此所有内线动量都已由外动量确定。

积分测度也随消元一同确定。每条内线最初的傅里叶变换带有 $d^4q_e/(2\pi)^4$ ，每个顶点则带 $(2\pi)^4\delta^4$ 。用 $V-1$ 份delta依次积掉树线动量，每次恰好消去一组 $(2\pi)^4$ ，最终剩下

(2\pi)^4\delta^4(k_{\rm in}-k_{\rm out}) \prod_{\alpha=1}^{L}\int\frac{d^4\ell_\alpha}{(2\pi)^4}. \tag{10.25}

圈积分测度和树图内线动量的唯一确定，都由这一顶点消元过程得到。实标量传播子的分母是动量的偶函数，反转任一内线箭头并同时换变量也不会改变图值；有调节器时，调节因子须随变量一起变换。

动量空间的费曼规则

现在可以将这些计算整理成动量空间费曼规则。先为给定的外粒子标签列出所有拓扑不等价的连通图，每条外线接到相互作用顶点上；在本节模型中，普通顶点都是三价的。再标上外线的物理入、出动量，为内线选定方向，并按刚才的方法施加顶点守恒。完成这些步骤以后，线和顶点各提供一个局部因子：

\begin{aligned} \text{已约化外线}:&\quad 1,\\ \text{内线 }q:&\quad \frac{-i}{q^2+m^2-i0},\\ \text{三价顶点}:&\quad iZ_g g,\\ \text{二价反项}:&\quad -i(Aq^2+Bm^2). \end{aligned} \tag{10.26}

外线因子1来自式（10.15）的约化，内部传播因子和三价顶点则分别来自 $\Delta/i$ 的傅里叶变换与坐标空间顶点。二价反项已在式（9.45）中求出，其两侧只有同一四动量流过。由于 $A,B=O(g^2)$ ，插入这些反项时，也必须把它们自身的阶数计入所要计算的总阶数。

将内部动量约束解出，再乘上各线及顶点的因子，每幅图对振幅的贡献为

\begin{aligned} (i\mathcal T)_G ={}&\frac1{S_G^{\rm fixed}} \left[\prod_{\alpha=1}^{L} \int\frac{d^4\ell_\alpha}{(2\pi)^4}\right] \prod_{e=1}^{I}\frac{-i}{q_e^2+m^2-i0}\\ &\times \prod_{v\ {\rm cubic}}iZ_g g \prod_{w\ {\rm ct}}[-i(Aq_w^2+Bm^2)]. \end{aligned} \tag{10.27}

总体守恒delta已经依照振幅的定义提出。各条内线的 $q_e$ 由外动量和独立圈动量 $\ell_\alpha$ 线性组成，因此只须对剩余圈动量积分。将给定阶数的全部图相加，得到该阶的 $i\mathcal T$ ，再除以整体的 $i$ ，便是 $\mathcal T$ 。

系数 $S_G^{\rm fixed}$ 要在保持全部外标签不动的条件下计算，允许的交换只涉及相同内部顶点、内部线及自环端点。上一节积分源叶的交换因子已经由源导数处理；这里的树图有 $S_G^{\rm fixed}=1$ ，圈图则还可能保留内部对称性。例如固定双线泡的两端后，两条内部线仍可互换，故 $S^{\rm fixed}=2$ ，而相应积分源图的因子为 $S=4$ 。将这个泡插入一幅已区别左右两端的图中，仍应保留它的 $1/2$ 。

还需要按目标阶数决定画哪些图。对于纯三价连通图，场槽的计数给 $3V=2I+E$ ，独立圈数为 $L=I-V+1$ ，消去内部线数就有

V=E+2L-2. \tag{10.28}

固定外腿数 $E$ 后，每添一个圈都要增加两个三价顶点。因此，有树图的过程从 $g^{E-2}$ 阶开始，下一圈通常进入 $g^E$ 阶；本节 $2\to2$ 过程的树阶为 $g^2$ ，一圈及相应反项为 $g^4$ 。这一计数确定给定阶数需要纳入的图。

图规则还应保持振幅的质量量纲。若有 $V_3$ 个三价顶点和 $V_2$ 个二价反项，计数关系变为 $3V_3+2V_2=2I+E$ ，圈数为 $L=I-V_3-V_2+1$ 。四维中一个圈测度的维数为4，内部传播子的维数为 $-2$ ，三价顶点为1，二价顶点为2，所以

[\mathcal T] =4L-2I+V_3+2V_2 =4-E. \tag{10.29}

四腿振幅因而无量纲，树级结果中的 $g^2/(q^2+m^2)$ 正具有这一性质。

外线因子1对应物理质量和单位单粒子重叠。圈阶计算将自能与反项组合，使精确传播子在物理质量处具有单位留数，然后取LSZ极限。自能及其归一化将在第14节具体计算。

振幅由各道的相干叠加给出。下一节将把它换成可测量的截面和衰变率。

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