Srednicki §70 群表示

上一节已使同一个规范场同任意物质多重态耦合。不同多重态所含的分量数可以不同，生成元也可以是不同大小的矩阵，但它们必须满足同一组对易关系。计算散射振幅时，这些矩阵沿物质线相乘；闭合物质线又使矩阵乘积成为迹。因此，除了知道群的名称，我们还需要知道所用表示怎样分解，以及各种生成元乘积给出什么群因子。

这里的表示空间取有限维复空间，生成元取厄米矩阵。先讨论半单规范代数，在需要单一迹指标的地方取一个简单因子；对于非简单的$SO(4)$，将直接用标准生成元计算总迹。时空约定仍沿上一节，本节的主要运算则全在内部表示空间中进行。

表示及其复共轭

记表示为$R$，其维数为$D(R)$。在固定的李代数基下，它们满足

$A$将表示伴随表示，其维数就是生成元的数目。这里的相位参数已包含耦合：同上一节比较，$\theta^a_{70}=g\theta^a_{69}$。改变表示时保持$f^{abc}$不变，不能独立把某一表示的全部生成元再乘任意常数。群原来由哪些矩阵定义，那组矩阵就称为基本表示或定义表示；例如$SU(N)$的定义空间为$N$维。

半单李代数的生成元无迹。为证明这一点，先说明简单性的含义：一个线性子空间若与代数中任意元素取交换子后仍留在该子空间，就称为理想；没有非零真理想的非阿贝尔代数称为简单代数。对简单代数，无迹性可以从对易关系得到：由$[Z,[X,Y]]=[[Z,X],Y]+[X,[Z,Y]]$，所有交换子的线性包络是非零理想，简单性使它等于整个代数，因而每个生成元都是交换子的线性组合。矩阵交换子的迹为零，故$\operatorname{Tr}T_R^a=0$。半单代数逐个简单因子应用这个论证。若规范群另含$U(1)$，相应电荷矩阵一般有非零迹，后面用到无迹性的计算便须保留其附加项。

现在对对易关系取复共轭。由于$f^{abc}$为实，右端的$i$变号，因此共轭表示定义为

负号使共轭后的矩阵仍满足原来的李代数。若能选一组基，使全部$T_R^a$都是纯虚矩阵，那么$T_{\bar R}^a=T_R^a$，群矩阵$U_R$便是实矩阵，称为实表示。若$R$与$\bar R$酉等价，却不存在这样的实基，则称为伪实表示；若两者不等价，则称为复表示。判定时必须使用同一个基变换处理全部生成元。

一个很方便的排除法来自谱。若$R\simeq\bar R$，任意实线性组合$H=h_aT_R^a$必须同$-H^*$酉等价。$H$厄米，其本征值为实，因此这些本征值必须在变号后保持同样的重数。对$SU(N\ge3)$的基本表示，取

两套谱不同，故基本表示为复表示。这里不要求$H$本身是归一化基中的某一个生成元，只须它是厄米无迹矩阵。谱不配对足以排除自共轭；谱配对本身尚未构造出一组共同的交织矩阵。

$SU(2)$的情况不同。取$T^a=\sigma^a/2$及$V=\sigma_2$，泡利矩阵给出

第一行正好对应$\sigma_1,\sigma_3$为实、$\sigma_2$为纯虚的性质，证明双重态同其共轭等价。还要证明它不能换成实基，才能断定它是伪实表示。下面的论证也解释了实与伪实的区别。

暂取不可约表示，即不存在被全部生成元保持的非零真子空间。若$-(T^a)^*=V^{-1}T^aV$，其中$V$酉，令$K$表示逐分量复共轭，定义反线性算符$\mathcal J=VK$。关系$T^aV=-V(T^a)^*$连同$i$在复共轭下变号，保证$\mathcal JU_R=U_R\mathcal J$。因此$\mathcal J^2$是同全部生成元对易的线性算符。由第33节已证明的舒尔引理，它在不可约空间为标量：

第二行的两边都是$\mathcal J^3$，所以$c=c^*$。最后的转置关系由$VV^*=c\mathbf1$右乘$V^T$得到。若换用另一酉交织矩阵，对应反线性算符之比与群作用对易，仍只能是相位，不能改变$\mathcal J^2$的符号。

当$c=+1$时，任意向量可以写成

右边两个分式都被$\mathcal J$固定。固定向量之间的内积为实，可以用实系数的格拉姆—施密特过程选出正交基。在这组基中$\mathcal J$就是普通共轭，同它对易的群矩阵为实，生成元则为纯虚反对称矩阵。当$c=-1$时，上述实基不可能存在；同时$V$非退化且反对称，$\det V=\det V^T=(-1)^{D(R)}\det V$便要求维数为偶数。式（70.4）的$c=-1$遂证明$SU(2)$双重态伪实。$SO(N)$的向量表示从开始就可以使用纯虚反对称生成元，因而为实表示。对于可约表示，这一分类应逐个不可约块使用，不能只凭某个交织矩阵不等于单位矩阵就断言整个表示伪实。

由结构常数构造伴随表示

把结构常数排成矩阵，定义

第69节已由循环迹证明$f$实且完全反对称，所以这些矩阵厄米，并给出实表示。还须检验它们是否满足同一李代数，这正是雅可比恒等式的作用。对任意三个矩阵$X,Y,Z$，分别展开

相加时每一种有序乘积恰好出现一次正项和一次负项，故总和为零。再取$X=T^a,Y=T^b,Z=T^c$，两次使用李括号产生$i^2=-1$。右乘$T^e$并取定义表示的迹，得到

除去非零的$\kappa$，便得到结构常数的雅可比恒等式。对$SU(N)$基本表示，$\kappa=1/2$。这个证明只用到迹形式非退化，不依赖$1/2$这个特定数值。对$SO(N)$基本表示取$\kappa=2$时，同样可用。

为了核对伴随矩阵的指标，把雅可比中的顺序取为$a,c,b$，再利用$f$反对称，便有

第二行的左边用了$(-i)^2=-1$，右边用了$i(-i)=1$；第三行的求和指标$d$恰好连接前一矩阵的列与后一矩阵的行。因此$[T_A^a,T_A^c]=if^{acd}T_A^d$。规范场的内部标签本身可以按这个表示变换，因而伴随表示会反复出现。

迹指标与二次卡西米尔量

两个生成元的迹把表示的信息压缩成一个简单群因子。先令$q_R^{ab}=\operatorname{Tr}_R(T_R^aT_R^b)$。厄米性和循环迹使它为实对称矩阵；在交换子中插入生成元，再作迹循环，有

这说明$q_R$在伴随变换下不变。在已经选定的正交生成元基中，它与全部伴随矩阵对易，因此它的本征子空间都是李代数的理想。对简单代数只可能有一个本征值，于是定义迹指标$T(R)$：

非平凡表示的$T(R)>0$，因为至少有一个非零厄米生成元，其平方迹严格为正。各表示的$T(R)$通常不同，不能再一律取为基本表示的数值。对于几个简单因子的直积，式（70.11）只要求每个因子内部各有一个系数，须分别命名这些指标。

上一节已证明二次组合$\mathcal C_R=\sum_aT_R^aT_R^a$与全部生成元对易：收缩中的矩阵反对易子关于$a,c$对称，$f^{abc}$则反对称。现在进一步假定$R$不可约。$\mathcal C_R$厄米，它的每个本征空间又因对易性而被所有生成元保持，所以只容许一个本征值。定义二次卡西米尔量$C(R)$，并取迹，得到

这个关系说明两个维数各在数什么：$D(A)$数生成元，$D(R)$数表示分量。若去掉不可约条件，对易性并不足以使算符成为数倍单位矩阵。例如$SU(2)$的$R=1\oplus2$：

它与每个生成元对易，却不是数倍单位矩阵。对一般直和应在每个不可约块分别使用$C(R_\alpha)$，总迹为$T(R)D(A)=\sum_\alpha C(R_\alpha)D(R_\alpha)$。若各块恰有相同本征值，当然仍可用一个共同的$C$。

下面将用直积分解计算两族常用的群因子：在$SU(N)$基本归一$T(N)=1/2$下求出$T(A)=N$，在$SO(N)$基本归一$T(N)=2$下求出$T(A)=2N-4$。两族的基本归一始终分别保留。

直和与直积

前面已用到不可约性。现在看可约表示为什么能够同时分块。设$W$是全部生成元的共同不变子空间，对$v\in W^\perp,w\in W$，厄米性给$\langle w,T_R^av\rangle=\langle T_R^aw,v\rangle=0$，所以$W^\perp$也不变。选取这两个子空间的正交基，就把所有生成元同时写成两个对角块。递归使用这一过程，有限维表示便分解成不可约直和。对两块的情形，

最后一式来自乘积仍按相同两块分开、迹按块相加。两块可以具有不同维数和表示类型。

两个分别按$R_1,R_2$变换的量相乘时，两个指标都要变换，空间便是直积$R_1\otimes R_2$。用$i,j$标记第一个空间、$I,J$标记第二个空间，从有限变换展开一次项：

作用于不同因子的两个矩阵对易，所以两次乘积的交叉交换子为零，余下$[T_1^a,T_1^b]\otimes\mathbf1+\mathbf1\otimes[T_2^a,T_2^b]=if^{abc}T_{R_1\otimes R_2}^c$，仍是同一个李代数。

取两个直积生成元的乘积，并利用$\operatorname{Tr}_{12}(X\otimes Y)=\operatorname{Tr}_1X\operatorname{Tr}_2Y$，四项分别给

第二行的两个单生成元迹由无迹性消失，因而得到最后一行的乘积指标公式。这也指出含阿贝尔电荷时需要修改的位置。

上下指标与不变张量

为了识别直积中的不变子空间，引入上下内部指标。约定$\varphi_i$属于$R$，厄米共轭写成$\varphi^{\dagger i}$；生成元的行指标在下、列指标在上。它们的变换为

第二行用厄米性把复共轭改写成转置。有限变换下$\varphi^\dagger\varphi$成为$\varphi^\dagger U_R^\dagger U_R\varphi$，故保持不变。若逐项使用上式，两项相位贡献也相消；只须重命名求和指标，不交换场的次序，因此费米场也没有额外的交换号。

把$\delta_i{}^j$本身看作一个双指标对象，每个指标都按所属表示变换，便有

这称为不变张量。单位矩阵在共轭变换下保持不变，因此它把$R$与$\bar R$的一对指标收缩成标量。

一个按$R\otimes\bar R$变换的量可以排成矩阵$M_i{}^j$，其变换为$M\mapsto U_RMU_R^{-1}$，也就是表示空间上的线性映射空间$\operatorname{End}(V_R)$。其中单位矩阵张成的一维子空间不变，群在它上面始终取数值1，生成元取零。这就是单态，所以

对不可约$R$，舒尔引理进一步说明所有同群作用对易的矩阵都与单位矩阵成正比，所以这里的单态只有一份。对可约$R$可能有更多不变矩阵，省略项就可能含更多单态。

生成元本身也给出不变张量，但它有三个指标：$(T_R^b)_i{}^j$的$i,j$分别属于$R,\bar R$，$b$属于伴随表示。同时变换这三个指标，一次变化为

把共轭的负转置和伴随的$-if$代入，括号成为

因此，非零生成元组成的不变向量使$R\otimes\bar R\otimes A$含有单态。这里把$b$也一起变换了；固定某一个$T_R^b$只受物质空间共轭作用时，它仍会同其余生成元混合。

进一步要判断$R\otimes\bar R$是否含有伴随表示，必须构造出相应的不变子空间。直接在$\operatorname{End}(V_R)$中使用生成元的张成空间便能做到。令

这里$t_a$为复化代数的一组基，取$[t_a,t_b]=if^{abc}t_c$；它对应紧实形式中$-it_a$的实基。第二、三行用$f^{cba}=-f^{cab}$，说明$\iota$把伴随变换映成矩阵共轭变换。其核是理想：若$\iota(X)=0$，则$\iota([Y,X])=[\iota(Y),\iota(X)]=0$。对简单代数的非平凡表示，核既不能是全代数，只能为零。实基上的单射复线性延拓后仍单射，因为厄米矩阵的复线性关系可分成实部与虚部的两组实线性关系。

这样找到的$D(A)$维子空间确实与伴随表示等价。它由无迹矩阵组成，与单位矩阵正交；再利用完全可约性取它们的不变正交补，便得到

平凡表示$R=1$显然不满足这个结论。若有几个简单因子，只能保证包含在$R$中作用非零的那些伴随因子。非平凡性和简单因子的限制保证了上述嵌入为单射。

SU(N)的分解与群因子

对$SU(N)$的基本表示，刚才的分解尤其简单。$N\times N$矩阵空间有$N^2$维，而单位矩阵与$N^2-1$个无迹生成元已经构成一组完整基。由$\operatorname{Tr}(T^aT^b)=\delta^{ab}/2$投影任意复矩阵$M$，得到

系数$1/N$使第一项的迹等于$\operatorname{Tr}M$，系数2则补偿基本迹的$1/2$。第一个投影为单态，第二个投影为伴随，二者已经耗尽维数，因而分解中没有其余项。

比较$M_l{}^k$在两边的系数，还得到一个有用的补充恒等式：

它就是同一投影的分量写法，常用来计算内部指标收缩。令$k=j$并求和，第一项给$N\delta_i{}^l$，第二项给$\delta_i{}^l/N$，于是$\sum_aT^aT^a=(N^2-1)\mathbf1/(2N)$。它同式（70.13）给出的基本卡西米尔一致。

现在可以求伴随表示的迹指标。负复共轭不改变二次迹，故$T(\bar N)=T(N)=1/2$。对式（70.25）分别应用直积及直和迹公式，得

伴随的$C(A)=T(A)$来自两侧表示维数同为$D(A)$。另一条路线是限制到只作用于前两个分量的$SU(2)$子群。先用$-i\epsilon^{abc}$直接算三重态的迹为$2\delta^{ab}$，三重态的迹具体为$\sum_{c,d}(-i\epsilon^{acd})(-i\epsilon^{bdc})=\sum_{c,d}\epsilon^{acd}\epsilon^{bcd}=2\delta^{ab}$：$a=b$时有两种非零排列，$a\ne b$时没有共同的非零指标对。再取$m=N-2$，在已知$N\otimes\bar N=1\oplus A$中展开$(2\oplus m1)\otimes(2\oplus m1)$，得到

这里用到的$2\otimes2=1\oplus3$在下面用双指标张量写出；也可直接沿第33节的角动量合成取两个自旋$1/2$。其中两个交叉积各给$m$个二重态，$2\otimes\bar2$给一个三重态与一个单态；扣除原$SU(N)$的迹单态后，剩下$m^2$个子群单态。维数核对为$3+4m+m^2=N^2-1$。子群生成元在基本空间中保持原来的归一，按其各不变块求迹就能读出同一群指标。

实表示的平方与SO(N)

当$R$同其共轭等价时，可把$R\otimes\bar R$改写成$R\otimes R$。对于实表示，先选出纯虚厄米基，便有$T^T=-T$。双下指标的$\delta_{ij}$在两个相同表示作用下变为

有限变换就是$U\delta U^T=\delta$，所以这是一条精确的不变关系。其单态落在对称平方中。若改用一般酉基，不变张量也要随基变换，不一定仍具有数值$\delta_{ij}$的外形。

对$SO(N)$向量的平方，任意矩阵$X_{ij}$可以明确分成

指标互换与取迹都同正交变换相容，因此每一部分各自变换。直接再施一次投影可知$P_r^2=P_r$；在不同部分之间投影为零。反对称矩阵按$X\mapsto OXO^T=OXO^{-1}$变换，与正交代数的伴随作用相同。对称部分减去一个迹后满足$X_{ij}=X_{ji}$及$X_{ii}=0$，将这一表示记作$S$，便有

下标$\mathrm S,\mathrm A$说明交换两个向量指标时的对称性，不是另一个群标签。维数分别来自上三角或含对角的上三角元素计数，三部分之和仍为$N^2$。这先给出三个自然不变子空间；低秩群中还要留意进一步分解，例如在四维内部欧氏空间，定义$(*X)_{ij}=\epsilon_{ijkl}X_{kl}/2$，双重对偶满足$*^2X=X$。于是$X_\pm=(X\pm*X)/2$分别满足$*X_\pm=\pm X_\pm$，各由三个分量确定；对偶又与$SO(4)$作用相容。这就将六维伴随分成两块三维不变表示。

这里使用的正交生成元可具体取成$T^{rs}=-i(E_{rs}-E_{sr})$、$r<s$，其中$E_{rs}$只有第$r$行第$s$列为1。利用$E_{rs}E_{tu}=\delta_{st}E_{ru}$，相同生成元的平方迹为2，不同生成元的内积为零，故基本指标为2。要算伴随指标，限制到前三个分量的$SO(3)$，写$m=N-3$，则$N$变成$3\oplus m1$。反对称平方分成三个来源：前三指标之间的$\Lambda^2 3\simeq3$，前三区与每个其余分量组成的$m$个三重态，以及其余指标之间的$m(m-1)/2$个单态。因此

三维$\epsilon_{ijk}$将反对称二阶张量映为向量，而$SO(3)$向量生成元为$-i\epsilon^{abc}$，所以每个三重态贡献指标2。这个分支的维数为$3(m+1)+m(m-1)/2=N(N-1)/2$。还可直接在反对称平方中计算全迹。令$\mathsf P(v\otimes w)=w\otimes v$、$P_-=(1-\mathsf P)/2$，则

不含交换算符的迹中，两项交叉项由生成元无迹而消失；含交换算符时，四项都成为同一个二次迹。$P_-$与$\mathcal T^a$对易，投影后的迹就是反对称子空间的总迹。这一计算也适用于$SO(4)$的完整伴随空间。

这些数值都随最初生成元的尺度而定。如果全体表示统一改成$T'^a=sT^a$，对易关系给$f'=sf$，而二次迹及卡西米尔给$T'(R)=s^2T(R)$、$C'(R)=s^2C(R)$。例如把这里的SO生成元缩小一半，基本指标才变成$1/2$，伴随指标同时变成$(N-2)/2$；计算规范作用时还要相应保持$gA^aT^a$。只有把这些变化同时实施，才是在比较两种归一下的同一计算。

伪实表示与反对称单态

实表示的单态由对称双线性型给出。伪实表示也同其共轭等价，但相应不变张量为反对称型。这个区别可从前面的$V$直接看出。关系$T^aV=-V(T^a)^T$使

因而$V$本身是$R\otimes R$中的不变向量。对不可约表示，若还有一个线性独立的非零交织矩阵$W$，$WV^{-1}$就会同全部生成元对易，与舒尔引理矛盾；所以不变双线性型只有一个方向。实型的$c=+1$把单态放进对称平方，伪实型的$c=-1$把它放进反对称平方。不变双线性型的唯一性因而需要不可约条件。

基本表示还有一个直接可写的不变张量。令$\epsilon_{i_1\cdots i_N}$为完全反对称符号，它在$N$个$SU(N)$矩阵作用下变为

第一步可由行列式的定义看出：左边对$i_1,\ldots,i_N$反对称，而完全反对称的$N$阶张量只有一个独立分量；取这组指标为$1,\ldots,N$时，其比例系数正是行列式。第二步才用$\det U=1$。反基本表示同样有上指标的完全反对称不变量，因为$\det U^*=1$。

对$SU(2)$，取内部符号$\epsilon^{12}=\epsilon_{21}=1$、$\epsilon^{21}=\epsilon_{12}=-1$。这些分量号与第34节的书写形式相同，但内部指标与旋量指标属于各自独立的空间。矩阵形式为

$UEU^T=E$说明反对称平方是一维单态。剩下的对称平方由$e_1e_1$、$(e_1e_2+e_2e_1)/\sqrt2$、$e_2e_2$张成。把$T^a\otimes1+1\otimes T^a$作用于这三个基向量，得到

这里$T^+=T^1+iT^2$，降算符是它的厄米共轭。三个权重为$1,0,-1$，并由升降算符连通，所以对称部分正是自旋1的三重态，也就是伴随表示。这就是式（70.28）所用的具体分解。

同一个$\epsilon$还可把下指标改写成上指标。由$UEU^T=E$得$E^{-1}U=U^{-T}E^{-1}=U^*E^{-1}$，所以

这个升指标关系说明，同一组场分量经固定的线性变换，改按共轭表示书写。它与$\varphi^{\dagger i}=(\varphi_i)^\dagger$是两种操作；伪实性使两种表示等价，并不把复共轭变成线性运算。

三重迹与异常系数

二重迹给出不变的$\delta^{ab}$，三重迹则把结构常数和另一种完全对称张量带入计算。先将李括号与另一个生成元相乘后取迹：

迹中的共轭矩阵首尾相消，因此它给出三个伴随指标的不变张量。选择$T(R)\ne0$的表示便得到$f^{abc}$的不变性。也可在式（70.21）中取$R=A$，用$T_A=-if$直接得到同一结论；它对应雅可比恒等式的张量形式。

把交换子换成反对易子，定义

$b,c$交换不变，循环迹又使$a,b$交换后仍为同样两项，所以$B_R$完全对称。对其取复共轭会倒转每项的矩阵次序，迹循环把两项互换，因此$B_R$为实。它的不变性也可逐项写出：

右边交换子按乘积法则展开正好给出左边三种指标的变化，其迹为零。

不同表示的三次对称迹能否写成一个固定张量$d^{abc}$乘系数$A(R)$，取决于不变三次张量空间的维数。为回答这个问题，先取$SU(N\ge3)$。令$H=h_aT_N^a$为基本表示中的无迹厄米矩阵，在任意表示中定义