Srednicki §96 最小超对称标准模型

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上一节已给出构造超对称规范理论的方法：把物质装入手征超场，把规范场装入矢量超场，再用D项和全纯超势写出作用量。现在可以把第87–89章的标准模型放进这套结构。规范群仍然是 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ ，但每种已知场都要有与它配对的超伙伴；Higgs部分还需要两个手征二重态。这样得到的最小超对称标准模型（minimal supersymmetric standard model，MSSM），其新自由度和新耦合就有了明确的来源。

下面从场的表示写出作用量和软破缺项，随后求Higgs势的最低点及五个物理Higgs的树级质量。

把标准模型的场装入超多重态

三个规范群因子各需要一个矢量超场。它含原来的规范玻色子、伴随表示的Weyl规范微子以及实辅助场。物质超场则沿全左手记法取 $L,\bar E,Q,\bar U,\bar D$ ，每种有三代。它们的Weyl分量正是原标准模型的轻子和夸克；标量分量称为超轻子（slepton）和超夸克（squark）。为把场名与表示一起看清，列成

手征超场	$SU(3)\times SU(2)\times U(1)_Y$ 表示	标量与Weyl分量
$L_{iI}$	$(\mathbf1,\mathbf2,-1/2)$	左轻子二重态的超轻子、左轻子
$\bar E_I$	$(\mathbf1,\mathbf1,+1)$	带共轭电荷的超轻子、独立左Weyl场 $\bar e$
$Q_{\alpha iI}$	$(\mathbf3,\mathbf2,+1/6)$	超夸克二重态、夸克二重态
$\bar U_I^\alpha$	$(\bar{\mathbf3},\mathbf1,-2/3)$	共轭上型超夸克、左Weyl场 $\bar u$
$\bar D_I^\alpha$	$(\bar{\mathbf3},\mathbf1,+1/3)$	共轭下型超夸克、左Weyl场 $\bar d$
$H_i$	$(\mathbf1,\mathbf2,-1/2)$	一份Higgs标量、Higgs微子
$\bar H_i$	$(\mathbf1,\mathbf2,+1/2)$	另一份Higgs标量、另一Higgs微子

横线都属于独立场名，不表示厄米共轭。特别是 $H$ 与 $\bar H$ 是两个独立的左手手征场；上指标 $\bar H^i$ 则由 $\bar H^i=\epsilon^{ij}\bar H_j$ 得到。弱指标的 $\epsilon^{12}=+1$ ，所以标量分量可以按电荷排成

H=\binom{H^0}{H^-},\qquad \bar H=\binom{\bar H^+}{\bar H^0},\qquad \bar H^1=\bar H_2,\quad \bar H^2=-\bar H_1. \tag{96.1}

两个Higgs的Weyl伙伴称为Higgs微子（higgsino）。超势的全纯性与Higgs微子的反常相消共同要求这两个手征二重态。

各超场的动能直接用上一节的构造。若以 $r=1,2,3$ 区分规范群因子， $\Phi$ 遍历表中所有场与代指标，则可紧凑写为

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm kin} ={}&\sum_\Phi\left[\Phi^\dagger \exp\left(-2\sum_r g_rV_r^{A_r}T_{r,\Phi}^{A_r}\right)\Phi\right]_{22}\\ &+\sum_r\left\{\frac14 [\widehat W_r^{A_r a}\widehat W_{r a}^{A_r}]_F+\mathrm{h.c.}\right\}. \end{aligned} \tag{96.2}

同一规范因子的伴随指标求和；不同群因子的生成元作用于不同槽，彼此对易。这里已把规范场强写成规范归一的伴随分量，等价于矩阵记法中的 $\operatorname{Tr}/T(R)$ 。因而三个规范耦合及每个表示一经指定，规范微子与物质的耦合也由第95节固定。

超势给出的质量与相互作用

取三个一般三代Yukawa矩阵和一个Higgs质量参数，超势为

\begin{aligned} W={}&-y_{IJ}\epsilon^{ij}H_iL_{jI}\bar E_J -y'_{IJ}\epsilon^{ij}H_iQ_{\alpha jI}\bar D_J^\alpha\\ &-y''_{IJ}\bar H^iQ_{\alpha iI}\bar U_J^\alpha -\mu\epsilon^{ij}\bar H_iH_j. \end{aligned} \tag{96.3}

第一、二项的弱单态使用反对称张量，第三项使用上指标 $\bar H^i$ ，最后一项也是两个二重态的反对称缩并。每项的超荷和都为零，颜色槽也成对缩并。所有手征场维数为1，所以 $y,y',y''$ 无量纲，而 $[\mu]=1$ 。

怎样从这个超势读出普通的Yukawa作用？先看一般单项式 $W=-\kappa XYZ$ 。它的交叉二阶导数为 $W_{XY}=-\kappa z$ 及另两个循环项；每对在Hessian中出现两次。代入上一节的 $-W_{rs}\psi_r\psi_s/2$ ，得到

\mathcal L_{\psi\psi}^{XYZ} =\kappa(x\psi_Y\psi_Z+y\psi_X\psi_Z+z\psi_X\psi_Y)+\mathrm{h.c.} \tag{96.4}

用小写 $h,\bar h$ 表示Higgs最低标量， $\widetilde\ell,\widetilde e,\widetilde q,\widetilde u,\widetilde d$ 表示相应物质标量；横线场的标量仍取该横线场的规范表示。将式（96.4）分别用到三个Yukawa项，有

\begin{aligned} \mathcal L_{y}={}&y_{IJ}\epsilon^{ij} (h_i\ell_{jI}\bar e_J +\widetilde\ell_{jI}\psi_{H_i}\bar e_J +\widetilde e_J\psi_{H_i}\ell_{jI})\\ &+y'_{IJ}\epsilon^{ij} (h_iq_{\alpha jI}\bar d_J^\alpha +\widetilde q_{\alpha jI}\psi_{H_i}\bar d_J^\alpha +\widetilde d_J^\alpha\psi_{H_i}q_{\alpha jI})\\ &+y''_{IJ} (\bar h^iq_{\alpha iI}\bar u_J^\alpha +\widetilde q_{\alpha iI}\psi_{\bar H}^{\,i}\bar u_J^\alpha +\widetilde u_J^\alpha\psi_{\bar H}^{\,i}q_{\alpha iI})+\mathrm{h.c.} \end{aligned} \tag{96.5}

每行第一项就是Higgs与两普通物质费米子的作用，另两项把一个物质费米子换成超伙伴，同时换入Higgs微子。超势中的负号使分量Yukawa项带正号。若对应分量场不改相位，与第88–89章所用的负Yukawa记号比较时，应取 $y_{96}=-y_{88}$ 、 $y'_{96}=-y'_{89}$ 、 $y''_{96}=-y''_{89}$ ；这只是参数相位的转换。

再看 $\mu$ 项。把其他标量置零，定义 $I=\epsilon^{ij}\bar h_i h_j=\bar h_1h_2-\bar h_2h_1$ ，则 $W_\mu=-\mu I$ 的四个一阶导数为

\begin{aligned} W_{h_1}&=\mu\bar h_2,&W_{h_2}&=-\mu\bar h_1,\\ W_{\bar h_1}&=-\mu h_2,&W_{\bar h_2}&=\mu h_1,\\ V_{F,H}&=|\mu|^2(h^\dagger h+\bar h^\dagger\bar h). \end{aligned} \tag{96.6}

两个标量质量平方都为 $|\mu|^2$ 。二阶导数还给Higgs微子的质量项

\mathcal L_{\widetilde h,\mu} =-\mu\psi_{H_1}\psi_{\bar H_2} +\mu\psi_{H_2}\psi_{\bar H_1}+\mathrm{h.c.} \tag{96.7}

每个相互配对的Weyl场都得到质量 $|\mu|$ 。单独的超对称 $\mu$ 项给不出负的Higgs质量平方，也不给标量 $h\bar h+\mathrm{h.c.}$ 的混合质量；后者将由破缺效应产生。

R宇称的选择

规范群还允许 $\bar H^iL_{iI}$ 这样的手征双线性，它不在式（96.3）中。可用一个额外的离散对称性将它禁止，称为R宇称（R parity）。它要求所有通常的标准模型分量及两个Higgs标量为偶，所有超伙伴为奇。由于同一超场的标量与旋量取相反号，不能简单地给整个超场乘一个常数号；相容的超空间写法是

\Phi(x,\theta,\bar\theta)\mapsto \eta_\Phi\Phi(x,-\theta,-\bar\theta),\qquad \eta_{L,\bar E,Q,\bar U,\bar D}=-1,\quad \eta_{H,\bar H}=+1. \tag{96.8}

最低标量的号为 $\eta_\Phi$ ，一次项Weyl分量的号为 $-\eta_\Phi$ ，辅助 $F$ 的号则为 $\eta_\Phi$ 。对矢量超场取 $V(\theta,\bar\theta)\mapsto V(-\theta,-\bar\theta)$ ：二次项中的规范玻色子为偶，三次项中的规范微子为奇，最高的 $D$ 为偶。

每个超势Yukawa单项式含两个物质超场和一个Higgs，内禀号乘积为正； $\mu$ 项也为正。 $\bar H L$ 却为负，所以被禁止。三个物质超场的规范单态 $LL\bar E$ 、 $LQ\bar D$ 和 $\bar U\bar D\bar D$ 也都为奇，受到同一选择规则排除。动能与规范动能因配对或平方而为偶。

这一离散号还有一个直接的谱学后果。若作用量和真空都保持R宇称，一个R奇粒子的衰变末态必须含奇数个R奇粒子。对于完整可及谱中最轻的R奇态，末态只含普通粒子会违反R宇称，含另一个R奇态又没有可用的衰变相空间。因此最轻超伙伴（lightest supersymmetric particle，LSP）稳定。

用隐藏破缺背景描述软项

如果超对称在真空中精确保持，同一多重态中的玻色和费米质量必须相配。要使超伙伴与普通粒子具有不同质量，就需要超对称破缺。先看现有场为何没有自动解决这个问题。在不让超夸克、超轻子取得期望值的Higgs子空间，尚未加入破缺项时的势为 $V=|\mu|^2(x+y)+V_D$ ，其中 $x=h^\dagger h$ 、 $y=\bar h^\dagger\bar h$ ， $V_D\ge0$ 且为四次齐次函数。沿共同实缩放 $(h,\bar h)\mapsto\rho(h,\bar h)$ ，有

V(\rho)=\rho^2|\mu|^2(x+y)+\rho^4V_D,\qquad \left.\frac{dV}{d\rho}\right|_{\rho=1} =2|\mu|^2(x+y)+4V_D. \tag{96.9}

任何非零平稳点必须使右边两个非负项分别为零。若 $\mu\ne0$ ，最低点只有两个Higgs都为零；若 $\mu=0$ ，可有D平坦的Higgs真空，但全部 $F,D$ 仍为零。这说明，在所选场配置和未加FI项的作用量中，现有Higgs本身不能给出所需的超对称破缺背景。

一种做法是让隐藏部分先发生自发破缺，再将效应传给可见场。将一个隐藏手征场的非零辅助期望冻结成赝场（spurion）

S=tF_S,\qquad F_S=m_S^2,\qquad [S]=1,\quad[F_S]=2. \tag{96.10}

上一节的F判据说明非零 $F_S$ 如何表示超对称破缺。将它作为固定背景后，可见场的拉格朗日量便出现显式的破缺参数。下面分别求出标量质量、规范微子质量及全纯软项；隐藏机制本身仍是模型输入。

标量质量

设传递相互作用的质量尺度为 $m_M$ ，称为信使标度（messenger scale）。先加入 $S^\dagger S$ 与物质实双线性的D项。为保持规范不变性，在两物质场之间放入相应的规范指数，并把带系数的实双线性记为 $K_C$ ：

\begin{aligned} K_C={}&C^{(H)}H^\dagger e^{-2\mathcal V_H}H +C^{(\bar H)}\bar H^\dagger e^{-2\mathcal V_{\bar H}}\bar H\\ &+\sum_{\Phi=L,\bar E,Q,\bar U,\bar D} C^{(\Phi)}_{IJ}\Phi_I^\dagger e^{-2\mathcal V_\Phi}\Phi_J,\\ \mathcal L_{{\rm spur},D}&=\frac1{m_M^2}[S^\dagger S K_C]_{22},\qquad \mathcal V_\Phi=\sum_r g_rV_r^{A_r}T_{r,\Phi}^{A_r}. \end{aligned} \tag{96.11}

这里每个 $C^{(\Phi)}$ 是代空间的无量纲厄米矩阵；两个Higgs的 $C$ 为实数。因为 $S^\dagger S=|F_S|^2t\bar t$ 已占满奇坐标次数，乘积中只需各物质超场的最低分量。在Wess–Zumino规范下 $V|_0=0$ ，规范指数的最低分量为1，因此在求这个最低分量时，规范指数不改变结果：

\begin{aligned} \relax[S^\dagger S\Phi_I^\dagger e^{-2\mathcal V_\Phi}\Phi_J]_{22} &=|F_S|^2\phi_I^*\phi_J,\\ \mathcal L_{{\rm soft},\Phi} &=\frac{|F_S|^2}{m_M^2}C^{(\Phi)}_{IJ}\phi_I^*\phi_J =-(m_\Phi^2)_{IJ}\phi_I^*\phi_J,\\ m_\Phi^2&=-\frac{|F_S|^2}{m_M^2}C^{(\Phi)}. \end{aligned} \tag{96.12}

赝场算符前的正号与惯用质量拉氏量前的负号，给出最后一行的负号。厄米性保证质量平方矩阵厄米，但不保证它的本征值为正。对绝对值为一量级的 $C$ 本征值，质量尺度为

\sqrt{|m_\Phi^2|}\sim\frac{|F_S|}{m_M} =\frac{m_S^2}{m_M}. \tag{96.13}

Higgs的总二次参数还应加上式（96.6）中的 $|\mu|^2$ 。系数 $C$ 允许不同的味结构，这些结构来自传递机制，而非由超对称单独决定。

规范微子质量

规范微子质量可以由赝场乘规范场强平方的F项产生。以已经规范归一的伴随分量写规范收缩，有

\mathcal L_{{\rm spur},\lambda} =\frac1{m_M}\left[S\sum_{r=1}^3C^{(r)} \widehat W_r^{A a}\widehat W_{r a}^{A}\right]_F+\mathrm{h.c.} \tag{96.14}

$S$ 已经带两个theta，故场强乘积只取最低的 $\lambda_r^{A a}\lambda_{r a}^A$ 。与标准Majorana型Weyl质量项比较，得到

\begin{aligned} \mathcal L_{{\rm soft},\lambda} &=\sum_r C^{(r)}\frac{F_S}{m_M}\lambda_r^A\lambda_r^A+\mathrm{h.c.}\\ &=-\frac12\sum_r(M_r\lambda_r^A\lambda_r^A+\mathrm{h.c.}),\qquad M_r=-2C^{(r)}\frac{F_S}{m_M}. \end{aligned} \tag{96.15}

这里的2来自质量项的 $1/2$ 归一；没有额外的 $i$ ，因为第95节场强超场的最低分量是 $+\lambda$ 。群收缩若改用矩阵迹，必须同时除以 $T(R)$ ，才能使用本式的数值系数。三个 $C^{(r)}$ 可以不同，但质量量级仍为 $m_S^2/m_M$ 。

标量三次项与Higgs混合项

最后将赝场与超势的各项相乘。式（96.3）中三个 $3\times3$ 矩阵各给9个独立项，另有一个 $\mu$ 项，所以共有 $9+9+9+1=28$ 个规范不变项。令 $W_A$ 表示包括原系数在内的完整超势项，其维数为3，则

\begin{aligned} \mathcal L_{{\rm spur},F} &=\frac1{m_M}\left[S\sum_{A=1}^{28}C_AW_A(\Phi)\right]_F +\mathrm{h.c.}\\ &=\frac{F_S}{m_M}\sum_{A=1}^{28}C_AW_A(\phi)+\mathrm{h.c.} \end{aligned} \tag{96.16}

第二行只留下超势项的最低标量乘积，因而产生标量三次项和二次项，不再带物质费米子。把三类Yukawa项逐一代入，标量三次拉氏量为

\begin{aligned} \mathcal L_{{\rm soft},3}=-\frac{F_S}{m_M}\sum_{I,J}\Big\{ &C_{IJ}^{(e)}y_{IJ}\epsilon^{ij}h_i\widetilde\ell_{jI}\widetilde e_J\\ &+C_{IJ}^{(d)}y'_{IJ}\epsilon^{ij}h_i\widetilde q_{\alpha jI}\widetilde d_J^\alpha\\ &+C_{IJ}^{(u)}y''_{IJ}\bar h^i\widetilde q_{\alpha iI}\widetilde u_J^\alpha \Big\}+\mathrm{h.c.} \end{aligned}

每个 $I,J$ 可有独立的 $C_{IJ}^{(e,d,u)}$ 。上型项仍使用升指标的 $\bar h^i$ ，所以它的弱缩并和式（96.3）保持一致。

$\mu$ 项则给

\mathcal L_{{\rm soft},H\bar H} =-\left(b_{\rm c}\epsilon^{ij}\bar h_i h_j+\mathrm{h.c.}\right),\qquad b_{\rm c}=C_\mu\mu\frac{F_S}{m_M},\qquad [b_{\rm c}]=2. \tag{96.17}

这就是此前没有出现的标量混合质量。若将 $W_A$ 只定义成裸场单项式，Higgs双线性只有维数2，其系数必须另外带一个质量，不能仍把所有 $C_A$ 都称为无量纲。按完整超势项乘 $C_A$ 的参数化，严格为零的原耦合也使对应项为零；要容纳该耦合为零而软项独立非零的更一般情况，可以直接用有适当维数的独立软系数。

超势与规范动能指定了超对称相互作用，赝场背景则传入破缺参数。以上三类背景产生的项称为软破缺项（soft supersymmetry-breaking terms）：这里具体是标量质量、规范微子质量以及有质量量纲系数的标量三次和双线性作用。背景展开解释了共同质量量级，而不决定 $C$ 的实际数值；若把它作为信使理论的局域展开，应在外部动量远低于 $m_M$ 、 $|F_S|/m_M^2\ll1$ 的范围内使用。

这些软项也保持已选R宇称： $S=tF_S$ 为偶，物质双线性、两个规范微子及每个原超势项的总号都为正。于是只要真空也保持该离散对称性，前面关于LSP的稳定性结论继续适用。把Higgs二次项与规范D项产生的四次项合在一起，就能求电弱真空及其附近的粒子谱。

为什么需要两个Higgs二重态

普通标准模型只有一个Higgs标量二重态，却能同时给上型和下型夸克质量，因为Yukawa作用可以分别使用它和它的复共轭。超势的情况不同。手征条件为 $\overline{\mathcal D}_{\dot a}\Phi=0$ ，其共轭满足的是 $\mathcal D_a\Phi^\dagger=0$ ；一般的 $\overline{\mathcal D}_{\dot a}\Phi^\dagger$ 不为零。因此把 $H^\dagger$ 放进超势，会破坏第95章构造F项所需的手征性。用 $\epsilon$ 把弱指标转换，也不会改变这个超空间条件。

这一限制与超荷一起决定了第二个Higgs的表示。下型夸克项和带电轻子项需要超荷 $-1/2$ 的 $H$ ，上型夸克项则需要超荷 $+1/2$ 的独立手征场：

\begin{aligned} Y(H)+Y(Q)+Y(\bar D)&=-\frac12+\frac16+\frac13=0,\\ Y(H)+Y(L)+Y(\bar E)&=-\frac12-\frac12+1=0,\\ Y(\bar H)+Y(Q)+Y(\bar U)&=\frac12+\frac16-\frac23=0. \end{aligned} \tag{96.18}

所以当要求保留这些可重整Yukawa耦合时，不能只用一个手征Higgs二重态。

量子规范一致性给出相同的要求。普通Higgs是标量，不贡献手征三角反常；把它推广成手征超场以后，却新增一个左手Higgs微子二重态。第89节已逐表示算出一代夸克、轻子的反常相消。新标量仍不贡献，而新增费米子的系数必须另外相加。对于一个颜色单态、超荷为 $Y$ 的弱二重态，相关群因子为

\mathcal A_{SU(2)^2Y}=T(\mathbf2)Y=\frac Y2,\qquad \mathcal A_{Y^3}=2Y^3,\qquad \mathcal A_{{\rm grav}^2Y}=2Y. \tag{96.19}

第一个式子的 $1/2$ 来自弱生成元的迹归一；后两个式子的2数出二重态中的两个左手分量。单独 $Y=-1/2$ 的Higgs微子给出 $-1/4,-1/4,-1$ ，都不能由已相消的原物质谱补偿。加入 $Y=+1/2$ 的Higgs微子后，三个系数逐项反号，总和为零。它们也不带颜色，不新增色反常；规范微子处在实的伴随表示中，不引入新的手征规范反常。由此，两个Higgs既使超势能够产生所需的费米子质量，也使新增手征费米子的规范反常相消。

Higgs势及电弱真空

以下用 $H,\bar H$ 表示两个最低标量，其他物质标量置零。考察它们的树级势。两个范数项本来就厄米，只有复混合项需要加上共轭。将混合质量参数记为 $m_3^2=b_{\rm c}$ ，先允许它为复，二次拉氏量为

\begin{aligned} \mathcal L_{H,2}&=-aH^\dagger H-c\bar H^\dagger\bar H -(b_{\rm c}I+b_{\rm c}^*I^*),\\ a&=m_1^2=|\mu|^2+m_{H,\rm soft}^2,\qquad c=m_2^2=|\mu|^2+m_{\bar H,\rm soft}^2,\\ I&=\epsilon^{ij}\bar H_iH_j=\bar H^+H^- -\bar H^0H^0. \end{aligned} \tag{96.20}

$a,c$ 是可正可负的实质量平方参数。对一个Higgs作常相位重定义，可以把混合系数改写为 $b=|b_{\rm c}|\ge0$ ；与它相连的其他耦合也随同改相位。这个选择仅是下面研究Higgs势的参数约定。

从辅助场得到四次势

为整理弱指标，记 $x=H^\dagger H$ 、 $y=\bar H^\dagger\bar H$ 、 $z=H^\dagger\bar H$ ，并令 $J^a=H^\dagger\sigma^aH+\bar H^\dagger\sigma^a\bar H$ 。第95章的辅助场拉氏量在此成为

\begin{aligned} \mathcal L_D={}&\frac12D_2^aD_2^a-\frac{g_2}{2}D_2^aJ^a +\frac12D_1^2-\frac{g_1}{2}D_1(-x+y)\\ ={}&\frac12\left(D_2^a-\frac{g_2}{2}J^a\right)^2 +\frac12\left(D_1-\frac{g_1}{2}(-x+y)\right)^2\\ &-\frac{g_2^2}{8}J^aJ^a-\frac{g_1^2}{8}(x-y)^2. \end{aligned} \tag{96.21}

弱生成元是 $\sigma^a/2$ ，两个超荷是 $\mp1/2$ ，这分别给两个线性项中的 $1/2$ 。消去 $D$ 后，最后一行留在拉氏量中；由 $\mathcal L=-V+\cdots$ ，相应势取正号。

利用 $\sigma^a_{ij}\sigma^a_{kl}=2\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ij}\delta_{kl}$ ，交叉项可以逐槽缩并为

\begin{aligned} (H^\dagger\sigma^aH)(\bar H^\dagger\sigma^a\bar H) &=H_i^*H_j\bar H_k^*\bar H_l (2\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ij}\delta_{kl})\\ &=2|H^\dagger\bar H|^2-(H^\dagger H)(\bar H^\dagger\bar H) =2|z|^2-xy,\\ J^aJ^a&=x^2+y^2+2(2|z|^2-xy)=(x-y)^2+4|z|^2. \end{aligned} \tag{96.22}

同一个收缩公式在两个场相同时给单场平方 $x^2$ 或 $y^2$ 。另一个有用恒等式来自两个复二重态的行列式：

\begin{aligned} |I|^2 &=|\bar H_1H_2-\bar H_2H_1|^2\\ &=(|H_1|^2+|H_2|^2)(|\bar H_1|^2+|\bar H_2|^2) -|H_1^*\bar H_1+H_2^*\bar H_2|^2 =xy-|z|^2. \end{aligned} \tag{96.23}

将二次势与四次势相加，得到

\begin{gathered} V=ax+cy+2b\operatorname{Re}I+\lambda_D(x-y)^2+k_D|z|^2,\\ \lambda_D=\frac{g_1^2+g_2^2}{8}>0,\qquad k_D=\frac{g_2^2}{2}>0. \end{gathered} \tag{96.24}

这里 $g_1$ 仍为普通超荷归一的耦合。超对称把四次耦合固定为规范耦合的平方，因而真空条件及Higgs质量之间会出现普通双Higgs模型所没有的关系。

势有下界的条件

先固定两个场的长度 $x,y$ ，只改变相对方向和相位。混合项在 $I$ 为负实时最小。由式（96.23），若令 $q=|z|^2\in[0,xy]$ ，与方向有关的势便为 $-2b\sqrt{xy-q}+k_Dq$ 。在区间内部，其导数为 $b/\sqrt{xy-q}+k_D>0$ ，所以最小值在 $q=0$ 。这说明两双重态正交时能量最低；若其中一个场为零，结论仍连续成立。

把相对方向极小化后，令 $\Sigma=x+y$ 、 $\Delta=x-y$ ，则 $\Sigma\ge|\Delta|$ ；再记 $A=a+c$ 、 $d=a-c$ 。势化为

V_{\rm red}=\frac A2\Sigma+\frac d2\Delta -b\sqrt{\Sigma^2-\Delta^2}+\lambda_D\Delta^2. \tag{96.25}

沿 $\Delta=0$ 方向，四次势消失， $V=(A/2-b)\Sigma$ 。所以 $A<2b$ 必使势无下界。反过来，用 $\sqrt{\Sigma^2-\Delta^2}\le\Sigma$ 并完成平方，得到

V\ge\left(\frac A2-b\right)\Sigma +\lambda_D\left(\Delta+\frac{d}{4\lambda_D}\right)^2 -\frac{d^2}{16\lambda_D}. \tag{96.26}

若 $A\ge2b$ ，右边已有一个与场值无关的有限下界。因此，势有下界的充要条件为

m_1^2+m_2^2\ge2|m_3^2|. \tag{96.27}

等号处的势仍有下界。要在真空附近展开粒子场，还须确定这个下界是否在有限场值处取到。

有限场值处的破缺真空

先取 $A>2b$ 。此时式（96.26）中的第一项随场范数增大而趋于正无穷，连续势必在有限场值达到最小。只须再判断原点是否最低。中性实部的二次矩阵为 $\left(\begin{smallmatrix}a&-b\\-b&c\end{smallmatrix}\right)$ ，虚部及两组带电实部的矩阵只在混合项的号上有所不同。它们的特征多项式均为 $(a-u)(c-u)-b^2$ ，所以本征值为

\lambda_\pm^{(0)} =\frac12\left(A\pm\sqrt{d^2+4b^2}\right),\qquad \lambda_+^{(0)}\lambda_-^{(0)}=ac-b^2. \tag{96.28}

每支在八个规范化实标量中各出现四次。由于 $A>0$ ，原点有负曲率恰好要求 $ac<b^2$ ；沿该负方向取足够小的场值，负的二次项超过正的四次项，势就低于原点。因而通常的有限破缺域是

a+c>2b,\qquad ac<b^2. \tag{96.29}

若 $ac\ge b^2$ ，二次势半正定，四次势也非负，原点便是最低点。在 $ac=b^2$ 的临界线上，二次核虽有零方向，四次势却仍把非零场值抬高。要使四次项也为零，须有 $x=y,z=0$ ，而这个方向的二次系数 $A/2-b$ 严格为正，所以此时原点仍是唯一最低点。

有界条件的等号需要直接使用原势。若 $A=2b>0$ ，记 $\Delta_*=-d/(4\lambda_D)$ ，则

V_{\rm red}=\lambda_D(\Delta-\Delta_*)^2 -\frac{d^2}{16\lambda_D} +b\left(\Sigma-\sqrt{\Sigma^2-\Delta^2}\right). \tag{96.30}

当 $d\ne0$ 时，第一项为零要求 $\Delta=\Delta_*\ne0$ ；在任何有限 $\Sigma$ ，最后一项仍为正。固定这个 $\Delta$ ，其正差为 $b\Delta_*^2/(\Sigma+\sqrt{\Sigma^2-\Delta_*^2})$ ，只在 $\Sigma\to\infty$ 时趋于零。所以势虽有下界，却没有有限最低真空。若 $d=0$ ，则 $a=c=b>0$ ， $\Delta=0$ 上的所有场尺度均给 $V=0$ ；原点和非零真空共处一族平坦方向，树级势没有选出破缺尺度。

当 $b=0,A=0$ 时，上述正差消失，情形随之改变。此时 $c=-a$ ，完整势是

\begin{gathered} V=\lambda_D\left(\Delta+\frac{a}{2\lambda_D}\right)^2 +k_D|z|^2-\frac{a^2}{4\lambda_D},\\ \Delta=-\frac{a}{2\lambda_D},\quad z=0,\quad \Sigma\ge\frac{|a|}{2\lambda_D}. \end{gathered} \tag{96.31}

第二行给出全部最小值，可以在有限场值达到。例如 $a<0$ 时， $H=(\sqrt{-a/(2\lambda_D)},0)^T$ 、 $\bar H=0$ 已经取到最低值；同时增加 $x,y$ 并保持它们的差不变，又得到双场均非零的最低点。只要 $a\ne0$ ，这一平坦族不含原点；若 $a=c=b=0$ ，则退化成包含原点的D平坦族。

在式（96.29）内， $b=0$ 也允许破缺，不过只有一个二次系数为负，只有相应的二重态凝聚。由这些结果可见，严格不等式给出尺度确定的通常破缺域；等号边界既可能只有无穷远处的下确界，也可能有有限的平坦真空族。

破缺方向与五个物理Higgs

前面已证明，最低点可取两个二重态正交。若 $H$ 非零，用弱规范转动把它转成第一分量非零，正交性便使 $\bar H$ 只余第二分量。混合项选定两者乘积的相位；再利用剩余规范相位，可以写成

\langle H\rangle=\frac1{\sqrt2}\binom{v}{0},\qquad \langle\bar H\rangle=\frac1{\sqrt2}\binom{0}{\bar v},\qquad v,\bar v\ge0. \tag{96.32}

$b=0$ 时，势还不依赖两场乘积的相位；选择平坦族中的一个实成员即可使用同样写法。一个场为零的端点也能如此表示。

两非零真空分量的电荷分别为 $+1/2-1/2=0$ 及 $-1/2+1/2=0$ ，因此 $Q=T^3+Y$ 不破缺。 $T^1,T^2$ 把这些分量转向带电分量，另一个与 $Q$ 独立的中性生成元改变它们的相位；只要 $v^2+\bar v^2>0$ ，就有三个破缺规范方向。两复二重态原有八个实标量自由度，三个方向成为 $W^\pm,Z$ 的纵向自由度，于是余下五个物理标量。

其中四个实带电分量减去两条带电规范方向，剩下一个复带电场，即一对 $H^+,H^-$ 粒子。四个实中性分量减去一条中性规范方向，剩下三个中性粒子。这个计数适用于所选的非零真空；在原点规范群没有破缺，八个实标量仍全部保留。

真空期望值之比

把式（96.32）代入势，得到

V_N=\frac a2v^2+\frac c2\bar v^2-bv\bar v +\frac G{32}(v^2-\bar v^2)^2,\qquad G=g_1^2+g_2^2. \tag{96.33}

分别对两个实真空参数求导，而不预先除以它们，有

\begin{aligned} 0&=av-b\bar v+\frac G8v(v^2-\bar v^2),\\ 0&=c\bar v-bv-\frac G8\bar v(v^2-\bar v^2). \end{aligned} \tag{96.34}

若 $b>0$ 且真空非零，两个式子不允许 $v,\bar v$ 中只有一个为零。此时才可分别除以 $v,\bar v$ ，再相加消去四次项。取 $\tan\beta=\bar v/v$ ，便得到

\tan\beta+\cot\beta=\frac{a+c}{b},\qquad \sin2\beta=\frac{2b}{a+c}. \tag{96.35}

这里的 $m_3^2$ 已按相位约定取正。对于 $b=0$ 的真空，应该回到式（96.34），不能在这个商中代入零。

为了同时确定真空尺度，记 $v_T^2=v^2+\bar v^2$ 、 $c_\beta=v/v_T$ 、 $s_\beta=\bar v/v_T$ 。由两个Higgs的协变动能，各自的带电质量项贡献 $g_2^2v_i^2/4$ ，中性二次型贡献 $v_i^2(g_2W^3-g_1B)^2/8$ ，相加给出

M_W^2=\frac{g_2^2v_T^2}{4},\qquad M_Z^2=\frac{Gv_T^2}{4}. \tag{96.36}

驻定条件于是也可写成

a=b\tan\beta-\frac{M_Z^2}{2}\cos2\beta,\qquad c=b\cot\beta+\frac{M_Z^2}{2}\cos2\beta. \tag{96.37}

相减，并利用 $b(\tan\beta-\cot\beta)=-A\cos2\beta$ ，得到 $d=-(A+M_Z^2)\cos2\beta$ 。在通常的 $b>0$ 严格破缺域中， $d$ 不为零，因此两支角度中应取

\begin{gathered} \cos2\beta=-\operatorname{sgn}(d)\sqrt{1-\frac{4b^2}{A^2}},\\ M_Z^2=-\frac d{\cos2\beta}-A>0. \end{gathered} \tag{96.38}

最后的不等式等价于 $d^2>A^2-4b^2$ ，也就是 $ac<b^2$ ，与前面从原点曲率得到的条件一致。若 $b=0,A>0,a<0$ ，未相除的驻定方程直接给 $v^2=-8a/G,\bar v=0$ ；若 $c<0$ 则交换两个场。平坦边界上的 $v_T$ 仍由所选真空成员给定。

五个Higgs的质量

为了看清被规范场吸收的方向和留下的粒子，按规范化实场展开

\begin{aligned} H^0&=\frac{v+h_1+ia_1}{\sqrt2},& \bar H^0&=\frac{\bar v+h_2+ia_2}{\sqrt2},\\ H^-&=\frac{c_1+id_1}{\sqrt2},& \bar H^+&=\frac{c_2+id_2}{\sqrt2}. \end{aligned} \tag{96.39}

各实场的动能均为 $-\tfrac12(\partial q)^2$ ，所以势的二阶导数就是质量平方矩阵。中性混合项展开为 $-b(v+h_1)(\bar v+h_2)+ba_1a_2$ ；中性四次项则为 $G[(v+h_1)^2+a_1^2-(\bar v+h_2)^2-a_2^2]^2/32$ 。前一式使偶、奇场的交叉二阶导数分别为 $-b,+b$ ，后一式另给偶场交叉项 $-Gv\bar v/4$ 。因此在尚未使用驻定条件时，有

\begin{aligned} \mathcal M_O^2&= \begin{pmatrix}a+G\delta_v/8&b\\b&c-G\delta_v/8\end{pmatrix},\\ \mathcal M_E^2&= \begin{pmatrix} a+G(3v^2-\bar v^2)/8&-b-Gv\bar v/4\\ -b-Gv\bar v/4&c+G(3\bar v^2-v^2)/8 \end{pmatrix},\qquad \delta_v=v^2-\bar v^2. \end{aligned} \tag{96.40}

奇场矩阵作用于 $(a_1,a_2)$ ，偶场矩阵作用于 $(h_1,h_2)$ 。例如偶场第一对角元中的四次贡献，来自 $\partial_{h_1}^2[(v+h_1)^2-\bar v^2]^2|_0=4(3v^2-\bar v^2)$ ，乘 $G/32$ 后正是该项的系数。

带电涨落还要保留 $k_D|z|^2$ 。它的二阶项由

z=\frac12\{v(c_2+id_2)+\bar v(c_1-id_1)\}+O(q^2) \tag{96.41}

给出。在电荷为负一的复列 $\chi=(H^-,(\bar H^+)^*)^T$ 中，二次势为 $\chi^\dagger\mathcal K_C\chi$ ，其中

\mathcal K_C= \begin{pmatrix} a+G\delta_v/8+g_2^2\bar v^2/4&b+g_2^2v\bar v/4\\ b+g_2^2v\bar v/4&c-G\delta_v/8+g_2^2v^2/4 \end{pmatrix}. \tag{96.42}

这个矩阵也作用于实列 $(c_1,c_2)$ ；虚列 $(d_1,d_2)$ 的矩阵要在两边各乘 $\operatorname{diag}(1,-1)$ ，因为 $\chi$ 的第二个场取了复共轭。它们的本征值相同。

现在使用驻定条件。对于 $b,v,\bar v$ 均非零的情形，式（96.37）使奇场两个对角元化为 $b\tan\beta,b\cot\beta$ ，再用 $b=As_\beta c_\beta$ ，得到

\begin{aligned} n&=\binom{s_\beta}{c_\beta},\qquad \mathcal M_O^2=A nn^T,\qquad \mathcal K_C=(A+M_W^2)nn^T,\\ \mathcal M_E^2&= A\begin{pmatrix}s_\beta^2&-s_\beta c_\beta\\-s_\beta c_\beta&c_\beta^2\end{pmatrix} +M_Z^2\begin{pmatrix}c_\beta^2&-s_\beta c_\beta\\-s_\beta c_\beta&s_\beta^2\end{pmatrix}. \end{aligned} \tag{96.43}

这些矩阵形式也适用于已分类的 $b=0$ 有限真空，但要直接用未相除的方程验证。例如 $\bar v=0$ 的端点满足 $a+Gv^2/8=0$ ，奇场第二对角元变成 $c-Gv^2/8=a+c=A$ ，第一对角元和非对角元均为零；这正是 $s_\beta=0$ 的投影式。若 $b=A=0$ 且两个真空值非零，两个奇场对角元都为零，带电和偶场矩阵只余规范耦合部分，同样给出式（96.43）。

$n$ 是单位向量，其正交方向为 $(c_\beta,-s_\beta)$ 。因此规范零方向和相应的物理组合为

\begin{aligned} G^0&=c_\beta a_1-s_\beta a_2,& A^0&=s_\beta a_1+c_\beta a_2,\\ G^-&=c_\beta H^- -s_\beta(\bar H^+)^*,& H^-_{\rm phys}&=s_\beta H^-+c_\beta(\bar H^+)^*,\\ m_{A^0}^2&=A,&m_{H^\pm}^2&=A+M_W^2. \end{aligned} \tag{96.44}

这里 $G^-$ 包含两条实规范方向，与 $G^0$ 合起来恰好是前面所数的三条。 $A^0$ 是中性奇场，另两个中性粒子来自偶场矩阵的对角化。

偶场矩阵的迹为 $A+M_Z^2$ 。计算行列式时，两个纯平方项各自相消，留下

\begin{aligned} \det\mathcal M_E^2 &=(As_\beta^2+M_Z^2c_\beta^2) (Ac_\beta^2+M_Z^2s_\beta^2) -(A+M_Z^2)^2s_\beta^2c_\beta^2\\ &=A M_Z^2(s_\beta^4+c_\beta^4-2s_\beta^2c_\beta^2) =A M_Z^2\cos^22\beta. \end{aligned} \tag{96.45}

因而特征方程为 $u^2-(A+M_Z^2)u+A M_Z^2\cos^22\beta=0$ 。按 $m_H^2\ge m_h^2$ 排列两根，得到

m_{H,h}^2=\frac12\left[A+M_Z^2 \pm\sqrt{(A+M_Z^2)^2-4AM_Z^2\cos^22\beta}\right]. \tag{96.46}

这样，三中性粒子为 $h,H,A^0$ ，另有 $H^\pm$ 。一般严格破缺域中五个物理质量平方均为正。若 $b=0,A>0$ 且只有一个场凝聚，两个偶场质量平方直接成为 $\{A,M_Z^2\}$ 。在 $a=c=b>0$ 的平坦族中， $\cos2\beta=0$ ，故 $m_h^2=0$ ；若 $b=A=0$ ，则 $m_h^2=m_A^2=0$ 。这些新增零模是树级平坦方向上的物理标量，不能再算作被规范场吸收的自由度。

四次耦合由规范耦合固定，还限制了最轻Higgs的树级质量。取沿真空的单位向量 $u=(c_\beta,s_\beta)^T$ ，式（96.43）中的 $A$ 部分作用于它为零，因而

u^T\mathcal M_E^2u=M_Z^2\cos^22\beta,\qquad m_h^2\le M_Z^2\cos^22\beta\le M_Z^2. \tag{96.47}

第一个不等式可把 $u$ 展开在偶场矩阵的两个正交本征向量上来理解：二次型是两个本征值的加权平均，权重非负且和为1，故不小于较小的本征值。这个结果展示了超对称对Higgs势的约束；要比较量子理论的粒子质量，还需要把辐射修正加入同一质量矩阵。

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