Srednicki §46 自旋求和

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上一节求出的振幅带有每个外粒子的自旋标签。实验若分别制备并测量这些自旋，所需的概率就由给定标签的振幅模平方决定；若探测器只记录动量，还要对不能分辨的末态自旋求和。逐个代入四分量旋量当然可以完成这些计算，但第38节的旋量外积提供了更直接的办法：先把振幅与共轭振幅相乘，再将首尾相接的旋量指标写成矩阵的迹。我们先处理只有一条费米线的散射，再看两条费米线之间的干涉。

先利用外腿方程

对于 $e^-(p)\varphi(k)\to e^-(p')\varphi(k')$ ，从上一节已求出的振幅出发。省去共同的总动量 $\delta$ 函数与前面的 $i$ ，最低阶振幅为

\begin{aligned} \mathcal T &=g^2\bar u_{\sigma'}(\mathbf p') \left[ \frac{-\slashed p-\slashed k+m}{m^2-s} +\frac{-\slashed p+\slashed k'+m}{m^2-u} \right]u_\sigma(\mathbf p),\\ s&=-(p+k)^2,\qquad u=-(p-k')^2 . \end{aligned} \tag{46.1}

这里取实 $g$ ，并沿上一节在稳定外标量的质量区间 $0<M<2m$ 讨论。两个分母均离开内费米质量壳，已经取过费曼边界值。下文保留 $g^2$ 阶振幅，因而求得的模平方为 $g^4$ 阶；它与较高阶振幅的干涉从 $g^6$ 阶开始。自旋标签记为 $\sigma,\sigma'=\pm1$ ，以免与曼德尔斯塔姆变量 $s$ 混淆。

在取迹以前先利用外腿方程，可以减少分子中的动量矩阵。由 $(\slashed p+m)u_\sigma(\mathbf p)=0$ ，分子直接作用于入射旋量时有

\begin{aligned} (-\slashed p-\slashed k+m)u_\sigma &=(-\slashed k+2m)u_\sigma,\\ (-\slashed p+\slashed k'+m)u_\sigma &=(\slashed k'+2m)u_\sigma. \end{aligned} \tag{46.2}

合并后的两个 $m$ 分别来自原分子的质量项和 $-\slashed p$ 对外腿的作用。这样便把显式的入射动量从两个分子中消去了。将余下的矩阵记为

\begin{aligned} \mathcal T&=\bar u' A u,\\ A&=g^2\left[ \frac{-\slashed k+2m}{m^2-s} +\frac{\slashed k'+2m}{m^2-u} \right],\\ u&=u_\sigma(\mathbf p),\qquad u'=u_{\sigma'}(\mathbf p'). \end{aligned} \tag{46.3}

上述替换依赖于矩阵右端紧接着外旋量：一般矩阵链内部的 $-\slashed p$ 仍须保留。此处 $[A]=-1$ ，两条外旋量各有维数 $1/2$ ，因此 $\mathcal T$ 无量纲，和散射振幅的量纲要求一致。

共轭链与固定自旋的迹

要计算模平方，先取振幅 $\mathcal T$ 这个复数的共轭。利用 $\bar u=u^\dagger\beta$ 、 $\beta^\dagger=\beta$ 和 $\beta^2=1$ ，可以把共轭后的行、列旋量重新写成原来的狄拉克形式。按矩阵乘法的反序规则展开，得到

\begin{aligned} \mathcal T^* &=(u'^\dagger\beta A u)^\dagger =u^\dagger A^\dagger\beta u'\\ &=\bar u\,(\beta A^\dagger\beta)u' \equiv\bar u\,\bar A\,u', \qquad \bar A=\beta A^\dagger\beta . \end{aligned} \tag{46.4}

这里的 $\bar A$ 称为矩阵的狄拉克共轭。第38节已经得到 $\overline{\gamma^\mu}=\gamma^\mu$ ，所以实四动量满足 $\overline{\slashed k}=\slashed k$ 。式（46.3）的系数在当前运动学区域内为实，从而 $\bar A=A$ 。若仍保留有限的 $-i\epsilon$ ，或者振幅已有吸收部分，共轭还会作用于这些复系数，此时便须保留 $\bar A$ 。以下先用一般的 $\bar A$ 来排列指标，再在需要时代入这一树级简化。

为了把两条旋量链合并，将模平方的指标全部写出：

\begin{aligned} |\mathcal T|^2 &=\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta} \bar u'_\alpha A_{\alpha\beta}u_\beta \bar u_\gamma\bar A_{\gamma\delta}u'_\delta\\ &=\sum_{\delta,\alpha,\beta,\gamma} (u'_\delta\bar u'_\alpha) A_{\alpha\beta} (u_\beta\bar u_\gamma)\bar A_{\gamma\delta}\\ &=\operatorname{tr}\big[(u'\bar u')A(u\bar u)\bar A\big]. \end{aligned} \tag{46.5}

从第一行到第二行，只需将最右端的 $u'_\delta$ 移到最左端，使同一外粒子的列旋量与行旋量相邻。外旋量的分量是普通复数，可以交换，因而这一步没有新增的费米负号。相邻指标沿 $\delta\to\alpha\to\beta\to\gamma\to\delta$ 首尾闭合，恰好形成一条迹；矩阵 $A$ 则始终保持在原来的位置。

现在可以代入第38节的自旋投影。固定自旋外积为

\begin{aligned} R_\sigma(p,z) &\equiv u_\sigma(\mathbf p)\bar u_\sigma(\mathbf p) =\frac12(1-\sigma\gamma_5\slashed z)(-\slashed p+m),\\ z^2&=1,\qquad z\cdot p=0 . \end{aligned} \tag{46.6}

其中 $z$ 由粒子静止系的量子化轴随动量一起推动而来。末态的量子化轴 $z'$ 可以独立选择，并满足相应的正交条件 $z'\cdot p'=0$ 。将初、末两个外积代入式（46.5），得到

\begin{aligned} |\mathcal T_{\sigma'\sigma}|^2 &=\frac14\operatorname{tr}\!\big[ (1-\sigma'\gamma_5\slashed z')(-\slashed p'+m) \\[-2pt] &\hspace{35mm}\times A(1-\sigma\gamma_5\slashed z)(-\slashed p+m)\bar A \big]. \end{aligned} \tag{46.7}

这个迹式保留了一般共轭矩阵，可直接用于指定偏振的散射，包括初、末量子化轴不同的情况。前面的 $1/4$ 来自两个自旋投影各自的 $1/2$ ；此时自旋标签仍然固定，还没有对初态作统计平均。

末态求和与初态平均

固定入射自旋以后，出射电子的两个正交自旋态对应两个不同的探测结果。探测器若不分辨这两个结果，其探测投影就是 $\sum_{\sigma'}|\sigma'\rangle\langle\sigma'|$ ，因此要相加的是两个结果的概率：

\sum_{\sigma'}|\mathcal T_{\sigma'\sigma}|^2. \tag{46.8}

在迹式中完成这一概率求和，只需把末态外积换成完备关系。具体地，

\begin{aligned} \sum_{\sigma=\pm1}R_\sigma(p,z) &=\left[\frac12(1-\gamma_5\slashed z) +\frac12(1+\gamma_5\slashed z)\right](-\slashed p+m) \\ &=-\slashed p+m . \end{aligned} \tag{46.9}

求和以后，任意选择的末态量子化轴便从结果中消失了。初态如何处理则取决于入射束的制备：若一半电子处于 $\sigma=+1$ 态，另一半处于 $\sigma=-1$ 态，而且两者之间没有相干性，初态密度矩阵就是 $\rho=I_2/2$ ，对应未极化束。对这样的入射集合，两个初态概率还要取等权平均，用尖括号表示为

\begin{aligned} \big\langle|\mathcal T|^2\big\rangle &\equiv\frac12\sum_{\sigma,\sigma'}|\mathcal T_{\sigma'\sigma}|^2\\ &=\frac12\operatorname{tr} \big[(-\slashed p'+m)A(-\slashed p+m)\bar A\big]. \end{aligned} \tag{46.10}

因此，末态求和不带 $1/2$ ，初态的等权混合才引入 $1/2$ 。也可以直接从式（46.7）看出这些因子的来历：两次自旋求和分别把两个自旋括号变成 $2I_4$ ，消去原有的 $1/4$ ，再乘上初态平均的 $1/2$ ，便得到同一结果。这种等权平均适用于上述未极化集合；入射自旋未被测量，并不单独确定它的制备权重。

若要保留更一般的制备信息，就用自旋密度矩阵 $\rho_{\sigma\tau}$ 描述入射束，其中 $\rho^\dagger=\rho$ 、 $\rho\ge0$ 、 $\operatorname{tr}_2\rho=1$ 。将量子力学的概率 $\operatorname{tr}(\mathcal T\rho\mathcal T^\dagger)$ 展开为分量，仍可用同样的外积办法写成迹：

\begin{aligned} P_\rho &=\sum_{\sigma',\sigma,\tau} \mathcal T_{\sigma'\sigma}\rho_{\sigma\tau} \mathcal T_{\sigma'\tau}^*,\\ R_\rho(p) &=\sum_{\sigma,\tau} u_\sigma(\mathbf p)\rho_{\sigma\tau}\bar u_\tau(\mathbf p),\\ P_\rho &=\operatorname{tr} \big[(-\slashed p'+m)A R_\rho(p)\bar A\big]. \end{aligned} \tag{46.11}

这里 $P_\rho$ 是提出共同相空间、通量等因子以后的自旋概率权重。当 $\rho=I_2/2$ 时， $R_\rho=(-\slashed p+m)/2$ ，式子便回到式（46.10）。若 $\rho$ 在所选轴上为 $\operatorname{diag}(w_+,w_-)$ ，两个初态就分别按 $w_+,w_-$ 加权；若入射态是 $(|+\rangle+e^{i\alpha}|-\rangle)/\sqrt2$ ，某一末态 $\sigma'$ 的权重中还会出现 $\operatorname{Re}[e^{-i\alpha}\mathcal T_{\sigma'+}\mathcal T_{\sigma'-}^*]$ 。密度矩阵的非对角元由此保留了相干制备的干涉。

一个简单算例可以具体说明求和与平均的区别。暂取 $A=aI_4$ 和 $p=p'=(m,\mathbf0)$ ，利用静止旋量的归一 $\bar u_{\sigma'}(0)u_\sigma(0)=2m\delta_{\sigma'\sigma}$ ，直接对各自旋态计算可得

\frac12\sum_{\sigma,\sigma'}|2ma\delta_{\sigma'\sigma}|^2 =4m^2|a|^2. \tag{46.12}

同一算例也可以从迹式求出： $-\slashed p+m=m(1+\beta)$ ，再用 $\operatorname{tr}\beta=0$ 和 $\beta^2=1$ ，便有 $m^2|a|^2\operatorname{tr}(1+\beta)^2/2 =m^2|a|^2(8)/2$ 。两种算法给出同一数值，也把旋量归一、末态求和与初态平均的因子分别显现出来。

两条费米线的四项乘积

接着考虑 $e^-e^+\to e^-e^+$ 。这个过程有两条费米线，两个树图的干涉会将它们的自旋指标连在一起。为保留各条线的端点，先定义

\begin{aligned} D_t&=(\bar u_{1'}u_1)(\bar v_2v_{2'}),& d_t&=M^2-t,\\ D_s&=(\bar v_2u_1)(\bar u_{1'}v_{2'}),& d_s&=M^2-s,\\ \mathcal T&=-g^2\left(\frac{D_t}{d_t}-\frac{D_s}{d_s}\right). \end{aligned} \tag{46.13}

这里沿用上一节明确的初、末福克次序，公共负号由场重排产生；取模平方时，这个号与共轭幅中的负号相乘而消失。湮灭道的分母为 $M^2-s$ ，由内线携带两入射粒子的总动量确定。以下先在 $d_t,d_s$ 均为非零实数的树级区域内计算。

取共轭时，每个双线性量的两个端点反转。把这一步分别用于两项振幅，得到

\begin{aligned} D_t^*&=(\bar u_1u_{1'})(\bar v_{2'}v_2),\\ D_s^*&=(\bar u_1v_2)(\bar v_{2'}u_{1'}),\\ |\mathcal T|^2 &=g^4\left[ \frac{D_tD_t^*}{d_t^2}+\frac{D_sD_s^*}{d_s^2} -\frac{D_tD_s^*}{d_t d_s} -\frac{D_sD_t^*}{d_s d_t} \right]. \end{aligned} \tag{46.14}

前两行分别给出了两项振幅的共轭。模平方展开以后，两个交叉项的负号继承自树图之间的相对号；随后重排普通数值旋量的分量，不会再引入格拉斯曼负号。为了将四项乘积都写成迹，记固定自旋的外积为

R_1=u_1\bar u_1,\quad R_{1'}=u_{1'}\bar u_{1'},\qquad V_2=v_2\bar v_2,\quad V_{2'}=v_{2'}\bar v_{2'} . \tag{46.15}

对任意复数旋量列 $a,c$ 和行 $\bar b,\bar d$ ，先把指标相乘再闭合，就有

\begin{aligned} \operatorname{tr}[(a\bar b)(c\bar d)] &=\sum_{\alpha,\beta}a_\alpha\bar b_\beta c_\beta\bar d_\alpha\\ &=(\bar b c)(\bar d a). \end{aligned} \tag{46.16}

因此，一对双线性量可以接成一条闭合指标链。将这一关系分别用于两个平方项，得到

\begin{aligned} D_tD_t^* &=\operatorname{tr}(R_1R_{1'})\, \operatorname{tr}(V_{2'}V_2),\\ D_sD_s^* &=\operatorname{tr}(R_1V_2)\, \operatorname{tr}(V_{2'}R_{1'}). \end{aligned} \tag{46.17}

在每个平方项中，两条费米线的端点分别配对，形成两条独立的闭链，结果便是两个迹的乘积。干涉项的端点配对则不同；沿第一项原有的双线性量顺序连接，有

\begin{aligned} \operatorname{tr}(R_1V_2V_{2'}R_{1'}) &=\operatorname{tr} (u_1\bar u_1v_2\bar v_2v_{2'}\bar v_{2'}u_{1'}\bar u_{1'})\\ &=(\bar u_1v_2)(\bar v_2v_{2'}) (\bar v_{2'}u_{1'})(\bar u_{1'}u_1)\\ &=D_tD_s^* . \end{aligned} \tag{46.18}

这里中间三个行乘列先给出普通复数，只有首尾的 $u_1$ 和 $\bar u_{1'}$ 留在最后的迹中，余下的迹再给出 $\bar u_{1'}u_1$ 。另一干涉项按其端点连接为

\begin{aligned} \operatorname{tr}(R_1R_{1'}V_{2'}V_2) &=(\bar u_1u_{1'})(\bar u_{1'}v_{2'}) (\bar v_{2'}v_2)(\bar v_2u_1)\\ &=D_sD_t^* . \end{aligned} \tag{46.19}

将两个平方项和两种干涉次序合在一起，得到

\begin{aligned} |\mathcal T|^2=g^4\bigg[& \frac{\operatorname{tr}(R_1R_{1'}) \operatorname{tr}(V_{2'}V_2)}{d_t^2} +\frac{\operatorname{tr}(R_1V_2) \operatorname{tr}(V_{2'}R_{1'})}{d_s^2}\\ &-\frac{\operatorname{tr}(R_1V_2V_{2'}R_{1'})}{d_t d_s} -\frac{\operatorname{tr}(R_1R_{1'}V_{2'}V_2)}{d_s d_t} \bigg]. \end{aligned} \tag{46.20}

可见，干涉将四条外旋量连成了一条闭合指标链。这条链来自振幅与共轭振幅的相乘，其中没有上一节闭费米圈图的传播子，因此也没有那种闭圈所带的额外负号。

两种干涉次序应当一起保留，因为它们互为复共轭，单独一项一般可以是复数。利用 $\bar R_i=R_i$ 、 $\bar V_j=V_j$ 以及 $[\operatorname{tr}X]^*=\operatorname{tr}(\bar X)$ ，先将矩阵乘积反序，再循环移动一次，就得到

\begin{aligned} \big[\operatorname{tr}(R_1V_2V_{2'}R_{1'})\big]^* &=\operatorname{tr}(R_{1'}V_{2'}V_2R_1)\\ &=\operatorname{tr}(R_1R_{1'}V_{2'}V_2). \end{aligned} \tag{46.21}

两项之和于是成为 $2\operatorname{Re}\operatorname{tr}(R_1V_2V_{2'}R_{1'})$ ，保证模平方为实。这里用的是 $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$ 所允许的循环移动，这个等式并不允许任意交换链内的两个矩阵。

双初态的平均

若电子束和正电子束分别未极化，而且两束的自旋统计独立，初态密度矩阵就是 $(I_2/2)\otimes(I_2/2)=I_4/4$ 。因此，对四种初态组合取等权平均，并对两个末粒子的自旋分别求和，得到

\big\langle|\mathcal T|^2\big\rangle =\frac14\sum_{\sigma_1,\sigma_2,\sigma'_1,\sigma'_2} |\mathcal T|^2 . \tag{46.22}

每一项中，四个外积各出现一次，因而四个自旋求和可以分别作用于相应的外积。将反粒子完备和与电子的完备和并列，有

U_i\equiv\sum_{\sigma_i}u_i\bar u_i=-\slashed p_i+m, \qquad W_j\equiv\sum_{\sigma_j}v_j\bar v_j=-\slashed p_j-m . \tag{46.23}

反粒子完备和中的负质量项来自第38节的 $v$ 支归一 $\bar v_\sigma v_\tau=-2m\delta_{\sigma\tau}$ 。将这两种完备和代入式（46.20），未极化的结果便为

\begin{aligned} \big\langle|\mathcal T|^2\big\rangle =\frac{g^4}{4}\bigg[& \frac{\operatorname{tr}(U_1U_{1'}) \operatorname{tr}(W_{2'}W_2)}{d_t^2} +\frac{\operatorname{tr}(U_1W_2) \operatorname{tr}(W_{2'}U_{1'})}{d_s^2}\\ &-\frac{\operatorname{tr}(U_1W_2W_{2'}U_{1'})}{d_t d_s} -\frac{\operatorname{tr}(U_1U_{1'}W_{2'}W_2)}{d_s d_t} \bigg]. \end{aligned} \tag{46.24}

至此，自旋标签全部消去，剩下的只是由外动量构成的矩阵迹。每个 $U$ 或 $W$ 至多含一个gamma矩阵，所以单个迹中最多出现四个gamma。下一节将建立这套迹运算，第48节再将结果用于截面。式（46.24）已经保留各道的分母、两个平方项和两种干涉次序，只须继续计算这些矩阵的迹。

阈值与一般运动学的例子

在建立一般的gamma迹算法以前，静止旋量已经足以算出两个阈值例。它们既能显示两道相加的作用，也能给出自旋求和后的阈值行为。电子与标量的质心三动量趋于零时， $p=p'=(m,\mathbf0)$ 、 $k=k'=(M,\mathbf0)$ ，从而 $s=(m+M)^2$ 、 $u=(m-M)^2$ 。式（46.3）化为

\begin{aligned} A_{\rm th} &=g^2\left[ -\frac{M\beta+2m}{M(2m+M)} +\frac{-M\beta+2m}{M(2m-M)} \right]\\ &=\frac{4mg^2}{4m^2-M^2}(1-\beta). \end{aligned} \tag{46.25}

两项中 $I_4$ 的系数相加，得到 $2m[-(2m+M)^{-1}+(2m-M)^{-1}]/M =4m/(4m^2-M^2)$ ；而 $\beta$ 的系数为 $-(2m+M)^{-1}-(2m-M)^{-1}=-4m/(4m^2-M^2)$ 。再用静止旋量满足的 $\beta u_\sigma(0)=u_\sigma(0)$ ，就看出每个自旋振幅在该阈值极限都为零。这是两个标量接法相消的结果，因此自旋求和或平均以后仍然为零。

对于电子正电子散射的阈值，四个外动量均趋于 $(m,\mathbf0)$ ，于是 $t=u=0$ 、 $s=4m^2$ 。取 $M>0$ 并离开 $M^2=4m^2$ 时，可以直接用静止旋量计算：正、负频率旋量在狄拉克双线性下正交，故 $\bar v_2u_1=\bar u_{1'}v_{2'}=0$ ，湮灭项消失；直接项则由 $\bar u_{1'}u_1=2m\delta_{\sigma'_1\sigma_1}$ 和 $\bar v_2v_{2'}=-2m\delta_{\sigma_2\sigma'_2}$ 给出

\begin{aligned} \mathcal T_{\rm th} &=\frac{4g^2m^2}{M^2} \delta_{\sigma'_1\sigma_1}\delta_{\sigma'_2\sigma_2},\\ \big\langle|\mathcal T_{\rm th}|^2\big\rangle &=\frac14(2\cdot2)\frac{16g^4m^4}{M^4} =\frac{16g^4m^4}{M^4}. \end{aligned} \tag{46.26}

这两个结果给出树幅的阈值极限。若还要求通量同时趋零时的截面，就要把相空间因子一并纳入极限。

对于一般运动学点，也可以构造第38节的四分量旋量，显式枚举第一个过程的四组自旋和第二个过程的十六组自旋，逐项与上述有序迹比较。例如，以 $m=1$ 为质量单位，取 $g=0.7$ 、 $M=0.6$ ，质心三动量大小为 $0.8$ ，末动量极角为 $1.1$ 、方位角为 $0.73$ 弧度，得到

过程	显式自旋幅求和并平均	有序迹
$e^-\varphi\to e^-\varphi$	$0.592805617779635$	$0.592805617779635$
$e^-e^+\to e^-e^+$	$4.66112818004263$	$4.66112818004263$

上表对第二个过程的四条外腿分别选了不同的自旋基。这样的基变换会改变单个极化振幅，个别干涉迹还会带有虚部；两种次序按式（46.21）互为共轭，完成所有自旋的求和与平均以后，结果保持不变。

要将这些结果整理成动量不变量的函数，还需算出各个gamma矩阵的迹。下一节便建立这套运算方法。

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