Srednicki §71 非阿贝尔规范理论的路径积分

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在第57节计算光子的路径积分时，我们先去掉了规范变换造成的重复积分。这一步之所以容易，是因为每个动量下的规范方向都沿着同一个四矢量 $k_\mu$ 。杨—米尔斯场的规范变换还含有场本身，重复积分的方向也随场而变。我们需要一种能随这些方向选取积分面的办法。由此产生的雅可比因子将留在积分中，并可用第53节的格拉斯曼高斯积分写成一个新的局域作用量。这个作用量中的辅助场就是费德耶夫—波波夫鬼场。

以下沿用第69节的规范变换，并用第53节的泛函行列式将换元因子写入作用量。

规范轨道的方向

从纯规范场的作用量开始，记

\begin{aligned} S_0[A]&=-\frac14\int d^4x\,F^{a\mu\nu}F_{\mu\nu}^a,\\ S_{\rm YM}[A,J]&=S_0[A]+\int d^4x\,J^{a\mu}A_\mu^a,\\ Z[J]&\propto\int\mathcal DA\,e^{iS_{\rm YM}[A,J]} . \end{aligned} \tag{71.1}

相互规范等价的场给出同一个物理配置，所以最后一行尚须规定怎样处理这份重复。我们先取 $J=0$ 完成这一步，再在选定的规范中引入一般源。 $S_0$ 沿规范轨道不变，而固定的线性源通常不具有这个性质，稍后会直接算出它的变化。

沿第69节的负相位约定， $A_\mu=A_\mu^aT^a$ 的有限变换为

\begin{gathered} A_\mu^U=UA_\mu U^\dagger+\frac{i}{g}U\partial_\mu U^\dagger,\\ U=I-ig\theta+O(\theta^2),\qquad U^\dagger=I+ig\theta+O(\theta^2),\qquad \theta=\theta^aT^a . \end{gathered} \tag{71.2}

这里 $\theta$ 恢复第69节的规范参数；上一节把 $g$ 吸收进了群参数。把两个一阶展开分别代入第一行，有 $UA_\mu U^\dagger=A_\mu+ig(A_\mu\theta-\theta A_\mu)+O(\theta^2)$ ，而 $(i/g)U\partial_\mu U^\dagger=-\partial_\mu\theta+O(\theta^2)$ 。第二项的负号来自两个 $i$ 相乘。因此

\begin{aligned} \delta_\theta A_\mu &=ig[A_\mu,\theta]-\partial_\mu\theta,\\ \delta_\theta A_\mu^a &=-\partial_\mu\theta^a-gf^{abc}A_\mu^b\theta^c =-D_\mu^{ac}\theta^c,\\ D_\mu^{ac} &=\delta^{ac}\partial_\mu-igA_\mu^b(T_A^b)^{ac} =\delta^{ac}\partial_\mu+gf^{abc}A_\mu^b . \end{aligned} \tag{71.3}

第二行先用了 $[T^b,T^c]=if^{bca}T^a$ ，再作循环置换 $f^{bca}=f^{abc}$ 。最后一行则用 $(T_A^b)^{ac}=-if^{bac}$ ： $(-i)(-i)=-1$ ，再把 $f^{bac}$ 交换前两个指标，便得到正的连接系数。规范轨道的切向变化因而由伴随协变导数确定。

为看清它与光子情形的区别，对所有场采用 $e^{ikx}$ 的傅里叶展开。导数项给 $ik_\mu$ ，乘积项给卷积，于是

\delta_\theta A_\mu^a(k) =-ik_\mu\theta^a(k) -gf^{abc}\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4} A_\mu^b(q)\theta^c(k-q). \tag{71.4}

若 $f=0$ ，每个动量的规范变化都沿 $k_\mu$ ，正是第57节去掉的方向。第二项出现以后，不同动量的规范参数由背景场联系起来，变化一般不再平行于 $k_\mu$ 。因此需要沿每个场配置自己的规范轨道选代表。下面的普通积分先说明选取代表时为何必须补上一个雅可比因子。

在普通积分中选取代表

设作用量只依赖 $x$ ，另一个变量 $y$ 任意变化都不改变它。比较下列三种写法：

\begin{aligned} \int dx\,dy\,e^{iS(x)} &=\left(\int dy\right)\int dx\,e^{iS(x)},\\ Z&:=\int dx\,e^{iS(x)} =\int dx\,dy\,\delta(y)e^{iS(x)}\\ &=\int dx\,dy\,\delta\bigl(y-f(x)\bigr)e^{iS(x)} . \end{aligned} \tag{71.5}

第一行的 $y$ 积分是重复计数的体积。第二行定义除去这份体积后的积分，最后一行说明每条平行于 $y$ 轴的直线上可以任取一点 $y=f(x)$ 。取有限的 $y$ 方向体积，并给 $x$ 积分加上共同的振荡积分调节，就能逐项完成这些换元。

选取这些点时，未必能显式解出 $f(x)$ 。设我们只知道一个条件 $G(x,y)=0$ ，并且对每个 $x$ ，它在考虑的范围内有唯一简单根 $y=f(x)$ 。固定 $x$ ，在根附近令 $z=G(x,y)$ ，便有 $|dy/dz|=|\partial_yG|^{-1}$ 。将δ函数作用于一个测试函数 $h(y)$ ，换元给出

\begin{aligned} \int dy\,h(y)\delta(G(x,y)) &=\int dz\, \frac{h(y(x,z))}{|\partial_yG(x,y(x,z))|}\,\delta(z)\\ &=\frac{h(f(x))}{|\partial_yG(x,f(x))|},\\ \delta(G(x,y)) &=\frac{\delta(y-f(x))}{|\partial_yG(x,f(x))|}. \end{aligned} \tag{71.6}

分母取在根处；若把它写成 $y$ 的函数乘在δ函数旁边， δ函数的支撑仍使它只取这个值。因而

Z=\int dx\,dy\,|\partial_yG|\, \delta(G(x,y))\,e^{iS(x)}. \tag{71.7}

若进一步选定根处 $\partial_yG>0$ 的定向，就可以去掉绝对值。这个条件与唯一根条件都将在规范场的推广中起作用。

若有 $n$ 个冗余变量 $y^j$ ，就需要 $n$ 个独立条件 $G_i(x,y)=0$ 。记 $J_i{}^j=\partial G_i/\partial y^j$ ，在唯一根 $f(x)$ 处要求 $\det J\ne0$ 。普通多变量换元 $d^ny=d^nz/|\det J|$ 同样给出

\begin{aligned} \delta^{(n)}(G(x,y)) &=\frac{\delta^{(n)}(y-f(x))}{|\det J(x,f(x))|},\\ Z&=\int d^mx\,d^ny\, |\det J|\,\delta^{(n)}(G(x,y))\,e^{iS(x)} . \end{aligned} \tag{71.8}

固定冗余所需的独立条件数等于冗余方向数 $n$ ，而物理变量仍可有 $m$ 个。如果同一条轨道有几个简单交点， δ函数换元的结果应当对各根求和，每个交点都会被计入一次。如果行列式为零，局部逆变换则不存在。因此上述公式自然要求我们先在交点唯一、雅可比因子非奇异的一片范围内工作。

规范条件与轨道体积

现在以所有 $A_\mu^a(x)$ 代替全部 $x,y$ ，以局部规范参数 $\theta^a(x)$ 代替冗余变量 $y$ 。选择条件

\mathcal F^a[A](x)=\partial^\mu A_\mu^a(x),\qquad G^a[A;\omega](x)=\mathcal F^a[A](x)-\omega^a(x)=0. \tag{71.9}

$\omega^a(x)$ 暂时是任意指定的实函数。每个颜色和每个时空点各有一个条件，正好对应一个规范参数。它们在场配置空间中选出一个截面，也就是从所考虑的每条规范轨道上选出一个代表。条件对轨道方向的变化率定义为

M^{ab}[A](x,y) :=\left. \frac{\delta G^a[A^\theta;\omega](x)} {\delta\theta^b(y)}\right|_{\theta=0}. \tag{71.10}

这个核的行指标为 $(a,x)$ ，列指标为 $(b,y)$ 。它的行列式称为费德耶夫—波波夫行列式。我们将在下一小节求出它，先用它把去掉轨道体积的步骤写全。

选择与规范变换相容的边界及测度，除去未被条件固定的残余变换。例如边界上可要求规范参数为零；若仍有零模，还要单独固定相应自由度。在零场附近采用 $M$ 可逆、轨道与截面相交一次的局部构造，并在共同调节下假定 $\mathcal DA$ 和 $S_0$ 规范不变。有限维换元于是成为

1=\int\mathcal Dh\, \delta\bigl(\mathcal F[A^h]-\omega\bigr)\, |\det M[A^h]| . \tag{71.11}

这里 $\delta(\mathcal F-\omega)$ 简写 $\prod_{x,a}\delta(\mathcal F^a(x)-\omega^a(x))$ 。在群元 $h$ 附近以左乘 $u_\theta h$ 作坐标，因为 $A^{u_\theta h}=(A^h)^{u_\theta}$ ，式中变化率恰是式（71.10）在 $A^h$ 处的值。群测度采用与这一坐标相容的哈尔密度。这使式（71.11）成为前面雅可比因子公式的直接推广。

设 $O[A]$ 是规范不变的插入。将这个单位因子放入积分，再对每个 $h$ 作 $B=A^h$ 的变元，得到

\begin{aligned} I[O]&:=\int\mathcal DA\,O[A]e^{iS_0[A]}\\ &=\int\mathcal Dh\int\mathcal DB\, \delta(\mathcal F[B]-\omega)\,|\det M[B]|\, O[B]e^{iS_0[B]}\\ &=\mathcal V_{\rm gauge}\int\mathcal DA\, \delta(\mathcal F[A]-\omega)\,|\det M[A]|\, O[A]e^{iS_0[A]} . \end{aligned} \tag{71.12}

第二行不再含 $h$ ，它的积分便给出规范体积 $\mathcal V_{\rm gauge}$ 。积分域也随 $B=A^h$ 一起变换。除去这个体积，再用 $O=1$ 的积分归一化，物理平均值就写成

\langle O\rangle =\frac{\int\mathcal DA\,\det M[A]\, \delta(\mathcal F[A]-\omega)\,O[A]e^{iS_0[A]}} {\int\mathcal DA\,\det M[A]\, \delta(\mathcal F[A]-\omega)e^{iS_0[A]}} . \tag{71.13}

在这同一连通规范片内， $\sigma_0=\operatorname{sgn}\det M$ 保持不变，所以 $|\det M|=\sigma_0\det M$ 中的固定号在分子分母中相消。先对受调节的实核固定定向，再沿共同的解析路径取真空边界值。微扰展开在上述行列式非零、交点唯一的规范片内进行。

固定的一般线性源不能直接放进 $O$ 的位置。由式（71.3）并作一次分部积分，

\begin{aligned} \delta_\theta\int d^4x\,J^{a\mu}A_\mu^a &=-\int d^4x\,J^{a\mu} \left(\partial_\mu\theta^a+gf^{acb}A_\mu^c\theta^b\right)\\ &=\int d^4x\,\theta^b \left(\partial_\mu J^{b\mu} +gf^{bca}A_\mu^cJ^{a\mu}\right). \end{aligned} \tag{71.14}

边界项按同一边界条件消去，连接项用了 $f^{acb}=-f^{bca}$ 。即使 $\partial_\mu J^{b\mu}=0$ ，非阿贝尔连接项一般仍存在。因此在已选规范中定义含源泛函

Z_\omega[J] :=\frac{\int\mathcal DA\,\det M[A]\,\delta(\mathcal F[A]-\omega)\, e^{iS_0[A]+i\int d^4x\,J^{a\mu}A_\mu^a}} {\int\mathcal DA\,\det M[A]\,\delta(\mathcal F[A]-\omega)\,e^{iS_0[A]}} . \tag{71.14a}

这个泛函产生的规范场关联函数可以依赖所选截面。

求出费德耶夫—波波夫核

现在将式（71.3）代入规范条件。 $\omega$ 固定不变，所以

\delta_\theta G^a[A;\omega](x) =-\partial^\mu\!\left(D_\mu^{ab}\theta^b\right)(x), \qquad M^{ab}(x,y) =-\partial_x^\mu D_\mu^{ab}(x)\delta^4(x-y). \tag{71.15}

其中所有微分都作用于 $x$ ，包括外面的 $\partial_x$ 。把它完全展开，可以看见两个不同的导数项：

\begin{aligned} M^{ab}(x,y) ={}&-\delta^{ab}\partial_x^2\delta^4(x-y)\\ &-gf^{acb}\left[ (\partial^\mu A_\mu^c(x))\delta^4(x-y) +A_\mu^c(x)\partial_x^\mu\delta^4(x-y)\right]. \end{aligned} \tag{71.16}

为检验核的方向，将它作用于普通的光滑参数 $v^b(y)$ ，先完成 $y$ 积分：

\begin{aligned} \int d^4y\,M^{ab}(x,y)v^b(y) &=-\partial^2v^a -gf^{acb}\left[(\partial^\mu A_\mu^c)v^b +A_\mu^c\partial^\mu v^b\right]\\ &=-\partial^\mu\left(\partial_\mu v^a +gf^{acb}A_\mu^cv^b\right). \end{aligned} \tag{71.17}

这确实是 $-\partial^\mu D_\mu v$ 。若把 $\partial^\mu D_\mu$ 换成 $D_\mu\partial^\mu$ ，便会漏掉 $(\partial\cdot A)v$ ，在一般 $\omega$ 下不能这样做。从量纲也能核对这一式： $[G]=2$ 、 $[\theta]=0$ ， $M$ 作为微分算符的维数为2；式中另含一个维数4的δ函数，故双点核的维数为6。

把行列式写成鬼场积分

在式（71.13）中，行列式还在指数以外。第53节已经说明，普通复变量的高斯积分产生逆行列式，复格拉斯曼变量的积分则产生行列式本身。因此对每个伴随指标引入两个独立的奇积分变量 $c^a(x),\bar c^a(x)$ 。用横线区分反鬼 $\bar c$ 与鬼 $c$ ；积分时它们是第44节所定义的两组独立生成元。

先在有限基底中把时空和颜色合成 $I=1,\ldots,n$ 。固定配对测度，使单对积分 $\int dc\,d\bar c\,\bar c c=1$ ，则复格拉斯曼高斯公式在本节的代入为

\begin{aligned} \int\prod_{I=n}^{1}(dc_I\,d\bar c_I)\, e^{-i\bar c_I M_{IJ}c_J} &=\det(-iM)=(-i)^n\det M,\\ S_{\rm gh} &=-\int d^4x\,d^4y\, \bar c^a(x)M^{ab}(x,y)c^b(y). \end{aligned} \tag{71.18}

这里选 $-iM$ ，是为了在指数中写 $iS_{\rm gh}$ 并得到熟悉的标量动能号。例如一对变量时，指数只有 $1-i\bar cMc$ 两项，积分直接等于 $-iM$ 。一般 $n$ 对的相位 $(-i)^n$ 在共同的模式调节下与 $A$ 无关，因此在零源归一比中消去。实际运算始终使用上式的配对测度次序，保证奇变量积分的符号固定。

将式（71.15）代入第二行，先积掉 $y$ ，得到 $S_{\rm gh}=\int d^4x\,\bar c^a\partial^\mu(D_\mu^{ab}c^b)$ 。对外层导数作一次分部积分，

\begin{aligned} S_{\rm gh} ={}&\int_{\partial\Omega}d\Sigma^\mu\, \bar c^aD_\mu^{ab}c^b\\ &-\int d^4x\,(\partial^\mu\bar c^a)D_\mu^{ab}c^b . \end{aligned} \tag{71.19}

$\partial_\mu$ 是偶微分，上式没有交换 $c$ 与 $\bar c$ 。在所选边界条件下第一行消失，便得到鬼场拉格朗日量：

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm gh} &=-(\partial^\mu\bar c^a)D_\mu^{ab}c^b\\ &=-\partial^\mu\bar c^a\partial_\mu c^a +ig(\partial^\mu\bar c^a)A_\mu^c(T_A^c)^{ab}c^b\\ &=-\partial^\mu\bar c^a\partial_\mu c^a +gf^{abc}A_\mu^c(\partial^\mu\bar c^a)c^b . \end{aligned} \tag{71.20}

最后一步用 $(T_A^c)^{ab}=-if^{cab}$ ，所以 $i(-i)=1$ ，再用 $f^{cab}=f^{abc}$ 。 $A$ 是偶变量，移到前面不生负号。第一项与复标量的动能具有相同形式，第二项则使鬼场与规范场相互作用。给 $c,\bar c$ 各取质量维数1，两项的维数都为4，耦合 $g$ 仍无量纲。

鬼场的自由收缩也可直接由行列式求得。对有限矩阵元 $M_{IJ}$ 求导，行列式一侧给逆矩阵元，指数一侧给 $-i\bar c_Ic_J$ 的平均值。两者相等，便有

\begin{aligned} \frac{\partial\log\det(-iM)}{\partial M_{IJ}} &=(M^{-1})_{JI}=-i\langle\bar c_Ic_J\rangle,\\ \langle\bar c_Ic_J\rangle&=i(M^{-1})_{JI},\\ \langle c_J\bar c_I\rangle&=-i(M^{-1})_{JI},\\ \langle c^a(x)\bar c^b(y)\rangle_0 &=\frac{\delta^{ab}}{i}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{e^{ik(x-y)}}{k^2-i0}. \end{aligned} \tag{71.21}

第二个收缩的负号来自交换两个奇变量。自由核是 $M_0=-\partial^2$ ，其逆采用与先前传播子相同的费曼边界值。残余零模在求逆前已另行处理。有限贝雷津积分本身是多项式运算，这里的极点处方来自真空传播的选择。

为便于下面说明鬼外线的含义，还可从相互作用直接读出一个顶角。把三个傅里叶因子按 $A_\mu^c(k)\bar c^a(r)c^b(p)$ 的次序排列，全部动量入顶，则

\begin{aligned} iS_{\rm gh,int} ={}&-g f^{abc}\int \frac{d^4k\,d^4r\,d^4p}{(2\pi)^{12}}\, (2\pi)^4\delta^4(k+r+p)\\ &\hspace{18mm}\times r^\mu A_\mu^c(k)\bar c^a(r)c^b(p),\\ \mathcal V^{abc,\mu}_{A\bar c c}(k,r,p) &=-gf^{abc}r^\mu . \end{aligned} \tag{71.22}

导数只作用于 $\bar c$ ，给 $ir^\mu$ ；指数展开再给一个 $i$ ，相乘便是负号。若用 $\bar c$ 端的出顶动量 $q=-r$ 表示，这个系数成为 $+gf^{abc}q^\mu$ 。动量方向和奇变量次序都固定后，符号便随之确定。

为什么每个鬼闭圈多一个负号

鬼场是格拉斯曼变量，因此虽然没有旋量指标，闭圈的统计符号仍与费米场相同。用刚得到的行列式可以直接看到这一点。写 $M[A]=M_0+V[A]$ ，并用零背景鬼积分归一，则

\begin{aligned} \frac{Z_{\rm gh}[A]}{Z_{\rm gh}[0]} &=\frac{\det M[A]}{\det M_0} =\det(1+X),\qquad X=M_0^{-1}V[A],\\ \log\frac{Z_{\rm gh}[A]}{Z_{\rm gh}[0]} &=\operatorname{Tr}\log(1+X) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n \operatorname{Tr}X^n . \end{aligned} \tag{71.23}

这里应用的是第53节的矩阵对数推导，将那里的 $G_\chi$ 换成 $-X$ 即可。在有限矩阵范数 $\|X\|<1$ 时级数收敛；微扰论中则按受调节的逐阶展开使用。迹包括颜色和时空指标。具体地，

\begin{aligned} \operatorname{Tr}X^n =\int\prod_{j=1}^n d^4x_j\, X^{a_1a_2}(x_1,x_2)\cdots X^{a_na_1}(x_n,x_1). \end{aligned} \tag{71.24}

每个 $X$ 含一个自由传播核和一个背景规范场插入，指标首尾相接形成有向圈。选择圈上的起点有 $n$ 种重复，正是系数 $1/n$ ；这一计数已在第53节的闭合传播链中由 $(n-1)!/n!$ 求出。若将 $c,\bar c$ 换成同一二次核的普通复标量，高斯积分给 $\det(1+X)^{-1}$ ，故其对数中每个连通圈恰与上式相差一个负号。这就是闭鬼圈额外的 $-1$ 。复鬼是两组独立奇变量，这里没有实马约拉纳积分的二分之一权重，也没有旋量迹。

在本节的线性规范中取阿贝尔极限 $f^{abc}=0$ ，便有 $D_\mu=\partial_\mu$ 、 $M=-\partial^2=M_0$ ，所以 $X=0$ ，鬼积分的归一比等于一。鬼与规范场的顶角也同时消失。因此第57节的光子路径积分可以把这份自由鬼积分吸收到归一化常数中。非阿贝尔理论的 $M$ 依赖 $A$ ，上述闭圈则必须随规范场的其它图一起计算。

辅助鬼场与物理外态

鬼场在这里的任务是表示规范轨道的雅可比因子。它是洛伦兹标量而服从奇统计，因而不能把它当作满足通常自旋—统计条件的正范数物理粒子。物理态的选择还须结合规范场的非物理极化，具体构造见第74节。辅助鬼场的关联函数及其截肢核本身可以非零；下面由已得到的作用量算一个例子。

取 $SU(2)$ ， $f^{abc}=\epsilon^{abc}$ 。两个入射规范场的颜色都为3，末端 $\bar c$ 和 $c$ 的颜色都为1。令 $E>0$ ，入射动量和极化、出射鬼端动量分别为

\begin{gathered} k_1=(E,0,0,E),\qquad k_2=(E,0,0,-E),\\ \varepsilon_1=\varepsilon_2=(0,1,0,0),\\ p=(E,E,0,0),\qquad q=(E,-E,0,0). \end{gathered} \tag{71.25}

四个动量都在零质量壳上， $k_1+k_2=p+q$ ，两入射极化都与其动量正交。把 $\bar c$ 端的全入动量记作 $r=-q$ 。两个规范场在三规范场顶点先汇合的图含有 $f^{33b}=0$ ，所以为零；式（71.20）也没有 $AA\bar c c$ 接触项。在 $g^2$ 阶，剩下的是沿鬼线先后接入 $k_1,k_2$ 的两个排列，内部颜色都是2。

先让 $k_1$ 接在外部 $\bar c$ 的一端。该顶角的颜色为 $(a,b,c)=(1,2,3)$ ；另一顶角为 $(2,1,3)$ ，其 $\bar c$ 动量是 $k_1-q$ 。逐项代入式（71.22），有

\begin{aligned} -g\epsilon^{123}\,r\cdot\varepsilon_1&=-gE,\\ -g\epsilon^{213}\,(k_1-q)\cdot\varepsilon_2&=+gE,\\ (q-k_1)^2&=(0,-E,0,-E)^2=2E^2 . \end{aligned} \tag{71.26}

交换 $k_1,k_2$ 后，内线的 $z$ 分量反号，但平方、顶角及极化缩并都相同。两个规范场是偶变量，两种排列相加。沿固定的 $A\bar c c$ 及有向收缩次序，截肢树核于是为

\begin{aligned} \mathscr K_{\bar c c;AA} &=(-gE)\frac{-i}{2E^2-i0}(+gE) +(-gE)\frac{-i}{2E^2-i0}(+gE)\\ &\longrightarrow ig^2 . \end{aligned} \tag{71.27}

相互作用展开的 $1/2!$ 与两个顶点标签的交换相消，留下的正是这两个规范场排列。图中没有闭鬼圈，因而没有额外的圈负号。统一调换外部奇变量的次序只改变共同号，不会使结果消失。这个非零截肢核参与规范场非物理极化与鬼场的抵消；物理外态的定义将在第74节给出。

对规范条件作高斯平均

回到式（71.13）。在上述零源或规范不变插入的范围内，改变 $\omega$ 只是改变每条轨道上所选的代表，因而不改变物理平均值。于是可给 $\omega$ 一个权重并对它积分。取权重

W_\xi[\omega] =\exp\!\left[-\frac{i}{2\xi} \int d^4x\,\omega^a(x)\omega^a(x)\right], \qquad \xi\ne0 . \tag{71.28}

$\xi$ 是无量纲的规范参数。对实 $\omega$ ，这是振荡高斯权重，可先加上 $-\eta\int\omega^2/2$ 的阻尼， $\eta>0$ ，再取菲涅耳边界值；等价地，指数中的 $\xi^{-1}$ 先取 $\xi^{-1}-i\eta$ 。这个共同的权重积分只改归一化常数。

由于 $\omega$ 在δ函数中以系数 $-1$ 出现，换元的绝对雅可比因子为一，每个时空和颜色分量的积分直接将 $\omega$ 换成 $\mathcal F[A]$ ：

\begin{aligned} &\int\mathcal D\omega\,W_\xi[\omega]\, \delta(\mathcal F[A]-\omega)\\ &\qquad=\exp\!\left[-\frac{i}{2\xi} \int d^4x\,(\partial^\mu A_\mu^a)(\partial^\nu A_\nu^a)\right] =e^{iS_{\rm gf}[A]},\\ S_{\rm gf}&=\int d^4x\,\mathcal L_{\rm gf},\\ \mathcal L_{\rm gf} &=-\frac1{2\xi}(\partial^\mu A_\mu^a)(\partial^\nu A_\nu^a). \end{aligned} \tag{71.29}

高斯权重的负号和 $1/2$ 保留在指数中，选定截面的δ泛函由此变成局域规范固定项。 $\xi=0$ 须以原来的严格δ条件或相应极限理解。自由场二次项现在与第57节的协变规范相同，只是多了一个颜色单位阵；因此同一求逆步骤可以给出规范场的自由传播子。

在这个固定规范的积分中加入一般外源，并令 $Z_\xi[0]=1$ ，最终得到

\begin{aligned} \mathcal S_\xi[J] &:=S_0+S_{\rm gh}+S_{\rm gf} +\int d^4x\,J^{a\mu}A_\mu^a,\\ Z_\xi[J] &=\frac{\displaystyle \int\mathcal DA\,\mathcal D_{\rm pair}(c,\bar c)\,e^{i\mathcal S_\xi[J]}} {\displaystyle \int\mathcal DA\,\mathcal D_{\rm pair}(c,\bar c)\,e^{i\mathcal S_\xi[0]}} . \end{aligned} \tag{71.30}

对 $J$ 求导可以产生规范场关联函数。规范不变插入的平均值保持不变，一般固定源则可以依赖规范。普通积分提供了一个直接例子： $\int dy\,\delta(y-\omega)e^{ijy}=e^{ij\omega}$ 。同样， $Z_\xi[J]$ 生成的非规范不变关联函数可以依赖 $\xi$ 。

现在三个作用量都已是局域的： $S_0$ 给出规范场的动能和三、四次相互作用， $S_{\rm gh}$ 给出鬼传播及鬼—规范场顶角， $S_{\rm gf}$ 使自由规范场二次核可以求逆。下一节将把这些项逐一展开为费曼规则。

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