Srednicki §76 整体对称性中的反常

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上一节的困难发生在规范流上：如果纵向规范模式不能退耦，建立物理态空间所需的恒等式就会受到破坏。不过，一个规范理论还可能具有别的对称性。它们只涉及常参数变换，相应流也不与独立的规范场耦合。这些整体对称性在量子论中失效，可以产生新的物理效应。本节研究最简单的例子：无质量狄拉克场的轴向对称性。这一结果将在第90节的强子衰变中再次出现。

推导将复用第75节已经算出的三角图。这里“整体对称性中的反常”指常参数对称性对应的流不守恒，含义不同于上一节由大规范变换引起的“整体规范反常”。以下取耦合记号 $g$ 、度规 $(-,+,+,+)$ 和 $\epsilon^{0123}=+1$ ，并沿第75节的 $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=-2g^{\mu\nu}$ 约定。

无质量狄拉克场的两种相位变换

取一个电荷 $Q=+1$ 的狄拉克场，令其质量为零。拉格朗日量为

\begin{gathered} \mathcal L=i\bar\Psi\gamma^\mu D_\mu\Psi -\frac14F^{\mu\nu}F_{\mu\nu},\\ D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu,\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu . \end{gathered} \tag{76.1}

单个U(1)理论只有一个规范场，无需另列内部生成元指标。在四维， $\Psi,A_\mu,F_{\mu\nu}$ 的质量维数分别为 $3/2,1,2$ ， $g$ 无量纲。用 $g$ 而不用前面电子的电荷 $e$ ，是因为这里先把这个理论作为研究对称性的例子。

为了看清两个独立的相位，按第36节把狄拉克场写成两个左手外尔场。它们的规范电荷相反：

\begin{gathered} \Psi=\begin{pmatrix}\chi\\ \xi^\dagger\end{pmatrix}, \qquad Q_\chi=+1,\qquad Q_\xi=-1,\\ \mathcal L= i\chi^\dagger\bar\sigma^\mu(\partial_\mu-igA_\mu)\chi +i\xi^\dagger\bar\sigma^\mu(\partial_\mu+igA_\mu)\xi -\frac14F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}. \end{gathered} \tag{76.2}

第二行与四分量写法相差一个全散度。具体地，右手块给出的动能可以重排为

\begin{aligned} &i\xi\sigma^\mu(\partial_\mu-igA_\mu)\xi^\dagger\\ &\quad=i\xi^\dagger\bar\sigma^\mu(\partial_\mu+igA_\mu)\xi + \partial_\mu(i\xi\sigma^\mu\xi^\dagger). \end{aligned} \tag{76.3}

对导数分部积分产生一个负号，再交换两个奇场产生第二个负号，因此动能的号不变；规范耦合没有分部积分的负号，所以在换序后反号。这就解释了 $\xi$ 的相反电荷。边界项按前章的作用量边界条件处理。

熟悉的局域规范变换是

\begin{aligned} \Psi(x)&\longmapsto e^{-ig\Gamma(x)}\Psi(x), &\bar\Psi(x)&\longmapsto\bar\Psi(x)e^{+ig\Gamma(x)},\\ A_\mu(x)&\longmapsto A_\mu(x)-\partial_\mu\Gamma(x),\\ \chi(x)&\longmapsto e^{-ig\Gamma(x)}\chi(x), &\xi(x)&\longmapsto e^{+ig\Gamma(x)}\xi(x). \end{aligned} \tag{76.4}

它使两个外尔场获得相反相位。规范势的变换恰好消去导数作用在相位上所给出的项：

\begin{aligned} D'_\mu\Psi' &=\bigl[\partial_\mu-ig(A_\mu-\partial_\mu\Gamma)\bigr] e^{-ig\Gamma}\Psi\\ &=e^{-ig\Gamma}\bigl[-ig(\partial_\mu\Gamma)\Psi +\partial_\mu\Psi-igA_\mu\Psi +ig(\partial_\mu\Gamma)\Psi\bigr]\\ &=e^{-ig\Gamma}D_\mu\Psi . \end{aligned} \tag{76.5}

这里第二行只是把第一行展开； $F_{\mu\nu}$ 则因两个混合偏导相消而不变。因此拉格朗日量保持不变。

没有质量项时，还可以让两个左手场获得相同的常相位，而保持 $A_\mu$ 不变：

\begin{gathered} \chi\longmapsto e^{i\alpha}\chi,\qquad \xi\longmapsto e^{i\alpha}\xi,\qquad \alpha=\text{常数},\\ \gamma_5=\begin{pmatrix}-\mathbf1_2&0\\0&\mathbf1_2\end{pmatrix}, \qquad \Psi\longmapsto e^{-i\alpha\gamma_5}\Psi . \end{gathered} \tag{76.6}

因为 $\xi^\dagger$ 的相位是 $e^{-i\alpha}$ ，四分量场的上下两个块正好具有相反相位。这是轴向变换。用 $\bar\Psi=\Psi^\dagger\gamma^0$ 求出伴随场的变换：

\begin{aligned} \bar\Psi' &=\Psi^\dagger e^{i\alpha\gamma_5}\gamma^0 =\bar\Psi\gamma^0 e^{i\alpha\gamma_5}\gamma^0 =\bar\Psi e^{-i\alpha\gamma_5},\\ e^{-i\alpha\gamma_5}\gamma^\mu &=\gamma^\mu e^{i\alpha\gamma_5}. \end{aligned} \tag{76.7}

这里用了 $(\gamma^0)^2=1$ 和 $\{\gamma_5,\gamma^\mu\}=0$ 。正是第二个恒等式，使动能与规范耦合中的两个轴相位相消。因此 $\Psi$ 与 $\bar\Psi$ 的两个轴相位指数须取同号。

轴流及其经典守恒

求这个对称性的诺特流时，暂把 $\alpha$ 换成位置函数。动能中只有导数作用于 $\alpha$ 的部分不再相消，因而

\begin{aligned} \delta_\alpha\mathcal L &=i\bar\Psi\gamma^\mu[-i(\partial_\mu\alpha)\gamma_5\Psi] =(\partial_\mu\alpha)j_A^\mu,\\ j_A^\mu&:=\bar\Psi\gamma^\mu\gamma_5\Psi . \end{aligned} \tag{76.8}

这一局域变分固定了轴流的整体号。把变分作用量分部积分，得到 $-\int d^4x\,\alpha\,\partial_\mu j_A^\mu$ ；在经典场方程成立且 $\alpha$ 紧支撑时，变分作用量为零，所以轴流守恒。

同时记与规范耦合有关的向量流为 $j^\mu$ 。四分量矩阵相乘后，右手块出现 $\xi\sigma^\mu\xi^\dagger$ ；按第35节的指标约定交换两个奇场，它等于 $-\xi^\dagger\bar\sigma^\mu\xi$ 。于是两个流可写成

\begin{aligned} j_\chi^\mu&=\chi^\dagger\bar\sigma^\mu\chi,\qquad j_\xi^\mu=\xi^\dagger\bar\sigma^\mu\xi,\\ j^\mu:=\bar\Psi\gamma^\mu\Psi&=j_\chi^\mu-j_\xi^\mu, \qquad\mathcal L_{\rm int}=gA_\mu j^\mu,\\ j_A^\mu&=-j_\chi^\mu-j_\xi^\mu . \end{aligned} \tag{76.9}

这些双线性使用相同的正规序或局域复合场定义。向量流中两个电荷相减，轴流中两个左手场则同号相加。上一节的规范三次迹于是为 $1^3+(-1)^3=0$ ；带一个轴流和两个向量流的三角图却具有 $(-1)(+1)^2+(-1)(-1)^2=-2$ 的内部权重。向量规范对称性与轴向整体对称性，因而可以有不同的量子行为。

经典守恒也可以直接用狄拉克方程检查。令 $D_\mu\bar\Psi=\partial_\mu\bar\Psi+igA_\mu\bar\Psi$ ；双线性中两个规范势项相消，所以

\begin{aligned} \partial_\mu j_A^\mu &=(D_\mu\bar\Psi)\gamma^\mu\gamma_5\Psi +\bar\Psi\gamma^\mu\gamma_5D_\mu\Psi\\ &=(D_\mu\bar\Psi)\gamma^\mu\gamma_5\Psi -\bar\Psi\gamma_5\gamma^\mu D_\mu\Psi=0 \qquad(m=0,\ \text{经典场方程}). \end{aligned} \tag{76.10}

若加入 $-m\bar\Psi\Psi$ ，它在轴变换下产生 $2im\alpha\bar\Psi\gamma_5\Psi$ ，相应地 $\partial_\mu j_A^\mu=2im\bar\Psi\gamma_5\Psi$ 。因此本节取无质量，正是为了分开质量造成的显式破缺与量子反常。

轴流的名称还反映它的宇称性质。沿第40节的宇称作用，记 $\mathsf P^\mu{}_\nu=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$ 。场的常相位在双线性中相消，而

\begin{aligned} \gamma^0\gamma^\mu\gamma_5\gamma^0 &=-\mathsf P^\mu{}_\nu\gamma^\nu\gamma_5,\\ P^{-1}j_A^0(t,\mathbf x)P&=-j_A^0(t,-\mathbf x),\\ P^{-1}j_A^i(t,\mathbf x)P&=+j_A^i(t,-\mathbf x). \end{aligned} \tag{76.11}

普通矢量的空间部分在宇称下反号，轴矢量则为时间分量奇、空间分量偶。它的散度是赝标量，随后出现的 $\epsilon FF$ 也有这一宇称。

量子轴流的散度能否包含一个由两个场强组成的项？可以先计算轴流在真空与双光子态之间的矩阵元，再与场强乘积相比较，以判断这一项及其系数。这样既用到了上一节的三角图，也给出了这个局域表达式的直接物理含义。

用流三点函数计算双光子矩阵元

设两个出射光子的动量为 $p,q$ ，偏振为 $\varepsilon_\mu,\varepsilon'_\nu$ 。沿第55、56节，偏振定义为场展开中产生部分的系数，故单光子矩阵元为 $\langle p,\lambda|A_\mu(x)|0\rangle=\varepsilon_\mu e^{-ipx}$ 。在取外腿物理边界时， $p^2=q^2=0$ ，且 $p\cdot\varepsilon=q\cdot\varepsilon'=0$ 。螺旋度标签以下省去。

定义连通的流三点函数

\begin{gathered} G^{\mu\nu\rho}(x,y,z) =\langle0|Tj^\mu(x)j^\nu(y)j_A^\rho(z)|0\rangle_c,\\ G=G_0+O(g^2). \end{gathered} \tag{76.12}

$G_0$ 由自由狄拉克场收缩得到。三个流各含两个费米场，把它们连起来便形成一圈；这一圈本身没有规范耦合因子，因为流的定义中没有 $g$ 。两个外光子则要经由 $gA_\mu j^\mu$ 与这条圈相连。

按第67节的外光子约化，每条出光子腿给一个 $ig$ 、一个偏振和一个负指数的傅里叶积分。也可以直接在相互作用展开中看出其组合因子：二阶项带 $(ig)^2/2!$ ，两个带固定标签的外光子可分别接到两个相互作用点，有 $2!$ 种接法；二者相消。外传播子被LSZ逆核消去后，最低阶矩阵元为

\begin{aligned} M^\rho(z)&:=\langle p,q|j_A^\rho(z)|0\rangle\\ &=(ig)^2\varepsilon_\mu\varepsilon'_\nu \int d^4x\,d^4y\,e^{-i(px+qy)} G_0^{\mu\nu\rho}(x,y,z)+O(g^4). \end{aligned} \tag{76.13}

本节计算到 $g^2$ 阶；光子外腿重叠的 $O(g^2)$ 修正和流核中的内光子交换，都会从矩阵元的 $g^4$ 阶才开始贡献。为求反常的局域紫外系数，仍先采用上一节的非例外外动量或共同红外调节，再取上述外腿边界。

如果两个诺特流的经典守恒关系都能直接用于这个三点函数，三个流端的散度就都应为零。通常的沃德推导还会对其他插入作变分，但这里两个流在两种相位变换下都不变。向量相位在双线性两端直接相消；对轴相位，具体有

\begin{aligned} \delta_\alpha j^\mu &=-i\alpha\bar\Psi (\gamma_5\gamma^\mu+\gamma^\mu\gamma_5)\Psi=0,\\ \delta_\alpha j_A^\mu &=-i\alpha\bar\Psi (\gamma_5\gamma^\mu\gamma_5+\gamma^\mu)\Psi=0. \end{aligned} \tag{76.14}

因此，由其他流插入的变分产生的接触项为零。经典预期是

\begin{gathered} \partial_{x^\mu}G^{\mu\nu\rho}=0,\qquad \partial_{y^\nu}G^{\mu\nu\rho}=0,\qquad \partial_{z^\rho}G^{\mu\nu\rho}=0,\\ \partial_{z^\rho}M^\rho(z)=0 \qquad\text{（三条流沃德式均成立时）}. \end{gathered} \tag{76.15}

量子三流乘积在点重合处还需要重整化，三角图的有限局域项将决定这三条沃德式的散度。

为使用上一节的结果，对三个插入位置作傅里叶变换。取三个动量都流出，定义

\begin{aligned} &(2\pi)^4\delta^4(p+q+r)\,C^{\mu\nu\rho}(p,q,r)\\ &\qquad=\int d^4x\,d^4y\,d^4z\, e^{-i(px+qy+rz)}G^{\mu\nu\rho}(x,y,z),\\ &C=C_0+O(g^2). \end{aligned} \tag{76.16}

$x,y,z$ 处的三个流分别携带自由指标 $\mu,\nu,\rho$ 。 $p,\mu$ 和 $q,\nu$ 对应两个向量流， $r,\rho$ 对应轴流。

总动量 $\delta$ 来自共同平移三个插入点。由真空平移不变性， $G(x,y,z)=G(x-z,y-z,0)$ 。令 $X=x-z,Y=y-z$ ，雅可比因子为1；三个位置积分中的共同 $z$ 积分就是 $\int d^4z\,e^{-i(p+q+r)z}=(2\pi)^4\delta^4(p+q+r)$ 。如果像矩阵元中那样保持 $z$ 不积分，则

\begin{aligned} &\int d^4x\,d^4y\,e^{-i(px+qy)} G_0^{\mu\nu\rho}(x,y,z)\\ &\quad=e^{-i(p+q)z} \int d^4X\,d^4Y\,e^{-i(pX+qY)} G_0^{\mu\nu\rho}(X,Y,0)\\ &\quad=\left.C_0^{\mu\nu\rho}(p,q,r)e^{irz}\right|_{r=-p-q}. \end{aligned} \tag{76.17}

定义中的总 $\delta$ 已经提出，所以最后一行没有额外的 $(2\pi)^4$ 。代回约化式，便得到本阶矩阵元及其散度：

\begin{aligned} M^\rho(z) &=-g^2\varepsilon_\mu\varepsilon'_\nu C_0^{\mu\nu\rho}(p,q,r)e^{irz}\big|_{r=-p-q} +O(g^4),\\ \langle p,q|\partial_\rho j_A^\rho(z)|0\rangle &=-ig^2\varepsilon_\mu\varepsilon'_\nu r_\rho C_0^{\mu\nu\rho}(p,q,r)e^{irz}\big|_{r=-p-q} +O(g^4). \end{aligned} \tag{76.18}

第一行的负号来自 $(ig)^2$ ，第二行的 $i$ 来自对 $e^{irz}$ 求导。轴流是局域算符插入， $r=-p-q$ 不受单光子的质量壳条件限制。

同样，对坐标沃德式分部积分， $\partial_{x^\mu}$ 给 $ip_\mu$ ，另两项给 $iq_\nu,ir_\rho$ 。于是经典守恒所要求的三个动量空间恒等式为

p_\mu C^{\mu\nu\rho}=0,\qquad q_\nu C^{\mu\nu\rho}=0,\qquad r_\rho C^{\mu\nu\rho}=0 . \tag{76.19}

轴流散度的问题已经归结为最后一个收缩。现在可以回到上一节的两张三角图。

保持两个向量流的沃德恒等式

三点函数 $C_0$ 的两个费米定向正是第75节的两幅三角图。区别在于顶角：本节的三个插入分别为 $\gamma^\mu,\gamma^\nu,\gamma^\rho\gamma_5$ ，上一节的三个规范顶角则各带 $ig\gamma^\lambda P_L$ 。上一节已把三个左投影移到同一个位置，并利用 $P_L^2=P_L$ 合并。在两个定向之和中，不含 $\gamma_5$ 的部分相消，因此只有 $P_L$ 中的 $-\gamma_5/2$ 部分留下。这个消去过程见式（75.16）。

为同时追踪传播线的负号，仍沿同一圈动量标记，记

\begin{aligned} \mathcal D_\ell &=[(\ell-p)^2-i0][\ell^2-i0][(\ell+q)^2-i0],\\ \mathcal T^{\mu\nu\rho}(\ell) &=\operatorname{tr}\bigl[ (\slashed\ell-\slashed p)\gamma^\mu\slashed\ell\gamma^\nu (\slashed\ell+\slashed q)\gamma^\rho\gamma_5\bigr]. \end{aligned} \tag{76.20}

每条无质量狄拉克线是 $S/i$ ，且 $S=-\slashed k/(k^2-i0)$ 。所以一个定向的三个分子给 $(-1)^3$ ，闭费米圈再给 $-1$ ；三个 $1/i$ 相乘为 $i$ 。与上一节相比较，有

\begin{aligned} C_{0,1}^{\mu\nu\rho} &=(-1)\left(\frac1i\right)^3(-1)^3 \int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4} \frac{\mathcal T^{\mu\nu\rho}(\ell)}{\mathcal D_\ell}\\ &=i\int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4} \frac{\mathcal T^{\mu\nu\rho}(\ell)}{\mathcal D_\ell},\\ V_{75,1}^{\mu\nu\rho} &=\frac{ig^3}{2}\int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4} \frac{\mathcal T^{\mu\nu\rho}(\ell)}{\mathcal D_\ell}. \end{aligned} \tag{76.21}

两个定向的奇部分相加，所以两种核的总和满足

\begin{gathered} iV_{75}^{\mu\nu\rho} =-\frac12(ig)^3C_0^{\mu\nu\rho}+O(g^5),\\ V_{75}^{\mu\nu\rho} =\frac{g^3}{2}C_0^{\mu\nu\rho}+O(g^5). \end{gathered} \tag{76.22}

右端的 $C_0$ 从 $g^0$ 开始，左端顶角从 $g^3$ 开始；这正是两边圈图相同而顶角因子不同所要求的阶数。

上一节用 $a=c(p-q)$ 描述共同的圈动量选线改变，并算出了三个收缩。将其式（75.32）除以 $g^3/2$ ，得到

\begin{aligned} p_\mu C_0^{\mu\nu\rho} &=-\frac{i}{4\pi^2}(1-c) \epsilon^{\nu\rho\alpha\beta}q_\alpha r_\beta,\\ q_\nu C_0^{\mu\nu\rho} &=-\frac{i}{4\pi^2}(1-c) \epsilon^{\rho\mu\alpha\beta}r_\alpha p_\beta,\\ r_\rho C_0^{\mu\nu\rho} &=-\frac{i}{4\pi^2}(2c) \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}p_\alpha q_\beta . \end{aligned} \tag{76.23}

这次必须让前两行同时为零，因为这两个流与光子耦合，它们的沃德恒等式保证光子偏振的规范部分退耦。因此取 $c=1$ 。第三个插入是轴流，与前两个插入不同；三点函数只须在两个向量插入之间对称。所以这里的选择与上一节三个相同手征规范流所要求的 $c=1/3$ 相容，各自对应不同的流身份。

取定 $c=1$ 以后，向量流保持守恒，轴流则留下非零散度：

\begin{gathered} p_\mu C^{\mu\nu\rho}=q_\nu C^{\mu\nu\rho}=0,\\ r_\rho C^{\mu\nu\rho} =-\frac{i}{2\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}p_\alpha q_\beta+O(g^2). \end{gathered} \tag{76.24}

两个向量沃德恒等式可以由保持规范对称性的定义继续维持；第二行是本节实际求得的一圈项。改变局域三点项能够重新分配三条腿上的破缺，却不能令它们同时消失。保持规范耦合所需的两条恒等式以后，剩下的破缺就表现为轴向整体对称性的反常。

还可以把这个结论变回位置空间，以看清接触项从哪里出现。式（76.16）中，对 $z$ 的散度变为 $ir_\rho C^{\mu\nu\rho}$ ；另一方面， $\partial_{x^\alpha}\delta^4(x-z)$ 的傅里叶积分为 $ip_\alpha e^{-ipz}$ 。因此

\partial_{z^\rho}G^{\mu\nu\rho}(x,y,z) =-\frac{1}{2\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} \partial_{x^\alpha}\delta^4(x-z)\, \partial_{y^\beta}\delta^4(y-z)+O(g^2). \tag{76.25}

右边两个导数各给一个 $i$ ，使其傅里叶变换成为 $+\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}p_\alpha q_\beta/(2\pi^2)$ ，恰好等于式（76.24）的 $ir_\rho C$ 。这个量子接触分布支撑在三个流重合之处。再对 $x^\mu$ 或 $y^\nu$ 求散度时，对称的双导数与 $\epsilon$ 缩并为零，仍与两个向量沃德恒等式相符。

场强乘积及反常的局域形式

现在将式（76.24）代回双光子矩阵元。来自位置导数的 $-i$ 与来自三角核的 $-i$ 相乘，给出一个负号：

\begin{aligned} \langle p,q|\partial_\rho j_A^\rho(z)|0\rangle &=-\frac{g^2}{2\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta\varepsilon_\mu\varepsilon'_\nu e^{-i(p+q)z}+O(g^4). \end{aligned} \tag{76.26}

两光子交换时， $\mu,\nu$ 和 $\alpha,\beta$ 同时交换，两个负号相消。若把任一偏振换成同腿动量，反对称张量与两个相同动量缩并为零，所以结果具有外光子所需的规范不变性。

为了把这个动量结构认成场强乘积，先在自由场中写出光子态和场展开的归一。取两种物理偏振 $\lambda,\lambda'$ ，用协变连续标签归一的态：

\begin{gathered} |p,\lambda;q,\lambda'\rangle =a_\lambda^\dagger(\mathbf p) a_{\lambda'}^\dagger(\mathbf q)|0\rangle,\\ \relax[a_\lambda(\mathbf p),a_\sigma^\dagger(\mathbf k)] =(2\pi)^3\,2p^0\delta_{\lambda\sigma} \delta^3(\mathbf p-\mathbf k). \end{gathered} \tag{76.31}

对光滑波包，这些关系给出通常的福克空间内积。在库仑规范 $\varepsilon^0=0$ 下，

A_\mu(z)=\sum_\sigma\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3\,2k^0} \left[ \varepsilon^*_{\sigma\mu}(k)a_\sigma(\mathbf k)e^{ikz} +\varepsilon_{\sigma\mu}(k)a_\sigma^\dagger(\mathbf k)e^{-ikz} \right]. \tag{76.32}

产生部分的偏振系数是 $\varepsilon_\mu$ ，相应湮灭部分带其复共轭。直接用对易子收缩，得到

\begin{aligned} \langle p,\lambda|A_\mu(z)|0\rangle &=\sum_\sigma\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3\,2k^0} \varepsilon_{\sigma\mu}(k)e^{-ikz} (2\pi)^3\,2p^0\delta_{\lambda\sigma} \delta^3(\mathbf p-\mathbf k)\\ &=\varepsilon_\mu e^{-ipz}. \end{aligned} \tag{76.33}

这样，每条模式积分中的 $(2\pi)^3\,2k^0$ 都由外态归一约去。对产生部分的相位 $e^{-ipz}$ 微分，便有

\begin{aligned} f_{\mu\nu}(p,\varepsilon) &:=p_\mu\varepsilon_\nu-p_\nu\varepsilon_\mu,\\ \langle p,\lambda|F_{\mu\nu}(z)|0\rangle &=-if_{\mu\nu}(p,\varepsilon)e^{-ipz}. \end{aligned} \tag{76.27}

将式（76.31）中的对易子记为 $\mathcal I(p,\lambda;k,\sigma)$ ，两次收缩给

\begin{aligned} &\langle0|a_{\lambda'}(\mathbf q)a_\lambda(\mathbf p) a_\sigma^\dagger(\mathbf k)a_\tau^\dagger(\mathbf l)|0\rangle\\ &\quad=\mathcal I(p,\lambda;k,\sigma) \mathcal I(q,\lambda';l,\tau) +\mathcal I(p,\lambda;l,\tau) \mathcal I(q,\lambda';k,\sigma). \end{aligned} \tag{76.34}

第一项把 $p$ 配给第一个场强，第二项把 $p$ 配给第二个场强，两个配对取玻色正号。用自由威克乘积定义同点场强，其真空减除项是单位算符，对真空到双光子的矩阵元无贡献。因此

\begin{aligned} &\langle p,q|:F_{\mu\nu}(z)F_{\rho\sigma}(z):|0\rangle\\ &\quad=-\bigl[ f_{\mu\nu}(p,\varepsilon)f_{\rho\sigma}(q,\varepsilon') +f_{\mu\nu}(q,\varepsilon')f_{\rho\sigma}(p,\varepsilon) \bigr]e^{-i(p+q)z}. \end{aligned} \tag{76.28}

这里的负号是 $(-i)^2$ ；两个配对间取玻色正号。协变外态归一给出的 $(2\pi)^3\,2\omega$ 与每条模式积分中的测度分母相消。再与列维—奇维塔张量缩并，每种配对都给出四个相等的项：

\begin{aligned} &\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} f_{\mu\nu}(p,\varepsilon)f_{\rho\sigma}(q,\varepsilon')\\ &=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \bigl(p_\mu\varepsilon_\nu q_\rho\varepsilon'_\sigma -p_\mu\varepsilon_\nu q_\sigma\varepsilon'_\rho\bigr)\\ &\quad+\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \bigl(-p_\nu\varepsilon_\mu q_\rho\varepsilon'_\sigma +p_\nu\varepsilon_\mu q_\sigma\varepsilon'_\rho\bigr)\\ &=4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} p_\mu\varepsilon_\nu q_\rho\varepsilon'_\sigma. \end{aligned} \tag{76.35}

展开乘积后，在第二项交换 $\rho,\sigma$ ，第三项交换 $\mu,\nu$ ，第四项同时作这两次交换，列维—奇维塔张量的符号便把各项都变成第一项。交换整个指标对是偶置换，所以另一种光子配对贡献相同。把指标整理成三角图所用的次序，结果为

\begin{aligned} &\langle p,q| \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}:F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}:(z) |0\rangle\\ &\quad=-8\epsilon^{\alpha\mu\beta\nu} p_\alpha q_\beta\varepsilon_\mu\varepsilon'_\nu e^{-i(p+q)z}\\ &\quad=+8\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta\varepsilon_\mu\varepsilon'_\nu e^{-i(p+q)z}. \end{aligned} \tag{76.29}

数值8来自两种配对乘每个场强的两个反对称项。最后的指标置换为奇，恰好消去两次微分的负号。将这个式子乘以 $-g^2/(16\pi^2)$ ，就得到三角图的矩阵元。

要把匹配写成局域形式，还要确定允许出现哪些密度。轴流散度的维数是4，并且是赝标量。保持向量规范不变性时，纯光子局域项应由场强和它的导数组成。两个场强已用尽维数4；其赝标量缩并只有 $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$ 。一个场强配两个导数的赝标量候选可写成 $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu\partial_\nu F_{\rho\sigma}$ ，它因两个导数对称而为零；把一个导数先缩并到场强的写法也由比安基恒等式给零。因此，在保持向量沃德恒等式、以式（76.8）固定轴流归一的定义下，本节确定

\left.\partial_\mu j_A^\mu\right|_{\text{一圈局域光子项}} =-\frac{g^2}{16\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}. \tag{76.30}

双光子匹配固定了这一局域项；含其他插入时的运动方程项和接触项，需要把轴流作为复合算符统一定义。第77节从费米子积分测度导出任意插入的轴向沃德恒等式，并说明反常系数的一圈精确性所采用的共同算符归一。

在无质量理论中，规范耦合保持向量流的守恒，局域场强乘积则成为轴荷变化的源。轴向整体对称性的反常由此与光子的规范沃德恒等式并存。

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