Srednicki §21 量子作用量

系列文章：Srednicki QFT 共 97 篇

第19节已经说明，把完整传播子和各个1PI顶角合成树图，就能得到原理论的完整连通振幅。这使我们想到，可以把这些核作为系数，组成一个新的作用量，使它的树级费曼规则直接产生上述结果。这个泛函称为量子作用量（quantum action）；原理论的圈修正已经收入它的系数，因此由它求出的运动方程也会包含量子效应。下面先从完整核写出这个泛函，再通过树图计数和驻相计算，求出它与连通生成泛函 $W[J]$ 的关系。这样便能进一步确定量子运动方程中的场究竟代表什么。

从完整核写出作用量

仍以六维立方理论为例，不过本节的泛函运算与具体维数无关，因而把测度统一写成 $d$ 维。先固定傅里叶变换及其逆变换：

\widetilde\varphi(k)=\int d^dx\,e^{-ikx}\varphi(x), \qquad \varphi(x)=\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d}\, e^{ikx}\widetilde\varphi(k). \tag{21.1}

为使新的作用量产生所需的图规则，把第19节已经构造的完整核按场的幂次排在一起，定义

\begin{aligned} \Gamma[\varphi] ={}&-\frac12\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d}\, \widetilde\varphi(-k) [k^2+m^2-\Pi(k^2)]\widetilde\varphi(k)\\ &+\sum_{n\ge3}\frac1{n!} \int\prod_{a=1}^n\frac{d^dk_a}{(2\pi)^d}\, (2\pi)^d\delta^d\!\left(\sum_a k_a\right)\\ &\hspace{27mm}\times V_n(k_1,\ldots,k_n) \prod_{a=1}^n\widetilde\varphi(k_a). \end{aligned} \tag{21.2}

这里已经用既定的真空条件去掉常数项和一次项；逆核的边界仍沿用费曼处方，暂不显写 $i0$ 。二次项决定传播子，其符号必须与所需的完整图线相容：若高斯作用量写成 $\frac12\varphi K\varphi$ ，第6节的高斯积分给出的收缩为 $iK^{-1}$ 。令它等于完整图线 $\boldsymbol\Delta/i$ ，便要求 $K=-\boldsymbol\Delta^{-1}$ 。

式（21.2）据此使用负二次核，动量测度与式（21.1）对应。高点项取正号，以产生此前定义的 $iV_n$ 顶角。

高点系数中的 $1/n!$ 会被场因子的排列数消去，留下图规则所需的 $iV_n$ 。要把这一步写清楚，先约定动量泛函导数的测度：

\begin{aligned} \delta F&=\int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\, \frac{\delta F}{\delta\widetilde\varphi(p)} \delta\widetilde\varphi(p),\\ \frac{\delta\widetilde\varphi(k)} {\delta\widetilde\varphi(p)} &=(2\pi)^d\delta^d(k-p). \end{aligned} \tag{21.3}

将 $n$ 次微分分别分配给 $n$ 个场因子，共有 $n!$ 种方式。同种标量的 $V_n$ 对外腿置换对称，所以这些项全都相等，正好消去作用量中的阶乘。每次微分产生的delta函数又消去一个动量积分，最后只剩总动量守恒的delta函数：

\left. \frac{\delta^n\Gamma} {\delta\widetilde\varphi(p_1)\cdots \delta\widetilde\varphi(p_n)} \right|_{\varphi=0} =(2\pi)^d\delta^d\!\left(\sum_a p_a\right) V_n(p_1,\ldots,p_n),\qquad n\ge3. \tag{21.4}

在 $e^{i\Gamma}$ 的展开中，这个系数再乘上 $i$ ，便成为完整顶角。于是 $\Gamma$ 的二次项和高点项分别给出所需的完整传播子与完整顶角，它的树图规则也就与前面的全核装配一致。由于 $V_n$ 本身已经含有原理论各阶的圈修正，这里的树图仍然包含原理论的量子效应。

用一个辅助参数挑出树图

为了把这个图的关系写成泛函关系，先回到原理论的源积分。用 $\chi$ 记路径积分变量，把源与场的配对简记为 $\langle J,\chi\rangle=\int d^dx\,J(x)\chi(x)$ ，则

Z[J]=\int\mathcal D\chi\, e^{iS[\chi]+i\langle J,\chi\rangle} =e^{iW[J]},\qquad W[J]=-i\log Z[J]. \tag{21.5}

测度中包含零源归一常数，因此 $Z[0]=1$ 、 $W[0]=0$ 。第9节的连通指数关系告诉我们， $W$ 生成连通源图。现在将积分中的原作用量换成刚定义的量子作用量，另构造一个辅助积分：

Z_\Gamma[J] =\int\mathcal D\chi\, e^{i\Gamma[\chi]+i\langle J,\chi\rangle} =e^{iW_\Gamma[J]}. \tag{21.6}

这个辅助积分的连通图以完整核作为顶角和内线。第19节的桥树分解表明，只取其中的树图，就已经得到原理论的全部连通图；再在完整核之间添加圈，会把已有的量子修正再次计入。因此，要恢复原生成泛函，我们需要从 $W_\Gamma$ 中选出树部分。

选择树图可以通过计数圈数来完成。将指数中的 $\Gamma+\langle J,\chi\rangle$ 除以一个无量纲参数 $\hbar$ ，定义

\begin{aligned} Z_{\Gamma,\hbar}[J] &=\mathcal N_\hbar \int\mathcal D\chi\, \exp\!\left[\frac{i}{\hbar} \bigl(\Gamma[\chi]+\langle J,\chi\rangle\bigr)\right],\\ Z_{\Gamma,\hbar}[J]&=e^{iW_{\Gamma,\hbar}[J]}. \end{aligned} \tag{21.7}

其中 $\mathcal N_\hbar$ 仍使零源值归一为1。改变 $\hbar$ 时，各个完整核保持固定，所以这个参数只记录完整核之间新组成的辅助图有多少圈。它的幂次可以从每条线和每个顶点直接读出：二次核变成 $K/\hbar$ ，其逆多出 $\hbar$ ，因而每条传播线贡献一个 $\hbar$ ；每个相互作用顶角和每个源顶点则各贡献 $\hbar^{-1}$ 。对一幅连通图，记全部传播线数为 $P$ 、相互作用顶点数为 $V$ 、一价源顶点数为 $E$ ，总因子就是

\hbar^{P-V-E}. \tag{21.8}

现在把这个幂次改写为圈数。连同源端点，图中共有 $V+E$ 个顶点，连接它们的一棵生成树含有 $V+E-1$ 条边。其余每条边都在树上增加一个独立圈，因此

L=P-(V+E)+1,\qquad P-V-E=L-1. \tag{21.9}

同一关系也可以通过计数独立内动量得到。对含有相互作用顶点的连通图，扣去 $E$ 条外线后还有 $P-E$ 条内线； $V$ 个顶角的守恒条件中，有一个只给出整体动量守恒，所以真正约束内动量的条件少一个，留下的独立内动量数便是 $(P-E)-(V-1)$ 。这就与图的圈数相等。最简单的双源图需要单独说明：两个源直接由一条自由线连接时， $P=1,E=2,V=0$ ，因而不能把 $P-E$ 当作内线数；上面的生成树计数没有这个限制，式（21.9）仍给出 $L=0$ 。

按圈数归并所有连通图，得到

W_{\Gamma,\hbar} =\hbar^{-1}W_{\Gamma,0} +W_{\Gamma,1} +\hbar W_{\Gamma,2}+\cdots. \tag{21.10}

树图正是这个展开的最低幂系数，因此原理论的连通生成泛函为

W[J]=W_{\Gamma,0}[J] =\bigl[\hbar W_{\Gamma,\hbar}[J]\bigr]_{\hbar^0}. \tag{21.11}

方括号表示取 $\hbar$ 的常数系数。式（21.7）将辅助积分的指数定义为 $iW_{\Gamma,\hbar}$ ，其中没有另提出 $1/\hbar$ ，所以选择树项时要先乘上 $\hbar$ 。在形式微扰中，式（21.11）可以直接按阶数实施：先依圈数整理各项，再取所需系数即可。

驻相计算与量子运动方程

图的计数已经告诉我们应取哪一项；要把它算成泛函的表达式，可用驻相法求出同一个 $\hbar^{-1}$ 系数。把指数中的泛函记为

F_J[\chi]=\Gamma[\chi]+\langle J,\chi\rangle. \tag{21.12}

在选定真空附近，取满足原来边界条件的驻相场 $\varphi_J$ 。它使上式的一次变分为零，因而满足

\left.\frac{\delta\Gamma}{\delta\chi(x)} \right|_{\chi=\varphi_J} =-J(x) \tag{21.13}

这就是量子运动方程。对每个给定的源，先由这个方程确定驻点，再考察它附近的涨落。

为写清驻相前因子，先用有限模式调节把路径积分化成普通多变量积分，并选择二次涨落核可逆的驻点分支。设模式数为 $N$ ，作变元替换 $\chi=\varphi_J+\sqrt\hbar\,\eta$ 。这个缩放使二次涨落项不再带辅助参数；由于驻点处的一次变分为零，指数依次展开为

\begin{aligned} \frac{i}{\hbar}F_J[\chi] ={}&\frac{i}{\hbar}F_J[\varphi_J] +\frac i2\,\eta_a H_{J,ab}\eta_b\\ &+\frac{i\sqrt\hbar}{3!} \Gamma^{(3)}_{J,abc}\eta_a\eta_b\eta_c +O(\hbar),\\ H_{J,ab}&=\Gamma^{(2)}_{ab}[\varphi_J]. \end{aligned} \tag{21.14}

重复指标在有限模式下表示求和，去掉调节后还包含位置积分。变元替换给出的Jacobian是 $\hbar^{N/2}$ ，二次高斯积分则产生 $\det(-iH_J)^{-1/2}$ ，其相位沿原费曼轮廓连续确定。接着展开三次及更高次的涨落项：三次项的一次贡献为奇高斯矩，积分消失；三次项的平方和四次项都从相对 $O(\hbar)$ 开始。最后除以零源积分，公共的 $\hbar^{N/2}$ 与源无关常数相消，留下

\begin{aligned} Z_{\Gamma,\hbar}[J] ={}&\exp\!\left\{\frac{i}{\hbar} [F_J[\varphi_J]-F_0[\varphi_0]]\right\}\\ &\times \left[\frac{\det(-iH_J)}{\det(-iH_0)}\right]^{-1/2} [1+O(\hbar)]. \end{aligned} \tag{21.15}

取 $\log Z$ 以后，行列式前因子从 $\hbar^0$ 阶开始出现，而我们所需的是 $\hbar^{-1}$ 项，因而只须保留指数中的驻点值。再用既定真空归一条件 $\varphi_0=0$ 、 $\Gamma[0]=0$ ，将式（21.11）与式（21.15）中的系数相比，便得到

W[J]=\Gamma[\varphi_J]+\int d^dx\,J(x)\varphi_J(x). \tag{21.16}

因此，指定真空及轮廓附近的形式涨落展开中，树系数由量子作用量和源项在驻点上的值共同给出。

驻相场就是源产生的平均场

现在来确定驻相场的物理意义。对原生成泛函求一次源导数，会插入 $\chi(x)$ 并带来一个 $i$ 。再与 $W=-i\log Z$ 中的系数相乘，就得到归一化的一点函数：

\frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} =\frac{\int\mathcal D\chi\,\chi(x) e^{iS[\chi]+i\langle J,\chi\rangle}} {\int\mathcal D\chi\, e^{iS[\chi]+i\langle J,\chi\rangle}}. \tag{21.17}

将这个路径积分写成算符语言，它就是归一化的真空到真空（in-out）插入：

\frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \frac{\langle0|\mathrm T\{ \widehat\varphi(x)e^{i\int J\widehat\varphi}\}|0\rangle} {\langle0|\mathrm T e^{i\int J\widehat\varphi}|0\rangle}. \tag{21.18}

零源时，上式回到原真空的一点函数；保留有限源时，则给出该源产生的数值平均场。由于这里计算的是真空到真空插入，这个平均场一般可以是复数。

同一个源导数还可以从式（21.16）求出。这里 $\Gamma$ 通过驻相场 $\varphi_J$ 间接依赖 $J$ ，而 $\int J\varphi_J$ 同时具有显式的源依赖和通过场产生的间接依赖。对这三处依次求导，得到

\begin{aligned} \frac{\delta W}{\delta J(x)} ={}&\int d^dy\, \frac{\delta\Gamma}{\delta\varphi_J(y)} \frac{\delta\varphi_J(y)}{\delta J(x)} +\varphi_J(x)\\ &+\int d^dy\,J(y) \frac{\delta\varphi_J(y)}{\delta J(x)}\\ ={}&\varphi_J(x) +\int d^dy\, \left[\frac{\delta\Gamma}{\delta\varphi_J(y)}+J(y)\right] \frac{\delta\varphi_J(y)}{\delta J(x)}\\ ={}&\varphi_J(x). \end{aligned} \tag{21.19}

最后一行中，两个积分项的公共系数由驻点方程变为零。这一相消表明，驻相场正是式（21.17）中由原理论求得的平均场。这也给出了量子运动方程的含义： $\Gamma$ 的变分方程描述的是包含量子涨落效应的平均场。

若在选定的可逆分支上反解 $\varphi=\delta W/\delta J$ ，便可把源看成场的泛函，记为 $J_\varphi$ 。将它代入式（21.16），就把源与场的角色对换，写成Legendre变换：

\Gamma[\varphi] =W[J_\varphi]-\int d^dx\,J_\varphi(x)\varphi(x), \qquad \frac{\delta\Gamma}{\delta\varphi(x)}=-J_\varphi(x). \tag{21.20}

局部逆可以逐阶求出。把位置和分量并入一个指标，在参考源 $J_*$ 附近记 $\xi=J-J_*$ 、 $\eta=\varphi-\varphi_*$ ，源映射的展开为

\eta_a=\mathcal G_{*,ab}\xi_b +\frac12W^{(3)}_{*,abc}\xi_b\xi_c+O(\xi^3),\qquad \mathcal G_* = W^{(2)}[J_*].

设 $K_* = \mathcal G_*^{-1}$ ，线性阶给 $\xi=K_*\eta$ 。把它代入二次项，再乘 $K_*$ 消去二次余量，得到

\xi_a=K_{*,ab}\eta_b -\frac12K_{*,ad}W^{(3)}_{*,def} K_{*,eb}K_{*,fc}\eta_b\eta_c+O(\eta^3).

更高阶按同样方式递推：已知低阶逆以后，第 $r$ 阶未知项只经线性核 $\mathcal G_*$ 出现；若已知项留下余量 $R_r$ ，该阶逆就是 $-K_*R_r$ 。这在核可逆的分支上唯一确定了形式级数。

再直接变分 Legendre 表达式，随场变化的源也要一起变分：

\begin{aligned} \delta\Gamma &=\left\langle\frac{\delta W}{\delta J_\varphi},\delta J_\varphi\right\rangle -\langle\delta J_\varphi,\varphi\rangle -\langle J_\varphi,\delta\varphi\rangle\\ &=-\langle J_\varphi,\delta\varphi\rangle. \end{aligned}

第一项的 $\delta W/\delta J_\varphi=\varphi$ ，恰好消去第二项，留下式（21.20）的负源。这一符号与源项 $+\langle J,\chi\rangle$ 及 $Z=e^{iW}$ 的约定相配。

二点核的逆与高点顶角

Legendre关系还使我们能从平均场对源的响应读出完整传播子。先定义这个响应核：

\mathcal G_J(x,y) =\frac{\delta\varphi_J(x)}{\delta J(y)} =\frac{\delta^2W}{\delta J(x)\delta J(y)}. \tag{21.21}

对归一化的一点函数再求一次源导数，分子的导数给出二点插入，分母的导数则扣去两个一点函数的乘积。这正好留下连通二点函数，因此

\begin{aligned} \mathcal G_J(x,y) &=i\bigl[ \langle\mathrm T\widehat\varphi(x)\widehat\varphi(y)\rangle_J -\varphi_J(x)\varphi_J(y)\bigr]\\ &=iG_{c,J}(x,y). \end{aligned} \tag{21.22}

在零源真空中， $G_{c,0}=\boldsymbol\Delta/i$ ，所以 $\mathcal G_0=\boldsymbol\Delta$ ；平均场的线性响应由完整传播子决定。另一方面，对量子运动方程（21.13）求源导数，链式法则将量子作用量的二次变分与这个响应核相连：

\int d^dz\, \Gamma^{(2)}(x,z;\varphi_J)\mathcal G_J(z,y) =-\delta^d(x-y). \tag{21.23}

因此 $\Gamma^{(2)}=-\mathcal G_J^{-1}$ 。如果改用时间序连通二点函数来写，同一关系就是 $\Gamma^{(2)}G_{c,J}=i$ 。在零源下转到动量空间，并提出整体动量守恒的delta函数，便有

\Gamma^{(2)}(k) =-\widetilde{\boldsymbol\Delta}^{-1}(k^2) =-[k^2+m^2-\Pi(k^2)]. \tag{21.24}

这与本节开头按图线规则确定的负二次核一致：完整传播子描述场对源的响应，量子作用量的二次变分则给出这个响应的负逆核。

自由场可以把这种关系写得更具体。第8节的源积分已给出 $W_0[J]=\frac12\langle J,\Delta_0J\rangle$ 。求一次源导数得到 $\varphi=\Delta_0J$ ，反解为 $J=D\varphi$ ，其中 $D=-\partial^2+m^2$ 。将这个源代入Legendre变换，两项分别成为

\Gamma_0[\varphi] =\frac12\langle D\varphi,\Delta_0D\varphi\rangle -\langle D\varphi,\varphi\rangle =-\frac12\langle\varphi,D\varphi\rangle. \tag{21.25}

对最后一式分部积分，就回到自由Klein–Gordon作用量。自由理论中没有相互作用引起的圈修正，因而量子作用量与经典作用量一致，也显示了这里Legendre变换的符号如何与动能项相配。

继续对式（21.23）求导，就能得到高点关系。一次源导数若作用在 $\Gamma^{(2)}$ 上，会通过平均场的响应产生 $\Gamma^{(3)}\mathcal G$ ；若作用在 $\mathcal G$ 上，则产生 $W^{(3)}$ 。将所得等式两边乘以相应逆核，解出三次源导数，便有

W^{(3)}_{ijk} =\mathcal G_{ia}\mathcal G_{jb}\mathcal G_{kc} \Gamma^{(3)}_{abc}. \tag{21.26}

这里用重复指标表示对相应时空点积分。再求一次源导数，它可以落在三个外部 $\mathcal G$ 的任一个上，也可以落在 $\Gamma^{(3)}$ 上。利用 $\delta\mathcal G_{ia}/\delta J_l=W^{(3)}_{ial}$ 和 $\delta\varphi_d/\delta J_l=\mathcal G_{dl}$ ，四项分别为

\begin{aligned} W^{(4)}_{ijkl} ={}&W^{(3)}_{ial}\mathcal G_{jb}\mathcal G_{kc}\Gamma^{(3)}_{abc}\\ &+\mathcal G_{ia}W^{(3)}_{jbl}\mathcal G_{kc}\Gamma^{(3)}_{abc}\\ &+\mathcal G_{ia}\mathcal G_{jb}W^{(3)}_{kcl}\Gamma^{(3)}_{abc}\\ &+\mathcal G_{ia}\mathcal G_{jb}\mathcal G_{kc}\Gamma^{(4)}_{abcd}\mathcal G_{dl}. \end{aligned}

在前三项中代入式（21.26），再统一积分指标，就能提出四条外部传播核：

\begin{aligned} W^{(4)}_{ijkl} &=\mathcal G_{ia}\mathcal G_{jb}\mathcal G_{kc}\mathcal G_{ld}\,\mathcal K_{abcd},\\ \mathcal K_{abcd} &=\Gamma^{(4)}_{abcd} +\Gamma^{(3)}_{abe}\mathcal G_{ef}\Gamma^{(3)}_{fcd}\\ &\quad+\Gamma^{(3)}_{ace}\mathcal G_{ef}\Gamma^{(3)}_{fbd} +\Gamma^{(3)}_{ade}\mathcal G_{ef}\Gamma^{(3)}_{fbc}. \end{aligned}

后三项是两个三点核由一条完整内线相连的三个交换道，每项的系数都是一。它们与四点 1PI 核一起，重建了前面通过图分解得到的全核树规则。

导数展开与有效势

量子作用量以完整核为系数，通常不再是局部多项式。例如二点核中的 $\Pi(k^2)$ 含有对数，傅里叶变换后会把不同位置的场联系起来。不过，若只关心变化缓慢的场，而且所用完整核在小外动量附近解析，就可以先按外动量展开，再将动量因子换成场的导数。在具有质量隙的微扰真空附近，最近的奇点限制了这个展开的尺度，因而场变化的典型动量须小于该尺度。

对单个实标量，洛伦兹不变性允许的最低项不含导数，下一阶含有两个导数。看似独立的 $A(\varphi)\Box\varphi$ 项也可通过分部积分归并，因为

\int d^dx\,A(\varphi)\Box\varphi =-\int d^dx\,A'(\varphi) \partial_\mu\varphi\,\partial^\mu\varphi \tag{21.27}

这里的表面项由所用边界条件消去。这样，两个导数的各种写法可以合为一个系数函数，导数展开便写成

\Gamma[\varphi] =\int d^dx\left[ -U(\varphi) -\frac12 Z(\varphi)\, \partial_\mu\varphi\,\partial^\mu\varphi +O(\partial^4)\right]. \tag{21.28}

其中 $U$ 和 $Z$ 是场值的普通函数，而 $\Gamma$ 是把这些函数及场的导数在整个时空上积分后得到的泛函。 $O(\partial^4)$ 包括四个及更多导数的各种允许组合；做低动量近似时，可以按所需精度保留相应阶数。

导数展开的最低项具有直接的物理用途。令场在时空中处处相同，所有导数项就消失；先在有限时空体积下除去整体体积，再取相应极限，便可由式（21.2）读出量子势，也称有效势（effective potential）：

U(\varphi) =\frac12[m^2-\Pi(0)]\varphi^2 -\sum_{n\ge3}\frac{V_n(0,\ldots,0)}{n!}\varphi^n. \tag{21.29}

这里沿用一点函数为零的真空附近展开。最低阶取 $V_3=g$ ，更高的 $V_n$ 为零，于是 $U_{\rm tree}=\frac12m^2\varphi^2-g\varphi^3/6$ ，恰好回到原拉格朗日量中的势能。高阶修正则通过零动量处的完整顶角进入这个函数。

二导数项在零场处的系数也可从同一个二点核读出。将它在 $k^2=0$ 附近展开，得到

k^2+m^2-\Pi(k^2) =m^2-\Pi(0)+[1-\Pi'(0)]k^2+O(k^4). \tag{21.30}

把常数项与动量二次项分别同导数展开中的势项和动能项相比，就有

U''(0)=m^2-\Pi(0),\qquad Z(0)=1-\Pi'(0). \tag{21.31}

这里的 $Z(\varphi)$ 是导数展开的场依赖系数，与拉格朗日量中用于重整化的常数 $Z_\varphi$ 不同。此前的单位留数条件是在 $k^2=-m^2$ 处规定 $\Pi'(-m^2)=0$ ，而导数展开采用零动量处的导数，因此 $Z(0)$ 通常不等于1。

最后把这一近似下的量子运动方程写出。对式（21.28）作一次变分，势项产生 $-U'\delta\varphi$ ，动能项则分别从系数和场导数的变化产生 $-\frac12Z'(\partial\varphi)^2\delta\varphi$ 与 $-Z\partial^\mu\varphi\,\partial_\mu\delta\varphi$ 。对后一项分部积分，并沿用消去表面项的边界条件，得到

\frac{\delta\Gamma}{\delta\varphi} =-U'(\varphi)+Z(\varphi)\Box\varphi +\frac12Z'(\varphi)(\partial\varphi)^2 +O(\partial^4). \tag{21.32}

当源和场都取恒定值时，各个导数项消失，量子运动方程便化为

U'(\varphi_J)=J. \tag{21.33}

零源时，有效势的驻点给出均匀真空的候选值，其稳定性由相应涨落决定。第30节和第31节将用有效势讨论自发对称性破缺。为此，先求出对称变换与背景平移对量子作用量的作用。

线性对称性如何传到量子作用量

设多分量场作可逆线性变换 $\chi\mapsto R\chi$ ，作用量、正则化测度及积分边界均在该变换下不变。用核记法定义转置，使源场配对满足

\begin{aligned} (R\chi)_a(x)&=\int d^dy\,R_{ab}(x,y)\chi_b(y),\\ (R^TJ)_a(x)&=\int d^dy\,J_b(y)R_{ba}(y,x),\\ \langle R^TJ,\chi\rangle&=\langle J,R\chi\rangle. \end{aligned}

在路径积分中令 $\eta=R\chi$ ，源的变换便可还原为积分变量的变换：

\begin{aligned} Z[R^TJ] &=\int\mathcal D\chi\,e^{iS[\chi]+i\langle J,R\chi\rangle}\\ &=\int\mathcal D\eta\,e^{iS[\eta]+i\langle J,\eta\rangle} =Z[J],\\ W[R^TJ]&=W[J]. \end{aligned}

最后一行取由 $Z[0]=1$ 连续固定的同一对数分支。对源求导，链式法则给 $R\varphi[R^TJ]=\varphi[J]$ 。将 $R$ 换成 $R^{-1}$ ，便知平均场变为 $R\varphi$ 所需的源是 $R^{-T}J_\varphi$ 。于是

\begin{aligned} J_{R\varphi}&=R^{-T}J_\varphi,\\ \Gamma[R\varphi] &=W[R^{-T}J_\varphi] -\langle R^{-T}J_\varphi,R\varphi\rangle\\ &=W[J_\varphi]-\langle J_\varphi,\varphi\rangle =\Gamma[\varphi]. \end{aligned}

所以量子作用量继承作用量和测度共同具有的线性对称性。若 $R$ 含有导数，转置还包括分部积分产生的符号。例如无穷小平移 $R=1+a^\mu\partial_\mu$ 在消去表面项后给 $R^T=1-a^\mu\partial_\mu$ ；以上关系也就按同一无穷小阶成立。

绕给定背景展开

给定背景场 $\bar\varphi$ ，把积分变量 $\chi$ 取为相对于背景的涨落，并让源与它耦合：

Z[J;\bar\varphi]=e^{iW[J;\bar\varphi]} =\int\mathcal D\chi\, e^{iS[\chi+\bar\varphi]+i\langle J,\chi\rangle}.

各背景使用相同归一化，场的平移保持积分域和相容的真空边界。令 $\eta=\chi+\bar\varphi$ ，则测度不变，而源项中多出 $-\langle J,\bar\varphi\rangle$ ：

\begin{aligned} Z[J;\bar\varphi]&=e^{-i\langle J,\bar\varphi\rangle}Z[J;0],\\ W[J;\bar\varphi]&=W[J;0]-\langle J,\bar\varphi\rangle,\\ \varphi=\frac{\delta W[J;\bar\varphi]}{\delta J} &=\frac{\delta W[J;0]}{\delta J}-\bar\varphi. \end{aligned}

因此同一个源在零背景理论中产生的平均场为 $\varphi+\bar\varphi$ 。在固定背景下做 Legendre 变换，源项与背景项合并为总平均场的配对：

\begin{aligned} J_{\varphi;\bar\varphi}&=J_{\varphi+\bar\varphi;0},\\ \Gamma[\varphi;\bar\varphi] &=W[J_{\varphi;\bar\varphi};0] -\langle J_{\varphi;\bar\varphi},\varphi+\bar\varphi\rangle\\ &=\Gamma[\varphi+\bar\varphi;0]. \end{aligned}

特别地， $\Gamma[0;\bar\varphi]=\Gamma[\bar\varphi;0]$ 。围绕背景计算而令平均涨落为零，所得就是总平均场取该背景值时的量子作用量，这为计算有效势提供了另一种展开方式。

← 第 20 节 · 章节地图 · 第 22 节 →