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上一节求出了自由旋量场的运动方程；要把它用于量子理论，还须把场看作算符，并规定同一时刻各分量之间的反对易关系。这里首先遇到的特点是一阶动能：场的共轭本身就是正则动量的一部分，而不像标量场那样，动量由场的时间导数给出。从两分量外尔场出发确定正则关系，再把它们改写成狄拉克和马约拉纳的四分量形式，可以同时看清这种一阶结构和各分量的独立性。随后求出平面波解，便可将场按动量模式展开。
本节从第 36 节 的自由旋量作用量出发。以下计算可先在周期盒与有限动量截断下进行；自由哈密顿量的真空常数将在第 39 节 用正规序处理。撤去截断后，等时反对易关系按空间涂抹后的分布恒等式理解；分部积分采用使空间边界项消失的条件。
外尔场的动量和哈密顿量
先考虑上一节的单外尔场，取质量参数为实数，其拉格朗日量为
L = i ψ a ˙ † σ ˉ μ a ˙ a ∂ μ ψ a − m 2 ( ψ a ψ a + ψ a ˙ † ψ † a ˙ ) . (37.1) \mathcal L
=i\psi^\dagger_{\dot a}\bar\sigma^{\mu\dot a a}\partial_\mu\psi_a
-\frac m2(\psi^a\psi_a+\psi^\dagger_{\dot a}\psi^{\dagger\dot a}).
\tag{37.1} L = i ψ a ˙ † σ ˉ μ a ˙ a ∂ μ ψ a − 2 m ( ψ a ψ a + ψ a ˙ † ψ † a ˙ ) . ( 37.1 ) 在式（37.1） 的时间导数项中，∂ 0 ψ a \partial_0\psi_a ∂ 0 ψ a i ψ a ˙ † σ ˉ 0 a ˙ a i\psi^\dagger_{\dot a}\bar\sigma^{0\dot a a} i ψ a ˙ † σ ˉ 0 a ˙ a
δ ψ ˙ L = i ψ a ˙ † σ ˉ 0 a ˙ a δ ψ ˙ a ≡ π R a δ ψ ˙ a , π R a = i ψ a ˙ † σ ˉ 0 a ˙ a . (37.2) \delta_{\dot\psi}\mathcal L
=i\psi^\dagger_{\dot a}\bar\sigma^{0\dot a a}\delta\dot\psi_a
\equiv\pi_R^a\delta\dot\psi_a,
\qquad
\pi_R^a=i\psi^\dagger_{\dot a}\bar\sigma^{0\dot a a}.
\tag{37.2} δ ψ ˙ L = i ψ a ˙ † σ ˉ 0 a ˙ a δ ψ ˙ a ≡ π R a δ ψ ˙ a , π R a = i ψ a ˙ † σ ˉ 0 a ˙ a . ( 37.2 ) 上一节推导欧拉方程时，则把变分移到了最左端。将同一个变分项作一次奇量换序，就能把两种动量约定联系起来：
δ ψ ˙ L = − δ ψ ˙ a i ψ a ˙ † σ ˉ 0 a ˙ a = δ ψ ˙ a π L a , π L = − π R , π R a ψ ˙ a = ψ ˙ a π L a . (37.3) \delta_{\dot\psi}\mathcal L
=-\delta\dot\psi_a\,i\psi^\dagger_{\dot a}\bar\sigma^{0\dot a a}
=\delta\dot\psi_a\pi_L^a,
\qquad
\pi_L=-\pi_R,\qquad
\pi_R^a\dot\psi_a=\dot\psi_a\pi_L^a.
\tag{37.3} δ ψ ˙ L = − δ ψ ˙ a i ψ a ˙ † σ ˉ 0 a ˙ a = δ ψ ˙ a π L a , π L = − π R , π R a ψ ˙ a = ψ ˙ a π L a . ( 37.3 ) 因此，改变取导数的一侧时，勒让德乘积的次序也要随之改变，二者仍给出同一个哈密顿量。第44节 将系统讨论奇变量的微分与积分；当前线性动能所需的符号已由上面的换序确定。下文的π \pi π π R \pi_R π R
H = π a ψ ˙ a − L = i ψ † σ ˉ 0 ψ ˙ − i ψ † σ ˉ 0 ψ ˙ − i ψ † σ ˉ i ∂ i ψ + m 2 ( ψ ψ + ψ † ψ † ) = − i ψ † σ ˉ i ∂ i ψ + m 2 ( ψ ψ + ψ † ψ † ) , H = ∫ d 3 x H . (37.4) \begin{aligned}
\mathcal H
&=\pi^a\dot\psi_a-\mathcal L\\
&=i\psi^\dagger\bar\sigma^0\dot\psi
-i\psi^\dagger\bar\sigma^0\dot\psi
-i\psi^\dagger\bar\sigma^i\partial_i\psi
+\frac m2(\psi\psi+\psi^\dagger\psi^\dagger)\\
&=-i\psi^\dagger\bar\sigma^i\partial_i\psi
+\frac m2(\psi\psi+\psi^\dagger\psi^\dagger),
\qquad H=\int d^3x\,\mathcal H.
\end{aligned}
\tag{37.4} H = π a ψ ˙ a − L = i ψ † σ ˉ 0 ψ ˙ − i ψ † σ ˉ 0 ψ ˙ − i ψ † σ ˉ i ∂ i ψ + 2 m ( ψψ + ψ † ψ † ) = − i ψ † σ ˉ i ∂ i ψ + 2 m ( ψψ + ψ † ψ † ) , H = ∫ d 3 x H . ( 37.4 ) 时间导数项在勒让德变换中完全抵消，哈密顿量中留下空间梯度和质量项。对梯度项取厄米共轭，再作一次空间分部积分，便回到原来的排列；质量的两项本来就互为伴随，所以在上述边界条件下H † = H H^\dagger=H H † = H [ ψ ] = [ π ] = 3 / 2 [\psi]=[\pi]=3/2 [ ψ ] = [ π ] = 3/2 H \mathcal H H
等时反对易关系
有了动量和哈密顿量，接下来规定量子场的正则关系。对于这个费米场，采用以下量子化公设：
{ ψ a ( x , t ) , ψ c ( y , t ) } = 0 , { ψ a ( x , t ) , π c ( y , t ) } = i δ a c δ 3 ( x − y ) . (37.5) \begin{aligned}
\{\psi_a(\mathbf x,t),\psi_c(\mathbf y,t)\}&=0,\\
\{\psi_a(\mathbf x,t),\pi^c(\mathbf y,t)\}
&=i\delta_a{}^c\delta^3(\mathbf x-\mathbf y).
\end{aligned}
\tag{37.5} { ψ a ( x , t ) , ψ c ( y , t )} { ψ a ( x , t ) , π c ( y , t )} = 0 , = i δ a c δ 3 ( x − y ) . ( 37.5 ) 花括号表示反对易子{ A , B } = A B + B A \{A,B\}=AB+BA { A , B } = A B + B A （37.2） 代入第二式，除去两侧的i i i
{ ψ a ( x , t ) , ψ c ˙ † ( y , t ) } σ ˉ 0 c ˙ c = δ a c δ 3 ( x − y ) . (37.6) \{\psi_a(\mathbf x,t),\psi^\dagger_{\dot c}(\mathbf y,t)\}
\bar\sigma^{0\dot c c}
=\delta_a{}^c\delta^3(\mathbf x-\mathbf y).
\tag{37.6} { ψ a ( x , t ) , ψ c ˙ † ( y , t )} σ ˉ 0 c ˙ c = δ a c δ 3 ( x − y ) . ( 37.6 ) 这里σ ˉ 0 = σ 0 = I 2 \bar\sigma^0=\sigma^0=I_2 σ ˉ 0 = σ 0 = I 2
{ ψ a ( x , t ) , ψ c ˙ † ( y , t ) } = σ a c ˙ 0 δ 3 ( x − y ) . (37.7) \{\psi_a(\mathbf x,t),\psi^\dagger_{\dot c}(\mathbf y,t)\}
=\sigma^0_{a\dot c}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y).
\tag{37.7} { ψ a ( x , t ) , ψ c ˙ † ( y , t )} = σ a c ˙ 0 δ 3 ( x − y ) . ( 37.7 ) 两侧的质量维数都是3。右侧出现σ 0 \sigma^0 σ 0
{ ψ a ( x , t ) , ψ † c ˙ ( y , t ) } = ϵ a b ϵ c ˙ d ˙ σ b d ˙ 0 δ 3 ( x − y ) = σ ˉ 0 c ˙ a δ 3 ( x − y ) . (37.8) \begin{aligned}
\{\psi^a(\mathbf x,t),\psi^{\dagger\dot c}(\mathbf y,t)\}
&=\epsilon^{ab}\epsilon^{\dot c\dot d}
\sigma^0_{b\dot d}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y)\\
&=\bar\sigma^{0\dot c a}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y).
\end{aligned}
\tag{37.8} { ψ a ( x , t ) , ψ † c ˙ ( y , t )} = ϵ ab ϵ c ˙ d ˙ σ b d ˙ 0 δ 3 ( x − y ) = σ ˉ 0 c ˙ a δ 3 ( x − y ) . ( 37.8 ) 最后一步用了第35节的双升指标公式 ，取其中μ = 0 \mu=0 μ = 0 ψ \psi ψ
这些正则关系应当使哈密顿量产生原来的场方程。为把这一步的收缩写得简明，暂用σ 0 = I \sigma^0=I σ 0 = I q a = ψ a q_a=\psi_a q a = ψ a d a = ψ a ˙ † d_a=\psi^\dagger_{\dot a} d a = ψ a ˙ †
[ q , A B ] = { q , A } B − A { q , B } . (37.9) [q,AB]=\{q,A\}B-A\{q,B\}.
\tag{37.9} [ q , A B ] = { q , A } B − A { q , B } . ( 37.9 ) 将这个恒等式用于梯度项，就有[ q a , H k i n ] = − i σ ˉ i a b ∂ i q b [q_a,H_{\rm kin}]=-i\bar\sigma^{i ab}\partial_iq_b [ q a , H kin ] = − i σ ˉ iab ∂ i q b d b ( y ) d_b(\mathbf y) d b ( y ) δ \delta δ y \mathbf y y ∂ i q b \partial_iq_b ∂ i q b q q qq qq
[ q a , m 2 ∫ d 3 y d b ϵ b c d c ] = m 2 ( ϵ a c d c − d b ϵ b a ) = m ϵ a b d b . (37.10) \begin{aligned}
\left[q_a,\frac m2\int d^3y\,d_b\epsilon^{bc}d_c\right]
&=\frac m2\left(\epsilon^{ac}d_c-d_b\epsilon^{ba}\right)\\
&=m\epsilon^{ab}d_b.
\end{aligned}
\tag{37.10} [ q a , 2 m ∫ d 3 y d b ϵ b c d c ] = 2 m ( ϵ a c d c − d b ϵ ba ) = m ϵ ab d b . ( 37.10 ) 由于 ϵ \epsilon ϵ 1 / 2 1/2 1/2 i q ˙ a = [ q a , H ] i\dot q_a=[q_a,H] i q ˙ a = [ q a , H ]
i ∂ 0 q a = − i σ ˉ i a b ∂ i q b + m ϵ a b d b . (37.11) i\partial_0q_a=-i\bar\sigma^{i ab}\partial_iq_b+m\epsilon^{ab}d_b.
\tag{37.11} i ∂ 0 q a = − i σ ˉ iab ∂ i q b + m ϵ ab d b . ( 37.11 ) 恢复时间单位阵和点指标后，这个方程写成i σ ˉ μ a ˙ a ∂ μ ψ a − m ψ † a ˙ = 0 i\bar\sigma^{\mu\dot a a}\partial_\mu\psi_a-m\psi^{\dagger\dot a}=0 i σ ˉ μ a ˙ a ∂ μ ψ a − m ψ † a ˙ = 0 上一节的奇变分 所得方程一致。这样，拉格朗日量给出的运动与等时反对易关系下的哈密顿量演化便联系起来。
狄拉克场的四分量关系
两分量关系也能直接用于狄拉克场。将两个独立外尔场组成四分量列，并同时写出它的伴随和 γ \gamma γ
Ψ D = ( χ a ξ † a ˙ ) , Ψ ˉ D = Ψ D † β = ( ξ a , χ a ˙ † ) , β = ( 0 I 2 I 2 0 ) , γ μ = ( 0 σ μ σ ˉ μ 0 ) . (37.12) \begin{gathered}
\Psi_D=\begin{pmatrix}\chi_a\\ \xi^{\dagger\dot a}\end{pmatrix},
\qquad
\bar\Psi_D=\Psi_D^\dagger\beta=(\xi^a,\chi^\dagger_{\dot a}),\\
\beta=\begin{pmatrix}0&I_2\\I_2&0\end{pmatrix},\qquad
\gamma^\mu=\begin{pmatrix}0&\sigma^\mu\\\bar\sigma^\mu&0\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\tag{37.12} Ψ D = ( χ a ξ † a ˙ ) , Ψ ˉ D = Ψ D † β = ( ξ a , χ a ˙ † ) , β = ( 0 I 2 I 2 0 ) , γ μ = ( 0 σ ˉ μ σ μ 0 ) . ( 37.12 ) 这里β \beta β γ 0 \gamma^0 γ 0 第36节 的约定理解。四分量拉格朗日量与两个外尔场的写法相接，只需对其中一个外尔动能项分部积分，再交换奇场的次序：
L D = i χ † σ ˉ μ ∂ μ χ + i ξ † σ ˉ μ ∂ μ ξ − m ( χ ξ + ξ † χ † ) ≃ i Ψ ˉ D γ μ ∂ μ Ψ D − m Ψ ˉ D Ψ D . (37.13) \begin{aligned}
\mathcal L_D
&=i\chi^\dagger\bar\sigma^\mu\partial_\mu\chi
+i\xi^\dagger\bar\sigma^\mu\partial_\mu\xi
-m(\chi\xi+\xi^\dagger\chi^\dagger)\\
&\simeq i\bar\Psi_D\gamma^\mu\partial_\mu\Psi_D-m\bar\Psi_D\Psi_D.
\end{aligned}
\tag{37.13} L D = i χ † σ ˉ μ ∂ μ χ + i ξ † σ ˉ μ ∂ μ ξ − m ( χ ξ + ξ † χ † ) ≃ i Ψ ˉ D γ μ ∂ μ Ψ D − m Ψ ˉ D Ψ D . ( 37.13 ) 记号≃ \simeq ≃ （36.24） –（36.26） 逐步算出。两个独立的动能项和它们之间的质量耦合由此写进同一个四分量式。
正则动量由动能决定。两个外尔动能彼此独立，对这两个种类采用正则量子化时，除各自满足一份（37.7） 外，不同种类之间的混合 CAR 也为零。把种类指标一起写出，就有
{ q I a ( x , t ) , q J b ˙ † ( y , t ) } = δ I J σ a b ˙ 0 δ 3 ( x − y ) , { q I a , q J b } = 0 , I , J ∈ { χ , ξ } . (37.14) \begin{aligned}
\{q_{Ia}(\mathbf x,t),q^\dagger_{J\dot b}(\mathbf y,t)\}
&=\delta_{IJ}\sigma^0_{a\dot b}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y),\\
\{q_{Ia},q_{Jb}\}&=0,\qquad I,J\in\{\chi,\xi\}.
\end{aligned}
\tag{37.14} { q I a ( x , t ) , q J b ˙ † ( y , t )} { q I a , q J b } = δ I J σ a b ˙ 0 δ 3 ( x − y ) , = 0 , I , J ∈ { χ , ξ } . ( 37.14 ) 质量耦合不含速度，因此不改变这组正则关系；对它们取厄米共轭，还得到两个共轭场之间的零 CAR。组成四分量列时必须同时使用不同种类的混合CAR为零这一条件，因为它决定了不同块之间的反对易子。
为明确每一块来自哪一个两分量关系，仍记E = ( ϵ a b ) E=(\epsilon_{ab}) E = ( ϵ ab ) F = E − 1 F=E^{-1} F = E − 1 ϵ \epsilon ϵ Ψ D = ( χ , F ξ † ) T \Psi_D=(\chi,F\xi^\dagger)^T Ψ D = ( χ , F ξ † ) T F F T = I 2 FF^T=I_2 F F T = I 2 { Ψ D , Ψ D T } \{\Psi_D,\Psi_D^T\} { Ψ D , Ψ D T } { χ , F ξ † } \{\chi,F\xi^\dagger\} { χ , F ξ † } { Ψ D , Ψ D † } \{\Psi_D,\Psi_D^\dagger\} { Ψ D , Ψ D † } I 2 I_2 I 2 F I 2 F T = I 2 F I_2 F^T=I_2 F I 2 F T = I 2
{ Ψ D α ( x , t ) , Ψ D β ( y , t ) } = 0 , { Ψ D α ( x , t ) , Ψ D β † ( y , t ) } = δ α β δ 3 ( x − y ) . (37.15) \begin{aligned}
\{\Psi_{D\alpha}(\mathbf x,t),\Psi_{D\beta}(\mathbf y,t)\}&=0,\\
\{\Psi_{D\alpha}(\mathbf x,t),\Psi^\dagger_{D\beta}(\mathbf y,t)\}
&=\delta_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y).
\end{aligned}
\tag{37.15} { Ψ D α ( x , t ) , Ψ D β ( y , t )} { Ψ D α ( x , t ) , Ψ D β † ( y , t )} = 0 , = δ α β δ 3 ( x − y ) . ( 37.15 ) 其中α , β = 1 , … , 4 \alpha,\beta=1,\ldots,4 α , β = 1 , … , 4 Ψ ˉ D β = Ψ D γ † β γ β \bar\Psi_{D\beta}=\Psi^\dagger_{D\gamma}\beta_{\gamma\beta} Ψ ˉ D β = Ψ D γ † β γ β β \beta β
{ Ψ D α ( x , t ) , Ψ ˉ D β ( y , t ) } = ( γ 0 ) α β δ 3 ( x − y ) . (37.16) \{\Psi_{D\alpha}(\mathbf x,t),\bar\Psi_{D\beta}(\mathbf y,t)\}
=(\gamma^0)_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y).
\tag{37.16} { Ψ D α ( x , t ) , Ψ ˉ D β ( y , t )} = ( γ 0 ) α β δ 3 ( x − y ) . ( 37.16 ) 逐分量看，这个列就是Ψ D = ( χ 1 , χ 2 , ξ 2 ˙ † , − ξ 1 ˙ † ) T \Psi_D=(\chi_1,\chi_2,\xi^\dagger_{\dot2},-\xi^\dagger_{\dot1})^T Ψ D = ( χ 1 , χ 2 , ξ 2 ˙ † , − ξ 1 ˙ † ) T δ 3 \delta^3 δ 3
也可以直接从四分量拉格朗日量出发：右动量行是Π = i Ψ ˉ D γ 0 = i Ψ D † \Pi=i\bar\Psi_D\gamma^0=i\Psi_D^\dagger Π = i Ψ ˉ D γ 0 = i Ψ D † { Ψ α , Π β } = i δ α β δ 3 \{\Psi_\alpha,\Pi_\beta\}=i\delta_{\alpha\beta}\delta^3 { Ψ α , Π β } = i δ α β δ 3 Π \Pi Π （37.15） 、（37.16） ，其间用到( γ 0 ) 2 = I 4 (\gamma^0)^2=I_4 ( γ 0 ) 2 = I 4
马约拉纳条件与正则约束
对于马约拉纳场，四分量列的上、下块来自同一个外尔场及其共轭，因而二者已经相互联系。其场、伴随和拉格朗日量为
Ψ M = ( ψ a ψ † a ˙ ) , Ψ ˉ M = ( ψ a , ψ a ˙ † ) = Ψ M T C , C = ( E 0 0 E − 1 ) , L M ≃ 1 2 Ψ ˉ M ( i γ μ ∂ μ − m ) Ψ M = 1 2 Ψ M T C ( i γ μ ∂ μ − m ) Ψ M . (37.17) \begin{gathered}
\Psi_M=\begin{pmatrix}\psi_a\\\psi^{\dagger\dot a}\end{pmatrix},
\qquad \bar\Psi_M=(\psi^a,\psi^\dagger_{\dot a})
=\Psi_M^T\mathcal C,\\
\mathcal C=\begin{pmatrix}E&0\\0&E^{-1}\end{pmatrix},
\\
\mathcal L_M\simeq\frac12\bar\Psi_M(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi_M
=\frac12\Psi_M^T\mathcal C(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi_M .
\end{gathered}
\tag{37.17} Ψ M = ( ψ a ψ † a ˙ ) , Ψ ˉ M = ( ψ a , ψ a ˙ † ) = Ψ M T C , C = ( E 0 0 E − 1 ) , L M ≃ 2 1 Ψ ˉ M ( i γ μ ∂ μ − m ) Ψ M = 2 1 Ψ M T C ( i γ μ ∂ μ − m ) Ψ M . ( 37.17 ) 共轭矩阵也可写为diag ( − ϵ a c , − ϵ a ˙ c ˙ ) \operatorname{diag}(-\epsilon^{ac},-\epsilon_{\dot a\dot c}) diag ( − ϵ a c , − ϵ a ˙ c ˙ ) E E E E − 1 E^{-1} E − 1 1 / 2 1/2 1/2 第36节 已在变分时说明这个系数怎样消去。
由于两块属于同一个场，Ψ M = ( q , F d ) T \Psi_M=(q,Fd)^T Ψ M = ( q , F d ) T I 2 F T = E I_2F^T=E I 2 F T = E F I 2 = E − 1 F I_2=E^{-1} F I 2 = E − 1
{ Ψ M α ( x , t ) , Ψ M β ( y , t ) } = A α β δ 3 ( x − y ) , A = ( 0 E E − 1 0 ) = C γ 0 , A T = A , A 2 = I 4 . (37.18) \begin{aligned}
\{\Psi_{M\alpha}(\mathbf x,t),\Psi_{M\beta}(\mathbf y,t)\}
&=\mathsf A_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y),\\
\mathsf A
&=\begin{pmatrix}0&E\\E^{-1}&0\end{pmatrix}
=\mathcal C\gamma^0,\qquad
\mathsf A^T=\mathsf A,\quad \mathsf A^2=I_4 .
\end{aligned}
\tag{37.18} { Ψ M α ( x , t ) , Ψ Mβ ( y , t )} A = A α β δ 3 ( x − y ) , = ( 0 E − 1 E 0 ) = C γ 0 , A T = A , A 2 = I 4 . ( 37.18 ) 自CAR的右侧于是出现一个对称矩阵，恰与反对易子交换两分量时的对称性相合。要转成伴随 CAR，再利用Ψ ˉ M = Ψ M T C \bar\Psi_M=\Psi_M^T\mathcal C Ψ ˉ M = Ψ M T C C \mathcal C C C γ 0 = − γ 0 C \mathcal C\gamma^0=-\gamma^0\mathcal C C γ 0 = − γ 0 C C 2 = − I 4 \mathcal C^2=-I_4 C 2 = − I 4
{ Ψ M α ( x , t ) , Ψ ˉ M β ( y , t ) } = ( A C ) α β δ 3 ( x − y ) = ( γ 0 ) α β δ 3 ( x − y ) . (37.19) \{\Psi_{M\alpha}(\mathbf x,t),\bar\Psi_{M\beta}(\mathbf y,t)\}
=(\mathsf A\mathcal C)_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y)
=(\gamma^0)_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y).
\tag{37.19} { Ψ M α ( x , t ) , Ψ ˉ Mβ ( y , t )} = ( A C ) α β δ 3 ( x − y ) = ( γ 0 ) α β δ 3 ( x − y ) . ( 37.19 ) 因此，马约拉纳场与狄拉克场的伴随 CAR 具有相同形式，场与其厄米共轭的 CAR 矩阵也同为I 4 I_4 I 4 （37.18） 给出。
一阶动能的约束与狄拉克括号
这一约束也会出现在直接的四分量量子化中。从（37.17） 取正则动量，得到Π α = ( i / 2 ) A α β Ψ M β \Pi_\alpha=(i/2)\mathsf A_{\alpha\beta}\Psi_{M\beta} Π α = ( i /2 ) A α β Ψ Mβ
先回到较简单的外尔写法。在扩大的相空间中，将q , d q,d q , d π , ρ \pi,\rho π , ρ
θ 1 = π − i d ≃ 0 , θ 2 = ρ ≃ 0. (37.20) \theta_1=\pi-id\simeq0,\qquad \theta_2=\rho\simeq0.
\tag{37.20} θ 1 = π − i d ≃ 0 , θ 2 = ρ ≃ 0. ( 37.20 ) 这里的≃ 0 \simeq0 ≃ 0 { q , π } P = { π , q } P = 1 \{q,\pi\}_{\rm P}=\{\pi,q\}_{\rm P}=1 { q , π } P = { π , q } P = 1 { d , ρ } P = { ρ , d } P = 1 \{d,\rho\}_{\rm P}=\{\rho,d\}_{\rm P}=1 { d , ρ } P = { ρ , d } P = 1
Δ r s = { θ r , θ s } P = ( 0 − i − i 0 ) , Δ − 1 = ( 0 i i 0 ) . (37.21) \Delta_{rs}=\{\theta_r,\theta_s\}_{\rm P}
=\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix},
\qquad
\Delta^{-1}=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}.
\tag{37.21} Δ rs = { θ r , θ s } P = ( 0 − i − i 0 ) , Δ − 1 = ( 0 i i 0 ) . ( 37.21 ) 消去θ \theta θ z z z { z , θ r } P ( Δ − 1 ) r s θ s \{z,\theta_r\}_{\rm P}(\Delta^{-1})_{rs}\theta_s { z , θ r } P ( Δ − 1 ) rs θ s θ t \theta_t θ t { z , θ t } P − { z , θ r } P ( Δ − 1 ) r s Δ s t = 0 \{z,\theta_t\}_{\rm P}-\{z,\theta_r\}_{\rm P}(\Delta^{-1})_{rs}\Delta_{st}=0 { z , θ t } P − { z , θ r } P ( Δ − 1 ) rs Δ s t = 0
{ z , w } D = { z , w } P − { z , θ r } P ( Δ − 1 ) r s { θ s , w } P . (37.22) \{z,w\}_{\rm D}
=\{z,w\}_{\rm P}
-\{z,\theta_r\}_{\rm P}(\Delta^{-1})_{rs}\{\theta_s,w\}_{\rm P}.
\tag{37.22} { z , w } D = { z , w } P − { z , θ r } P ( Δ − 1 ) rs { θ s , w } P . ( 37.22 ) 这就是约化的狄拉克括号（Dirac bracket）。本例中的矩阵是常数，所得基本括号可按分级莱布尼茨规则延伸到多项式，而雅可比关系不产生系数的导数项。用于空间场时，只需给矩阵元补上δ 3 ( x − y ) \delta^3(\mathbf x-\mathbf y) δ 3 ( x − y )
现在取z = q , w = d z=q,w=d z = q , w = d ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) T (0,1)^T ( 0 , 1 ) T
{ q , d } D = − i , { q , q } D = { d , d } D = 0. (37.23) \{q,d\}_{\rm D}=-i,\qquad
\{q,q\}_{\rm D}=\{d,d\}_{\rm D}=0.
\tag{37.23} { q , d } D = − i , { q , q } D = { d , d } D = 0. ( 37.23 ) 在线性约束消元之后，对剩下的奇变量施加量子化规则{ z ^ , w ^ } + = i { z , w } D \{\widehat z,\widehat w\}_+=i\{z,w\}_{\rm D} { z , w } + = i { z , w } D { q , d } + = 1 \{q,d\}_+=1 { q , d } + = 1 （37.5） 出发，所用的已经是消去冗余坐标后的正则关系。
对马约拉纳场可作同样的处理。以四个奇坐标Ψ M α \Psi_{M\alpha} Ψ M α
ϑ α = Π α − i 2 A α β Ψ M β ≃ 0 , { ϑ α , ϑ β } P = − i 2 A β α − i 2 A α β = − i A α β . (37.24) \begin{aligned}
\vartheta_\alpha&=\Pi_\alpha-\frac i2\mathsf A_{\alpha\beta}\Psi_{M\beta}\simeq0,\\
\{\vartheta_\alpha,\vartheta_\beta\}_{\rm P}
&=-\frac i2\mathsf A_{\beta\alpha}
-\frac i2\mathsf A_{\alpha\beta}
=-i\mathsf A_{\alpha\beta}.
\end{aligned}
\tag{37.24} ϑ α { ϑ α , ϑ β } P = Π α − 2 i A α β Ψ Mβ ≃ 0 , = − 2 i A β α − 2 i A α β = − i A α β . ( 37.24 ) 括号中的两项，分别来自一个约束的动量和另一个约束的场。由于A \mathsf A A 1 / 2 1/2 1/2 i A − 1 i\mathsf A^{-1} i A − 1 （37.22） ，再施加奇变量的量子化规则，得到
{ Ψ M α , Ψ M β } D = − i ( A − 1 ) α β , { Ψ ^ M α , Ψ ^ M β } + = ( A − 1 ) α β = A α β . (37.25) \{\Psi_{M\alpha},\Psi_{M\beta}\}_{\rm D}
=-i(\mathsf A^{-1})_{\alpha\beta},
\qquad
\{\widehat\Psi_{M\alpha},\widehat\Psi_{M\beta}\}_+
=(\mathsf A^{-1})_{\alpha\beta}
=\mathsf A_{\alpha\beta}.
\tag{37.25} { Ψ M α , Ψ Mβ } D = − i ( A − 1 ) α β , { Ψ M α , Ψ Mβ } + = ( A − 1 ) α β = A α β . ( 37.25 ) 所得结果与从单外尔场出发得到的（37.18） 相同。这里决定 CAR 的是消去约束后矩阵的逆，动量中的半系数已经在约束括号的两个收缩中相加；若直接把这个动量代入无约束的正则关系，就会漏掉这一步而多出一个因子2。
斜线记号与平面波
确定场的正则关系以后，还需要把它按动量模式展开。狄拉克场和马约拉纳场满足同一个一阶运动方程，因而可先求这个方程的平面波解，再分别对模式系数实施相应条件。引入费曼斜线记号（slash notation），将方程写为
a̸ ≡ a μ γ μ , ( − i ∂̸ + m ) Ψ = 0. (37.26) \slashed a\equiv a_\mu\gamma^\mu,\qquad
(-i\slashed\partial+m)\Psi=0.
\tag{37.26} a ≡ a μ γ μ , ( − i ∂ + m ) Ψ = 0. ( 37.26 ) 斜线记号将四矢量的下指标与γ μ \gamma^\mu γ μ a μ a ν a_\mu a_\nu a μ a ν γ \gamma γ μ , ν \mu,\nu μ , ν
a̸ 2 = 1 2 a μ a ν { γ μ , γ ν } + 1 2 a μ a ν [ γ μ , γ ν ] = − a μ a ν g μ ν I 4 = − a 2 I 4 . (37.27) \begin{aligned}
\slashed a^{\,2}
&=\frac12a_\mu a_\nu\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}
+\frac12a_\mu a_\nu[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\\
&=-a_\mu a_\nu g^{\mu\nu}I_4=-a^2I_4.
\end{aligned}
\tag{37.27} a 2 = 2 1 a μ a ν { γ μ , γ ν } + 2 1 a μ a ν [ γ μ , γ ν ] = − a μ a ν g μν I 4 = − a 2 I 4 . ( 37.27 ) 普通偏导也相互对易，因而同一计算给出∂̸ 2 = − ∂ 2 \slashed\partial^{\,2}=-\partial^2 ∂ 2 = − ∂ 2 i ∂̸ + m i\slashed\partial+m i ∂ + m
0 = ( i ∂̸ + m ) ( − i ∂̸ + m ) Ψ = ( ∂̸ 2 + m 2 ) Ψ = ( − ∂ 2 + m 2 ) Ψ . (37.28) 0=(i\slashed\partial+m)(-i\slashed\partial+m)\Psi
=(\slashed\partial^{\,2}+m^2)\Psi
=(-\partial^2+m^2)\Psi.
\tag{37.28} 0 = ( i ∂ + m ) ( − i ∂ + m ) Ψ = ( ∂ 2 + m 2 ) Ψ = ( − ∂ 2 + m 2 ) Ψ. ( 37.28 ) 这是每个场分量满足的克莱因–戈登条件。它确定了每个场分量的色散关系；各分量之间的联系则仍由原来的一阶方程给出。
因此，取在壳四动量p μ = ( ω p , p ) p^\mu=(\omega_{\mathbf p},\mathbf p) p μ = ( ω p , p ) ω p = p 2 + m 2 > 0 \omega_{\mathbf p}=\sqrt{\mathbf p^2+m^2}>0 ω p = p 2 + m 2 > 0 p x = − ω p t + p ⋅ x px=-\omega_{\mathbf p}t+\mathbf p\cdot\mathbf x p x = − ω p t + p ⋅ x
Ψ ( x ) = u ( p ) e i p x + v ( p ) e − i p x , 0 = ( p̸ + m ) u ( p ) e i p x + ( − p̸ + m ) v ( p ) e − i p x . (37.29) \begin{aligned}
\Psi(x)&=u(\mathbf p)e^{ipx}+v(\mathbf p)e^{-ipx},\\
0&=(\slashed p+m)u(\mathbf p)e^{ipx}
+(-\slashed p+m)v(\mathbf p)e^{-ipx}.
\end{aligned}
\tag{37.29} Ψ ( x ) 0 = u ( p ) e i p x + v ( p ) e − i p x , = ( p + m ) u ( p ) e i p x + ( − p + m ) v ( p ) e − i p x . ( 37.29 ) 这里− i ∂ μ -i\partial_\mu − i ∂ μ e i p x e^{ipx} e i p x p μ p_\mu p μ e − i p x e^{-ipx} e − i p x − p μ -p_\mu − p μ
( p̸ + m ) u ( p ) = 0 , ( − p̸ + m ) v ( p ) = 0 , p̸ = − ω p γ 0 + p i γ i . (37.30) (\slashed p+m)u(\mathbf p)=0,\qquad
(-\slashed p+m)v(\mathbf p)=0,
\qquad \slashed p=-\omega_{\mathbf p}\gamma^0+p_i\gamma^i.
\tag{37.30} ( p + m ) u ( p ) = 0 , ( − p + m ) v ( p ) = 0 , p = − ω p γ 0 + p i γ i . ( 37.30 )
每个频率支的两个解
要构造一般的模式展开，还须知道每个代数方程有多少个独立解。先取m > 0 m>0 m > 0 p 2 = − m 2 p^2=-m^2 p 2 = − m 2 （37.27） 得到p̸ 2 = m 2 I 4 \slashed p^{\,2}=m^2I_4 p 2 = m 2 I 4
Q u = m − p̸ 2 m , Q v = m + p̸ 2 m . (37.31) Q_u=\frac{m-\slashed p}{2m},\qquad
Q_v=\frac{m+\slashed p}{2m}.
\tag{37.31} Q u = 2 m m − p , Q v = 2 m m + p . ( 37.31 ) 这两个矩阵确是互补的投影：把平方及相互乘积逐项展开，得到
Q u 2 = m 2 − 2 m p̸ + p̸ 2 4 m 2 = Q u , Q v 2 = Q v , Q u Q v = m 2 − p̸ 2 4 m 2 = 0 , Q u + Q v = I 4 . (37.32) \begin{aligned}
Q_u^2&=\frac{m^2-2m\slashed p+\slashed p^{\,2}}{4m^2}=Q_u,\\
Q_v^2&=Q_v,\qquad
Q_uQ_v=\frac{m^2-\slashed p^{\,2}}{4m^2}=0,\qquad Q_u+Q_v=I_4 .
\end{aligned}
\tag{37.32} Q u 2 Q v 2 = 4 m 2 m 2 − 2 m p + p 2 = Q u , = Q v , Q u Q v = 4 m 2 m 2 − p 2 = 0 , Q u + Q v = I 4 . ( 37.32 ) 由( p̸ + m ) Q u = 0 (\slashed p+m)Q_u=0 ( p + m ) Q u = 0 ( p̸ + m ) w = 0 (\slashed p+m)w=0 ( p + m ) w = 0 Q u w = w Q_uw=w Q u w = w Q u Q_u Q u u u u Q v Q_v Q v γ μ \gamma^\mu γ μ tr Q u = tr Q v = 2 \operatorname{tr}Q_u=\operatorname{tr}Q_v=2 tr Q u = tr Q v = 2 u ± ( p ) u_\pm(\mathbf p) u ± ( p ) v ± ( p ) v_\pm(\mathbf p) v ± ( p )
对于m = 0 m=0 m = 0 m m m p = ( 0 , 0 , ω ) \mathbf p=(0,0,\omega) p = ( 0 , 0 , ω )
p̸ = ω ( 0 − I 2 + σ 3 − I 2 − σ 3 0 ) . (37.33) \slashed p
=\omega
\begin{pmatrix}0&-I_2+\sigma_3\\-I_2-\sigma_3&0\end{pmatrix}.
\tag{37.33} p = ω ( 0 − I 2 − σ 3 − I 2 + σ 3 0 ) . ( 37.33 ) 上右块与下左块各有一个非零对角元，所以全矩阵的秩为2，核仍然是二维的。特殊点p = 0 = m p=0=m p = 0 = m ω > 0 \omega>0 ω > 0
这些平面波还应能表示任意可作空间傅里叶展开的初值。为看到这一点，对固定空间波数k \mathbf k k i ∂ t Ψ k = h ( k ) Ψ k i\partial_t\Psi_{\mathbf k}=h(\mathbf k)\Psi_{\mathbf k} i ∂ t Ψ k = h ( k ) Ψ k
h ( k ) = γ 0 γ i k i + m γ 0 , h 2 = ( k 2 + m 2 ) I 4 = ω k 2 I 4 . (37.34) h(\mathbf k)=\gamma^0\gamma^i k_i+m\gamma^0,\qquad
h^2=(\mathbf k^2+m^2)I_4=\omega_{\mathbf k}^2I_4.
\tag{37.34} h ( k ) = γ 0 γ i k i + m γ 0 , h 2 = ( k 2 + m 2 ) I 4 = ω k 2 I 4 . ( 37.34 ) 平方中的质量交叉项因{ γ 0 , γ i } = 0 \{\gamma^0,\gamma^i\}=0 { γ 0 , γ i } = 0 k 2 \mathbf k^2 k 2 ( I 4 ± h / ω k ) / 2 (I_4\pm h/\omega_{\mathbf k})/2 ( I 4 ± h / ω k ) /2 u s ( k ) u_s(\mathbf k) u s ( k ) v s ( − k ) v_s(-\mathbf k) v s ( − k ) k \mathbf k k − k -\mathbf k − k k = − p \mathbf k=-\mathbf p k = − p
模展开与马约拉纳系数
将所有动量的平面波叠加，并对每个解空间中的两个基矢求和，便得到场的模式展开：
Ψ ( x ) = ∑ s = ± ∫ d p ~ [ b s ( p ) u s ( p ) e i p x + d s † ( p ) v s ( p ) e − i p x ] , d p ~ = d 3 p ( 2 π ) 3 2 ω p . (37.35) \begin{gathered}
\Psi(x)=\sum_{s=\pm}\int\widetilde{dp}\,
\left[b_s(\mathbf p)u_s(\mathbf p)e^{ipx}
+d_s^\dagger(\mathbf p)v_s(\mathbf p)e^{-ipx}\right],\\
\widetilde{dp}=\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf p}} .
\end{gathered}
\tag{37.35} Ψ ( x ) = s = ± ∑ ∫ d p [ b s ( p ) u s ( p ) e i p x + d s † ( p ) v s ( p ) e − i p x ] , d p = ( 2 π ) 3 2 ω p d 3 p . ( 37.35 ) 这里仍采用第3节的质量壳测度 。要从四维质量壳积分得到它，只需先积掉p 0 p^0 p 0 f ( p 0 ) = − ( p 0 ) 2 + p 2 + m 2 f(p^0)=-(p^0)^2+\mathbf p^2+m^2 f ( p 0 ) = − ( p 0 ) 2 + p 2 + m 2 2 ω p 2\omega_{\mathbf p} 2 ω p
θ ( p 0 ) δ ( p 2 + m 2 ) = δ ( p 0 − ω p ) 2 ω p . (37.36) \theta(p^0)\delta(p^2+m^2)
=\frac{\delta(p^0-\omega_{\mathbf p})}{2\omega_{\mathbf p}} .
\tag{37.36} θ ( p 0 ) δ ( p 2 + m 2 ) = 2 ω p δ ( p 0 − ω p ) . ( 37.36 ) 测度中的1 / ( 2 ω ) 1/(2\omega) 1/ ( 2 ω ) ( 2 π ) − 3 (2\pi)^{-3} ( 2 π ) − 3 u s u_s u s b s b_s b s 第38节 将从静止系出发选择这些基矢，再给出它们的自旋及归一性质。
对于狄拉克场，两套模式系数可以独立；马约拉纳场还须满足Ψ M C = Ψ M \Psi_M^C=\Psi_M Ψ M C = Ψ M
c [ w ] = C β T w ∗ = A w ∗ , c 2 [ w ] = w . (37.37) \mathfrak c[w]=\mathcal C\beta^T w^*
=\mathsf A w^*,\qquad \mathfrak c^2[w]=w.
\tag{37.37} c [ w ] = C β T w ∗ = A w ∗ , c 2 [ w ] = w . ( 37.37 ) 在当前基中，A \mathsf A A γ \gamma γ β ( γ μ ) † β = γ μ \beta(\gamma^\mu)^\dagger\beta=\gamma^\mu β ( γ μ ) † β = γ μ A ( γ μ ) ∗ A − 1 = − γ μ \mathsf A(\gamma^\mu)^*\mathsf A^{-1}=-\gamma^\mu A ( γ μ ) ∗ A − 1 = − γ μ ( γ μ ) T = β T ( γ μ ) ∗ β T (\gamma^\mu)^T=\beta^T(\gamma^\mu)^*\beta^T ( γ μ ) T = β T ( γ μ ) ∗ β T C ( γ μ ) T C − 1 = − γ μ \mathcal C(\gamma^\mu)^T\mathcal C^{-1}=-\gamma^\mu C ( γ μ ) T C − 1 = − γ μ （37.30） 中的u u u A \mathsf A A ( − p̸ + m ) c [ u ] = 0 (-\slashed p+m)\mathfrak c[u]=0 ( − p + m ) c [ u ] = 0
对（37.35） 的场展开取电荷共轭时，两个相位也互换。比较e i p x e^{ipx} e i p x
∑ s b s ( p ) u s ( p ) = ∑ s d s ( p ) c [ v s ( p ) ] . (37.38) \sum_s b_s(\mathbf p)u_s(\mathbf p)
=\sum_s d_s(\mathbf p)\mathfrak c[v_s(\mathbf p)].
\tag{37.38} s ∑ b s ( p ) u s ( p ) = s ∑ d s ( p ) c [ v s ( p )] . ( 37.38 ) 另一频率的条件是这一关系的共轭。若把两个解空间的基选成配对形式v s = c [ u s ] v_s=\mathfrak c[u_s] v s = c [ u s ] b s = d s b_s=d_s b s = d s
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