Srednicki §51 汤川理论中的圈修正

系列文章：Srednicki QFT 共 97 篇

前几章已经给出费米子的传播子、顶角和外态规则，并用它们计算了树图。现在将同样的规则用于圈图。重整化的思路仍与标量理论相同：先找出对称性允许的局部项，再用质量、场归一和耦合的定义决定反项。新的工作主要在分子上。标量圈的分子通常是数，费米圈却带着有序的gamma矩阵；一条费米线闭合时，还会出现反对易关系带来的负号。我们将先算两个传播子，再算两个相互作用顶角，看看这些变化怎样进入结果。

选取一个便于计算的理论

圈修正会产生哪些相互作用，可以先由量纲和对称性判断。在四维中，动能项给出 $[\varphi]=1$ 、 $[\Psi]=3/2$ ，所以系数具有非负质量量纲的纯标量项可以一直写到 $\varphi^4$ 。对于原来的 $g\varphi\bar\Psi\Psi$ 理论， $\varphi$ 在宇称下为偶，线性项、三次项和四次项都不受对称性禁止。即使起初把它们的系数设为零，圈积分也一般要求相应反项。

含费米子的候选项少得多。两个费米场已经占去三个质量维数，因而最多再加一个导数或一个标量场。洛伦兹不变的动能、质量和原汤川项已经在拉氏量中；赝标量质量 $i\bar\Psi\gamma_5\Psi$ 违反宇称，而 $\Psi^T\mathcal C\Psi$ 在 $\Psi\mapsto e^{i\alpha}\Psi$ 下带有两单位相位，违反狄拉克场的 $U(1)$ 对称性。四费米项的维数为六，属于负量纲耦合。分部积分后，这样便列尽了本节所需的局部项。

为了少处理两个新的标量耦合，我们改选

\mathcal L_{\rm Yuk}=ig\varphi\bar\Psi\gamma_5\Psi,\qquad P^{-1}\varphi(\mathbf x,t)P=-\varphi(-\mathbf x,t). \tag{51.1}

$i\bar\Psi\gamma_5\Psi$ 是厄米的赝标量，故实 $g$ 使相互作用厄米，而 $\varphi$ 的奇宇称使乘积为偶。现在 $\varphi$ 和 $\varphi^3$ 都为奇，只有 $\varphi^4$ 仍须加入。这里保留狄拉克的 $U(1)$ 及相应离散对称性；讨论围绕保持宇称的 $\langle\varphi\rangle=0$ 真空进行。第45—50章的标量汤川顶角为 $ig$ ，本节则由 $i\mathcal L_{\rm Yuk}$ 得到 $-g\gamma_5$ 。这一改变会同时影响闭圈的迹和开链的分子。

将拉氏量分成自由部分和微扰部分：

\begin{aligned} \mathcal L&=\mathcal L_0+\mathcal L_1,\\ \mathcal L_0&=i\bar\Psi\slashed\partial\Psi-m\bar\Psi\Psi -\frac12\partial^\mu\varphi\partial_\mu\varphi-\frac12M^2\varphi^2,\\ \mathcal L_1&=iZ_g g\varphi\bar\Psi\gamma_5\Psi -\frac{Z_\lambda\lambda}{4!}\varphi^4+\mathcal L_{\rm ct},\\ \mathcal L_{\rm ct} &=i\delta Z_\Psi\bar\Psi\slashed\partial\Psi -\delta Z_m m\bar\Psi\Psi -\frac12\delta Z_\varphi(\partial\varphi)^2 -\frac12\delta Z_M M^2\varphi^2,\qquad \delta Z_j=Z_j-1 . \end{aligned} \tag{51.2}

场与质量的四个反项将由两个传播子的极点位置和留数确定。耦合则在外四动量为零时定义，使相应顶角等于树级值。这是本节选取的在壳方案；只消去维数极点的 $\overline{\mathrm{MS}}$ 方案将在这些反项的有限部分作不同选择。

以下取 $m>0$ 及 $0<M<2m$ 。于是赝标量不能衰变为电子–正电子对，两个基本粒子在所讨论的微扰真空中都有孤立的单粒子极点。圈积分沿既有约定取 $d=4-\epsilon$ ，并写

g_d=\widetilde\mu^{\epsilon/2}g,\qquad \lambda_d=\widetilde\mu^\epsilon\lambda,\qquad \mu^2=4\pi e^{-\gamma_E}\widetilde\mu^2 . \tag{51.3}

在 $d$ 维， $[\varphi]=1-\epsilon/2$ 、 $[\Psi]=3/2-\epsilon/2$ ，所以这两个尺度幂正好补回耦合的维数。后面在顶角中提出共同的树级尺度幂，每个单圈积分便都带 $\widetilde\mu^\epsilon$ 。我们保留各图的单圈贡献，包括有限部分，并在最后令 $\epsilon\to0$ 。

精确传播子的极点与连续谱

在计算反项之前，先说明它们要保持怎样的传播子。第13节已从中间态求和推得实场的谱表示。把那里的单粒子质量换成 $M$ ，并按LSZ要求归一化场，得到

\widetilde{\boldsymbol\Delta}(k^2) =\frac1{k^2+M^2-i0} +\int_{M_{\rm th}^2}^\infty ds\,\frac{\rho(s)}{k^2+s-i0}, \qquad \rho(s)\ge0,\qquad M_{\rm th}=\min(2m,3M). \tag{51.4}

两个阈值分别来自费米子–反费米子和三个赝标量。两个自旋零粒子若要由自旋零场产生，在质心系必须取轨道角动量 $L=0$ 。两个赝标量的内禀宇称相乘为正，轨道因子 $(-1)^L$ 也为正，因而不能与 $\varphi$ 的奇宇称相接。三个赝标量则可以构成奇宇称的总自旋零态。这给出本节微扰粒子谱中的最低连续阈值；若另有束缚态，谱中还须另列其极点。

将截去外传播子的单粒子不可约二点图之和记为 $i\Pi$ 。第14节的几何级数于是给出

\widetilde{\boldsymbol\Delta}^{-1}(k^2) =k^2+M^2-i0-\Pi(k^2),\qquad \Pi(-M^2)=0,\qquad \Pi'(-M^2)=0 . \tag{51.5}

第一个条件保持极点在 $k^2=-M^2$ ；在极点附近作一次泰勒展开，分母的线性项为 $(k^2+M^2)[1-\Pi'(-M^2)]$ ，所以第二个条件使留数为一。它们共同固定 $\delta Z_M$ 和 $\delta Z_\varphi$ ，包括两个有限部分。

费米子的谱表示需要两个实函数。为确定它们对应的洛伦兹结构，我们在矩阵元 $\langle0|\Psi_a(x)\bar\Psi_b(0)|0\rangle$ 中插入完整态集，再按中间态的总四动量 $q$ 和不变质量 $s=-q^2$ 分组。平移不变性给出 $e^{iqx}$ ；自旋指标组成一个 $4\times4$ 矩阵。宇称守恒排除了 $\gamma_5$ 和 $\slashed q\gamma_5$ ，单个四动量又不能组成非零的反对称二阶张量。因而只剩 $I$ 与 $\slashed q$ 两种结构。将系数归一写成

\begin{aligned} W_>(x)&:=\langle0|\Psi(x)\bar\Psi(0)|0\rangle\\ &=\int_0^\infty ds\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3\,2\omega_s} \bigl[-\slashed q\,\sigma_1(s)+\sqrt{s}\,\sigma_2(s)\bigr]e^{iqx}, \qquad \omega_s=\sqrt{\mathbf q^2+s}. \end{aligned} \tag{51.6}

正性可以直接在中间态静止系看出。把式（51.6）的谱分子记为 $R(q)$ 。乘上 $\beta=\gamma^0$ 后，中间态矩阵变成 $\sum_n\langle0|\Psi|n\rangle\langle n|\Psi^\dagger|0\rangle$ ，是正半定的。由于 $q=(\sqrt{s},\mathbf0)$ 时 $-\slashed q=\sqrt{s}\beta$ ，它的两组本征值为

R(q)\beta=\sqrt{s}\,[\sigma_1(s)I+\sigma_2(s)\beta], \qquad \sqrt{s}\,[\sigma_1(s)\pm\sigma_2(s)]\ge0. \tag{51.7}

因此 $\sigma_1\ge|\sigma_2|$ ，并非只需 $\sigma_1\ge\sigma_2$ 。有离散谱时，这一不等式理解为对两种非负谱测度 $\sigma_1+\sigma_2$ 和 $\sigma_1-\sigma_2$ 的要求。

单位留数的单粒子贡献由 $\sum_su_s\bar u_s=-\slashed q+m$ 给出，故两函数都含 $\delta(s-m^2)$ 。在本理论的电荷共轭关系下，另一算符次序中的反粒子贡献将质量项变号，正如自由场的 $\sum_sv_s\bar v_s=-\slashed q-m$ 。把这两个次序按费米子的时间排序合并，再对 $q^0$ 作第42节的极点积分，每个固定 $s$ 都给出质量为 $\sqrt{s}$ 的分母。从 $\sigma_{1,2}$ 中分离单粒子 $\delta$ 项，便得到

\begin{aligned} \widetilde{\boldsymbol S}(\slashed p) &=\frac{-\slashed p+m}{p^2+m^2-i0} +\int_{m_{\rm th}^2}^\infty ds\, \frac{-\slashed p\,\rho_1(s)+\sqrt{s}\,\rho_2(s)} {p^2+s-i0},\\ \rho_1(s)&\ge|\rho_2(s)|,\qquad m_{\rm th}=m+M . \end{aligned} \tag{51.8}

带一个单位狄拉克荷的中间态可以是一个费米子加一个赝标量，其阈值为 $m+M$ 。只由费米子和反费米子组成的下一种态至少含三个粒子，阈值为 $3m$ ； $M<2m$ 保证前者更低。这也解释了为何费米谱不能从两个费米粒子开始。

为了把极点条件写得像标量情形一样简洁，将 $z=\slashed p$ 视为解析变量。gamma代数给 $z^2=-p^2$ ，所以无穷小边界处的自由传播子可写成 $(z+m-i0)^{-1}$ ，物理极点在 $z=-m$ 。这里的线性 $i0$ 只规定靠近极点的边界方向。若保留一个有限的正数 $\delta$ ，精确的因子化应写成

\zeta_\delta(s)=\sqrt{s-i\delta},\quad \operatorname{Re}\zeta_\delta>0, \qquad (-z+\zeta_\delta)(z+\zeta_\delta)=p^2+s-i\delta . \tag{51.9}

展开 $\zeta_\delta=\sqrt{s}-i\delta/(2\sqrt{s})+O(\delta^2)$ 后，才能把每个线性因子记成相应的 $i0$ 边界。由于连续谱从 $m_{\rm th}>m$ 开始，它在孤立的单粒子极点附近解析，因而不影响下面的局部展开：

\widetilde{\boldsymbol S}^{-1}(z)=z+m-i0-\Sigma(z), \qquad \Sigma(-m)=0,\qquad \Sigma'(-m)=0 . \tag{51.10}

$i\Sigma$ 是截去外传播子的1PI费米二点图之和。前一条件固定质量，后一条件固定留数，从而决定 $\delta Z_m$ 与 $\delta Z_\Psi$ 。求导时必须同时使用 $p^2=-z^2$ ；圈积分中的 $p^2$ 不是独立于 $z$ 的变量。这个细节将在费米自能的有限反项中产生一个质量平方因子。

标量自能：闭圈、迹与参数积分

现在开始计算。到单圈阶，标量二点函数有闭合费米圈、标量蝌蚪和二价反项三种贡献。下图中实线箭头规定费米流，虚线表示赝标量：

标量自能的三个贡献。闭圈的两段动量为 $\ell$ 与 $\ell+k$ ；中图的两条圈端接在同一个四标量顶点，右图的叉号表示二价反项。

每个汤川顶角给 $-g\gamma_5$ ，每条内部费米线给 $\widetilde S/i$ ，每条闭合费米圈再给 $-1$ 。这个号来自奇场的换序，下面用四次源求导把它写出。把自旋指标沿闭链相接便形成迹，因此

\begin{aligned} i\Pi_\Psi(k^2) &=(-1)(-g)^2(1/i)^2 \int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4} \operatorname{Tr}\!\left[ \widetilde S(\ell+k)\gamma_5\widetilde S(\ell)\gamma_5\right],\\ \widetilde S(p)&=\frac{-\slashed p+m}{p^2+m^2-i0}. \end{aligned} \tag{51.11}

三个显式因子的乘积为 $+g^2$ 。在圈图内令 $Z_g=1$ 已足够，因 $\delta Z_g$ 本身从更高耦合阶开始；它在这幅图中的插入属于下一阶修正。利用 $\gamma_5^2=1$ 及 $\gamma_5\slashed\ell=-\slashed\ell\gamma_5$ ，分子中的两个 $\gamma_5$ 先相消：

\begin{aligned} \operatorname{Tr}[(-\slashed\ell-\slashed k+m) \gamma_5(-\slashed\ell+m)\gamma_5] &=\operatorname{Tr}[(-\slashed\ell-\slashed k+m)(\slashed\ell+m)]\\ &=4[(\ell+k)\cdot\ell+m^2]\equiv4N . \end{aligned} \tag{51.12}

线性gamma项的迹为零；二次项使用 $\operatorname{Tr}(\slashed a\slashed b)=-4a\cdot b$ ，与分子已有的负号相乘后成为正的内积。本节先把这类成对的 $\gamma_5$ 消去，再对剩余迹作维数延拓，并取 $\operatorname{Tr}I=4$ 。顶角计算也将只留下链末的一个 $\gamma_5$ 。这样足以处理本节各图；它没有用到含一个 $\gamma_5$ 的闭迹，也不把第47节的四维 $\epsilon$ 迹公式延拓为任意 $d$ 维恒等式。

闭圈的负号可以在作动量积分以前确定。沿第43节的左导数规则，费米自由源泛函和插入为

Z_F=e^{i\bar\eta S\eta},\qquad \bar\Psi_a\longleftrightarrow i\partial^L_{\eta_a},\qquad \Psi_b\longleftrightarrow\frac1i\partial^L_{\bar\eta_b}.

为同时处理标量和赝标量顶角，暂记双线性为 $\bar\Psi G\Psi$ ，其中 $G$ 是普通偶矩阵。令 $B_c(y)=(\bar\eta S)_c(y)$ 、 $C_d(y)=(S\eta)_d(y)$ ；它们都是奇量。在第一个顶点依次作用两个左导数，得

\begin{aligned} \partial^L_{\bar\eta_d(y)}Z_F&=iC_d(y)Z_F,\\ \partial^L_{\eta_c(y)}\partial^L_{\bar\eta_d(y)}Z_F &=iS_{dc}(y,y)Z_F-iC_d(y)[-iB_c(y)Z_F]\\ &=[iS_{dc}(y,y)+B_c(y)C_d(y)]Z_F. \end{aligned}

再作用另一个顶点的 $\partial^L_{\bar\eta_b(x)}$ 。第一项给 $-S_{dc}(y,y)C_b(x)Z_F$ ，第二项给 $S_{bc}(x,y)C_d(y)Z_F$ 以及含三个源的项。最后作用 $\partial^L_{\eta_a(x)}$ 并令源为零，便有

\left. \partial^L_{\eta_a(x)}\partial^L_{\bar\eta_b(x)} \partial^L_{\eta_c(y)}\partial^L_{\bar\eta_d(y)}Z_F \right|_0 =-S_{ba}(x,x)S_{dc}(y,y)+S_{bc}(x,y)S_{da}(y,x).

第一项是两个同点收缩的乘积；第二项才把两个顶点连成一条闭链。物理费米收缩为 $K_F=S/i$ ，故第二项中的 $SS=-K_FK_F$ 。乘上两个顶点矩阵并缩并指标，得到

\langle T(\bar\Psi G\Psi)_x(\bar\Psi G\Psi)_y\rangle_{0,c} =-\operatorname{Tr}[G K_F(x-y)G K_F(y-x)].

指数展开的 $1/2!$ 再与两条固定标量外腿接到两个顶点的 $2!$ 种方法相消。取赝标量的 $G=\gamma_5$ 和顶角 $-g\gamma_5$ ，截去外标量传播子后，正好得到式（51.11）的 $(-1)(-g)^2(1/i)^2$ 。闭圈号由此直接来自源导数次序。

分母的处理与第14节相同。用 $x$ 合并两条线，令 $a=x(1-x)$ ，再平移 $q=\ell+xk$ ，有

\begin{aligned} &x[(\ell+k)^2+m^2]+(1-x)(\ell^2+m^2) =(\ell+xk)^2+m^2+ak^2,\\ D&=m^2+ak^2,\\ N&=q^2-ak^2+m^2+(1-2x)k\cdot q,\\ i\Pi_\Psi(k^2) &=4g^2\int_0^1dx\,\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d}\frac{N}{(q^2+D-i0)^2}. \end{aligned} \tag{51.13}

这一步的平移与删去奇 $q$ 项，先在积分收敛的维数域进行，再由维数正规化的解析延拓定义发散处的结果。因此不会在平移动量时另引入一个截止边界项。外动量可先取使 $D>0$ 的区域，算完后沿原分母的 $-i0$ 继续延拓。

两个所需的动量积分都已包含在第31节的四维展开中。为追踪分子 $q^2$ 所带来的有限常数，这里把代入写开。记

\begin{aligned} I_n(D)&:=\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d}\frac1{(q^2+D-i0)^n}\\ &=\frac{i\widetilde\mu^\epsilon}{(4\pi)^{d/2}} \frac{\Gamma(n-d/2)}{\Gamma(n)}D^{d/2-n}. \end{aligned} \tag{51.14}

$i$ 来自 $q^0=iq_E^0$ 的威克旋转。取 $n=2$ 时， $\Gamma(\epsilon/2)=2/\epsilon-\gamma_E+O(\epsilon)$ ；同时展开 $(4\pi\widetilde\mu^2/D)^{\epsilon/2}$ ，便把 $\gamma_E$ 和 $4\pi$ 并入 $\mu$ 。取 $n=1$ 时还要用 $\Gamma(-1+\epsilon/2)=\Gamma(\epsilon/2)/(-1+\epsilon/2)$ 。这个分母的一阶展开产生额外的常数一：

\begin{aligned} I_2(D)&=\frac{i}{16\pi^2} \left[\frac2\epsilon-\ln\frac D{\mu^2}\right]+O(\epsilon),\\ I_1(D)&=-\frac{iD}{16\pi^2} \left[\frac2\epsilon+1-\ln\frac D{\mu^2}\right]+O(\epsilon),\\ \widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d}\frac{q^2}{(q^2+D-i0)^2} &=I_1(D)-DI_2(D)\\ &=-\frac{2iD}{16\pi^2} \left[\frac2\epsilon+\frac12-\ln\frac D{\mu^2}\right]+O(\epsilon). \end{aligned} \tag{51.15}

最后一步用了 $q^2=(q^2+D)-D$ ，其中常数 $1/2$ 来自前两个积分的相减。

把式（51.15）代回，剩余的 $x$ 积分分成多项式和对数两部分。从动量积分中提出公共因子 $i/(16\pi^2)$ 后，被积式为

\begin{aligned} &-2D\left[\frac2\epsilon+\frac12-\ln\frac D{\mu^2}\right] +(m^2-ak^2)\left[\frac2\epsilon-\ln\frac D{\mu^2}\right]\\ &\hspace{6mm} =-\frac{2m^2+6ak^2}{\epsilon} -(m^2+ak^2)+(m^2+3ak^2)\ln\frac D{\mu^2}. \end{aligned} \tag{51.16}

利用 $\int_0^1a\,dx=1/6$ ，并除去 $i\Pi$ 前的 $i$ ，得到

\Pi_\Psi(k^2) =-\frac{g^2}{4\pi^2}\left[ \frac{k^2+2m^2}{\epsilon}+\frac{k^2}{6}+m^2 -\int_0^1dx\,(3ak^2+m^2)\ln\frac D{\mu^2}\right]. \tag{51.17}

发散部分只有 $k^2$ 和质量平方两种局部结构，正好可由标量动能和质量的反项吸收。非多项式的动量依赖留在对数中；它将决定连续谱及传播子的离壳变化。

标量的质量和场归一

费米圈之外，还要加上四标量顶点产生的蝌蚪图。它与第31节的图相同，只需把内部质量换成 $M$ 。两个外腿接到顶点有 $4\cdot3$ 种方式，剩余两腿互相缩并，与顶点的 $1/4!$ 相乘后给 $1/2$ 。因此 $i\Pi_\varphi=(-i\lambda)(1/i)I_1(M^2)/2$ ，即

\Pi_\varphi =\frac{\lambda M^2}{16\pi^2} \left[\frac1\epsilon+\frac12-\frac12\ln\frac{M^2}{\mu^2}\right], \qquad \Pi_{\rm ct}=-\delta Z_\varphi k^2-\delta Z_M M^2 . \tag{51.18}

蝌蚪图与外动量无关，所以它只直接改变质量项。将它与费米圈相加，按 $k^2$ 和常数分别抵消 $1/\epsilon$ ，得到

\begin{aligned} \left.\delta Z_\varphi\right|_{\rm pole} &=-\frac{g^2}{4\pi^2\epsilon},\\ \left.\delta Z_M\right|_{\rm pole} &=\frac1\epsilon\left[ \frac{\lambda}{16\pi^2} -\frac{g^2m^2}{2\pi^2M^2}\right]. \end{aligned} \tag{51.19}

有限部分还没有确定，因为消去发散并不足以定义物理质量和场归一。若记 $F(y)=\Pi_\Psi(y)+\Pi_\varphi$ 、 $y=k^2$ ，两个在壳条件要求

\begin{aligned} \delta Z_\varphi&=F'(-M^2),\\ \delta Z_M&=\frac{F(-M^2)}{M^2}+F'(-M^2),\\ \Pi(y)&=F(y)-F(-M^2)-(y+M^2)F'(-M^2). \end{aligned} \tag{51.20}

这个减除式同时去掉 $F$ 在极点处的值和斜率。尤其 $\Pi_\varphi$ 作为常数被整个吸收，所以最终自能在 $\lambda$ 的一次阶不再有贡献； $\lambda$ 仍留在将拉氏量质量与裸质量联系起来的反项中。

两次减除会消去常数项和一次多项式，有限动量依赖只需从下式求出： $H(y)=\int_0^1dx\,(3ay+m^2)\ln[(m^2+ay)/\mu^2]$ 。它的导数包含两项：前因子求导给 $3a\ln(D/\mu^2)$ ，对数求导给 $a(3ay+m^2)/D$ 。把 $y_0=-M^2$ 代入式（51.20），前一项与 $H(y_0)$ 合起来将对数变成 $\ln(D/D_0)$ ；后一项给一个线性有限反项。结果为

\begin{aligned} \Pi(k^2)&=\frac{g^2}{4\pi^2} \left[\int_0^1dx\,(3ak^2+m^2)\ln\frac{D}{D_0} +\kappa_\varphi(k^2+M^2)\right],\\ D_0&=m^2-aM^2,\qquad \kappa_\varphi=\int_0^1dx\, \frac{a(3aM^2-m^2)}{D_0}. \end{aligned} \tag{51.21}

$a\le1/4$ 且 $M<2m$ ，故 $D_0>0$ ，减除点没有越过二费米阈值。在 $k^2=-M^2$ 处，对数为零，线性项也为零；再求一次导数，积分给 $\int a(m^2-3aM^2)/D_0$ ，恰与 $\kappa_\varphi$ 抵消。因而两个在壳条件都已实现。

有限归一常数还可以显式积分，借此看出接近阈值时的行为。令 $r=M^2/m^2$ ，其中 $0<r<4$ ，把分子除以 $1-ra$ ，有

\begin{aligned} \kappa_\varphi &=-\frac12+\frac2r[J(r)-1],\\ J(r)&=\int_0^1\frac{dx}{1-rx(1-x)} =\frac4{\sqrt{r(4-r)}}\arctan\sqrt{\frac r{4-r}} . \end{aligned} \tag{51.22}

第二行令 $u=2x-1$ 后成为 $4\int_0^1du/(4-r+ru^2)$ ，其原函数是一个反正切。在小 $r$ 处，直接展开 $J=1+r/6+r^2/30+\cdots$ ，得到 $\kappa_\varphi=-1/6+r/15+\cdots$ 。当 $r\to4^-$ 时， $D_0$ 在 $x=1/2$ 附近变小， $J$ 随之增大；归一条件对阈值的敏感性由此显现。若离壳动量远离极点与阈值，且各动量和质量尺度同阶、没有大的对数，传播子的相对单圈修正便为 $g^2/(4\pi^2)$ 量级。

费米自能：开链与混合质量

接着计算费米传播子。下图的一圈贡献含一条内部费米线和一条标量线，自旋指标沿外部费米线连通，不形成迹，也没有闭圈的额外负号：

费米自能。内部费米动量为 $p+\ell$ ，上方标量弧的动量 $\ell$ 流向左顶点。右图表示费米动能及质量反项。

仍按逆着费米箭头的次序相乘，两个顶角夹住内部传播子，得到

\begin{aligned} i\Sigma_{\rm loop}(\slashed p) &=(-g)^2(1/i)^2\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}\, \gamma_5\widetilde S(p+\ell)\gamma_5\, \widetilde\Delta(\ell^2),\\ \widetilde\Delta(\ell^2)&=\frac1{\ell^2+M^2-i0},\\ \gamma_5(-\slashed p-\slashed\ell+m)\gamma_5 &=\slashed p+\slashed\ell+m . \end{aligned} \tag{51.23}

显式因子这次为 $-g^2$ 。用 $x$ 乘费米分母、 $1-x$ 乘标量分母，令 $q=\ell+xp$ ，则

\begin{aligned} &x[(\ell+p)^2+m^2]+(1-x)(\ell^2+M^2)=q^2+D,\\ D&=x(1-x)p^2+xm^2+(1-x)M^2,\\ N&=\slashed q+(1-x)\slashed p+m,\\ i\Sigma_{\rm loop}(\slashed p) &=-g^2\int_0^1dx\,\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d}\frac{N}{(q^2+D-i0)^2}. \end{aligned} \tag{51.24}

这个 $D$ 把两条不同质量的传播子合在一起；它不同于标量自能中的 $m^2+x(1-x)k^2$ 。删去奇 $\slashed q$ 项后，整个矩阵分子都与积分变量无关，因而只需 $I_2(D)$ ：

\Sigma_{\rm loop}(z) =-\frac{g^2}{16\pi^2}\left[ \frac{z+2m}{\epsilon} -\int_0^1dx\,[(1-x)z+m]\ln\frac D{\mu^2}\right], \qquad z=\slashed p . \tag{51.25}

其中 $z/\epsilon$ 来自 $(2/\epsilon)\int_0^1(1-x)z\,dx$ ， $2m/\epsilon$ 来自质量项在整个单位区间上的积分。费米自能的质量维数为一，发散也只含 $z$ 与 $m$ 两种允许的结构。

二价反项为 $\Sigma_{\rm ct}=-\delta Z_\Psi z-\delta Z_m m$ 。分别比较这两种结构的极点，得到

\left.\delta Z_\Psi\right|_{\rm pole} =-\frac{g^2}{16\pi^2\epsilon},\qquad \left.\delta Z_m\right|_{\rm pole} =-\frac{g^2}{8\pi^2\epsilon}. \tag{51.26}

有限部分仍由极点条件决定。令 $F(z)=\Sigma_{\rm loop}(z)$ ，与标量的两次减除一样，现在应取

\begin{aligned} \delta Z_\Psi&=F'(-m),\qquad \delta Z_m=\frac{F(-m)}m+F'(-m),\\ \Sigma(z)&=F(z)-F(-m)-(z+m)F'(-m). \end{aligned} \tag{51.27}

这里必须对 $D=-x(1-x)z^2+xm^2+(1-x)M^2$ 一起求导。在 $z=-m$ 处，分子 $(1-x)z+m=xm$ ，而 $D'=2x(1-x)m$ 。于是对数导数带来的有限项为 $2x^2(1-x)m^2/D_0$ ，其中

\begin{aligned} D_0&=x^2m^2+(1-x)M^2,\\ \Sigma(z)&=\frac{g^2}{16\pi^2} \left[\int_0^1dx\,[(1-x)z+m]\ln\frac D{D_0} +\kappa_\Psi(z+m)\right],\\ \kappa_\Psi&=-2\int_0^1dx\,\frac{x^2(1-x)m^2}{D_0}. \end{aligned} \tag{51.28}

在减除点，积分及线性项同时为零；其导数则由刚算出的正项与 $\kappa_\Psi$ 抵消。 $m,M>0$ 保证 $D_0$ 在闭区间上为正，所以费米单粒子极点与连续谱之间确有解析邻域。与标量情形比较可见，反项的确定并未增加新的原则；新增的工作是保留开链的矩阵结构，并在求导时正确处理 $z^2=-p^2$ 。

汤川顶角的单圈修正

两个传播子已按物理质量和单位留数归一化，还须确定相互作用的强度。先看一条赝标量线与两条费米线相接的顶角。令费米动量从 $p$ 变为 $p'$ ，流入的标量动量便为 $k=p'-p$ 。本节的顶角函数用 $iV_Y(p',p)$ 表示截去外传播子后的图之和，所以树级 $iV_Y=-g\gamma_5$ 。一圈贡献如下：

汤川顶角的一圈图。沿费米箭头，两段内线分别携带 $p+\ell$ 和 $p'+\ell$ ；上方标量弧携带 $\ell$ ，中央入射动量满足 $k=p'-p$ 。

三次顶角与三条内部传播子的因子相乘为 $(-g)^3(1/i)^3=-ig^3$ 。保留矩阵的顺序，有

\begin{aligned} iV_Y(p',p)&=-Z_g g\gamma_5+iV_{Y,{\rm loop}}(p',p),\\ iV_{Y,{\rm loop}}(p',p) &=(-g)^3(1/i)^3\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d} \gamma_5\widetilde S(p'+\ell)\gamma_5 \widetilde S(p+\ell)\gamma_5\widetilde\Delta(\ell^2). \end{aligned} \tag{51.29}

两边按圈数保留到单圈阶， $g$ 与 $\lambda$ 作为两个独立耦合计数；更高圈项还包括混合耦合修正。

将最左边的两个 $\gamma_5$ 移到一起，分子成为 $N=(\slashed p'+\slashed\ell+m)(-\slashed p-\slashed\ell+m)\gamma_5$ 。令动量 $\ell+p$ 和 $\ell+p'$ 的费米分母分别乘 $x_1,x_2$ ，标量分母乘 $x_3$ 。沿第14节已证明的参数公式，使用

\begin{aligned} dF_3&=2!\,dx_1dx_2dx_3\, \delta(1-x_1-x_2-x_3),\quad x_i\ge0,\quad \int dF_3=1,\\ q&=\ell+x_1p+x_2p',\\ D&=x_1(1-x_1)p^2+x_2(1-x_2)p'^2-2x_1x_2p\cdot p'\\ &\hspace{8mm}+(x_1+x_2)m^2+x_3M^2 . \end{aligned} \tag{51.30}

第一行的 $2!$ 来自合并三个一次分母，不是图的对称因子。消去 $x_3$ 后，积分域是 $0\le x_1\le1$ 、 $0\le x_2\le1-x_1$ ，面积为 $1/2$ ，因此测度确实归一为一。第二、三行则来自 $x_1(\ell+p)^2+x_2(\ell+p')^2+x_3\ell^2$ 配成 $q^2$ 后留下的常数。

在分子中也作同一平移。为保持两个开链矩阵的次序，记

\begin{aligned} A&=-x_1\slashed p+(1-x_2)\slashed p'+m,\\ B&=-(1-x_1)\slashed p+x_2\slashed p'+m,\\ N&=(\slashed q+A)(-\slashed q+B)\gamma_5\\ &=q^2\gamma_5+AB\gamma_5 +(\slashed q B-A\slashed q)\gamma_5,\\ \widetilde N&=AB\gamma_5,\\ iV_{Y,{\rm loop}} &=-ig^3\int dF_3\,\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d}\frac{N}{(q^2+D-i0)^3}. \end{aligned} \tag{51.31}

首项的正号来自 $-\slashed q\slashed q=q^2$ 。末项对 $q$ 为奇，积分后为零； $\widetilde N$ 则是与 $q$ 无关的有序矩阵。一般的 $p,p'$ 使 $A,B$ 不对易，不能把它们当作两个普通数交换。

现在只有两个径向积分需要计算。在式（51.14）中取 $n=3$ ，得到 $I_3=i/(32\pi^2D)+O(\epsilon)$ 。对于 $q^2$ 项，使用 $I_2-DI_3$ ，因而

\begin{aligned} I_3(D)&=\frac{i}{32\pi^2D}+O(\epsilon),\\ \widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d}\frac{q^2}{(q^2+D-i0)^3} &=\frac{i}{16\pi^2} \left[\frac2\epsilon-\ln\frac D{\mu^2}-\frac12\right]+O(\epsilon),\\ iV_{Y,{\rm loop}} &=\frac{g^3}{8\pi^2}\left[ \left(\frac1\epsilon-\frac14-\frac12\int dF_3\ln\frac D{\mu^2}\right)\gamma_5 +\frac14\int dF_3\frac{\widetilde N}{D}\right]. \end{aligned} \tag{51.32}

原来的 $-i$ 与积分的 $i$ 相乘，使最后一行的整体系数为正。只有 $q^2$ 项产生对数发散，且其矩阵结构仍为 $\gamma_5$ 。因此一个汤川反项就足以抵消它：

\left.\delta Z_g\right|_{\rm pole}=\frac{g^2}{8\pi^2\epsilon}. \tag{51.33}

有限的 $-1/4$ 与 $\widetilde N/D$ 项决定了零外动量处的减除量，下面用它们固定耦合。

用零动量顶角定义耦合

用零动量顶角定义汤川耦合，条件为 $V_Y(0,0)=ig\gamma_5$ ，也就是 $iV_Y(0,0)=-g\gamma_5$ 。零外动量不满足有质量外粒子的在壳条件；它在这里是一个便于明确规定耦合的离壳减除点。由于 $m,M>0$ ，这个点没有红外奇性。

先直接在圈图分子中令 $p=p'=0$ 。这比分别积分式（51.32）的两项更简便：

N=(\slashed\ell+m)(-\slashed\ell+m)\gamma_5 =(\ell^2+m^2)\gamma_5 . \tag{51.34}

交叉项 $m\slashed\ell-m\slashed\ell$ 相消，余下的一因子约掉两条同质量费米分母中的一条。于是三分母积分化为两分母积分，只需一个参数：

\begin{aligned} iV_{Y,{\rm loop}}(0,0) &=-ig^3\gamma_5\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d} \frac1{(\ell^2+m^2-i0)(\ell^2+M^2-i0)}\\ &=\frac{g^3}{16\pi^2} \left[\frac2\epsilon-L(m^2,M^2;\mu^2)\right]\gamma_5,\\ L(A,B;\mu^2)&=\int_0^1dx\, \ln\frac{xA+(1-x)B}{\mu^2}. \end{aligned} \tag{51.35}

令 $t=B+x(A-B)$ ，有 $dx=dt/(A-B)$ ，再用 $\int\ln(t/\mu^2)\,dt=t\ln(t/\mu^2)-t$ ，得到

L(A,B;\mu^2)= \begin{cases} \displaystyle \frac{A\ln(A/\mu^2)-B\ln(B/\mu^2)}{A-B}-1,&A\ne B,\\[2mm] \ln(A/\mu^2),&A=B. \end{cases} \tag{51.36}

$A=B$ 处的表面分母由可去奇点构成，因为分子的差商趋于 $\ln(A/\mu^2)+1$ 。由 $-\delta Z_g g\gamma_5+iV_{Y,{\rm loop}}(0,0)=0$ ，全部单圈反项为

\delta Z_g=\frac{g^2}{16\pi^2} \left[\frac2\epsilon-L(m^2,M^2;\mu^2)\right]. \tag{51.37}

它既包含此前的极点，也包含当前耦合定义所需的有限部分。

一般动量处，只需从圈图减去其零动量值。令 $D_{00}=(x_1+x_2)m^2+x_3M^2$ ，并注意 $\widetilde N(0,0)=m^2\gamma_5$ ，式（51.32）中的极点和常数便同时消去：

\begin{aligned} iV_Y(p',p)=-g\gamma_5+\frac{g^3}{8\pi^2} \bigg[& -\frac12\int dF_3\ln\frac D{D_{00}}\,\gamma_5\\ &+\frac14\int dF_3 \left(\frac{\widetilde N}{D}-\frac{m^2\gamma_5}{D_{00}}\right)\bigg]. \end{aligned} \tag{51.38}

这里每一项都是确定的有限参数积分；在 $D$ 越过负实轴时，对数和分母沿原费曼处方取边界值。在 $p=p'=0$ ，两项的被积函数分别为零，因此耦合条件直接成立。这也可以从三参数积分直接验证。令 $A=m^2$ 、 $B=M^2$ 、 $y=x_1+x_2$ ，则 $D_*=yA+(1-y)B$ 。在 $0\le x_1\le y\le1$ 上积分，测度化为

\int dF_3 f(x_1+x_2)=2\int_0^1dy\int_0^y dx_1,f(y) =2\int_0^1y f(y),dy.

记 $L_3=2\int_0^1y\ln(D_*/\mu^2)\,dy$ 、 $R_3=2\int_0^1y/D_*\,dy$ 。在 $g^3\gamma_5/(16\pi^2)$ 的归一下，式（51.32）的有限部分为 $-1/2-L_3+AR_3/2$ ，两分母算法则给 $-L$ 。对 $y(y-1)\ln(D_*/\mu^2)$ 作分部积分，两端的边界项都为零，于是

\begin{aligned} 0&=\int_0^1dy\left[(2y-1)\ln\frac{D_*}{\mu^2} +y(y-1)\frac{A-B}{D_*}\right],\\ L_3-L&=(A-B)\int_0^1\frac{y(1-y)}{D_*}\,dy\\ &=A\int_0^1\frac y{D_*}\,dy-\int_0^1y\,dy =\frac A2R_3-\frac12. \end{aligned}

第二个等号用了 $A-D_*=(A-B)(1-y)$ 。所以 $-1/2-L_3+AR_3/2=-L$ ，两种计算给出完全相同的有限反项；测度的 $2!$ 和径向积分中的常数项都参与了这一等式。

四标量顶角与新耦合的必要性

最后计算四条外标量线的顶角。除了已经在第31节处理过的纯标量泡图，还多出一个四边形费米圈。固定一个外标签后，其余三个标签在有向闭圈上有 $3!=6$ 种排列。这是狄拉克圈；反向排列也属于这些收缩中的一项，不能再将六项除以二。下图只画其中一种，所有外动量均流入：

四标量顶角的一种费米盒图。四个外动量均入射， $\sum_i k_i=0$ 。本图把圈动量 $\ell$ 选在左弧，四段动量可直接用于正文的传播子链。

沿逆箭头方向读取，矩阵链为

\begin{aligned} iV_{4,\Psi} =-g^4\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}\, \operatorname{Tr}\big[& \widetilde S(\ell)\gamma_5 \widetilde S(\ell-k_1)\gamma_5\\ &\times\widetilde S(\ell+k_2+k_3)\gamma_5 \widetilde S(\ell+k_2)\gamma_5\big] +\text{另外五种排列}. \end{aligned} \tag{51.39}

整体负号是闭费米圈的号；四顶角给 $g^4$ ，四条内线给 $(1/i)^4=1$ 。图中的圈动量从左弧起标；顺着箭头逐个加入流入顶点的外动量，就得到式（51.39）中的四条内线。

本节只需从一般四点图中抽出局部发散，供后续重整化群计算使用。四个费米传播子的大动量行为各为 $1/\ell$ ，故四维圈积分的表面发散度为零。在大 $\ell$ 展开中增加一个外动量，便至少再减去一幂 $\ell$ ，所以发散项不依赖外动量。保持 $m>0$ 而令全部 $k_i=0$ ，不会引入新的红外发散，可以直接求出这个局部系数。

只取分子的最高动量项时， $\operatorname{Tr}[(\slashed\ell\gamma_5)^4]=4(\ell^2)^2$ 。在零外动量处，连质量项也可以一起化简：

\begin{aligned} {}[(-\slashed\ell+m)\gamma_5]^2 &=(-\slashed\ell+m)(\slashed\ell+m) =(\ell^2+m^2)I,\\ \operatorname{Tr}\!\left\{[(-\slashed\ell+m)\gamma_5]^4\right\} &=4(\ell^2+m^2)^2,\\ V_{4,\Psi}(0) &=-\frac{24g^4}{i}I_2(m^2) =-\frac{3g^4}{\pi^2} \left[\frac1\epsilon-\frac12\ln\frac{m^2}{\mu^2}\right]. \end{aligned} \tag{51.40}

因子24为六种排列乘以狄拉克迹的4。最后一行同时保留了极点和零动量方案需要的有限项。纯标量部分有三个道，每道的对称因子为 $1/2$ 。沿第31节的顶点计数， $(-i\lambda)^2(1/i)^2=+\lambda^2$ ，因此在零外动量处

V_{4,\varphi}(0) =\frac{3\lambda^2}{2i}I_2(M^2) =\frac{3\lambda^2}{16\pi^2} \left[\frac1\epsilon-\frac12\ln\frac{M^2}{\mu^2}\right]. \tag{51.41}

两个顶角使纯标量圈从耦合的二次阶开始。

将两个圈与树顶角相加， $V_4=-Z_\lambda\lambda+V_{4,\Psi}+V_{4,\varphi}$ 。按照零外动量的定义 $V_4(0)=-\lambda$ ，包含有限部分的加性反项为

\begin{aligned} \delta\lambda:=\lambda\delta Z_\lambda &=\frac{3\lambda^2}{16\pi^2} \left[\frac1\epsilon-\frac12\ln\frac{M^2}{\mu^2}\right] -\frac{3g^4}{\pi^2} \left[\frac1\epsilon-\frac12\ln\frac{m^2}{\mu^2}\right],\\ \left.\delta Z_\lambda\right|_{\rm pole} &=\frac1\epsilon\left[ \frac{3\lambda}{16\pi^2}-\frac{3g^4}{\pi^2\lambda}\right], \qquad \lambda\ne0 . \end{aligned} \tag{51.42}

当 $\lambda=0$ 时， $Z_\lambda$ 的这种乘法记法不再适合，但第一行的 $\delta\lambda$ 仍有明确意义。尤其 $g\ne0$ 时它含非零的 $g^4$ 项：只保留汤川相互作用而不允许四标量反项，便无法消去四点函数的发散。开头由量纲与对称性提出的要求，现在由一幅具体的圈图实现了。

至此，两个传播子的质量和留数、两个顶角在零动量处的数值都已经固定。反项的极点只记录局部短距离结构，有限部分则体现本节对参数的定义；传播子的对数和顶角的有限参数函数保留了实际动量依赖。下一节将利用这些局部反项考察参数随重整化尺度的变化。

← 第 50 节 · 章节地图 · 第 52 节 →