Srednicki §60 旋量电动力学的旋量螺旋度方法

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上一节先求振幅的模方，再对自旋和偏振求和，因而要计算较长的伽马矩阵迹。现在考虑 $s,|t|,|u|\gg m^2$ 的高能区域，把电子质量置零到最低阶。这样，费米子的外旋量可以使用第50节的二分量表示。如果再把光子偏振写成同样的旋量收缩，许多螺旋度组合会在取模方以前就消失，剩下的振幅也能直接用洛伦兹不变的括号表示。下面先建立光子所需的写法，再依次计算四费米子和两费米子两光子的散射。

这里的质量近似要求三个硬不变量都大于 $m^2$ 。例如在固定质心角下提高能量可以满足它；若散射角同时趋于零， $|t|$ 仍可能与 $m^2$ 相当，此时应保留上一节的质量项。本节保留 $m/\sqrt{\min(s,|t|,|u|)}$ 的零阶及 $e^2$ 阶树振幅；消失的螺旋度幅在有质量时可以由高阶质量项产生。

从外旋量到不变括号

先复习需要的代数。第50节已固定四种外旋量的相位。对正能非零类光动量，将它们记作

\begin{aligned} |p]&=u_-(p)=v_+(p),& |p\rangle&=u_+(p)=v_-(p),\\ [p|&=\bar u_+(p)=\bar v_-(p),& \langle p|&=\bar u_-(p)=\bar v_+(p). \end{aligned} \tag{60.1}

方、角括号的配对是按洛伦兹标量选择的： $|p]$ 的狄拉克伴随为 $\langle p|$ ，而不是 $[p|$ 。在外尔基中，方括号列旋量只有上面两个分量，角括号列旋量只有下面两个分量；方括号行旋量和角括号行旋量分别占上、下两块。因此

\begin{aligned} \relax[p|k]&=[pk],&\langle p|k\rangle&=\langle pk\rangle,& [p|k\rangle&=\langle p|k]=0,\\ [pk]&=-[kp],&\langle pk\rangle&=-\langle kp\rangle,& \langle pk\rangle^*&=[kp]. \end{aligned} \tag{60.2}

前一行来自两块的支集，后一行来自二维反对称张量的反对称性以及既定的复共轭约定。这些外旋量是普通复数列与行；相同费米子的统计负号在图的组合中处理。

两种螺旋度的完备性给出

-\slashed p=|p]\langle p|+|p\rangle[p|, \qquad P_L(-\slashed p)=|p]\langle p|, \qquad P_L=\frac{1-\gamma_5}{2}. \tag{60.3}

这个秩一分解把矩阵乘法化为括号乘法。例如把第二式再乘 $-\slashed k$ ，两项中只有角括号行旋量与角括号列旋量的收缩留下来；最后取迹，就得到

\begin{aligned} \operatorname{tr}(P_L\slashed p\slashed k) &=\operatorname{tr}\bigl(|p]\langle pk\rangle[k|\bigr) =\langle pk\rangle[kp]\\ &=\frac12\operatorname{tr}(\slashed p\slashed k) =-2p\cdot k=-(p+k)^2 . \end{aligned} \tag{60.4}

这里 $\gamma_5$ 与两个伽马的迹为零，普通二阶迹为 $-4p\cdot k$ ，最后一步用了 $p^2=k^2=0$ 。两个括号的乘积因此直接给出相应的不变量。

同样的方法用于四个外积，便得到第50节推导的有序闭链。保持 $p,q,r,s$ 的顺序，结果为

\begin{aligned} \langle pq\rangle[qr]\langle rs\rangle[sp] &=\operatorname{tr}(P_L\slashed p\slashed q\slashed r\slashed s)\\ &=2\bigl[(p\cdot q)(r\cdot s)-(p\cdot r)(q\cdot s) +(p\cdot s)(q\cdot r)\bigr]\\ &\quad+2i\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}p^\mu q^\nu r^\rho s^\sigma . \end{aligned} \tag{60.5}

四阶普通迹给三个配对； $P_L$ 中的 $-\gamma_5/2$ 乘 $\operatorname{tr}(\gamma_5\slashed p\slashed q\slashed r\slashed s) =-4i\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}p^\mu q^\nu r^\rho s^\sigma$ ，给出正的虚部。本书 $\epsilon^{0123}=+1$ 、 $\epsilon_{0123}=-1$ ，所以这里四个上指标动量须与下指标反对称配合。括号及其乘积的质量维数也很直观：每个外旋量为 $1/2$ ，一个括号为1，两括号的乘积与 $p\cdot k$ 同为2。

把光子偏振写成旋量

光子的偏振矢量既要垂直于动量，又有加上该动量的规范自由度。这使我们可以借助一个参考类光动量 $q$ 来选择偏振代表。对给定的非零光子动量 $k$ ，取 $q$ 不与 $k$ 共线，定义

\varepsilon_+^\mu(k;q) =-\frac{\langle q|\gamma^\mu|k]}{\sqrt2\langle qk\rangle}, \qquad \varepsilon_-^\mu(k;q) =-\frac{[q|\gamma^\mu|k\rangle}{\sqrt2[qk]} . \tag{60.6}

分子是矢量，分母是不变量，且二者维数相同。不共线的要求保证分母不为零；换一个允许的 $q$ 可以覆盖原参考失效的方向。

先直接辨认这两个矢量的偏振。令 $k^\mu=\omega(1,0,0,1)$ 、 $\omega>0$ 。采用第50节的显式旋量，并写出外尔基的伽马矩阵：

\begin{gathered} |k]=\sqrt{2\omega}(0,1,0,0)^T,\qquad |k\rangle=\sqrt{2\omega}(0,0,1,0)^T,\qquad \langle q|=(0,0,\alpha,\beta),\\ \gamma^\mu=\begin{pmatrix}0&\sigma^\mu\\\bar\sigma^\mu&0\end{pmatrix}, \qquad \sigma^\mu=(I,\boldsymbol\sigma),\quad \bar\sigma^\mu=(I,-\boldsymbol\sigma). \end{gathered} \tag{60.7}

这里 $\alpha,\beta$ 是参考旋量的分量，不是精细结构常数。先用下方的 $\bar\sigma^\mu$ 作用于 $(0,1)^T$ ，再用 $(\alpha,\beta)$ 作行收缩，四个分量依次为

\begin{aligned} \langle q|\gamma^\mu|k] &=\sqrt{2\omega}(\beta,-\alpha,i\alpha,\beta),& \langle qk\rangle&=\alpha\sqrt{2\omega},\\ \varepsilon_+^\mu(k;q) &=\frac{(0,1,-i,0)}{\sqrt2} -\frac{\beta}{\sqrt2\,\alpha\omega}k^\mu . \end{aligned} \tag{60.8}

第一项正是正螺旋度的圆偏振，第二项沿光子动量，是可以通过规范变换改变的部分。当前旋量相位使圆偏振前的系数为1，规范项的系数则是 $-\beta/(\sqrt2\,\alpha\omega)$ 。同时变换 $k,q$ 及旋量，式（60.6）仍为矢量，因此这个辨认可以从 $+z$ 方向推广到任意正能类光方向。

\begin{gathered} \varepsilon_-=-\varepsilon_+^*,\qquad \varepsilon_\pm\cdot\varepsilon_\pm=0,\qquad \varepsilon_+\cdot\varepsilon_-=-1,\qquad \varepsilon_\pm^*\cdot\varepsilon_\pm=1 . \end{gathered} \tag{60.9}

这些内积也可从式（60.8）直接算出：横向两分量的平方和为 $1+(-i)^2=0$ ，与其复共轭的内积为1；规范项因 $k^2=0$ 和横向正交而不贡献。

在费曼图中，偏振通常与顶角伽马缩并。为缩短这一步，令 $a=\phi_q,b=\phi_k$ ， $U=\left(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\right)$ 。对应的流为 $j^\mu=(a^\dagger b,-a^\dagger\sigma^i b)$ 。泡利矩阵展开 $2ba^\dagger=(a^\dagger b)I+(a^\dagger\sigma^i b)\sigma^i$ ，于是把时间指标降下带来的负号一并写入，有

\begin{aligned} -\frac12\gamma_\mu j^\mu &=\begin{pmatrix} 0&ba^\dagger\\ (a^\dagger b)I-ba^\dagger&0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}0&ba^\dagger\\ (Ua^*)(Ub)^T&0\end{pmatrix} =|k]\langle q|+|q\rangle[k|,\\ -\frac12\gamma_\mu[q|\gamma^\mu|k\rangle &=|k\rangle[q|+|q]\langle k| . \end{aligned} \tag{60.10}

下方块的恒等式由两分量直接相乘得到：其对角元为 $a_2^*b_2,a_1^*b_1$ ，非对角元为 $-a_2^*b_1,-a_1^*b_2$ 。最后一行交换左右外尔块，便是另一种手征的同一费尔兹关系；其完整矩阵推导见第50节。把这个外积分解代入偏振定义， $-1/2$ 与定义中的负号相消，得到

\begin{aligned} \slashed\varepsilon_+(k;q) &=\frac{\sqrt2}{\langle qk\rangle} \bigl(|k]\langle q|+|q\rangle[k|\bigr),\\ \slashed\varepsilon_-(k;q) &=\frac{\sqrt2}{[qk]} \bigl(|k\rangle[q|+|q]\langle k|\bigr). \end{aligned} \tag{60.11}

原来的三个矩阵因子现在成为两个秩一外积，后面与外旋量相接时往往只有一项留下来。这正是引入参考动量的计算益处。

横向性也可以在一般方向证明。对任意类光 $p$ ，在 $p_\mu\varepsilon_+^\mu=-\langle q|\slashed p|k]/ (\sqrt2\langle qk\rangle)$ 中代入式（60.3），第一个外积因 $\langle q|p]=0$ 而消失；第二个给 $\langle qp\rangle[pk]$ 。另一种手征同理，因而

\begin{gathered} p\cdot\varepsilon_+(k;q) =\frac{\langle qp\rangle[pk]}{\sqrt2\langle qk\rangle}, \qquad p\cdot\varepsilon_-(k;q) =\frac{[qp]\langle pk\rangle}{\sqrt2[qk]},\\ k\cdot\varepsilon_\pm=q\cdot\varepsilon_\pm=0 . \end{gathered} \tag{60.12}

最后两式分别取 $p=k,q$ ，用同动量括号为零即得。两个偏振的互相收缩见下文的内积推导。

参考动量为何可以自由选择

式（60.8）已经在一个方向显示 $q$ 只改变规范项。一般情形可以由舒滕恒等式精确求出变化量。固定光子旋量而将 $q$ 换成另一个有效参考 $r$ ，两个分式通分后，分子中的行旋量为

\langle r|\langle qk\rangle-\langle q|\langle rk\rangle =\langle k|\langle qr\rangle,\qquad [r|[qk]-[q|[rk]=[k|[qr]. \tag{60.13}

这是二维反对称乘积的向量形式，证明不需要除以括号。再用 $\langle k|\gamma^\mu|k]=[k|\gamma^\mu|k\rangle=2k^\mu$ ，两种变化分别为

\begin{aligned} \varepsilon_+^\mu(k;r)-\varepsilon_+^\mu(k;q) &=-\frac{\sqrt2\langle qr\rangle} {\langle rk\rangle\langle qk\rangle}\,k^\mu,\\ \varepsilon_-^\mu(k;r)-\varepsilon_-^\mu(k;q) &=-\frac{\sqrt2[qr]}{[rk][qk]}\,k^\mu . \end{aligned} \tag{60.14}

双线性等于 $2k^\mu$ 可由式（60.7）直接求出，再作协变推广；它也等于无质量向量流的归一结果。由上一节已经证明的两图沃德抵消，沿 $k^\mu$ 增加的偏振对总振幅不贡献。因此我们能够为每一条光子线分别选择最方便的参考。选到一幅图消失时，其余图的值会随之改变，而图之和保持相同。

选择参考与选择外旋量相位还有区别。沿第50节，若 $\phi_k\mapsto e^{i\alpha_k}\phi_k$ ，方端点乘 $e^{i\alpha_k}$ ，角端点乘 $e^{-i\alpha_k}$ 。参考 $q$ 的相位在分子分母中相消，而光子自身的相位留下

\varepsilon_+(k;q)\mapsto e^{2i\alpha_k}\varepsilon_+(k;q), \qquad \varepsilon_-(k;q)\mapsto e^{-2i\alpha_k}\varepsilon_-(k;q). \tag{60.15}

它改变固定外态振幅的相位，取模方后相消。实际比较两个括号幅时，应固定相同的外态相位，再作参考变换。

用一套外动量表示各个交叉过程

现在把动量记号改写成适合交叉的形式，将所有指定外动量都指向出射；入射粒子于是带负能指定动量。用 $p$ 表示指定动量、 $P$ 表示实际正能动量，有

P=\epsilon_p p,\qquad \epsilon_p=\operatorname{sign}p^0,\qquad \sum_{\rm external}p=0 . \tag{60.16}

按指定空间动量定义螺旋度时，入射腿的号与实际螺旋度相反。结合式（60.1）便可统一记住：指定正螺旋度用方端点，指定负螺旋度用角端点。例如入电子实际为负螺旋度时用 $u_-$ ，它的指定号为正，正好用方括号列旋量；出电子实际为正螺旋度时用 $\bar u_+$ ，它的指定号仍为正，正好用方括号行旋量。入正电子和出正电子则分别由 $\bar v,v$ 作相同判断。

为继续使用完整性和括号恒等式，负能端点采用如下平方根处方：每一个 $\sqrt{p^0}$ 取为 $i\sqrt{|p^0|}$ 。明确写出四种端点，

\begin{gathered} c_p=\begin{cases}1,&p^0>0,\\ i,&p^0<0,\end{cases} \\ |p]=c_p|P],\quad |p\rangle=c_p|P\rangle,\quad [p|=c_p[P|,\quad\langle p|=c_p\langle P|,\\ \langle p|=\epsilon_p(|p])^\dagger\gamma^0,\qquad [p|=\epsilon_p(|p\rangle)^\dagger\gamma^0,\\ |p]\langle p|+|p\rangle[p| =c_p^2(-\slashed P)=-\slashed p . \end{gathered} \tag{60.17}

两个行旋量也乘 $i$ ，这是保持解析外积的关键。因为 $c_p^*=\epsilon_pc_p$ ，负能行旋量与通常狄拉克伴随之间多一个负号。这样便将负斜线矩阵的完备分解延拓到负能动量，同时也改变了复共轭规则：

\begin{aligned} \langle pk\rangle^* &=c_p^*c_k^*\langle PK\rangle^* =\epsilon_p\epsilon_kc_pc_k[KP] =\epsilon_p\epsilon_k[kp]. \end{aligned} \tag{60.18}

不含星号的多项式恒等式则逐腿含相同的 $c_p$ 因子，可以沿用。特别是令 $s_{ij}=-(p_i+p_j)^2$ ，由式（60.4）及新共轭关系，

\begin{aligned} s_{ij}&=\langle ij\rangle[ji]=-2p_i\cdot p_j,\\ |\langle ij\rangle|^2=|[ij]|^2 &=\epsilon_i\epsilon_j s_{ij}=|s_{ij}|. \end{aligned} \tag{60.19}

最后的绝对值可以直接看出来：写 $p_i=\epsilon_iE_i(1,\boldsymbol n_i)$ ， $E_i>0$ 、 $\boldsymbol n_i^2=1$ ，则 $s_{ij}=2\epsilon_i\epsilon_jE_iE_j(1-\boldsymbol n_i\cdot\boldsymbol n_j)$ 。括号模方自然非负，能量号决定不变量的正负。下面跨到不同散射道时，这一点会决定整个模方的符号。

还可以把指定振幅与前面正能外波函数的振幅接起来。每一条入费米子腿，指定端点比物理端点多 $i$ 。光子的旋量比值在 $k\mapsto-k$ 时不变，而入光子实际使用 $\varepsilon_h^*=-\varepsilon_{-h}$ 。所以保持同一费米端点次序，有

\mathcal T_{\rm physical} =(-i)^{n_{F,\rm in}}(-1)^{n_{\gamma,\rm in}}\, \mathcal T_{\rm assigned}. \tag{60.20}

其中两个指数分别是入费米子和入光子数。电子正电子湮灭得到共同相位 $-1$ ，康普顿散射得到 $+i$ ；模方均不改变。相同费米子的交换负号仍由两个图的相对次序确定，不能并入这个共同相位。

四费米子散射

四条外费米子线只有两种连接，见图60a。指定动量满足 $p_1+p_2+p_3+p_4=0$ ；由互补两对动量互为负值，以及每条腿在质量壳上，

\begin{gathered} s_{12}=s_{34},\qquad s_{13}=s_{24},\qquad s_{14}=s_{23},\\ s_{12}+s_{13}+s_{14} =-2p_1\cdot(p_2+p_3+p_4)=2p_1^2=0 . \end{gathered} \tag{60.21}

这三个不变量的记法暂不指定哪两条腿入射，因而能同时用于同电荷散射及电子正电子散射。

图60a：四费米子散射的两种连接。两条水平费米线都沿箭头从左向右，左端沿线动量为 $-p_1,-p_2$ ；右图交换右端的3、4。内部光子向上，左图带 $p_1+p_3$ ，右图带 $p_1+p_4$ 。例如左图上顶点有 $-p_1+(p_1+p_3)=p_3$ ，下顶点的守恒由总动量零保证。图间负号来自相同费米端点的交换。画在左边只是标注箭头的方便，实际哪两条腿入射还须由指定能量的正负决定。

一个光子顶角含单个伽马，它在外尔基中交换上下两块。因此 $[i|\gamma^\mu|j]=\langle i|\gamma^\mu|j\rangle=0$ ，每个非零流都需要一方一角端点。四腿的16种指定螺旋度只剩 $+--+$ 、 $+-+-$ 、 $++--$ 及其全部反号的三种可能非零。先算这三个代表，其余三个随后取模方时补入。

对左图，内部光子因子为 $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_3)^2=ig_{\mu\nu}/s_{13}$ 。两个顶角的 $(ie)^2=-e^2$ ，而图的值为 $i\mathcal T$ ，所以除去公共 $i$ 后给 $-e^2/s_{13}$ 。若暂以 $B_i,K_j$ 表示与指定螺旋度相应的行旋量、列旋量，两幅图可统一写作

\begin{aligned} \mathcal T &=-\frac{e^2}{s_{13}}(B_3\gamma^\mu K_1)(B_4\gamma_\mu K_2)\\ &\quad+\frac{e^2}{s_{14}}(B_4\gamma^\mu K_1)(B_3\gamma_\mu K_2). \end{aligned} \tag{60.22}

四点取一般非共线运动学，内部不变量非零，此时可以用这些实分母。沿费米箭头反向读矩阵，就得到上式两个流各自的次序。

要去掉两流间的洛伦兹缩并，在式（60.10）的两侧夹端点。不同手征的第一种收缩先得 $-2\langle ad\rangle[cb]$ ；两次交换括号顺序后，所需的两式为

\begin{aligned} \langle a|\gamma^\mu|b]\,[c|\gamma_\mu|d\rangle &=-2[bc]\langle da\rangle,\\ \langle a|\gamma^\mu|b]\,\langle c|\gamma_\mu|d] &=2[bd]\langle ac\rangle . \end{aligned} \tag{60.23}

第二行来自 $-2[db]\langle ac\rangle$ ，只交换一次方括号。这是矩阵费尔兹在本节的实际代入，因子2及两种收缩的相对号均已固定。

对于 $+--+$ ，右图含 $[4|\gamma^\mu|1]=0$ ，所以只有左图。第一行费尔兹取 $(a,b,c,d)=(3,1,4,2)$ ，得到

\mathcal T_{+--+} =-\frac{e^2}{s_{13}}\langle3|\gamma^\mu|1]\, [4|\gamma_\mu|2\rangle =\frac{2e^2[14]\langle23\rangle}{s_{13}} . \tag{60.24}

若改为 $+-+-$ ，左图含 $[3|\gamma^\mu|1]=0$ ，留下右图。此时将上一式的3、4交换，并保留图间的负号，便有

\mathcal T_{+-+-} =\frac{e^2}{s_{14}}\langle4|\gamma^\mu|1]\, [3|\gamma_\mu|2\rangle =-\frac{2e^2[13]\langle24\rangle}{s_{14}} . \tag{60.25}

两种螺旋度分别选中两幅图，所保留的正负号来自图的交换关系。

对于 $++--$ ，两幅图都允许。用第二行费尔兹，每幅都含 $[12]$ ，但角括号在右图为 $\langle43\rangle=-\langle34\rangle$ 。这个反对称号与图间负号共同给出倒分母的和：

\begin{aligned} \mathcal T_{++--} &=-e^2\left[ \frac{\langle3|\gamma^\mu|1]\langle4|\gamma_\mu|2]}{s_{13}} -\frac{\langle4|\gamma^\mu|1]\langle3|\gamma_\mu|2]}{s_{14}} \right]\\ &=-2e^2[12]\langle34\rangle \left(\frac1{s_{13}}+\frac1{s_{14}}\right) =\frac{2e^2[12]\langle34\rangle s_{12}}{s_{13}s_{14}} . \end{aligned} \tag{60.26}

最后一步用了 $s_{13}+s_{14}=-s_{12}$ ，将两个道的贡献合并到同一分母。每个分子、分母的总维数相同，三个振幅都无量纲。

现在求未极化结果。角、方括号互换产生全反螺旋度的幅，其模方由式（60.19）可见相同。又因互补不变量相等，三个代表的平方和平均为

\begin{aligned} |\mathcal T_{+--+}|^2&=4e^4\frac{s_{14}^2}{s_{13}^2},& |\mathcal T_{+-+-}|^2&=4e^4\frac{s_{13}^2}{s_{14}^2},\\ |\mathcal T_{++--}|^2 &=4e^4\frac{s_{12}^4}{s_{13}^2s_{14}^2},\\ \langle|\mathcal T|^2\rangle &=\frac{2}{4}\left( |\mathcal T_{+--+}|^2+|\mathcal T_{+-+-}|^2+|\mathcal T_{++--}|^2 \right)\\ &=2e^4\frac{s_{12}^4+s_{13}^4+s_{14}^4}{s_{13}^2s_{14}^2}. \end{aligned} \tag{60.27}

例如第一项先有 $|[14]|^2|\langle23\rangle|^2 =|s_{14}||s_{23}|=s_{14}^2$ ，所以能量号在这里成对相消。平均中的2计入另外三种螺旋度，4来自两个初态各两种自旋。

对同电荷的莫勒散射，取1、2入射，故 $(s_{12},s_{13},s_{14})=(s,t,u)$ ；两个正电子的结果相同。巴巴散射取1、3入射，末态电子为4、正电子为2，因而 $(s_{13},s_{14},s_{12})=(s,t,u)$ 。具体代入后，

\begin{aligned} M&=2e^4\frac{s^4+t^4+u^4}{t^2u^2}\\ &=2e^4\left[ \frac{s^2+u^2}{t^2}+\frac{s^2+t^2}{u^2}+\frac{2s^2}{tu}\right],\\ B&=2e^4\frac{s^4+t^4+u^4}{s^2t^2}\\ &=2e^4\left[ \frac{s^2+u^2}{t^2}+\frac{t^2+u^2}{s^2}+\frac{2u^2}{st}\right]. \end{aligned} \tag{60.28}

莫勒式通分时，含 $s^2$ 的部分为 $s^2(t^2+u^2+2tu)=s^4$ ；巴巴式则用 $u^2(s+t)^2=u^4$ 。这样还能辨认出两个道的平方与干涉项。在物理区 $s>0,t,u<0$ ，巴巴式的干涉项为负，但总和由第一种写法显出非负。若将莫勒结果代入带标签的完整末态相空间，还要按第11节加入相同电子的 $1/2!$ ；这个因子没有放进振幅平方。

两费米子与两光子的散射

再看图60b。第1、2腿是费米子，第3、4腿的动量分别记 $k_3,k_4$ ；下标不变量仍写 $s_{13},s_{14}$ 。每条开费米链含两个顶角伽马和一个无质量传播子分子的伽马，合为奇数。因此两端同为方括号或同为角括号时幅为零；只需先求费米子指定螺旋度为 $+-$ 的情况。

图60b：两费米子与两光子的两种连接。两图交换光子3、4，图间为加号。左图费米箭头从 $-p_1$ 经过内部 $-p_1-k_3$ 流向 $p_2$ ，右图内部动量改为 $-p_1-k_4$ 。光子箭头标指定动量流出；若某光子的指定能量为负，它就是实际的入光子。两个光子顶角在费米线上的不同次序必须一起保留。

参考动量选成一个外费米动量时，偏振外积会进一步消失。例如把式（60.11）中的 $q$ 取为 $p$ ，有

\begin{aligned} \slashed\varepsilon_-(k;p)|p] &=\frac{\sqrt2}{[pk]} \bigl(|k\rangle[pp]+|p]\langle k|p]\bigr)=0,\\ [p|\slashed\varepsilon_-(k;p) &=\frac{\sqrt2}{[pk]} \bigl([p|k\rangle[p|+[pp]\langle k|\bigr)=0,\\ \slashed\varepsilon_+(k;p)|p\rangle &=\frac{\sqrt2}{\langle pk\rangle} \bigl(|k]\langle pp\rangle+|p\rangle[k|p\rangle\bigr)=0,\\ \langle p|\slashed\varepsilon_+(k;p) &=\frac{\sqrt2}{\langle pk\rangle} \bigl(\langle p|k]\langle p|+\langle pp\rangle[k|\bigr)=0. \end{aligned} \tag{60.29}

每行一项由同动量括号的反对称性消失，另一项由不同外尔块的标量收缩消失。因此，与外费米动量相同的参考能够使相应的端点收缩为零；所选参考分母须保持非零。

按图的顺序写完整幅。左图内部动量 $q=-p_1-k_3$ ，传播子分子 $-\slashed q=\slashed p_1+\slashed k_3$ ，分母 $q^2=-s_{13}$ 。两个顶角和传播子的因子再除以 $i$ ，给 $-e^2/s_{13}$ 。再加上交换两个光子的图，得到

\begin{aligned} \mathcal T_{+-\lambda_3\lambda_4} ={}&-\frac{e^2}{s_{13}} \langle2|\slashed\varepsilon_{\lambda_4}(k_4;q_4) (\slashed p_1+\slashed k_3) \slashed\varepsilon_{\lambda_3}(k_3;q_3)|1]\\ &-\frac{e^2}{s_{14}} \langle2|\slashed\varepsilon_{\lambda_3}(k_3;q_3) (\slashed p_1+\slashed k_4) \slashed\varepsilon_{\lambda_4}(k_4;q_4)|1]. \end{aligned} \tag{60.30}

若两光子都是负螺旋度，令 $q_3=q_4=p_1$ ，两图右端分别含式（60.29）的第一种零式。若两光子都是正螺旋度，令 $q_3=q_4=p_2$ ，两图左端分别含第四种零式。所以

\mathcal T_{+---}=\mathcal T_{+-++}=0 . \tag{60.31}

参考变换不改变总幅，因而用这些方便的参考得到的零就是该螺旋度的总结果。两光子螺旋度相反时不能这样同时消去两图，还需要实际计算。

先求 $\mathcal T_{+-+-}$ ，取 $q_3=p_2$ 。第二图的左端 $\langle2|\slashed\varepsilon_+(k_3;p_2)=0$ ，只剩第一图。暂记 $q_4=r$ ，把两端偏振外积相乘，分别得到

\begin{aligned} \langle2|\slashed\varepsilon_-(k_4;r) &=\frac{\sqrt2\langle24\rangle}{[r4]}\,[r|,\\ \slashed\varepsilon_+(k_3;p_2)|1] &=\frac{\sqrt2[31]}{\langle23\rangle}\,|2\rangle,\\ \mathcal T_{+-+-} &=-\frac{2e^2\langle24\rangle[31]} {[r4]\langle23\rangle s_{13}}\, [r|(\slashed p_1+\slashed k_3)|2\rangle . \end{aligned} \tag{60.32}

第一行的另一项含 $\langle2|r]=0$ ，第二行的另一项含 $\langle2|1]=0$ ；两个 $\sqrt2$ 相乘给2。

剩余矩阵元包含两个动量。若取 $r=p_1$ ，第一项在壳消失；取 $r=k_3$ 时，第二项由 $[3|\slashed k_3=0$ 消失。后一个选择给

\begin{aligned} \relax[3|(\slashed p_1+\slashed k_3)|2\rangle &=[3|\slashed p_1|2\rangle=-[31]\langle12\rangle,\\ \mathcal T_{+-+-} &=\frac{2e^2\langle24\rangle[31]\langle12\rangle[31]} {[34]\langle23\rangle s_{13}} . \end{aligned} \tag{60.33}

第一行使用 $-\slashed p_1$ 的两外积分解，只有方括号行旋量接方括号列旋量的一项存活。

动量守恒怎样消去剩下的括号

要把式（60.33）约成最短形式，还需把总动量守恒用于旋量链。对任意 $n$ 个全出射类光动量， $\sum_j\slashed p_j=0$ ；在左右夹 $\langle i|,|k]$ ，并逐项用完整性，有

\begin{aligned} 0 &=-\left\langle i\left|\sum_{j=1}^n\slashed p_j\right|k\right] =\sum_{j=1}^n\langle ij\rangle[jk],\\ 0 &=-\left[i\left|\sum_{j=1}^n\slashed p_j\right|k\right\rangle =\sum_{j=1}^n[ij]\langle jk\rangle . \end{aligned} \tag{60.34}

两式各有一种手征外积留下，另一个由零重叠消失。负能端点已经按式（60.17）延拓，所以此处不另加能量号。取 $n=4,i=3,k=2$ ，第二式的四项为

\begin{gathered} \relax[31]\langle12\rangle+[32]\langle22\rangle +[33]\langle32\rangle+[34]\langle42\rangle=0,\\ [31]\langle12\rangle=-[34]\langle42\rangle =[34]\langle24\rangle . \end{gathered} \tag{60.35}

中间两项因同动量括号为零而消失。把剩余关系代回分子，先约去 $[34]$ ，再由 $s_{13}=\langle13\rangle[31]$ 约去另一个方括号，得到

\mathcal T_{+-+-} =\frac{2e^2\langle24\rangle^2[31]} {\langle23\rangle s_{13}} =\frac{2e^2\langle24\rangle^2} {\langle13\rangle\langle23\rangle}. \tag{60.36}

分子和分母各有两个括号，整个振幅仍无量纲。计算中用到的每一个被约因子在当前一般非共线区域都非零。

还可以在选择 $r$ 以前完成同一化简： $[r|(\slashed p_1+\slashed k_3)|2\rangle =-[r1]\langle12\rangle-[r3]\langle32\rangle$ ，而式（60.34）允许把左端点取成参考 $r$ ，给出

[r1]\langle12\rangle+[r3]\langle32\rangle =-[r4]\langle42\rangle=[r4]\langle24\rangle . \tag{60.37}

于是式（60.32）的 $[r4]$ 直接相消，仍得式（60.36）。这是这一具体振幅的参考无关性；下文再写出 $r=p_1,p_2$ 的具体代入。交换两个光子3、4不交换费米端点，故没有统计负号，另一种振幅为

\mathcal T_{+--+} =\frac{2e^2\langle23\rangle^2} {\langle14\rangle\langle24\rangle}. \tag{60.38}

未极化结果和不同物理道

最后补上相反的费米子螺旋度。左右手征互换时，角、方括号互换，两个光子的螺旋度也同时反号。将同一外积计算的角括号换成方括号，两幅分别为

\begin{aligned} \mathcal T_{-+-+} &=\frac{2e^2[24]^2}{[13][23]} =\epsilon_1\epsilon_2\,\mathcal T_{+-+-}^*,\\ \mathcal T_{-++-} &=\frac{2e^2[23]^2}{[14][24]} =\epsilon_1\epsilon_2\,\mathcal T_{+--+}^* . \end{aligned} \tag{60.39}

例如第一式分子的共轭能量号平方为1，分母给 $(\epsilon_1\epsilon_3)(\epsilon_2\epsilon_3)=\epsilon_1\epsilon_2$ ；两个反向方括号再各贡献一个负号，乘积为正。因此，同时反转四条腿的螺旋度，所得振幅的模方相等。

16种组合如今只剩这四种。由括号模方及互补不变量关系，

\begin{aligned} |\mathcal T_{+-+-}|^2 &=4e^4\frac{|s_{24}|^2}{|s_{13}|\,|s_{23}|} =4e^4\left|\frac{s_{13}}{s_{14}}\right|,\\ |\mathcal T_{+--+}|^2 &=4e^4\left|\frac{s_{14}}{s_{13}}\right|,\\ \langle|\mathcal T|^2\rangle &=\frac24\left(|\mathcal T_{+-+-}|^2+|\mathcal T_{+--+}|^2\right)\\ &=2e^4\left( \left|\frac{s_{13}}{s_{14}}\right| +\left|\frac{s_{14}}{s_{13}}\right|\right). \end{aligned} \tag{60.40}

初态可能是两个费米子、一个费米子和一个光子，或者两个光子；每个粒子都有两种自旋或物理偏振，故这三种过程的初态平均都为 $1/4$ 。上面的2则来自同时反转全部螺旋度的另一对振幅。

绝对值的取法随物理道而变。湮灭过程中 $s_{13},s_{14}$ 对应 $t,u$ ，二者同号；康普顿过程中它们对应 $s,u$ ，二者异号。因此两种物理过程分别给出

\begin{aligned} e^-e^+\leftrightarrow\gamma\gamma:\quad& (s_{12},s_{13},s_{14})=(s,t,u),\\ &\langle|\mathcal T|^2\rangle =2e^4\left(\frac tu+\frac ut\right),\\ e^-\gamma\to e^-\gamma:\quad& (s_{13},s_{12},s_{14})=(s,t,u),\\ &\langle|\mathcal T|^2\rangle =-2e^4\left(\frac su+\frac us\right). \end{aligned} \tag{60.41}

这里均在 $s>0,t,u<0$ 的一般物理区。比如在同一质量平方单位下取 $s=2,t=u=-1$ ，康普顿结果为 $-2e^4(-2-1/2)=5e^4$ 。负的两个比值与前面的负号共同给出正的模方。

湮灭结果与式（59.40）相同。康普顿结果也可从第59节的完整质量式直接核对：先用 $\mathcal C=-\mathcal A(t,s,u)$ ，再于固定非共线角下取 $m\to0$ ，便出现第二行的负号。前一节从交叉后的自旋密度得到它，这里则从负能括号的复共轭得到它。两种计算说明了同一件事：交叉可以保留振幅的解析结构，但模方必须在所讨论过程的实际能量区域求取。借助旋量螺旋度，我们在保留每个固定自旋振幅的同时完成了原先需要长迹的计算。

两个光子偏振的内积

\begin{aligned} \mathcal N_{++} &=\langle q|\gamma^\mu|k]\langle q'|\gamma_\mu|k']\\ &=-2\langle qq'\rangle[k'k] =2\langle qq'\rangle[kk'],\\ \mathcal N_{--} &=[q|\gamma^\mu|k\rangle[q'|\gamma_\mu|k'\rangle\\ &=-2[qq']\langle k'k\rangle =2[qq']\langle kk'\rangle,\\ \mathcal N_{+-} &=\langle q|\gamma^\mu|k][q'|\gamma_\mu|k'\rangle\\ &=-2\langle qk'\rangle[q'k] =2\langle qk'\rangle[kq'] . \end{aligned} \tag{60.42}

每个偏振定义中的负号相乘为正；两份 $\sqrt2$ 给出分母的2，正好约去上面费尔兹收缩的2。因此三个内积依次为

\begin{aligned} \varepsilon_+(k;q)\cdot\varepsilon_+(k';q') &=\frac{\langle qq'\rangle[kk']} {\langle qk\rangle\langle q'k'\rangle},\\ \varepsilon_-(k;q)\cdot\varepsilon_-(k';q') &=\frac{[qq']\langle kk'\rangle}{[qk][q'k']},\\ \varepsilon_+(k;q)\cdot\varepsilon_-(k';q') &=\frac{\langle qk'\rangle[kq']} {\langle qk\rangle[q'k']} . \end{aligned} \tag{60.43}

令 $q'=q$ ，前两式的分子都为零，所以相同螺旋度的两个光子可选同一参考动量，使偏振内积消失。对第三式，选 $q=k'$ 使 $\langle qk'\rangle=0$ ，或选 $q'=k$ 使 $[kq']=0$ ，也能达到同样的目的。这些选择各须保留非零分母；例如 $q=k'$ 要求两个光子动量不共线。

还可以令 $k'=k,q'=q$ 检查规范化：第三式化为 $[kq]/[qk]=-1$ 。结合本书的相位 $\varepsilon_-=-\varepsilon_+^*$ ，便得到正的 $\varepsilon_+^*\cdot\varepsilon_+=1$ 。

同一振幅的角括号与方括号写法

两光子计算给出了 $\mathcal T_{+-+-}=2e^2\langle24\rangle^2/ (\langle13\rangle\langle23\rangle)$ 。现在要把它改写成全方括号形式。保持幅的相位，最直接的办法是分别变换分子中的两份 $\langle24\rangle$ 。

先在式（60.34）的第二行取 $i=1,k=2$ 。第1、2项消失，余下 $[13]\langle32\rangle+[14]\langle42\rangle=0$ 。将角括号的次序反转，再用四点守恒给出的 $s_{24}=s_{13}$ ，得到两个比值：

\begin{aligned} \relax [13]\langle23\rangle+[14]\langle24\rangle=0 &\quad\Longrightarrow\quad \frac{\langle24\rangle}{\langle23\rangle} =-\frac{[13]}{[14]},\\ \langle24\rangle[42]=\langle13\rangle[31] &\quad\Longrightarrow\quad \frac{\langle24\rangle}{\langle13\rangle} =\frac{[13]}{[24]} . \end{aligned} \tag{60.44}

第二行中 $[42]=-[24]$ 、 $[31]=-[13]$ ，两个负号相消；第一行则仍保留一个负号。将两个比值相乘，幅变为

\begin{aligned} \mathcal T_{+-+-} &=2e^2\frac{\langle24\rangle}{\langle23\rangle} \frac{\langle24\rangle}{\langle13\rangle}\\ &=-\frac{2e^2[13]^2}{[14][24]} . \end{aligned} \tag{60.45}

它与原角括号式在同一外态相位下相等。式中的负号来自动量守恒和括号反对称性的具体组合。

两个参考动量的具体代入

上面先取 $q_3=p_2$ ，使 $\mathcal T_{+-+-}$ 中的第二幅图消失，再选择另一个光子的参考动量 $q_4$ 。下面分别取 $q_4=p_1$ 和 $q_4=p_2$ ，计算同一振幅。保留一般参考动量表达式，令 $r=q_4$ ，便有

\mathcal T_{+-+-} =\frac{2e^2\langle24\rangle[31]} {[r4]\langle23\rangle s_{13}} \big([r1]\langle12\rangle+[r3]\langle32\rangle\big) \tag{60.46}

式中已经用过 $[r|\slashed p_j|2\rangle=-[rj]\langle j2\rangle$ ，因而式（60.32）前的负号已被这一分子分解抵消。

先令 $r=p_1$ ，第一项含 $[11]$ 而为零。余项用前面得到的 $[13]\langle32\rangle+[14]\langle42\rangle=0$ 改写为

[11]\langle12\rangle+[13]\langle32\rangle =[13]\langle32\rangle =[14]\langle24\rangle . \tag{60.47}

这使分子中的 $[14]$ 正好约去参考分母。再用 $s_{13}=\langle13\rangle[31]$ ，得到

\begin{aligned} \mathcal T_{+-+-}\big|_{q_4=p_1} &=\frac{2e^2\langle24\rangle[31]} {[14]\langle23\rangle s_{13}}\, [14]\langle24\rangle\\ &=\frac{2e^2\langle24\rangle^2} {\langle13\rangle\langle23\rangle}. \end{aligned} \tag{60.48}

再令 $r=p_2$ 。这次两个分子项都保留，但各自已经是一个不变量： $[21]\langle12\rangle=s_{12}$ ， $[23]\langle32\rangle=s_{23}$ 。四点守恒给 $s_{12}+s_{23}+s_{24}=0$ ，于是

\begin{aligned} \relax [21]\langle12\rangle+[23]\langle32\rangle &=s_{12}+s_{23}\\ &=-s_{24}=[24]\langle24\rangle . \end{aligned} \tag{60.49}

最后一个号用了 $s_{24}=\langle24\rangle[42]$ 和 $[24]=-[42]$ 。代回式（60.46），得到

\begin{aligned} \mathcal T_{+-+-}\big|_{q_4=p_2} &=\frac{2e^2\langle24\rangle[31]} {[24]\langle23\rangle s_{13}}\, [24]\langle24\rangle\\ &=\frac{2e^2\langle24\rangle^2} {\langle13\rangle\langle23\rangle}. \end{aligned} \tag{60.50}

两种取法都得到式（60.36），参考旋量的括号在分子和分母间约去。这正是参考动量所代表的规范自由在这条具体旋量链上的表现。

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