Srednicki §53 泛函行列式

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我们已经多次利用高斯积分计算自由场的生成泛函。若二次型不依赖其它场，积分给出的行列式只改变整体归一化，往往可以在零源比值中消去。现在设二次型里还含有一个指定的背景场：对量子场的积分仍然是高斯型，所得行列式却随背景而变，必须保留下来。这个泛函行列式（functional determinant）究竟包含哪些物理过程，可以通过把它展开成费曼图看清楚。

我们先讨论复标量，再讨论狄拉克场；两个计算的差别将给出闭费米圈的统计负号。第71节计算非阿贝尔规范场的路径积分时还会用到这项技术，先在熟悉的高斯理论中把它建立起来。

在指定背景中积掉复标量

先取一个复标量 $\chi$ ，使它与实的背景函数 $\varphi(x)$ 耦合：

\mathcal L_\chi =-\partial^\mu\chi^\dagger\partial_\mu\chi -m^2\chi^\dagger\chi+g\varphi\chi^\dagger\chi . \tag{53.1}

这里 $\varphi(x)$ 已经指定，路径积分只对 $\chi,\chi^\dagger$ 进行。因此每个相互作用项对被积变量仍是二次型。若按通常的标量场赋予 $[\varphi]=1$ ，则这一例子的 $g$ 有质量维数一， $g\varphi$ 与 $m^2$ 具有相同的量纲。稍后狄拉克例子也记耦合为 $g$ ，但那时它是无量纲的另一个耦合。

为了消去与背景无关的归一因子，把泛函定义成比值

Z_\chi[\varphi] =\frac{\displaystyle\int\mathcal D\chi^\dagger\mathcal D\chi\, e^{iS_\chi[\varphi]}} {\displaystyle\int\mathcal D\chi^\dagger\mathcal D\chi\, e^{iS_\chi[0]}}, \qquad Z_\chi[0]=1 . \tag{53.2}

分子和分母使用同一个测度、边界条件及调节。先在有限区域和有限基底中进行矩阵运算，再取连续极限，并用费曼处方选定真空边界条件。

对动能作一次分部积分， $-\partial^\mu\chi^\dagger\partial_\mu\chi =-\partial_\mu(\chi^\dagger\partial^\mu\chi) +\chi^\dagger\partial^2\chi$ ，于是

S_\chi[\varphi] =-\int d^4x\,\chi^\dagger (-\partial^2+m^2-g\varphi)\chi -\int_{\partial\Omega}d\Sigma_\mu\, \chi^\dagger\partial^\mu\chi . \tag{53.3}

取周期边界或使场在边界充分衰减，最后一项为零，二次型的核便是

Q_\chi(x,y) =\bigl[-\partial_x^2+m^2-g\varphi(x)\bigr]\delta^4(x-y), \qquad S_\chi=-\int d^4x\,d^4y\,\chi^\dagger(x)Q_\chi(x,y)\chi(y). \tag{53.4}

自由核提出后的余因子记为 $\widetilde Q$ 。

在有限基底中设 $\chi$ 有 $N$ 个复坐标 $z_j$ 。沿第44节的测度， $z_j=(x_j+iy_j)/\sqrt2$ ， $d^Nz\,d^N\bar z=d^Nx\,d^Ny$ 。普通复高斯积分已给出 $\int e^{-z^\dagger A z}=(2\pi)^N/\det A$ ，只要 $A$ 的厄米部分正定。取 $A=iQ_\chi$ ，便得到本节所需的振荡积分：

\int d^Nz\,d^N\bar z\,e^{-i\bar z Q_\chi z} =\frac{(2\pi)^N}{\det(iQ_\chi)} =\frac{(2\pi)^N i^{-N}}{\det Q_\chi}. \tag{53.5}

例如对有限厄米核先作 $Q_\chi\mapsto Q_\chi-i\delta I$ ， $\delta>0$ ，则指数的实部为 $-\delta z^\dagger z$ ，积分绝对收敛。最后的真空极限从这类有阻尼的积分接出。自由核 $Q_{\chi,0}$ 取同一处方，所有与背景无关的因子在比值中相消，留下

Z_\chi[\varphi]=\frac{\det Q_{\chi,0}}{\det Q_\chi[\varphi]}. \tag{53.6}

所以负一次行列式幂直接来自普通复变量的积分。它的 $2\pi$ 及 $i$ 因子虽然不出现在归一化后的答案里，相消以前仍由测度和指数中的负号确定。

用自由传播子分解二次核

把 $\Phi$ 定义为乘法算符， $(\Phi f)(x)=\varphi(x)f(x)$ 。自由部分与背景部分的分离为

\begin{gathered} Q_\chi=Q_{\chi,0}-g\Phi,\qquad Q_{\chi,0}(x,y)=(-\partial_x^2+m^2)\delta^4(x-y),\\ Q_\chi=Q_{\chi,0}(I-G_\chi),\qquad G_\chi=gQ_{\chi,0}^{-1}\Phi . \end{gathered} \tag{53.7}

这一写法先要求自由核可逆。其逆取费曼传播子 $\Delta$ ，沿本书定义满足 $(-\partial_x^2+m^2)\Delta(x-y)=\delta^4(x-y)$ ；若保留有限的真空调节，核与逆也相应同时调节。因此单位算符和剩余核分别为

\begin{aligned} I(x,y)&=\delta^4(x-y),\\ G_\chi(x,y)&=g\Delta(x-y)\varphi(y),\\ \widetilde Q_\chi(x,y)&=\delta^4(x-y)-g\Delta(x-y)\varphi(y). \end{aligned} \tag{53.8}

背景必须在第二坐标处，因为先由 $\Phi$ 乘上背景，再由 $Q_{\chi,0}^{-1}$ 传播。对一般非恒定的 $\varphi$ ， $\Phi$ 与微分算符并不对易。把核的乘法展开，可以直接检验这个顺序：

\begin{aligned} &\int d^4y\,Q_{\chi,0}(x,y)\widetilde Q_\chi(y,z)\\ &\quad=Q_{\chi,0}(x,z) -g(-\partial_x^2+m^2)\Delta(x-z)\varphi(z)\\ &\quad=Q_{\chi,0}(x,z)-g\delta^4(x-z)\varphi(z)\\ &\quad=\bigl[-\partial_x^2+m^2-g\varphi(x)\bigr]\delta^4(x-z). \end{aligned} \tag{53.9}

第二行的导数只作用于 $\Delta(x-z)$ ，最后一步才用 $\varphi(z)\delta^4(x-z)=\varphi(x)\delta^4(x-z)$ 。这样就得回式（53.4），背景也保持为局部乘法算符。

在同一个有限基底中，行列式的乘法关系给

\det Q_\chi=\det Q_{\chi,0}\det(I-G_\chi), \qquad Z_\chi[\varphi]=\det(I-G_\chi)^{-1}. \tag{53.10}

所用的 $\det(AB)=\det A\det B$ 是普通矩阵的恒等式：把 $AB$ 的各列看成 $A$ 作用在 $B$ 的列上，行列式仍是这些列的交替多线性函数，故等于 $\det B$ 乘上它在单位基底上的值 $\det A$ 。因此这一步可在撤去调节以前完成。背景为零时 $G_\chi=0$ ，剩余行列式等于一，归一条件也随之满足。

从矩阵对数到闭合传播链

要看清行列式里包含什么，最方便的是先取对数。所需关系是 $\det A=\exp(\operatorname{Tr}\ln A)$ ，可在若尔当基底中证明。对于一个可逆的有限矩阵，一个若尔当块可写成 $J=aI+N$ ，其中 $a\ne0$ 且 $N^r=0$ 。选定 $a$ 的对数分支后，

\ln J=(\ln a)I+ \sum_{k=1}^{r-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k\,a^k}N^k, \qquad \operatorname{Tr}\ln J=r\ln a,\qquad \det J=a^r . \tag{53.11}

$N$ 及其正整数次幂都严格上三角，迹为零，所以只有对角部分进入 $\operatorname{Tr}\ln J$ 。对全部若尔当块相加，再用相似变换不改变迹与行列式，便得到 $\exp(\operatorname{Tr}\ln A)=\prod a^r=\det A$ 。这个证明也适用于不可对角化的矩阵。

这里实际需要的是 $A=I-G_\chi$ 。在有限维下，若某个次乘法矩阵范数满足 $\|G_\chi\|<1$ ，对数可在单位阵附近按收敛级数定义：

\ln(I-G_\chi)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{G_\chi^n}{n}, \qquad \ln Z_\chi[\varphi] =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{Tr}G_\chi^n}{n}. \tag{53.12}

分支从零背景的 $\ln Z_\chi[0]=0$ 连续选定。若只求背景的微扰展开，这些等式也可以逐阶作为形式级数使用；撤去有限基底以前，每个系数仍须按同一规则调节。任意强背景不必处于上述收敛域，核出现零模时更不能直接沿用这个级数。

系数 $1/n$ 还可以从一个积分清楚地看出。令背景强度乘上参数 $t$ ，并从 $t=0$ 增加到一。由 $\det(I+hB)=1+h\operatorname{Tr}B+O(h^2)$ 得到

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\ln\det(I-tG_\chi) &=-\operatorname{Tr}\bigl[(I-tG_\chi)^{-1}G_\chi\bigr],\\ \ln\det(I-G_\chi) &=-\int_0^1dt\sum_{r=0}^{\infty} t^r\operatorname{Tr}G_\chi^{r+1} =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{Tr}G_\chi^n}{n}. \end{aligned} \tag{53.13}

第一个等式可在相邻两点间分解 $I-(t+h)G_\chi=(I-tG_\chi) [I-h(I-tG_\chi)^{-1}G_\chi]$ 后取行列式得到。在 $\|G_\chi\|<1$ 时，诺伊曼级数在 $0\leq t\leq1$ 上一致收敛，所以第二行可以逐项积分。由此，矩阵对数的展开及其积分因子都已确定。

接下来恢复连续坐标。算符乘法先对中间坐标积分，取迹再把首尾坐标相等。例如

\begin{aligned} \operatorname{Tr}G_\chi &=g\int d^4x\,\Delta(0)\varphi(x),\\ \operatorname{Tr}G_\chi^2 &=g^2\int d^4x\,d^4y\, \Delta(x-y)\varphi(y)\Delta(y-x)\varphi(x),\\ \operatorname{Tr}G_\chi^n &=g^n\int\prod_{j=1}^n d^4x_j\, \prod_{j=1}^n \bigl[\Delta(x_j-x_{j+1})\varphi(x_{j+1})\bigr], \qquad x_{n+1}=x_1 . \end{aligned} \tag{53.14}

一般式由 $n$ 次核乘法得到。每个 $\varphi$ 前后各有一条传播核，最后一条把链闭合。 $G_\chi$ 作为算符无量纲；它的核有质量维数 $[g]+[\Delta]+[\varphi]=1+2+1=4$ ，恰由每次坐标积分的维数抵消。因此迹的每一项都可以进入 $\ln Z$ 。

把闭合传播链读成圈图

现在直接从相互作用展开计算同一个泛函。每个顶点含有一个 $\chi$ 和一个 $\chi^\dagger$ ，而 $\varphi$ 只是指定的函数；把量子场两两收缩以后，每个顶点恰有一条线进入、一条线离开。所以连通的真空图只能是有向圈，圈上可以有任意正整数个背景插入。这类图可以统一画成

背景中的有向圈。黑点给出 $ig\varphi(x_j)$ ，箭头从传播核的第二坐标指向第一坐标；右侧省略了其余插入点。四个显式点代表一般圈的一部分，不把插入数限定为四。两种量子场的内线分别为 $\Delta/i$ 和 $S/i$ 。

先讨论复标量。沿本书的传播子定义， $\langle T\chi(x)\chi^\dagger(y)\rangle_0=\Delta(x-y)/i$ 。相互作用指数展开至 $n$ 阶给出

\left.Z_\chi[\varphi]\right|_{g^n} =\frac{(ig)^n}{n!}\int\prod_{j=1}^n d^4x_j\,\varphi(x_j) \sum_{\pi\in\mathfrak S_n} \prod_{j=1}^n\frac{\Delta(x_j-x_{\pi(j)})}{i}. \tag{53.15}

这里排列 $\pi$ 说明第 $j$ 个 $\chi$ 与第 $\pi(j)$ 个 $\chi^\dagger$ 配对。每个排列都能唯一分解成若干互不相交的循环；一个循环恰好就是一个连通圈。要得到含全部 $n$ 个顶点的连通图， $\pi$ 必须是一个 $n$ 循环。固定从标签1开始读这个循环，剩下 $n-1$ 个标签可以任意排列，所以这样的收缩共有 $(n-1)!$ 个。各顶点的坐标都要积分，重新命名这些哑变量便使所有单圈积分相同。它们与指数展开中的 $n!$ 相除，留下

\begin{aligned} C_{\chi,n}[\varphi] &=\frac{(n-1)!}{n!}(ig)^n \int\prod_{j=1}^n d^4x_j\,\varphi(x_j) \prod_{j=1}^n\frac{\Delta(x_j-x_{j+1})}{i}\\ &=\frac{g^n}{n}\int\prod_{j=1}^n d^4x_j\, \prod_{j=1}^n [\Delta(x_j-x_{j+1})\varphi(x_{j+1})] =\frac1n\operatorname{Tr}G_\chi^n . \end{aligned} \tag{53.16}

第一行的 $n$ 个顶角各带一个 $i$ ， $n$ 条传播线各带一个 $1/i$ ，二者完全相消。积掉所有坐标时， $\prod_j\varphi(x_j)=\prod_j\varphi(x_{j+1})$ ，于是第二行正好成为式（53.14）的迹。从无标签图看，同样的 $1/n$ 来自沿有向圈选择起点的 $n$ 种重复；即对称因子 $S=n$ 。有向线已经区分两个方向，反射不再给一个额外的二分之一。当 $n=1$ 时这是单个插入上的蝌蚪；当 $n=2$ 时两条反向传播线接在两个顶点之间，权重分别为一和二分之一，均包含在上述计数中。

剩下的图只是若干这种圈的乘积。设其中含有 $r_n$ 个各具 $n$ 个插入的圈，总顶点数为 $N=\sum_n nr_n$ 。把 $N$ 个标签分成这些圈，给出 $N!/\prod_n[(n!)^{r_n}r_n!]$ 种分组；再对每组计入 $(n-1)!$ 种单循环收缩，最后除以展开中的 $N!$ ，便得到每个圈的 $1/n$ 及相同圈之间的 $1/r_n!$ 。因此第9节的连通图指数关系在这里具体成为

Z_\chi[\varphi] =\prod_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{r_n=0}^{\infty} \frac{C_{\chi,n}[\varphi]^{r_n}}{r_n!}\right) =\exp\!\left(\sum_{n=1}^{\infty}C_{\chi,n}[\varphi]\right). \tag{53.17}

定义 $Z_\chi=e^{i\Gamma_\chi}$ ，并使 $\Gamma_\chi[0]=0$ ，于是

i\Gamma_\chi[\varphi] =\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\operatorname{Tr}G_\chi^n =-\operatorname{Tr}\ln(I-G_\chi). \tag{53.18}

行列式把所有背景插入数一次包含在内；取它的对数，则恰好留下连通的圈。

积掉狄拉克场

接着把被积变量换成狄拉克场，仍保持 $\varphi(x)$ 为指定背景。这里采用普通标量耦合：

\begin{aligned} \mathcal L_\Psi &=i\bar\Psi\slashed\partial\Psi-m\bar\Psi\Psi +g\varphi\bar\Psi\Psi,\\ S_\Psi &=-\int d^4x\,\bar\Psi (-i\slashed\partial+m-g\varphi)\Psi . \end{aligned} \tag{53.19}

这次 $[\Psi]=3/2$ ，故在 $[\varphi]=1$ 时 $g$ 无量纲。顶角是 $ig\varphi$ 乘旋量单位阵；前两章赝标量耦合中的 $\gamma_5$ 不出现在这里。动能已经写成导数作用于 $\Psi$ 的形式，第二行只是从整个二次型提取负号，无需再把导数移过 $\bar\Psi$ 。

在有限基底中，将时空与旋量标签合成一个指标。若共有 $N$ 个时空基函数，就有 $4N$ 对独立的格拉斯曼变量。第44节的复格拉斯曼高斯积分给出 $\int e^{\bar\psi A\psi}=\det A$ 。把 $A=-iQ_\Psi$ 代入，并与零背景积分相比，有

\begin{aligned} Z_\Psi[\varphi] &=\frac{\displaystyle\int\mathcal D\bar\Psi\mathcal D\Psi\, e^{iS_\Psi[\varphi]}} {\displaystyle\int\mathcal D\bar\Psi\mathcal D\Psi\, e^{iS_\Psi[0]}}\\ &=\frac{\det(-iQ_\Psi)}{\det(-iQ_{\Psi,0})} =\frac{(-i)^{4N}\det Q_\Psi} {(-i)^{4N}\det Q_{\Psi,0}} =\frac{\det Q_\Psi}{\det Q_{\Psi,0}}, \qquad Z_\Psi[0]=1 . \end{aligned} \tag{53.20}

格拉斯曼积分只取有限多项式的最高次系数，因而这里不需要普通高斯积分的收敛条件。归一比仍要求自由核可逆，并须对两项采用一致的真空边界处方。与复标量相比，行列式幂的正负已经翻转；后面的统计差别都从这里产生。

为了看清旋量指标，把核与自由逆写为

\begin{aligned} (Q_\Psi)_{\alpha\beta}(x,y) &=\bigl[(-i\slashed\partial_x+m)_{\alpha\beta} -g\varphi(x)\delta_{\alpha\beta}\bigr]\delta^4(x-y),\\ (Q_{\Psi,0})_{\alpha\beta}(x,y) &=(-i\slashed\partial_x+m)_{\alpha\beta}\delta^4(x-y),\\ (-i\slashed\partial_x+m)_{\alpha\beta} S_{\beta\gamma}(x-y) &=\delta_{\alpha\gamma}\delta^4(x-y),\\ (I-G_\Psi)_{\alpha\beta}(x,y) &=\delta_{\alpha\beta}\delta^4(x-y) -gS_{\alpha\beta}(x-y)\varphi(y). \end{aligned} \tag{53.21}

重复旋量指标求和。最后一行中的背景仍在右侧，所以 $G_\Psi=gQ_{\Psi,0}^{-1}\Phi$ 。进行一次核乘法时，时空积分与中间旋量求和同时出现：

\begin{aligned} &(Q_{\Psi,0}G_\Psi)_{\alpha\gamma}(x,z)\\ &\quad=\int d^4y\, (Q_{\Psi,0})_{\alpha\beta}(x,y) gS_{\beta\gamma}(y-z)\varphi(z)\\ &\quad=g(-i\slashed\partial_x+m)_{\alpha\beta} S_{\beta\gamma}(x-z)\varphi(z)\\ &\quad=g\delta_{\alpha\gamma}\delta^4(x-z)\varphi(z). \end{aligned} \tag{53.22}

这便证明 $Q_\Psi=Q_{\Psi,0}(I-G_\Psi)$ ，并确定了核乘法中的指标次序。消去自由行列式后，

\begin{aligned} Z_\Psi[\varphi]&=\det(I-G_\Psi),\\ i\Gamma_\Psi[\varphi] =\ln Z_\Psi[\varphi] &=\operatorname{Tr}\ln(I-G_\Psi) =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\operatorname{Tr}G_\Psi^n . \end{aligned} \tag{53.23}

这里沿用复标量部分已经说明的对数分支与微扰解释。大写的 $\operatorname{Tr}$ 现在还包括旋量指标；将时空迹展开以后，小写的 $\operatorname{tr}$ 只留给旋量矩阵：

\begin{aligned} \operatorname{Tr}G_\Psi^n &=g^n\int\prod_{j=1}^n d^4x_j\,\prod_{j=1}^n\varphi(x_j)\, \operatorname{tr}\!\left[ S(x_1-x_2)S(x_2-x_3)\cdots S(x_n-x_1)\right]\\ &=g^n\int\prod_{j=1}^n d^4x_j\,\prod_{j=1}^n\varphi(x_j)\, S_{\alpha_1\alpha_2}(x_1-x_2) S_{\alpha_2\alpha_3}(x_2-x_3)\cdots S_{\alpha_n\alpha_1}(x_n-x_1). \end{aligned} \tag{53.24}

首尾旋量指标相接便产生迹。这些 $S$ 一般不彼此对易，只能整体循环移动，不能任意交换相邻因子。因而选取圈的另一个起点不改变答案，逆序读圈却须重新按相应的有向收缩组织矩阵。 $[S(x-y)]=3$ ，所以这次核的维数为 $0+3+1=4$ ，再次与坐标积分相抵。

费米子闭圈的负号

狄拉克图也只有双线性插入，所以循环起点的计数仍给 $1/n$ 。如果先只把顶角、传播子和这个循环因子相乘，就会得到

\frac{(ig)^n}{n\,i^n} \int\prod_{j=1}^n d^4x_j\,\prod_{j=1}^n\varphi(x_j)\, \operatorname{tr}\!\left[ S(x_1-x_2)\cdots S(x_n-x_1)\right] =+\frac1n\operatorname{Tr}G_\Psi^n . \tag{53.25}

它与式（53.23）比较，还差一个整体负号。行列式已经计入了格拉斯曼积分的统计效应，而刚才的图因子尚未计入。下面用场的反交换次序把这个负号直接算出来。

记第 $j$ 个顶点中的两个奇变量为 $B_j=\bar\Psi_{a_j}(x_j)$ 、 $A_j=\Psi_{b_j}(x_j)$ ，并记 $K_{jk}=\langle T A_jB_k\rangle_0 =S_{b_j a_k}(x_j-x_k)/i$ 。作用量里的次序为 $B_jA_j$ 。为了应用已经建立的费米Wick配对，先把所有 $A$ 移到所有 $B$ 的前面。 $A_1$ 须跨过一个 $B$ ， $A_2$ 须跨过两个，依此类推，故

B_1A_1B_2A_2\cdots B_nA_n =(-1)^{n(n+1)/2}A_1A_2\cdots A_nB_1B_2\cdots B_n . \tag{53.26}

对右侧先考虑 $A_j$ 与 $B_j$ 配对的一项。将 $B_1$ 移到 $A_1$ 旁边，须跨过 $n-1$ 个 $A$ ；去掉这一对后， $B_2$ 须跨过 $n-2$ 个，直至最后一对无需移动。因此这项收缩带 $(-1)^{n(n-1)/2}$ 。若改成 $A_j$ 与 $B_{\pi(j)}$ 配对，重排 $B$ 序列还要乘上 $\operatorname{sgn}\pi$ 。将所有配对相加，再合并前一步的符号，得到

\begin{aligned} \langle T A_1\cdots A_nB_1\cdots B_n\rangle_0 &=(-1)^{n(n-1)/2} \sum_{\pi\in\mathfrak S_n}\operatorname{sgn}\pi \prod_{j=1}^n K_{j,\pi(j)},\\ \langle T\prod_{j=1}^n B_jA_j\rangle_0 &=(-1)^n \sum_{\pi\in\mathfrak S_n}\operatorname{sgn}\pi \prod_{j=1}^n K_{j,\pi(j)} . \end{aligned} \tag{53.27}

两次移动的指数之和为 $n^2$ ，与 $n$ 具有相同奇偶性，这说明第二行前面的 $(-1)^n$ 从何而来。现在把排列拆成 $c(\pi)$ 个循环，长度分别为 $n_1,\ldots,n_{c(\pi)}$ 。长度 $n_a$ 的循环由 $n_a-1$ 次对换组成，故

\operatorname{sgn}\pi =\prod_{a=1}^{c(\pi)}(-1)^{n_a-1} =(-1)^{n-c(\pi)},\qquad (-1)^n\operatorname{sgn}\pi=(-1)^{c(\pi)} . \tag{53.28}

每个循环就是一个闭圈，所以每个闭费米圈贡献一个负号，而与圈上有多少个顶点无关。对于一个连通圈，将这个号与式（53.25）相乘，便有

\begin{aligned} C_{\Psi,n}[\varphi]&=-\frac1n\operatorname{Tr}G_\Psi^n,\\ i\Gamma_\Psi[\varphi] &=-g\operatorname{Tr}(S\Phi) -\frac{g^2}{2}\operatorname{Tr}(S\Phi S\Phi)+O(g^3). \end{aligned} \tag{53.29}

最低两阶也可直接读出这个结果。一个顶点给 $\langle T B_1A_1\rangle_0=-K_{11}$ 。两个顶点给 $K_{11}K_{22}-K_{12}K_{21}$ ：第一项是两个独立蝌蚪，属于指数展开中的乘积；第二项才是连通圈，负号和二阶展开的 $1/2!$ 共同给出上式的二次项。这样，格拉斯曼配对、行列式正幂与图的闭圈规则得到了同一个答案。本节未对相互作用作正规序；普通标量耦合允许蝌蚪及其它奇数插入项，因此不能在圈和中自行删去奇数 $n$ 。

背景的量子作用量与紫外项

最后说明 $\Gamma[\varphi]$ 为什么可以称为背景的量子作用量。假设 $\varphi$ 也有自己的作用量 $S_\varphi$ ，以后还要对它积分。先完成对 $\chi$ 的积分，或先完成对 $\Psi$ 的积分，会把原来的被积式改写为

\int\mathcal D\varphi\,e^{iS_\varphi[\varphi]}Z[\varphi] =\int\mathcal D\varphi\, e^{i\{S_\varphi[\varphi]+\Gamma[\varphi]\}} . \tag{53.30}

所以 $\Gamma$ 直接增加到 $\varphi$ 的作用量中。只要被积场在固定背景下仍是二次型，这次高斯积分便精确完成了对该场的积分。它含有任意多个背景插入，但每个连通图都只有一个被积场的圈； $\varphi$ 自身的量子涨落则由余下的路径积分产生。这与第21节通过勒让德变换定义完整有效作用量的步骤有所区别：此处只完成了对其中一种场的积分。

还须处理圈的紫外发散。归一条件 $Z[0]=1$ 消去了无背景的自由真空因子，但有背景插入的圈一般仍然发散。以固定外动量考察大的欧几里得圈动量 $\ell$ ，标量传播子按 $\ell^{-2}$ 衰减，狄拉克传播子的上界按 $\ell^{-1}$ 衰减，所以 $n$ 个插入的表面发散度为

\omega_{\chi,n}=4-2n,\qquad \omega_{\Psi,n}=4-n . \tag{53.31}

复标量的一次插入可产生线性背景项，二次插入可产生背景平方项。狄拉克圈还可产生三次、四次背景项，二点圈对外动量的二次展开则产生动能项。旋量迹会降低某些项的实际发散度：例如单插入中的 $\operatorname{tr}\slashed\ell=0$ ，留下的是 $4m/(\ell^2+m^2)$ ；三插入中最高的三次动量分子也因奇数gamma迹为零而消失。因此质量非零时，允许的局部背景反项仍包括 $\varphi,\varphi^2,(\partial\varphi)^2,\varphi^3,\varphi^4$ ，各自的系数须按所选调节和减除条件确定。这些背景相关的紫外项由相应的局部反项减除，余下部分进入重整化后的背景作用量。

补充：实场与马约拉纳场的二分之一

两个例子都使用复变量。与第44节的实变量积分比较，还能看清实标量和马约拉纳场的圈权重为什么各带一个二分之一。这项比较不需要重新枚举所有图，只须保持二次作用量的归一化。

将复标量写成 $\chi=(\chi_1+i\chi_2)/\sqrt2$ ，实背景与实耦合使作用量分成两个相同的实二次型。每个实场的背景相互作用为 $g\varphi\chi_a^2/2$ ，故两个相同实场泛函的乘积等于原来的复场泛函。结合实高斯积分，在零背景附近选择相同的连续分支，

Z_{\rm real}[\varphi] =\det(I-G_\chi)^{-1/2},\qquad i\Gamma_{\rm real} =\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\operatorname{Tr}G_\chi^n . \tag{53.32}

拉氏量中的二分之一会被顶角上两个相同场的收缩数抵消，所以单个顶角仍为 $ig\varphi$ 。圈的总半因子反映的正是独立实自由度减半。

对于马约拉纳场，沿前文约定 $\bar\Psi=\Psi^T\mathcal C$ ，作用量写成 $-\frac12\Psi^T\mathcal C Q_\Psi\Psi$ 。这里的转置同时作用于旋量与时空基底；在共同边界条件下 $(\partial_\mu)^T=-\partial_\mu$ 。利用 $\gamma^{\mu T}\mathcal C=-\mathcal C\gamma^\mu$ ，而标量背景的转置不变，便得到

\begin{aligned} Q_\Psi^T\mathcal C &=\bigl(i\gamma^{\mu T}\partial_\mu+m-g\varphi\bigr)\mathcal C =\mathcal C(-i\gamma^\mu\partial_\mu+m-g\varphi) =\mathcal C Q_\Psi,\\ (\mathcal C Q_\Psi)^T&=-\mathcal C Q_\Psi . \end{aligned} \tag{53.33}

因此指数中的矩阵 $-i\mathcal C Q_\Psi$ 反对称，其格拉斯曼积分由Pfaffian给出。对同一测度取零背景比值，再利用 $\operatorname{Pf}(A)^2=\det A$ ，可得

\begin{aligned} Z_{\mathrm{Maj}}[\varphi] &=\frac{\operatorname{Pf}(-i\mathcal C Q_\Psi)} {\operatorname{Pf}(-i\mathcal C Q_{\Psi,0})},\\ Z_{\mathrm{Maj}}[\varphi]^2 &=\frac{\det Q_\Psi}{\det Q_{\Psi,0}} =\det(I-G_\Psi),\\ i\Gamma_{\mathrm{Maj}} &=\frac12\operatorname{Tr}\ln(I-G_\Psi) =-\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\operatorname{Tr}G_\Psi^n . \end{aligned} \tag{53.34}

最后一行的分支从 $Z[0]=1$ 连续固定，前提是过程中没有核的零模。它保留每圈的费米统计负号，同时把狄拉克的自由度减半。因而在相同核与顶角归一化下，四种圈在 $i\Gamma$ 中的权重为

被积场	$n$ 次背景插入的系数
复标量	$+\operatorname{Tr}G_\chi^n/n$
实标量	$+\operatorname{Tr}G_\chi^n/(2n)$
狄拉克场	$-\operatorname{Tr}G_\Psi^n/n$
马约拉纳场	$-\operatorname{Tr}G_\Psi^n/(2n)$

普通积分与格拉斯曼积分决定统计号，实自由度与复自由度的数目决定半因子。这两个区别在高斯积分中已经出现，展开成圈图以后仍须同时保留。

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