Srednicki §23 离散对称性：P、T、C 与 Z

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第22节由无穷小变换构造了守恒流和生成元。现在把注意力转向宇称和时间反演：这两种变换不能由正规正时洛伦兹变换连续累积而成，因此需要另行规定它们对场的作用。规定场的变换之后，还要使能量、动量和粒子态的变换彼此相容。时间反演尤其值得注意：倒转时间演化时，能量仍应保持原值，这就要求变换也作用于复数系数中的 $i$ 。沿着这个问题，我们将先讨论时空反射，再讨论不移动时空宗量的荷共轭和实标量符号变换。

仍采用四维时空和 $(-,+,+,+)$ 度规。用不同记号把坐标矩阵 $\mathcal P,\mathcal T$ 与态空间算符 $P,T$ 区分开来；上一节的平移算符 $T(a)$ 则始终带有平移宗量。

宇称和时间反演的场变换

宇称（parity）倒转三个空间坐标，时间反演（time reversal）倒转时间坐标。相应的坐标矩阵及其作用为

\begin{aligned} \mathcal P&=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1), &\mathcal P x&=(t,-\mathbf x),\\ \mathcal T&=\operatorname{diag}(-1,1,1,1), &\mathcal T x&=(-t,\mathbf x). \end{aligned} \tag{23.1}

两个矩阵都是自身的逆，并满足 $M^{\mathsf T}gM=g$ ，因为每个对角元在这个乘积中只以平方出现。因此它们保持时空间隔，也属于洛伦兹变换。然而，两者的行列式都是 $-1$ ；连续变化的可逆矩阵若不经过行列式为零的情形，就不能改变行列式的符号。所以，这两种反射都不在恒等元所在的洛伦兹群连通分支中。

为了把坐标反射落实到场上，先回想第2节对标量场的变换约定：

U(\Lambda)^{-1}\varphi(x)U(\Lambda) =\varphi(\Lambda^{-1}x). \tag{23.2}

把离散变换在态空间中的实现记作 $P=U(\mathcal P)$ 、 $T=U(\mathcal T)$ 。仿照连续变换，可以先把场的宗量反射到相应的时空点。不过，离散变换还允许场本身带一个符号；对一个厄米实标量，场变换可以写成

\begin{aligned} P^{-1}\varphi(t,\mathbf x)P &=\eta_P\varphi(t,-\mathbf x),\\ T^{-1}\varphi(t,\mathbf x)T &=\eta_T\varphi(-t,\mathbf x), \qquad \eta_P,\eta_T=\pm1. \end{aligned} \tag{23.3}

这两种选择都满足反射应有的二次作用。具体地说，厄米性要求场前的系数为实数，而连续作两次同一反射应恢复原场，因而系数的平方必须为1：

\begin{aligned} P^{-2}\varphi(x)P^2&=\eta_P^2\varphi(\mathcal P^2x)=\varphi(x),\\ T^{-2}\varphi(x)T^2&=\eta_T^2\varphi(\mathcal T^2x)=\varphi(x). \end{aligned} \tag{23.4}

连续两次反射对两种符号都恢复原场。在与恒等变换相连的分支中，若给场再乘一个只取 $\pm1$ 的连续系数，该系数就必须始终等于恒等变换处的 $+1$ ；离散反射则容许另一种选择。 $\eta_P=-1$ 的标量称为赝标量（pseudoscalar）。它在正规正时洛伦兹变换下仍服从式（23.2），所以仍具有零自旋。以下“标量”一词涵盖这两种宇称。

究竟应给每个场选择哪一种符号，要由拉氏密度的各项来判断。若希望反射成为理论的对称性，就应使整个拉氏密度在反射下为偶：

P^{-1}\mathcal L(x)P=\mathcal L(\mathcal P x), \qquad T^{-1}\mathcal L(x)T=\mathcal L(\mathcal T x). \tag{23.5}

这两个坐标变换的雅可比绝对值均为1，对 $d^4x$ 积分并作坐标换元，便得到作用量不变。要考察场的符号怎样满足这一要求，可以先看上一节采用的标准实标量模型：

\mathcal L=\frac12\dot\varphi_a^2 -\frac12(\boldsymbol\nabla\varphi_a)^2-V(\varphi), \qquad V\ \text{的系数为实数}, \tag{23.6}

在这类模型中，把所有实分量取偶就能保持拉氏密度：时间导数和空间梯度都成平方出现，势也只把时空宗量换到反射后的点。若把某个分量取奇，动能仍不变，势则须满足 $V(\eta_a\varphi_a)=V(\varphi_a)$ 。例如，对只有一个实场的模型，三次项会随场变号，四次项则保持不变。

场与其他场耦合后，这种选择还要顾及混合的相互作用项。若双线性 $B$ 在宇称下为奇，为使 $g\varphi B$ 为偶， $\varphi$ 也必须取奇；若各项对符号的要求无法同时满足，宇称就被显式破缺。第40节将具体讨论标量与自旋二分之一场的这类耦合。对于这里的式（23.6），前面的平方项与势函数已经给出了判断反射对称性的全部条件。

时间反演为什么必须反幺正

场的变换确定之后，四动量的变换也应随之确定。幺正洛伦兹变换下的规律是

U(\Lambda)^{-1}P^\mu U(\Lambda) =\Lambda^\mu{}_\nu P^\nu. \tag{23.7}

代入 $\Lambda=\mathcal P$ ，便有 $P^{-1}HP=H$ 、 $P^{-1}\mathbf P P=-\mathbf P$ ：空间反射保持能量而倒转动量，符合预期。若对时间反演也直接套用这一规律，就会得到以下候选关系：

T^{-1}P^\mu T\stackrel{?}{=}\mathcal T^\mu{}_\nu P^\nu, \qquad T^{-1}HT\stackrel{?}{=}-H. \tag{23.8}

问题出在时间分量。时间反演对称性要求 $T^{-1}HT=H$ ，而候选式却给出相反的结果，两者只能在 $H=0$ 时同时成立。这个矛盾要求我们重新考察离散变换在态空间中的实现。

要找出额外负号的来由，需要回到式（23.7）的推导，查明其中何处用到了幺正性。为此从平移开始。第22节已由正则对易关系求得

T(a)=e^{-iP^\mu a_\mu}, \qquad T(a)^{-1}\varphi(x)T(a)=\varphi(x-a). \tag{23.9}

先作洛伦兹变换，再作平移，最后变换回来，得到的仍应是一个平移，只是平移参数有所改变。记 $K=U(\Lambda)^{-1}T(a)U(\Lambda)$ ，依次计算它对场的共轭作用。利用 $U\varphi(x)U^{-1}=\varphi(\Lambda x)$ ，三个步骤给出

\begin{aligned} K^{-1}\varphi(x)K &=U^{-1}T(a)^{-1}\varphi(\Lambda x)T(a)U\\ &=U^{-1}\varphi(\Lambda x-a)U\\ &=\varphi(x-\Lambda^{-1}a). \end{aligned} \tag{23.10}

这与平移 $T(\Lambda^{-1}a)$ 对场的作用相同。沿用固定真空的实现约定，两个算符也都固定真空，因而对场多项式作用于真空所生成的态具有相同作用。这个子空间稠密，而两个算符都有界，所以它们在整个态空间中相等：

U(\Lambda)^{-1}T(a)U(\Lambda)=T(\Lambda^{-1}a). \tag{23.11}

对反射作同样的共轭计算时，场的内禀符号出现两次并相消，因此平移参数仍按同一几何规律变化。下一步要从有限平移中取出生成元。为便于比较系数，先把右边平移参数的指标降下来：洛伦兹条件 $\Lambda^{\mathsf T}g\Lambda=g$ 给出 $\Lambda^{-1}=g^{-1}\Lambda^{\mathsf T}g$ ，于是

\begin{aligned} (\Lambda^{-1}a)_\nu &=g_{\nu\rho}(\Lambda^{-1})^\rho{}_\sigma g^{\sigma\mu}a_\mu\\ &=\Lambda^\mu{}_\nu a_\mu. \end{aligned} \tag{23.12}

等价地， $(\Lambda^{-1})_\nu{}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu$ 。这里逆矩阵的第一个指标下置、第二个指标上置，度规转换使它成为右边的形式。用这一关系，把式（23.11）展开到 $a$ 的一阶，就能在两边使用同一组平移参数：

U^{-1}(I-ia_\mu P^\mu)U =I-ia_\mu\Lambda^\mu{}_\nu P^\nu+O(a^2). \tag{23.13}

若 $U$ 幺正且线性，则 $U^{-1}iU=i$ ，左边的一阶项为 $-ia_\mu U^{-1}P^\mu U$ 。逐一比较独立实参数 $a_\mu$ 的系数，才得到式（23.7）。关键就在这一步：将虚数单位从共轭作用中直接提出，使用了算符的线性。

保持态的范数和跃迁概率还容许另一类变换。反幺正（antiunitary）算符是反线性的，并且反转内积中两个态的次序，其定义为

\begin{aligned} T(c|\psi\rangle+d|\chi\rangle) &=c^*T|\psi\rangle+d^*T|\chi\rangle,\\ \langle T\psi|T\chi\rangle&=\langle\chi|\psi\rangle. \end{aligned} \tag{23.14}

第二行使范数和跃迁概率保持不变，第一行则规定复数系数在变换中取共轭。对作为恒等算符倍数的数系数，这意味着 $T^{-1}(cI)T=c^*I$ ；特别地，虚数单位变号，而算符乘积的共轭作用仍满足

T^{-1}iT=-i,\qquad T^{-1}(AB)T=(T^{-1}AT)(T^{-1}BT). \tag{23.15}

后一关系只需在右边两因子之间插入 $TT^{-1}=I$ 就能得到。因此，反幺正共轭虽然共轭数系数，仍保持算符乘积的先后次序。

现在用反幺正算符实现时间反演。式（23.13）右边的平移参数仍按坐标反射改变，左边的 $i$ 则也要接受共轭作用。展开后，两边的一阶项为

\begin{aligned} T^{-1}(I-ia_\mu P^\mu)T &=I+ia_\mu T^{-1}P^\mu T+O(a^2)\\ &=I-ia_\mu\mathcal T^\mu{}_\nu P^\nu+O(a^2). \end{aligned} \tag{23.16}

两边虚数单位前的符号相反。比较各个平移参数的系数，便得到

T^{-1}P^\mu T=-\mathcal T^\mu{}_\nu P^\nu, \qquad T^{-1}HT=H,\qquad T^{-1}\mathbf P T=-\mathbf P. \tag{23.17}

时间反演于是保持粒子的正能量，同时把三动量反向。这个结果也使时间演化具有所需的意义：对通常的演化算符作同样的反幺正共轭，有

T^{-1}e^{-iHt}T=e^{+iHt}=e^{-iH(-t)}. \tag{23.18}

变换后的演化沿相反的时间方向进行，能谱本身保持不变。

还可以直接从第22节构造的能量和动量看出这些符号的来源，并说明改变场的内禀奇偶为什么不能代替反幺正性。先对式（23.3）求导；由链式法则，时间反射给时间导数一个负号，空间反射给空间导数一个负号：

\begin{array}{c|cc} &P^{-1}(\cdot)P&T^{-1}(\cdot)T\\ \hline \Pi(t,\mathbf x)&\eta_P\Pi(t,-\mathbf x)&-\eta_T\Pi(-t,\mathbf x)\\ \partial_i\varphi(t,\mathbf x)&-\eta_P\partial_i\varphi(t,-\mathbf x) &\eta_T\partial_i\varphi(-t,\mathbf x). \end{array} \tag{23.19}

把这些导数变换代入 $H=\int[\Pi^2+(\nabla\varphi)^2+2V]/2$ ，二次项中的负号都被平方消去；势的变化则由前面选定的反射对称性控制。宇称下再作 $\mathbf x\mapsto-\mathbf x$ 的积分换元，就有 $P^{-1}HP=H$ ；时间反演下则有 $T^{-1}H(t)T=H(-t)=H$ 。对于 $P^i=-\int\Pi\partial_i\varphi$ ，时间导数和空间导数相乘，任一种反射都只使其中一项变号，故两者均给出 $P^i\mapsto-P^i$ 。内禀符号始终以 $\eta^2=1$ 出现，所以把场改为时间反演奇场，也不会给能量添上整体负号。

同一原因还反映在等时正则关系中。对场和共轭动量同时作时间反演，得到

\begin{aligned} \relax[T^{-1}\varphi(t,\mathbf x)T,T^{-1}\Pi(t,\mathbf y)T] &=[\eta_T\varphi(-t,\mathbf x),-\eta_T\Pi(-t,\mathbf y)]\\ &=-i\delta^3(\mathbf x-\mathbf y). \end{aligned} \tag{23.20}

这一结果恰与原对易子经反幺正变换得到的 $T^{-1}(i\delta^3)T=-i\delta^3$ 一致。若把 $T$ 取为线性幺正算符，原对易子的右边仍为 $+i\delta^3$ ，就与场和共轭动量的变换不相容。

补充：反射对单粒子态的作用

场的变换也确定了粒子态的变换。为把这层联系写出来，使用已经建立的自由场或稳定粒子的渐近场，并记 $kx=\mathbf k\cdot\mathbf x-\omega_{\mathbf k}t$ 。实场展开为

\varphi(x)=\int d\widetilde k\, [a(\mathbf k)e^{ikx}+a^\dagger(\mathbf k)e^{-ikx}], \qquad d\widetilde k=\frac{d^3k}{(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf k}}. \tag{23.21}

对宇称，由于指数中的数系数保持不变，只需在右边的 $\varphi(t,-\mathbf x)$ 中作 $\mathbf k\mapsto-\mathbf k$ ，就能与左边的模态展开比较。时间反演的处理多一个步骤：左边的 $e^{ikx}$ 先被共轭为 $e^{-ikx}$ ，而右边的 $\varphi(-t,\mathbf x)$ 经过同一动量换元后，湮灭项也带有 $e^{-ikx}$ 。匹配相同的指数，得到

\begin{aligned} P^{-1}a(\mathbf k)P&=\eta_Pa(-\mathbf k), &P^{-1}a^\dagger(\mathbf k)P&=\eta_Pa^\dagger(-\mathbf k),\\ T^{-1}a(\mathbf k)T&=\eta_Ta(-\mathbf k), &T^{-1}a^\dagger(\mathbf k)T&=\eta_Ta^\dagger(-\mathbf k). \end{aligned} \tag{23.22}

两种反射都使模态的三动量反向，并分别保持产生和湮灭算符的性质；时间宗量的反射与指数共轭共同保证正、负频率模态各自对应。由于 $\omega_{-\mathbf k}=\omega_{\mathbf k}$ ，积分测度和 $2\omega_{\mathbf k}(2\pi)^3\delta^3(\mathbf k-\mathbf q)$ 的态归一化也保持不变。

下面选取固定真空、平方为1的实现，相位的确定见下文算符的平方。把产生算符的变换作用于真空，对 $|\mathbf k\rangle=a^\dagger(\mathbf k)|0\rangle$ 及其波包叠加 $|f\rangle=\int d\widetilde k\,f(\mathbf k)|\mathbf k\rangle$ ，分别得到

\begin{aligned} P|\mathbf k\rangle&=\eta_P|-\mathbf k\rangle, &T|\mathbf k\rangle&=\eta_T|-\mathbf k\rangle,\\ P|f\rangle&=\int d\widetilde k\,\eta_Pf(-\mathbf k)|\mathbf k\rangle, &T|f\rangle&=\int d\widetilde k\,\eta_Tf^*(-\mathbf k)|\mathbf k\rangle. \end{aligned} \tag{23.23}

单个动量本征态的两种变换形式相同，差别在一般复系数的叠加态中显现出来：时间反演还共轭波包系数。这里单粒子态的相位已由场展开固定；若将 $|\mathbf k\rangle$ 重定为 $e^{i\chi(\mathbf k)}|\mathbf k\rangle$ ， $T$ 的系数便相应成为 $\eta_Te^{-i[\chi(\mathbf k)+\chi(-\mathbf k)]}$ 。这个系数虽随基底相位改变，连续两次反演的作用仍不变。

内部符号变换与算符的平方

接着考虑不改变时空点的离散变换。若干实场可以各自保持或倒转符号：

Z^{-1}\varphi_a(x)Z=\eta_a\varphi_a(x), \qquad \eta_a=\pm1. \tag{23.24}

这里 $Z$ 为幺正算符，所有时空宗量都保持原值。连续作两次变换，每个实场都恢复原状；把群元 $0,1$ 分别对应到 $+1,-1$ ，模2相加就等价于符号相乘，这便是 $\mathbb Z_2$ 群。

从场的二次作用走到态空间算符的平方，还要固定 $Z$ 的整体相位，因为这个相位不会出现在场的共轭变换中。在当前的对称真空表示中，设 $Z|0\rangle=e^{i\gamma}|0\rangle$ ，用 $e^{-i\gamma}Z$ 替换 $Z$ 就使它固定真空。于是 $Z^2$ 既与所有场对易，又固定真空，对场多项式作用于真空所生成的稠密子空间， $Z^2$ 均为恒等算符。幺正算符的有界性使这一关系延拓到整个表示空间，因而 $Z^2=I$ 、 $Z^{-1}=Z$ 。宇称也可以采用同样的相位选择。

时间反演中，相位要受到反线性的作用。若 $T|0\rangle=e^{i\theta}|0\rangle$ ，第二次变换会把第一次产生的相位取共轭，故

T^2|0\rangle=e^{-i\theta}e^{i\theta}|0\rangle=|0\rangle, \qquad (e^{i\beta}T)^2=T^2. \tag{23.25}

两次时间反演固定真空；再结合式（23.4）对场的二次作用，就在本节对角实场的真空表示中得到 $T^2=I$ 。上式第二个等式同时说明，反幺正算符的整体相位会在平方中自行抵消，因此不能用重定相位改变它的平方。有内部多重态或更高自旋时，应从相应的场变换重新确定二次作用。

荷共轭把粒子与反粒子互换

内部反射的一个重要例子出现在第22节的复标量模型中。先把同一个拉氏密度写成复场和两个实分量的形式。代入 $\varphi=(\varphi_1+i\varphi_2)/\sqrt2$ ，有

\begin{aligned} \mathcal L &=-\partial^\mu\varphi^\dagger\partial_\mu\varphi -m^2\varphi^\dagger\varphi-\frac{\lambda}{4}(\varphi^\dagger\varphi)^2\\ &=-\frac12\sum_{a=1}^2\partial^\mu\varphi_a\partial_\mu\varphi_a -\frac{m^2}{2}(\varphi_1^2+\varphi_2^2) -\frac{\lambda}{16}(\varphi_1^2+\varphi_2^2)^2. \end{aligned} \tag{23.26}

动能展开中的两个交叉项分别带有 $i$ 和 $-i$ ，相加抵消；质量项使用 $\varphi^\dagger\varphi=(\varphi_1^2+\varphi_2^2)/2$ ，四次项再把这个因子平方，便得到 $1/16$ 。这样写保留了上一节的场归一化，也让两个实分量之间的对称性直接显现出来。

先看已经知道的相位变换 $e^{-i\alpha}\varphi$ 。它的实部和虚部分别为 $\varphi_1\cos\alpha+\varphi_2\sin\alpha$ 、 $-\varphi_1\sin\alpha+\varphi_2\cos\alpha$ ，所以相位变换就是实分量平面内的旋转。把旋转矩阵记下，并同时列出一个实分量反射矩阵：

R(\alpha)= \begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}, \qquad F=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. \tag{23.27}

第一矩阵给出 $SO(2)$ 旋转；第二矩阵把 $\varphi_2$ 变号，从而使 $\varphi$ 变为 $\varphi^\dagger$ 。两种操作都保持 $\varphi_1^2+\varphi_2^2$ 和导数的正交内积，所以都保持式（23.26）。这说明该拉氏密度除了连续旋转之外，还具有一个额外的离散对称性。

从群的结构看， $R$ 的行列式为 $+1$ ， $F$ 的行列式为 $-1$ 。任意二维正交矩阵若行列式为正，就是某个旋转；若行列式为负，乘以 $F$ 便成为旋转。因此，旋转和这一个反射共同给出全部 $O(2)$ 变换。两者怎样组合，可以直接由矩阵乘法看出：

FR(\alpha)F =\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix} =R(-\alpha). \tag{23.28}

在旋转前后各作一次反射，旋转方向就倒转了，所以反射一般不与旋转对易。群的这种组合关系写作 $O(2)=SO(2)\rtimes\mathbb Z_2$ ，称为半直积。

在复场语言中，这个反射称为荷共轭（charge conjugation）。用幺正算符 $C$ 实现它，实分量反射、复场变换和拉氏密度不变性便可一起写成

\begin{aligned} C^{-1}\varphi_1C&=\varphi_1,&C^{-1}\varphi_2C&=-\varphi_2,\\ C^{-1}\varphi C&=\varphi^\dagger, & C^{-1}\mathcal L C&=\mathcal L. \end{aligned} \tag{23.29}

$C$ 的幺正性使 $i$ 保持不变；复场之所以变成厄米共轭，是因为第二个实分量变号。这里的额外对称性已由拉氏密度的各项对反射的不变性确定，它把本例中连续的 $U(1)$ 荷反号，并将 $SO(2)$ 扩大为 $O(2)$ 。

要看清“荷共轭”的物理意义，可以比较变换前后的模态。上一节展开中， $\varphi$ 的正频率项为 $a e^{ikx}$ ，负频率项为 $b^\dagger e^{-ikx}$ ； $\varphi^\dagger$ 中的对应项则为 $b e^{ikx}$ 和 $a^\dagger e^{-ikx}$ 。荷共轭保持时空宗量和指数，把同频率项的系数对应起来，就有

C^{-1}a(\mathbf k)C=b(\mathbf k),\qquad C^{-1}b(\mathbf k)C=a(\mathbf k), \tag{23.30}

取厄米共轭，还得到产生算符之间的对应关系。因此这个变换在同一动量处交换两类粒子。将它作用于上一节由流求出的 $Q=N_a-N_b$ ，并利用能量、动量在这一内部对称性下的不变性，有

C^{-1}QC=-Q,\qquad C^{-1}HC=H,\qquad C^{-1}\mathbf P C=\mathbf P. \tag{23.31}

第一式来自 $a,b$ 的交换；能量和空间平移的生成元保持原值，则给出后两式。这些算符关系把两个物种的能谱也联系起来。取 $C|0\rangle=|0\rangle$ ，便有 $C|a,\mathbf k\rangle=|b,\mathbf k\rangle$ 。若 $a$ 粒子的能量为 $E_{\mathbf k}$ ，将三个生成元分别作用在变换后的态上，得到

\begin{aligned} H\,C|a,\mathbf k\rangle&=E_{\mathbf k}C|a,\mathbf k\rangle,\\ \mathbf P\,C|a,\mathbf k\rangle&=\mathbf k\,C|a,\mathbf k\rangle,\\ Q\,C|a,\mathbf k\rangle&=-C|a,\mathbf k\rangle. \end{aligned} \tag{23.32}

对应的 $b$ 粒子具有相反的荷，同时保持原来的 $E_{\mathbf k}$ 和 $\mathbf k$ ，所以质量平方 $E_{\mathbf k}^2-\mathbf k^2$ 也相同。这个 $b$ 粒子称为 $a$ 粒子的反粒子（antiparticle）。

同一对称性还约束散射。在保持荷共轭的散射理论中， $C^{-1}SC=S$ ；对一个过程的入态和出态同时作荷共轭，相当于交换其中全部粒子与反粒子。利用幺正性，

\langle Cf|S|Ci\rangle =\langle f|C^{-1}SC|i\rangle =\langle f|S|i\rangle. \tag{23.33}

因此，同时交换全部粒子与反粒子，散射振幅保持不变。

复场的时间反演也可以在实分量语言中确定。若两个实分量都按式（23.3）取时间反演偶，并把这一实现记作 $T_0$ ，则反线性会共轭第二分量前的虚数单位，给出

T_0^{-1}\varphi(t,\mathbf x)T_0 =\frac{\varphi_1(-t,\mathbf x)-i\varphi_2(-t,\mathbf x)}{\sqrt2} =\varphi^\dagger(-t,\mathbf x). \tag{23.34}

把两边展开为模态，再比较已经共轭的指数，便有 $T_0^{-1}a(\mathbf k)T_0=b(-\mathbf k)$ 、 $T_0^{-1}b(\mathbf k)T_0=a(-\mathbf k)$ 。因此这一实现既倒转动量，也交换两种粒子，使 $Q$ 变号。当前模型还保持 $C$ 对称性，因而可以把它与上述时间反演组合，选择 $T_q=CT_0$ 。依次施加两个共轭作用，就得到

\begin{aligned} T_q^{-1}\varphi(t,\mathbf x)T_q&=\varphi(-t,\mathbf x),\\ T_q^{-1}a(\mathbf k)T_q&=a(-\mathbf k),\qquad T_q^{-1}b(\mathbf k)T_q=b(-\mathbf k),\\ T_q^{-1}QT_q&=Q. \end{aligned} \tag{23.35}

组合后的时间反演使两个实分量分别取 $(+,-)$ ，并保持每一类粒子的荷。两种实现都保持本模型的 $H$ ，对荷的作用却不同，所以使用复场记号时须随同给定的实分量变换来确定时间反演。

$\mathbb Z_2$ 对称性与真空期望值

内部符号变换也可以作用于只有一个实场的模型。考虑四次理论及其场变号：

\mathcal L=-\frac12\partial^\mu\varphi\partial_\mu\varphi -\frac12m^2\varphi^2-\frac{\lambda}{24}\varphi^4, \qquad Z^{-1}\varphi(x)Z=-\varphi(x). \tag{23.36}

场及其导数同时变号，而每一项都含偶数个场，故 $\mathcal L$ 和 $H$ 保持不变。要用这一内部对称性求单点函数，还须确定它对真空的作用。先设 $H|0\rangle=E_0|0\rangle$ ，利用 $[Z,H]=0$ ，可见变换后的态仍有最低能量：

HZ|0\rangle=ZH|0\rangle=E_0Z|0\rangle. \tag{23.37}

若基态唯一， $Z|0\rangle$ 就只能与 $|0\rangle$ 成比例。幺正性保证比例系数的模为1，再按前面说明的整体相位选择，即可使真空矢量本身保持不变：

Z|0\rangle=Z^{-1}|0\rangle=|0\rangle. \tag{23.38}

现在在单点函数中插入 $ZZ^{-1}$ ，把变换的作用分别移到场和两侧的真空上。真空保持原值而场变号，因而

\begin{aligned} \langle0|\varphi(x)|0\rangle &=\langle0|Z[Z^{-1}\varphi(x)Z]Z^{-1}|0\rangle\\ &=-\langle0|\varphi(x)|0\rangle=0. \end{aligned} \tag{23.39}

所选真空的对称性使单点函数为零，这一结论不依赖微扰展开的阶数。在任意奇数个场的关联函数中作同样的插入，也会得到一个总负号。

把这一符号性质转到粒子态上，式（23.24）使每个产生算符都变号，所以 $N$ 粒子态的 $Z$ 本征值为 $(-1)^N$ 。若散射保持这个对称性，由 $[Z,S]=0$ 便得到

\bigl[(-1)^{N_f}-(-1)^{N_i}\bigr]\langle f|S|i\rangle=0. \tag{23.40}

散射只允许连接粒子数奇偶性相同的入态和出态。例如，两粒子不能散射成三粒子，两粒子到四粒子的过程则符合这一选择定则。

在保持 $\mathbb Z_2$ 的调节和重整化中，反项也须是场的偶函数。线性反项 $Y\varphi$ 为奇，而式（23.39）已由对称性保证单点函数为零，因而不必像三次理论那样另用线性反项强制这个条件。第30节将讨论简并基态中选定真空破坏 $Z$ 对称性的情形；届时单点函数可非零，场将围绕新的真空值展开。

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