Srednicki §7 谐振子的路径积分

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谐振子的作用量是二次型，加入线性外力以后，路径积分仍可通过完成平方求出。由此得到外源的生成泛函，再对外源求导，便得到任意多个位置算符的时间序关联函数。

加入外源并积掉动量

考虑谐振子的哈密顿量

H=\frac{P^2}{2m}+\frac12m\omega^2Q^2, \qquad [Q,P]=i,\qquad m>0,\quad\omega>0. \tag{7.1}

先取 $\hbar=1$ 。将外源 $f(t)$ 与位置耦合，哈密顿量便增加 $-f(t)Q$ ，因而作用量中的对应项为 $+f(t)q(t)$ 。我们所求的是外力作用前后都处在基态的振幅，所以沿用上一节的基态边界处方。记 $\alpha=1-i\epsilon_0$ ，其中 $\epsilon_0>0$ ，真空生成泛函写为

Z[f]=\mathcal N_{\epsilon_0} \int\mathcal Dp\,\mathcal Dq\, \exp\!\left\{i\int dt\left[ p\dot q-\alpha\left(\frac{p^2}{2m} +\frac12m\omega^2q^2\right)+fq\right]\right\}. \tag{7.2}

时间积分从 $-\infty$ 延伸到 $+\infty$ ，按式（6.38）所规定的长时间极限理解；外源先取为光滑且仅在有限时间内非零，使两端的长时间演化负责选择基态。常数 $\mathcal N_{\epsilon_0}$ 由 $Z[0]=1$ 确定。谐振子的基态能量为 $\omega/2$ ，无源演化本来还带有相应能量相位；除以同一无源振幅后，这个相位和端点重叠常数一并消去，剩下的 $Z[f]$ 才只反映外力的作用。

动量仍只出现在二次式中，可以先逐个时间片完成平方：

p\dot q-\frac{\alpha p^2}{2m} =-\frac{\alpha}{2m} \left(p-\frac{m\dot q}{\alpha}\right)^2 +\frac{m\dot q^2}{2\alpha}. \tag{7.3}

第一项用第6节的高斯积分处理，每段给出 $\sqrt{m/(2\pi i\alpha\delta t)}$ 。余下的速度项与势能、外源项共同组成位置路径的作用量：

Z[f]=\mathcal N'_{\epsilon_0}\int\mathcal Dq\,e^{iS_{\epsilon_0}[q,f]}, \qquad S_{\epsilon_0}[q,f]=\int dt\left[ \frac{m}{2\alpha}\dot q^2 -\frac{\alpha m\omega^2}{2}q^2+fq\right]. \tag{7.4}

动量积分产生的常数已收入归一化测度。若只保留决定收敛方向的一阶虚部，可使用展开 $1/(1-i\epsilon_0)=1+i\epsilon_0+O(\epsilon_0^2)$ 。由上式可见，动能和势能在 $S_{\epsilon_0}$ 中的虚部都为正，进入 $e^{iS_{\epsilon_0}}$ 后都给出衰减。以下令 $m=1$ 以简化记号；恢复质量时，无源二次作用量整体乘 $m$ ，二点位置关联则带有 $m^{-1}$ 。

在频域完成平方

位置积分的困难在于时间导数把相邻时刻的变量联系起来。对时间平移不变的二次作用量，傅里叶变换可以把这部分关系对角化，使每个频率单独进入二次核。定义傅里叶变换为

\widetilde q(E)=\int dt\,e^{iEt}q(t), \qquad q(t)=\int\frac{dE}{2\pi}\,e^{-iEt}\widetilde q(E), \tag{7.5}

外源 $f$ 也作同一变换。实路径满足 $\widetilde q(-E)=\widetilde q(E)^*$ ，实外源也有相同关系。可先在有限区间用实的正弦、余弦模式积分，再取连续频率极限。变换产生的常数Jacobian与外源无关，在零源归一化中消去。

把两份傅里叶积分代入作用量，每次时间微分带来 $-iE$ ，两次微分便给出 $-EE'$ 。外源项再通过交换哑变量写成对称形式，就有

\begin{aligned} S_{\epsilon_0} =\frac12\int dt\int\frac{dE\,dE'}{(2\pi)^2} e^{-i(E+E')t}\bigg[ &\left(-\frac{EE'}{\alpha}-\alpha\omega^2\right) \widetilde q(E)\widetilde q(E')\\ &+\widetilde f(E)\widetilde q(E') +\widetilde f(E')\widetilde q(E) \bigg]. \end{aligned} \tag{7.6}

括号中的两份源项积分相等，所以外面的 $1/2$ 恰好使总系数仍为 $fq$ 的系数。动能系数在这里仍保留精确的 $1/\alpha$ 。

全部时间依赖现在集中在一个指数中。先用 $\int dt\,e^{-i(E+E')t}=2\pi\delta(E+E')$ 作时间积分，再积掉 $E'$ 。delta函数令 $E'=-E$ ，于是导数产生的 $-EE'$ 化为正的 $E^2$ 。频域作用量因而为

S_{\epsilon_0} =\frac12\int\frac{dE}{2\pi} \left[ A_{\epsilon_0}(E)\widetilde q(E)\widetilde q(-E) +\widetilde f(E)\widetilde q(-E) +\widetilde f(-E)\widetilde q(E) \right], \tag{7.7}

其中每个频率所对应的二次核为

\begin{aligned} A_{\epsilon_0}(E) &=\frac{E^2}{\alpha}-\alpha\omega^2 =\frac{E^2-\alpha^2\omega^2}{\alpha}\\ &=E^2-\omega^2 +i\epsilon_0(E^2+\omega^2)+O(\epsilon_0^2). \end{aligned} \tag{7.8}

这个核的零点在 $E=\alpha\omega$ 和 $E=-\alpha\omega$ ：正频率根位于实轴下方，负频率根位于上方。由于 $\omega>0$ ，一阶虚部的系数 $E^2+\omega^2$ 处处为正。这提示我们用同方向的常数正虚部表示极点边界处方。将常数调节量另记为

A_\eta(E)=E^2-\omega^2+i\eta,\qquad \eta>0, \tag{7.9}

后面的积分先在有限调节下进行，最后取 $\eta\downarrow0$ 。这里 $\epsilon_0$ 是无量纲的哈密顿量乘子，而 $\eta$ 具有频率平方的量纲；它们所指定的实轴边界值方向相同。求出Green函数后，便能直接看到两种处方如何趋于同一个结果。

频率二次型已经对角化，接着平移变量，以消去外源产生的一次项：

\widetilde x(E)=\widetilde q(E) +\frac{\widetilde f(E)}{A_\eta(E)}. \tag{7.10}

因为 $A_\eta$ 是偶函数，将两份 $\widetilde x$ 相乘时，二次项、两份交叉项和源平方项依次为

\begin{aligned} A_\eta\widetilde x(E)\widetilde x(-E) ={}&A_\eta\widetilde q(E)\widetilde q(-E) +\widetilde f(E)\widetilde q(-E) +\widetilde f(-E)\widetilde q(E)\\ &+\frac{\widetilde f(E)\widetilde f(-E)}{A_\eta}. \end{aligned} \tag{7.11}

把最后多出的一项移到另一边，原作用量就可写成

S_\eta[q,f] =\frac12\int\frac{dE}{2\pi} A_\eta(E)\widetilde x(E)\widetilde x(-E) -\frac12\int\frac{dE}{2\pi} \frac{\widetilde f(E)\widetilde f(-E)}{A_\eta(E)}. \tag{7.12}

外源平方项前的负号，正是完成平方后减去多出项的结果。它已不含待积变量，可以作为整体从路径积分中提出；余下的积分则具有无源作用量的形式。

复高斯积分

有限 $\eta$ 使完成平方中的平移量成为复数。相应的高斯积分可以直接在实模式上通过分部积分求出。

取有限个实模式组成坐标列向量 $q$ ，其二次核为复对称矩阵 $A$ ，并要求 $\operatorname{Im}A$ 正定。定义

I(J)=\int_{\mathbb R^N}d^Nq\, \exp\!\left(\frac i2q^TAq+iJ^Tq\right). \tag{7.13}

二次项给出的负实部使积分在无穷远衰减，因此对 $q_j$ 分部积分时没有边界贡献。由此得到积分与其源导数之间的关系：

0=i\int d^Nq\,(Aq+J)_j e^{\,iq^TAq/2+iJ^Tq}, \qquad \frac{\partial I}{\partial J_j} =-i(A^{-1}J)_j I. \tag{7.14}

这里 $A$ 必可逆：若 $Av=0$ ，便有 $v^\dagger(\operatorname{Im}A)v=0$ ，而正定性要求 $v=0$ 。于是可沿 $J=sJ_0$ 从 $s=0$ 积到1。上一式的微分关系成为 $dI(sJ_0)/ds=-is(J_0^TA^{-1}J_0)I(sJ_0)$ ，解得

\frac{I(J)}{I(0)} =\exp\!\left(-\frac i2J^TA^{-1}J\right). \tag{7.15}

归一化分母 $I(0)\ne0$ 也可由第6节的一维高斯积分确定。令 $B=\operatorname{Im}A>0$ ，先作 $q=B^{-1/2}y$ ，使衰减部分成为单位二次型，再用实正交变换对角化 $B^{-1/2}(\operatorname{Re}A)B^{-1/2}$ 。无源积分便分解为若干个 $\int dy\,e^{-(1-i\lambda)y^2/2}$ ，每个因子都非零；这些变换的Jacobian也都与 $J$ 无关。

式（7.15）直接从实积分上的分部积分得到源因子，在原来的积分轮廓上确定了完成平方的结果。对同一个有限模式截断取有源、无源积分的比值，再作所规定的路径积分极限，得到

Z[f]=\exp\!\left[ \frac i2\int\frac{dE}{2\pi} \frac{\widetilde f(E)\widetilde f(-E)} {-E^2+\omega^2-i0}\right]. \tag{7.16}

所有无源高斯因子都由 $Z[0]=1$ 消去。因此，要得到外力依赖，只需求出二次核的逆；无穷多个模式共同产生的行列式不必先单独计算。

回到时间变量：Green 函数

为了对不同时刻的外力求导，将两份 $\widetilde f$ 重新写成时间积分。指数中先出现 $e^{iE(t-t')}$ ，而分母是 $E$ 的偶函数，作 $E\to-E$ 后便得到时间表示：

\begin{aligned} Z[f]&=\exp\!\left[ \frac i2\int dt\,dt'\,f(t)G(t-t')f(t')\right],\\ G_\eta(\tau)&=\int\frac{dE}{2\pi} \frac{e^{-iE\tau}}{-E^2+\omega^2-i\eta}, \qquad G(\tau)=\lim_{\eta\downarrow0}G_\eta(\tau). \end{aligned} \tag{7.17}

核 $G$ 把两个时刻的外源联系起来，同时也是运动方程的Green函数（Green function）。对其频域表达式作用 $\partial_\tau^2+\omega^2-i\eta$ ，产生的因子恰好抵消分母，留下

(\partial_\tau^2+\omega^2-i\eta)G_\eta(\tau) =\int\frac{dE}{2\pi}e^{-iE\tau} =\delta(\tau). \tag{7.18}

取边界极限即得 $(\partial_\tau^2+\omega^2)G=\delta$ 。微分方程的齐次解由基态边界条件选定，在频域中对应刚才的极点处方。

先令

\Omega=\sqrt{\omega^2-i\eta},\qquad \operatorname{Re}\Omega>0,\quad\operatorname{Im}\Omega<0. \tag{7.19}

分母分解为 $-(E-\Omega)(E+\Omega)$ ，两个简单极点分居实轴下方和上方。若写 $E=u+iv$ ，便有 $|e^{-iE\tau}|=e^{v\tau}$ ，所以 $\tau>0$ 时应在下半平面闭合， $\tau<0$ 时应在上半平面闭合。在相应半圆上，指数的模不超过一，而分母随半径平方增长，圆弧积分的绝对值至多为常数乘 $R/R^2$ ，当 $R\to\infty$ 时消失。

为明确围道方向的符号，可从平面Green公式得到所需的留数规则。若 $F=u+iv$ 在某区域解析，Cauchy–Riemann关系 $u_x=v_y$ 、 $u_y=-v_x$ 使 $\oint F\,dz$ 对应的两个面积积分均为零。区域中若有简单极点，先挖去极点附近的小圆，剩余区域仍可用这个结论。设极点为 $z_0$ ，附近有 $F(z)=r/(z-z_0)+O(1)$ ；在逆时针小圆上令 $z=z_0+\rho e^{i\theta}$ ，奇异项贡献 $\int_0^{2\pi}ir\,d\theta=2\pi i r$ ，有界余项则随 $\rho\to0$ 消失。因此逆时针外轮廓给出 $+2\pi i$ 乘所包围的留数，顺时针取相反号。对于 $F=N/D$ 且 $D$ 只有简单零点的情形，留数为 $N(z_0)/D'(z_0)$ 。

现在应用到频率积分。 $\tau>0$ 时所包围的是下半平面的 $+\Omega$ ，留数为 $-e^{-i\Omega\tau}/(2\Omega)$ 。再计入顺时针的负号，便有

G_\eta(\tau>0) =-i\left(-\frac{e^{-i\Omega\tau}}{2\Omega}\right) =\frac{i}{2\Omega}e^{-i\Omega\tau}. \tag{7.20}

当 $\tau<0$ 时，围道包围上半平面的 $-\Omega$ ，其留数为 $e^{i\Omega\tau}/(2\Omega)$ ；这次方向为逆时针，因此

G_\eta(\tau<0) =i\frac{e^{i\Omega\tau}}{2\Omega}. \tag{7.21}

两支在原点连续， $\tau=0$ 时圆弧积分也仍然消失。将它们合并并取 $\eta\downarrow0$ ，就得到Green函数：

G(\tau)=\frac{i}{2\omega}e^{-i\omega|\tau|}. \tag{7.22}

前面精确的哈密顿量处方也可作同样处理。若从式（7.8）出发，分母为 $-A_{\epsilon_0}(E)$ ，留数计算给出 $i e^{-i\alpha\omega|\tau|}/(2\omega)$ 。在 $\epsilon_0\downarrow0$ 时，它趋于式（7.22），说明先前把正权重收入无穷小量没有改变这里的边界值。

Green方程中的delta源来自原点处的导数跳变。在 $\tau\ne0$ 处，两支指数都满足齐次振子方程；原点两侧的函数值和导数则为

G(0^+)=G(0^-)=\frac{i}{2\omega}, \qquad G'(0^+)=\frac12,\qquad G'(0^-)=-\frac12. \tag{7.23}

取任意光滑紧支撑测试函数 $h$ ，在两条半轴上各分部积分两次。 $G$ 连续，因此乘 $h'(0)$ 的两项边界贡献相消；乘 $h(0)$ 的项则为 $[G'(0^+)-G'(0^-)]h(0)=h(0)$ 。其余积分由齐次方程消去，留下

\int d\tau\,G(\tau)[h''(\tau)+\omega^2h(\tau)] =h(0),\qquad (\partial_\tau^2+\omega^2)G(\tau)=\delta(\tau). \tag{7.24}

所以 $\delta$ 源来自一阶导数的跳变，其系数恰为一。Green函数在正时间支取正频率、负时间支取负频率；这与算符时间排序的关系，接下来由外源微分直接给出。

从生成泛函求关联函数

所求外源泛函已经完全确定。使用第6节的插入公式，任意阶时间序关联函数为

\langle0|TQ(t_1)\cdots Q(t_n)|0\rangle =\left. \prod_{a=1}^{n}\frac1i\frac{\delta}{\delta f(t_a)} Z[f]\right|_{f=0}. \tag{7.25}

每个 $1/i$ 抵消对 $e^{i\int fq}$ 求导时带下的因子。为看清连续微分怎样产生关联函数，先记

B[f]=\frac12\int dt\,dt'\,f(t)G(t-t')f(t'), \qquad F_s=\int dt\,G(s-t)f(t),\qquad D_s=\frac1i\frac{\delta}{\delta f(s)}. \tag{7.26}

由于 $G(\tau)=G(-\tau)$ ，对 $B$ 中两份 $f$ 分别求导所得的两项相等，恰好抵消 $1/2$ 。再求一次导数时，它既作用于刚产生的源因子，也作用于整个指数，于是

D_sZ=F_sZ,\qquad D_rD_sZ= \left[\frac1iG(s-r)+F_sF_r\right]Z. \tag{7.27}

只有完成微分后再取 $f=0$ ，才会保留下所求插入。此时全部 $F_s$ 消失，得到二点函数

C(t,t')\equiv\langle0|TQ(t)Q(t')|0\rangle =\frac1iG(t-t') =\frac1{2\omega}e^{-i\omega|t-t'|}. \tag{7.28}

因此，本节的约定是 $G=iC$ 。第5节所用的 $G_2$ 直接表示场的时间序矩阵元，对应这里的 $C$ ，与这里称为Green函数的 $G$ 相差一个因子。于是 $(\partial_t^2+\omega^2)C(t,t')=-i\delta(t-t')$ ，与前面由时间序微分得到的接触项一致。

再增加两个插入，只需继续微分同一个表达式，并保留那些最终可能在零源处成为常数的项。第三次导数为

D_uD_rD_sZ =\left[ \frac{G(s-r)F_u+G(u-s)F_r+G(u-r)F_s}{i} +F_uF_rF_s \right]Z. \tag{7.29}

第四次导数作用于前三项各自的 $F$ 时，各产生一份常数；若作用于 $Z$ ，或作用于三次 $F$ 项，则仍至少留下两份源，零源处都不贡献。所以四点函数只含三项：

\begin{aligned} \langle0|TQ(t_1)Q(t_2)Q(t_3)Q(t_4)|0\rangle =\frac1{i^2}\big[ &G(t_1-t_2)G(t_3-t_4)\\ +{}&G(t_1-t_3)G(t_2-t_4)\\ +{}&G(t_1-t_4)G(t_2-t_3) \big]. \end{aligned} \tag{7.30}

每一项都是两份二点函数 $C$ 的乘积，分别对应四个插入的配对 $(12)(34)$ 、 $(13)(24)$ 和 $(14)(23)$ 。四点计算中出现的这一结构，可以直接推广到任意偶数个插入。

任意阶的配对公式

从源指数展开最容易看清一般系数。 $B[f]$ 每次含有两份源，所以 $Z=e^{iB}$ 只有源的偶数次幂；奇数次求导无法在 $f=0$ 留下常数，奇数点基态关联因此为零。若有 $2n$ 个插入，则只有下面这一项能在全部微分后留下无源结果：

\frac1{n!}\left(\frac i2\right)^n \prod_{a=1}^{n}\int dt_a\,dt'_a\, f(t_a)G(t_a-t'_a)f(t'_a). \tag{7.31}

将 $2n$ 个不同标号的导数分配到 $2n$ 份源上，共有 $(2n)!$ 种方式。不过，一组相同的无序配对会在这些分配中反复出现：每对内两位置的交换给 $2^n$ ，这 $n$ 对在二次因子之间的交换又给 $n!$ 。同一配对因而重复 $2^n n!$ 次，正好抵消指数展开的分母。再计入每次源导数的 $1/i$ ，总相位为 $i^{-2n}i^n=i^{-n}$ ，便得到任意偶数点的配对公式：

\langle0|TQ(t_1)\cdots Q(t_{2n})|0\rangle =\sum_{\mathcal P}\prod_{(a,b)\in\mathcal P}C(t_a,t_b) =\frac1{i^n}\sum_{\mathcal P} \prod_{(a,b)\in\mathcal P}G(t_a-t_b). \tag{7.32}

其中 $\mathcal P$ 只遍历不重复的两两配对，其总数为

N_{2n}=\frac{(2n)!}{2^n n!}=(2n-1)!!. \tag{7.33}

同一个数也可逐步构造出来：先给标号1选伙伴，有 $2n-1$ 种选择；其余 $2n-2$ 个标号再配对，便满足递推关系 $N_{2n}=(2n-1)N_{2n-2}$ ，初值为 $N_0=1$ 。

这说明谐振子基态的全部时间序位置关联，都由一个二点函数决定。若所有插入时刻相同，每个配对给出相同的等时二点值，于是

\langle0|Q^{2n}|0\rangle =(2n-1)!!\left(\frac1{2\omega}\right)^n, \qquad \langle0|Q^{2n+1}|0\rangle=0. \tag{7.34}

例如 $\langle Q^2\rangle=1/(2\omega)$ 、 $\langle Q^4\rangle=3/(4\omega^2)$ ，正好是基态高斯波函数的矩。

升降算符与基态跃迁概率

升降算符给出同一结果的算符表示。恢复质量 $m$ ，取

Q(t)=\frac{a e^{-i\omega t}+a^\dagger e^{i\omega t}}{\sqrt{2m\omega}}, \qquad [a,a^\dagger]=1,\qquad a|0\rangle=0.

对 $t>t'$ ，展开两个 $Q$ 以后只有 $aa^\dagger$ 项的真空期望非零，因而

\langle0|Q(t)Q(t')|0\rangle =\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{2m\omega}\langle0|aa^\dagger|0\rangle =\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{2m\omega}.

时间排序把指数中的时间差改成绝对值，即恢复式（7.28）。对四个已按时间排序的算符，最左端只留下湮灭部分；将它向右移，每经过一个产生部分都带下相应的二点收缩。它可以依次与其余三个算符配对，剩下两个再取真空期望，恰好得到式（7.30）的三项。

生成泛函还直接给出外力撤去后仍留在基态的概率。对实外力，将式（7.22）代入指数，恢复 $m$ 后有

\begin{aligned} \log Z[f] &=-\frac1{4m\omega}\int dt\,dt'\, f(t)f(t')e^{-i\omega|t-t'|},\\ \log|Z[f]|^2 &=-\frac1{2m\omega}\int dt\,dt'\, f(t)f(t')\cos\bigl(\omega(t-t')\bigr). \end{aligned}

余弦是偶函数，因此第二行已去掉绝对值。再用实外力的 $\widetilde f(-\omega)=\widetilde f(\omega)^*$ ，两次时间积分分离为

\int dt\,dt'\,f(t)f(t')e^{i\omega(t-t')} =\widetilde f(\omega)\widetilde f(-\omega) =|\widetilde f(\omega)|^2.

于是

P_{0\to0}=|Z[f]|^2 =\exp\!\left[-\frac{|\widetilde f(\omega)|^2}{2m\omega}\right].

只有外力在振子频率 $\omega$ 处的傅里叶分量改变最终的基态概率；其余分量可以改变振幅相位。恢复 $\hbar$ 时，指数的分母为 $2m\hbar\omega$ 。下一节将把这个二次型积分和配对结构推广到自由标量场。

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