Srednicki §92 孤子与磁单极子

系列文章：Srednicki QFT 共 97 篇

前面讨论自发破缺时，我们在一个常值真空附近展开场，研究小振动所对应的粒子。现在来考察另一类构型：场在远处仍趋向真空，但沿不同的空间方向趋向不同的真空值。这样的场不能处处接近同一个常值真空；如果它的总能量有限，而且能够保持自己的形状，就会像一个新的粒子一样运动。我们先在一空间维找出一个精确解，再看规范场怎样使类似的构型出现在二、三空间维。

本节接续第84节的对称性破缺。以下三个模型各自定义自己的 $v,\lambda$ ，量纲随时空维数改变。复场涡旋与实三重态单极子的质量，将分别从各自的二次作用量读出。

从两个真空之间的插值求出孤子

考虑一个实标量场，

\mathcal L=-\frac12\partial^\mu\varphi\,\partial_\mu\varphi -\frac{\lambda}{8}(\varphi^2-v^2)^2, \qquad \lambda>0,\quad v>0. \tag{92.1}

势在 $\varphi=\pm v$ 取零；例如令 $\varphi=v+h$ ，

V(v+h)=\frac12\lambda v^2h^2 +\frac12\lambda vh^3+\frac{\lambda}{8}h^4, \qquad m^2=V''(v)=\lambda v^2. \tag{92.2}

在另一个真空附近，三次项反号，二次项相同。先取一个空间坐标 $x$ 和时间 $t$ 。作用量无量纲，动能便要求 $[\varphi]=[v]=0$ 、 $[\lambda]=2$ ；在动量尺度 $m$ 处，微扰展开的小参数为 $\lambda/m^2=1/v^2$ 。

一维空间的两个远端可以分别取 $\varphi=-v$ 和 $\varphi=+v$ 。若两端取同一真空，常值场已使能量为零；若取

\varphi(-\infty)=-v,\qquad \varphi(+\infty)=+v, \tag{92.3}

场就必须在中间经过势垒。我们要找这个固定边界条件下能量最低的构型。由正则动量 $\Pi=\dot\varphi$ ，

\mathcal H=\Pi\dot\varphi-\mathcal L =\frac12\dot\varphi^2+\frac12\varphi'^2+V(\varphi), \qquad E=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\mathcal H. \tag{92.4}

时间导数项非负，最低能量解可以取为静态。把余下两项配成平方，

\begin{aligned} E&=\frac12\int dx\,\bigl(\varphi'-\sqrt{2V(\varphi)}\bigr)^2 +\int dx\,\sqrt{2V(\varphi)}\,\varphi',\\ \int dx\,\sqrt{2V(\varphi)}\,\varphi' &=\int_{-v}^{v}d\varphi\,\frac{\sqrt\lambda}{2}(v^2-\varphi^2)\\ &=\frac{\sqrt\lambda}{2} \left[v^2\varphi-\frac{\varphi^3}{3}\right]_{-v}^{v} =\frac23\sqrt\lambda\,v^3 =\frac{2m^3}{3\lambda}\equiv M . \end{aligned} \tag{92.5}

第二项是 $\sqrt{2V}$ 的原函数在两端之差，因此它只由边界决定。这里不要求试探场在中间一直单调；即使它来回经过同一场值，往返的原函数增量也相消。根号在整个实轴上为 $\sqrt\lambda\,|\varphi^2-v^2|/2$ ，只有最后的端点积分位于 $[-v,v]$ ，才写成第二行的多项式。

于是 $E\ge M$ 。要达到下界，必须令平方逐点为零。在两真空之间，

\frac{d\varphi}{dx}=\frac{\sqrt\lambda}{2}(v^2-\varphi^2), \qquad \frac{1}{2v}\log\frac{v+\varphi}{v-\varphi} =\frac{\sqrt\lambda}{2}(x-x_0). \tag{92.6}

左边可由 $1/(v^2-\varphi^2)=[(v-\varphi)^{-1}+(v+\varphi)^{-1}]/(2v)$ 直接积分得到。解出 $\varphi$ 便有

\varphi_{\mathrm k}(x)=v\tanh\frac{m(x-x_0)}2,\qquad \mathcal E_{\mathrm k}(x) =\varphi_{\mathrm k}'{}^2 =\frac{v^2m^2}{4}\operatorname{sech}^4\frac{m(x-x_0)}2. \tag{92.7}

一阶方程再求导给 $\varphi''=V'(\varphi)$ ，所以它也满足原来的静态场方程。若令 $z=\tanh[m(x-x_0)/2]$ ，密度的积分变成

\int dx\,\mathcal E_{\mathrm k} =\frac{v^2m}{2}\int_{-1}^{1}(1-z^2)\,dz =\frac23mv^2=M. \tag{92.8}

这同时检验了归一。能量集中在 $x_0$ 附近，远处按 $e^{-2m|x-x_0|}$ 衰减；位置 $x_0$ 不改变总能量。这样的解称为孤子（soliton），此处的具体形状也称扭结（kink）。交换两个边界值，就得到反扭结。固定边界扇区内，式（92.5）保证能量不会低于 $M$ ；平移后的扭结仍达到相同下界，而使平方非零的变形增加能量。它不能连续变成某个常值真空而仍保持两端条件。边界条件、能量配方和孤子解由此连在一起。

推动后的能量、动量与畴壁

静态轮廓记作 $\psi(\xi)$ 。由于原作用量具有洛伦兹对称性，以速度 $u$ 运动的解为

\varphi(x,t)=\psi(\xi),\qquad \xi=\gamma(x-x_0-ut),\qquad \gamma=(1-u^2)^{-1/2},\quad |u|<1 . \tag{92.9}

速度在这里记为 $u$ ，以便与后面的耦合比区别。现在 $\dot\varphi=-\gamma u\psi'$ 、 $\partial_x\varphi=\gamma\psi'$ ，而静态一阶方程给 $V(\psi)=\psi'^2/2$ 。在固定 $t$ 的积分中， $dx=d\xi/\gamma$ ，因此

\begin{aligned} E&=\frac{1}{2\gamma} \bigl[\gamma^2u^2+\gamma^2+1\bigr]\int d\xi\,\psi'^2 =\gamma M,\\ p&=\int dx\,T^{01} =\int dx\,(-\dot\varphi\,\partial_x\varphi) =\gamma u M,\\ E^2-p^2&=M^2. \end{aligned} \tag{92.10}

动量密度的负号来自 $\partial^0=-\partial_t$ 。能量式中的系数用 $1=\gamma^2(1-u^2)$ 化简，恰好给 $\gamma$ ，并没有额外的长度收缩因子。

孤子的平移与推动因而具有质量为 $M$ 的粒子所应有的运动学。在弱耦合时， $M/m=2m^2/(3\lambda)\gg1$ ；它比常值真空附近的基本激发重得多。这使我们预期量子理论还会有与孤子相联系的重粒子态。这里求出的 $M$ 是经典领头值；若要计算它的量子质量，还需量子化平移自由度及轮廓附近的涨落。

把同一轮廓放到更高维，并令它不依赖另外的空间坐标，就得到畴壁（domain wall）。对横向坐标的积分只给壁的面积，所以单位面积的能量为

\sigma=\int dx\left[\frac12\varphi'^2+V(\varphi)\right] =\frac{2m^3}{3\lambda}. \tag{92.11}

例如四维时空中 $[\lambda]=0$ ，故 $[\sigma]=3$ ，正是能量除以面积的量纲。壁沿横向无限延伸时总能量无限，但张力有限；原来的一维局域解仍决定它的横截面。

从真空圆到缠绕数

若要在两个空间方向都局域，远处的边界就成为一个圆。圆是连通的，连续映射到两个离散真空时只能始终取同一个值，因而前面的双阱模型不再给出同样的边界构造。为得到连续的真空方向，改取复标量，

\mathcal L=-\partial^\mu\varphi^\dagger\partial_\mu\varphi -\frac{\lambda}{4}(\varphi^\dagger\varphi-v^2)^2, \qquad \varphi_{\mathrm{vac}}=ve^{i\alpha}. \tag{92.12}

它的真空集合是一个圆 $S^1$ 。用 $\boldsymbol x=r(\cos\phi,\sin\phi)$ 表示空间，远处的场可以趋向 $vU(\phi)$ ，其中 $U:S^1\to S^1$ 且 $U^\dagger U=1$ 。

沿区间 $0\le\phi\le2\pi$ 可以连续选相位。具体地，选定 $U(0)=e^{i\alpha_0}$ ，令

\alpha(\phi)=\alpha_0-i\int_0^\phi U^\dagger(\vartheta)\,\partial_\vartheta U(\vartheta)\,d\vartheta. \tag{92.13}

由 $\partial_\phi(U^\dagger U)=0$ ，被积式乘 $-i$ 为实数；再直接求导可得 $\partial_\phi(e^{-i\alpha}U)=0$ ，所以 $U=e^{i\alpha}$ 。 $U(2\pi)=U(0)$ 只要求相位差为整数倍的 $2\pi$ 。这个整数便是缠绕数（winding number）：

n=\frac{\alpha(2\pi)-\alpha(0)}{2\pi} =\frac{i}{2\pi}\int_0^{2\pi} U\partial_\phi U^\dagger\,d\phi\in\mathbb Z. \tag{92.14}

$U=e^{in\phi}$ 给 $n$ ，因为 $U\partial_\phi U^\dagger=-in$ 。正 $n$ 和负 $n$ 分别表示两种绕行方向。

还须说明，稍微改变映射不会改变这个整数。由单位模约束，

\begin{aligned} \delta U^\dagger&=-(U^\dagger)^2\delta U,\\ \delta(U\partial_\phi U^\dagger) &=\delta U\,\partial_\phi U^\dagger -U\partial_\phi[(U^\dagger)^2\delta U]\\ &=-\partial_\phi(U^\dagger\delta U),\\ \delta n&=-\frac{i}{2\pi} [U^\dagger\delta U]_{0}^{2\pi}=0 . \end{aligned} \tag{92.15}

最后用了 $U,\delta U$ 在圆上单值。对整个光滑形变 $U_s$ ，将 $\delta U$ 换成 $\partial_sU_s\,ds$ 便有 $dn/ds=0$ ，这给出缠绕数的形变不变性。

反过来，任一度为 $n$ 的映射都能连续变到 $e^{in\phi}$ 。写 $\alpha(\phi)=\alpha_0+n\phi+h(\phi)$ ，其中 $h(0)=h(2\pi)=0$ ，然后取

U_s(\phi)=\exp\{i[n\phi+(1-s)(\alpha_0+h(\phi))]\}, \qquad 0\le s\le1. \tag{92.16}

每个 $s$ 都给单值的圆映射。这说明整数不仅在形变中不变，还把圆映射的形变类完全区分开来。两个映射相乘时相位相加，故缠绕数也相加；下面用两个半圆上的分段形变说明这一点。 $n=-1$ 给出恒等映射在缠绕数加法下的逆，即相反取向的代表。

把两次绕行放到两个半圆

令 $U=U_nU_k$ 。复数场彼此交换且单位模，乘积求导给

\begin{aligned} U\partial_\phi U^\dagger &=U_nU_k\partial_\phi(U_k^\dagger U_n^\dagger)\\ &=U_k\partial_\phi U_k^\dagger +U_n\partial_\phi U_n^\dagger,\\ \frac{i}{2\pi}\int_0^{2\pi}U\partial_\phi U^\dagger\,d\phi &=k+n. \end{aligned} \tag{92.95}

还可以用一个形变把这个加法画在圆上：让两次绕行分别发生在两个半圆上。

为使分段连接处也光滑，取一个实光滑函数 $H(t)$ ，在 $t\le0$ 时为0、 $t\ge1$ 时为1，所有非零导数都集中在 $0<t<1$ 。例如先令 $w(t)=\exp[-1/(t(1-t))]$ 于 $(0,1)$ 内成立、区间外为零，再定义 $H(t)=\int_{-\infty}^t w(s)ds/\int_0^1w(s)ds$ 。把两个映射形变到

\begin{aligned} \widetilde U_n(\phi) &=\exp\!\left[2\pi i nH\!\left(\frac{\phi-\pi}{\pi}\right)\right],\\ \widetilde U_k(\phi) &=\exp\!\left[2\pi i kH\!\left(\frac{\phi}{\pi}\right)\right]. \end{aligned} \tag{92.96}

第一个映射在 $0\le\phi\le\pi$ 等于1，第二个在 $\pi\le\phi\le2\pi$ 等于1。它们的实相位分别增加 $2\pi n$ 和 $2\pi k$ ，因此缠绕数未变。若原映射的连续相位为 $\alpha_n$ ，新映射的相位为 $\widetilde\alpha_n$ ，则 $e^{i[(1-s)\alpha_n+s\widetilde\alpha_n]}$ 给出所需形变：两个相位的端点差相同，所以每个 $s$ 都在圆上单值； $k$ 同理。

乘积在第一半圆完成 $k$ 次绕行，在第二半圆完成 $n$ 次绕行，总数自然为 $n+k$ 。两个映射的变化集中在相反的半圆，因而也直接实现了缠绕数的相加。

为什么整体涡旋的能量发散

取非零整数 $n$ ，尝试静态的径向拟设

\varphi(r,\phi)=vf(r)e^{in\phi},\qquad f(\infty)=1,\quad f(0)=0 . \tag{92.17}

核心的零值使场离开真空圆，消除了相位在原点的多值问题。为使场光滑，实际上还要选 $f(r)\sim r^{|n|}$ 的正则支；稍后场方程会给出这个幂次。

极坐标的梯度为 $\hat{\boldsymbol r}\partial_r+\hat{\boldsymbol\phi}\partial_\phi/r$ 。两个单位矢量正交，故

\begin{aligned} \boldsymbol\nabla\varphi &=v\left[f_r\hat{\boldsymbol r} +\frac{in}{r}f\hat{\boldsymbol\phi}\right]e^{in\phi},\\ |\boldsymbol\nabla\varphi|^2 &=v^2\left[f_r^2+\frac{n^2}{r^2}f^2\right],\\ E_{\mathrm{angular}}(r_0,R) &=2\pi n^2v^2\int_{r_0}^{R}\frac{f(r)^2}{r}\,dr \sim2\pi n^2v^2\log(R/r_0). \end{aligned} \tag{92.18}

这里 $r\,dr\,d\phi$ 的Jacobian与角导数中的 $r^{-2}$ 共同留下 $dr/r$ 。因为 $f\to1$ ，例如足够远处 $f^2>1/2$ ，最后积分必定发散；核心怎样调整都消不去这个远处的能量。

更一般的限制由Derrick缩放论证给出，它不局限于当前的对数发散。设有 $D$ 个空间维、无约束实场 $\varphi_i$ 、标准正动能和非负可微势，记

T=\frac12\int d^Dx\,(\boldsymbol\nabla\varphi_i)^2,\qquad U=\int d^Dx\,V(\varphi),\qquad E=T+U. \tag{92.19}

假设构型平滑、 $T,U$ 有限，且保留边界的缩放 $\varphi_\alpha(\boldsymbol x)=\varphi(\boldsymbol x/\alpha)$ 是可容许的变分。令 $\boldsymbol y=\boldsymbol x/\alpha$ ，测度给 $\alpha^D$ ，每个梯度给 $\alpha^{-1}$ ，于是

E(\alpha)=\alpha^{D-2}T+\alpha^DU,\qquad E'(1)=(D-2)T+DU=0. \tag{92.20}

第二式要求原构型是静态场方程的驻点。 $D>2$ 时，两个非负项只能分别为零，场因而为常数。

$D=2$ 要多走一步：缩放式只给 $U=0$ 。由于 $V\ge0$ ，平滑解处处在势的极小值上，故 $\partial V/\partial\varphi_i=0$ ，静态方程成为 $\nabla^2\varphi_i=0$ 。每个导数 $g=\partial_j\varphi_i$ 也是调和函数，并且 $\int|g|^2<\infty$ 。调和函数在以 $\boldsymbol x$ 为心的圆盘上的平均等于 $g(\boldsymbol x)$ ：对圆周平均求半径导数，Gauss定理把它变成圆盘内 $\nabla^2g$ 的积分，因而为零；再对半径积分就得到圆盘平均。因此Cauchy–Schwarz不等式给

|g(\boldsymbol x)|^2 =\left|\frac1{\pi R^2}\int_{B_R(\boldsymbol x)}g(\boldsymbol y)\,d^2y\right|^2 \le\frac1{\pi R^2}\int_{B_R(\boldsymbol x)}|g|^2\,d^2y \longrightarrow0 . \tag{92.21}

所以梯度仍为零。这也给出了二维的结论。定理使用的是正势、无约束标量和二导数静态能量；若改变这些条件，缩放分析也要相应改变。在当前模型中，引入规范场将提供改变缩放关系的新项。

规范场怎样消去远处的角向梯度

把式（92.12）的整体 $U(1)$ 对称性规范化，得到

\begin{aligned} \mathcal L&=-(D_\mu\varphi)^\dagger D^\mu\varphi -\frac{\lambda}{4}(|\varphi|^2-v^2)^2-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\\ D_\mu&=\partial_\mu-ieA_\mu,\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu . \end{aligned} \tag{92.22}

真空模仍是 $v$ 。为确定场的质量，取 $\varphi=v+(h+i\chi)/\sqrt2$ ；两个实场都具有标准的 $1/2$ 动能归一。二次项为

\begin{aligned} \mathcal L_2 &=-\frac12(\partial h)^2 -\frac12(\partial_\mu\chi-\sqrt2evA_\mu)^2 -\frac12\lambda v^2h^2-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\\ m_S^2&=\lambda v^2,\qquad m_V^2=2e^2v^2 . \end{aligned} \tag{92.23}

在局部幺正规范 $\chi=0$ 下，矢量二次项是 $-e^2v^2A^2=-m_V^2A^2/2$ ，所以 $m_V=\sqrt2ev$ 。这里的 $v$ 与第85节的 $v$ 不同：若比较同一复场模型，应取 $v_{85}=\sqrt2v_{92}$ ，便恢复该章的质量公式。

令 $U=e^{i\alpha(x)}$ ，有限规范变换满足

\begin{aligned} \varphi&\longmapsto U\varphi,\\ A_\mu&\longmapsto UA_\mu U^\dagger+\frac{i}{e}U\partial_\mu U^\dagger =A_\mu+\frac1e\partial_\mu\alpha,\\ D_\mu\varphi&\longmapsto U D_\mu\varphi . \end{aligned} \tag{92.24}

最后一式可直接展开： $\partial_\mu U$ 产生的 $i(\partial_\mu\alpha)U\varphi$ ，恰被连接的新增项抵消。对常值真空 $\varphi=v,A_\mu=0$ ，在大圆上取 $\alpha=n\phi$ ，便得到

\varphi\longrightarrow ve^{in\phi},\qquad \boldsymbol A\longrightarrow\frac{n}{er}\hat{\boldsymbol\phi}, \qquad (\boldsymbol\nabla-ie\boldsymbol A)ve^{in\phi}=0 . \tag{92.25}

这说明连接能够恰好抵消式（92.18）中造成发散的角梯度，其中相位与连接必须带同一个整数 $n$ 。

非零缠绕数的 $U(\phi)$ 不能光滑延拓为整个圆盘上的单位模函数。否则把边界圆沿半径缩到圆心，就给出了它到常映射的连续形变，与式（92.15）矛盾。这样的边界函数称为大规范变换（large gauge transformation），它不能充当全平面上光滑的小规范冗余。核心处场必须离开真空圆，规范势也必须偏离渐近的纯规范形式。于是取

\begin{aligned} \varphi&=vf(r)e^{in\phi},& A_r&=0,& A_\phi&=\frac{n}{er}a(r),\\ f(\infty)&=a(\infty)=1,& f(0)&=a(0)=0,\qquad n\ne0 . \end{aligned} \tag{92.26}

$A_\phi$ 是沿单位矢量 $\hat{\boldsymbol\phi}$ 的分量，而不是坐标一形式中 $d\phi$ 的系数。后者为 $rA_\phi=na/e$ 。协变梯度和磁场分别为

\begin{aligned} D_r\varphi&=vf_r e^{in\phi},& D_{\hat\phi}\varphi&=\frac{in}{r}(1-a)vf e^{in\phi},\\ B=F_{12} &=\frac1r\bigl[\partial_r(rA_\phi)-\partial_\phi A_r\bigr] =\frac{n}{er}a_r,\\ \Phi&=\int d^2x\,B =\frac{2\pi n}{e}\int_0^\infty a_r\,dr =\frac{2\pi n}{e}. \end{aligned} \tag{92.27}

旋度与面积积分中的 $r$ 相消；同一结果也由Stokes定理 $\Phi=\lim_{r\to\infty}2\pi rA_\phi$ 得到。磁通只由边界缠绕数决定，核心的具体形状不影响它。 $n=1$ 的构型称Nielsen–Olesen涡旋（vortex），负 $n$ 则反转磁通方向。

径向能量、场方程和两端边界

取静态纯磁构型。由于 $F_{ij}F_{ij}=2B^2$ ，规范动能给 $B^2/2$ 。把式（92.26）代入静态能量，

\begin{aligned} E&=\int d^2x\left[ |D_i\varphi|^2+\frac{\lambda}{4}(|\varphi|^2-v^2)^2+\frac12B^2\right]\\ &=2\pi v^2\int_0^\infty r\,dr\left[ f_r^2+\frac{n^2}{r^2}(1-a)^2f^2 +\frac{\lambda v^2}{4}(f^2-1)^2 +\frac{n^2}{2e^2v^2r^2}a_r^2\right]. \end{aligned} \tag{92.28}

磁能的 $1/2$ 随代入保留，它将同时进入无量纲能量与规范场方程。

为便于求径向轮廓，定义无量纲变量

\rho=evr,\qquad \beta^2=\frac{\lambda}{e^2}, \qquad m_Vr=\sqrt2\rho,\qquad \frac{m_S^2}{m_V^2}=\frac{\beta^2}{2}. \tag{92.29}

此处 $\beta$ 是耦合比，与推动速度无关。由于 $r\,dr=\rho\,d\rho/(e^2v^2)$ ，而 $f_r=evf'$ 、 $a_r=eva'$ ，能量变成

E=2\pi v^2\int_0^\infty d\rho\,\rho \left[ f'^2+\frac{n^2}{\rho^2}(1-a)^2f^2 +\frac{\beta^2}{4}(1-f^2)^2 +\frac{n^2}{2\rho^2}a'^2 \right]. \tag{92.30}

以下撇号对 $\rho$ 求导。记被积式连同外面的 $\rho$ 为 $\ell$ 。变分中要用的四个导数为

\begin{aligned} \frac{\partial\ell}{\partial f'}&=2\rho f',& \frac{\partial\ell}{\partial f} &=\frac{2n^2}{\rho}(1-a)^2f-\beta^2\rho(1-f^2)f,\\ \frac{\partial\ell}{\partial a'}&=\frac{n^2}{\rho}a',& \frac{\partial\ell}{\partial a} &=-\frac{2n^2}{\rho}(1-a)f^2 . \end{aligned} \tag{92.31}

固定两端的场值，分部积分的边界项为零；由 $(\partial\ell/\partial q')'-\partial\ell/\partial q=0$ ，第一式除以 $2\rho$ ，第二式乘 $\rho/n^2$ ，得到

\begin{aligned} f''+\frac{f'}{\rho} -\frac{n^2}{\rho^2}(1-a)^2f+\frac{\beta^2}{2}(1-f^2)f&=0,\\ a''-\frac{a'}{\rho}+2(1-a)f^2&=0 . \end{aligned} \tag{92.32}

规范方程的末项有系数2。也可从未作径向化的规范场方程核对它：

\begin{aligned} \partial_jF_{ji} &=ie\bigl[\varphi^\dagger D_i\varphi -(D_i\varphi)^\dagger\varphi\bigr],\\ \frac{n}{e}\left(\frac{a_{rr}}r-\frac{a_r}{r^2}\right) &=-\frac{2en v^2}{r}(1-a)f^2 . \end{aligned} \tag{92.33}

第二行取沿 $\hat{\boldsymbol\phi}$ 的分量。左右分别是磁场的径向变化和标量电流；它独立恢复了式（92.32）的系数2。

若愿意把半径直接用物理矢量质量来量度，令 $R=\sqrt2\rho$ 、 $b=\beta/\sqrt2=m_S/m_V$ 。这时磁项成为 $n^2a_R^2/R^2$ ，两个方程成为

\begin{aligned} f_{RR}+\frac{f_R}{R} -\frac{n^2}{R^2}(1-a)^2f+\frac{b^2}{2}(1-f^2)f&=0,\\ a_{RR}-\frac{a_R}{R}+(1-a)f^2&=0 . \end{aligned} \tag{92.34}

在这套变量中，矢量尾部的质量尺度成为一；半径与耦合比同时改变，方程描述的仍是同一个拉格朗日量。

现在看边界。令 $k=|n|\ge1$ 。在 $\rho\to0$ 处，标量方程最奇异的部分给

f''+\frac{f'}{\rho}-\frac{n^2}{\rho^2}f=0, \qquad f\propto\rho^\eta,\quad \eta^2=n^2 . \tag{92.35}

$\rho^{-k}$ 的支发散，故取 $f=c_f\rho^k[1+O(\rho^2)]$ 。规范方程齐次部分的解为常数和 $\rho^2$ ；原点的正则条件排除常数项，再代入标量首项便有

f=c_f\rho^k[1+O(\rho^2)],\qquad a=c_a\rho^2-\frac{c_f^2}{2k(k+1)}\rho^{2k+2} +o(\rho^{2k+2}). \tag{92.36}

因为 $(\partial_\rho^2-\rho^{-1}\partial_\rho)\rho^{2k+2} =4k(k+1)\rho^{2k}$ ，第二项的系数直接抵消 $2c_f^2\rho^{2k}$ 。这些幂次保证笛卡儿场光滑： $r^ke^{in\phi}=(x+i\,\operatorname{sign}(n)y)^k$ ，而 $a=O(r^2)$ 使 $\boldsymbol A$ 在原点为 $O(r)$ 。因此 $f\sim\rho^n$ 只适用于正 $n$ ；两个零点值本身还不足以选出正则支。

在远处，写 $q=1-a$ 、 $h=1-f$ 。保留规范方程的线性项以及驱动标量尾部的第一个平方项，

\begin{aligned} q''-\frac{q'}{\rho}-2q&=-4hq+2h^2q,\\ h''+\frac{h'}{\rho}-\beta^2h &=-\frac{n^2q^2}{\rho^2} +O(h^2,hq^2/\rho^2). \end{aligned} \tag{92.37}

齐次衰减支分别为 $\rho K_1(\sqrt2\rho)$ 和 $K_0(\beta\rho)$ ，其中 $K_\nu$ 是衰减的改良Bessel函数。这里所需的领头形式也可直接推出：把 $\rho^p e^{-\mu\rho}$ 代入，常数阶确定 $\mu$ ， $1/\rho$ 阶确定 $p$ 。规范方程给 $\mu=\sqrt2,p=1/2$ ，标量齐次方程给 $\mu=\beta,p=-1/2$ ，故

q\sim C\rho^{1/2}e^{-\sqrt2\rho}, \qquad h_{\mathrm{hom}}\sim H\rho^{-1/2}e^{-\beta\rho}. \tag{92.38}

匹配到核心后才能确定 $C,H$ 。规范尾的平方还产生 $-n^2C^2e^{-2\sqrt2\rho}/\rho$ ，当它比标量齐次尾衰减慢时，必须保留。记 $\mu=2\sqrt2$ ，把 $A\rho^{-1}e^{-\mu\rho}$ 代入标量左边，其领头项为 $(8-\beta^2)A\rho^{-1}e^{-\mu\rho}$ ；在 $\beta=\mu$ 处改用 $Ae^{-\mu\rho}$ ，左边为 $-\mu Ae^{-\mu\rho}/\rho$ 。因而通常非零涡旋的领头尾部为

h\sim \begin{cases} H\rho^{-1/2}e^{-\beta\rho},&0<\beta<2\sqrt2,\\[2pt] \dfrac{n^2C^2}{2\sqrt2}e^{-2\sqrt2\rho}, &\beta=2\sqrt2,\\[6pt] \dfrac{n^2C^2}{\beta^2-8}\, \rho^{-1}e^{-2\sqrt2\rho},&\beta>2\sqrt2 . \end{cases} \tag{92.39}

所以在 $\rho,\beta$ 变量中，标量的主指数率是 $\min(\beta,2\sqrt2)$ 。改用物理变量 $R,b$ 后，这个率为 $\min(b,2)$ 。完整尾部不只有齐次解的指数，还包含上面的幂次、平方驱动和共振情形。有限尺度的核心与指数衰减的尾部也解释了能量为什么收敛；当 $n,\beta$ 为一阶数时，无量纲积分给一阶系数，故 $E$ 为 $2\pi v^2$ 的量级。

涡旋的Bogomolny界

一维孤子的质量由完成平方求出；涡旋也有类似的能量恒等式，只是协变导数的交换会多给一个磁场。令 $j_i=\operatorname{Im}(\varphi^\dagger D_i\varphi)$ ，并用 $[D_1,D_2]=-ieB$ ，则

\begin{aligned} \partial_1(\varphi^\dagger D_2\varphi) -\partial_2(\varphi^\dagger D_1\varphi) &=(D_1\varphi)^\dagger D_2\varphi -(D_2\varphi)^\dagger D_1\varphi-ieB|\varphi|^2,\\ \partial_1j_2-\partial_2j_1 &=2\operatorname{Im}\bigl[(D_1\varphi)^\dagger D_2\varphi\bigr] -eB|\varphi|^2 . \end{aligned} \tag{92.40}

第一行把普通导数补成协变导数后，两个连接交叉项相消；第二行取虚部。若 $s=\pm1$ ，展开 $|(D_1+isD_2)\varphi|^2$ 中的交叉项，又得到

|D_i\varphi|^2 =|(D_1+isD_2)\varphi|^2 +s(\partial_1j_2-\partial_2j_1)+seB|\varphi|^2. \tag{92.41}

这里 $i(z-z^*)=-2\operatorname{Im}z$ 固定了平方中的手性。磁能与势能则可写成

\begin{aligned} \frac12B^2+\frac{\lambda}{4}(v^2-|\varphi|^2)^2 ={}&\frac12[B-se(v^2-|\varphi|^2)]^2\\ &+seB(v^2-|\varphi|^2) +\frac{\lambda-2e^2}{4}(v^2-|\varphi|^2)^2 . \end{aligned} \tag{92.42}

相加后，含 $B|\varphi|^2$ 的两项恰好抵消。对径向构型，边界流积分为 $\oint j_i\,dx_i=2\pi n v^2f^2(1-a)$ ，在大圆和收缩到核心的小圆上都趋零。因此取 $s=\operatorname{sign}n$ ，有

\begin{aligned} E={}&2\pi v^2|n|\\ &+\int d^2x\left[ |(D_1+isD_2)\varphi|^2 +\frac12[B-se(v^2-|\varphi|^2)]^2 +\frac{\lambda-2e^2}{4}(v^2-|\varphi|^2)^2 \right]. \end{aligned} \tag{92.43}

边界常数来自 $se v^2\Phi$ 。对一般不具旋转对称性的构型，同一恒等式也成立，只需相应的边界流积分消失。

在 $\lambda\ge2e^2$ 时，被积项均非负，故 $E\ge2\pi v^2|n|$ ；若 $\lambda>2e^2$ 且 $n\ne0$ ，核心附近 $|\varphi|\ne v$ 的区域使不等式严格。临界耦合是

\lambda=2e^2,\qquad \beta^2=2,\qquad m_S=m_V . \tag{92.44}

若用物理质量比 $b=m_S/m_V$ ，高于临界值对应 $b>1$ ；在 $\beta$ 变量中则是 $\beta>\sqrt2$ 。后面的试探场计算会给出 $\beta^2=3/2$ 、能量低于 $2\pi v^2$ 的光滑例子。

临界时，使两个平方为零便得到一阶方程。用 $D_1+isD_2=e^{is\phi}(D_r+isD_{\hat\phi})$ 和 $sn=k=|n|$ ，

f'=\frac{k}{\rho}(1-a)f,\qquad a'=\frac{\rho}{k}(1-f^2). \tag{92.45}

对第一式求导并代入第二式，或反过来求导，有

\begin{aligned} f''+\frac{f'}{\rho} -\frac{k^2}{\rho^2}(1-a)^2f &=-\frac{k}{\rho}a'f=-(1-f^2)f,\\ a''-\frac{a'}{\rho} &=-\frac{2\rho}{k}ff'=-2(1-a)f^2 . \end{aligned} \tag{92.46}

这正好是式（92.32）在 $\beta^2=2$ 时的二阶系统。还可直接在径向能量中检查边界常数：

\begin{aligned} \frac{E}{2\pi v^2} ={}&\int_0^\infty d\rho\,\rho \left[ \left(f'-\frac{k}{\rho}(1-a)f\right)^2 +\frac{k^2}{2\rho^2} \left(a'-\frac{\rho}{k}(1-f^2)\right)^2 \right]\\ &+k\,[a+(1-a)f^2]_{0}^{\infty}\\ ={}&\int_0^\infty d\rho\,\rho \left[\text{上列两平方}\right]+k . \end{aligned} \tag{92.47}

交叉项合成的导数为 $a'(1-f^2)+2(1-a)ff'$ 。这条独立配方再次固定了磁能的 $1/2$ 、磁通的 $2\pi$ 和绕数绝对值。

一个可以完全积分的涡旋试探场

在临界值 $\beta^2=2$ 以下，涡旋能量可以小于 $2\pi v^2|n|$ 。下面构造一个光滑且磁通固定的例子。取 $n=1$ 及

f(\rho)=\sqrt{1-e^{-c\rho^2}},\qquad a(\rho)=1-e^{-c\rho^2},\qquad c>0. \tag{92.97}

在原点， $f=\sqrt c\,\rho+O(\rho^3)$ 、 $a=c\rho^2+O(\rho^4)$ 。因而 $fe^{i\phi}$ 是 $x+iy$ 乘一个光滑径向函数， $a\hat{\boldsymbol\phi}/r$ 也光滑；在无穷远二者趋1，磁通保持 $2\pi/e$ 。

把这个场放进式（92.30）。令 $x=c\rho^2$ ，径向动能给

\begin{aligned} I_r&=\int_0^\infty\rho f'^2\,d\rho =\frac12\int_0^\infty\frac{x e^{-2x}}{1-e^{-x}}\,dx\\ &=\frac12\sum_{j=2}^{\infty}\int_0^\infty xe^{-jx}\,dx =\frac12\sum_{j=2}^{\infty}\frac1{j^2} =\frac12\left(\frac{\pi^2}{6}-1\right). \end{aligned} \tag{92.98}

级数各项非负，故可交换求和与积分；分部积分给 $\int_0^\infty xe^{-jx}dx=j^{-2}$ 。最后所用的平方倒数和也可由 $f(t)=t$ 在 $(-\pi,\pi)$ 的Fourier正弦系数 $b_j=2(-1)^{j+1}/j$ 求出：Parseval关系 $\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}t^2dt=\sum b_j^2$ 给 $2\pi^2/3=4\sum j^{-2}$ 。

角向动能中的 $1/\rho$ 变成 $dx/(2x)$ ，所以

\begin{aligned} I_\phi&=\int_0^\infty\frac{(1-a)^2f^2}{\rho}\,d\rho =\frac12\int_0^\infty\frac{e^{-2x}-e^{-3x}}x\,dx\\ &=\frac12\int_2^3dt\int_0^\infty e^{-tx}\,dx =\frac12\log\frac32. \end{aligned} \tag{92.99}

中间用 $(e^{-2x}-e^{-3x})/x=\int_2^3e^{-tx}dt$ ，再次只交换非负积分。剩下两项为

\begin{aligned} I_B&=\int_0^\infty\frac{a'^2}{2\rho}\,d\rho =2c^2\int_0^\infty\rho e^{-2c\rho^2}d\rho=\frac c2,\\ I_V&=\frac{\beta^2}{4}\int_0^\infty\rho e^{-2c\rho^2}d\rho =\frac{\beta^2}{16c},\\ \frac{E_{\rm trial}}{2\pi v^2} &=\frac12\left(\frac{\pi^2}{6}-1+\log\frac32\right) +\frac c2+\frac{\beta^2}{16c}. \end{aligned} \tag{92.100}

最后两项对 $c$ 驻定时 $c=\beta/(2\sqrt2)$ ，二阶导数为正。这是在所选试探族中优化核心尺度。

现在取 $\beta^2=3/2$ 、 $c=\sqrt3/4$ ，所得能量为

\frac{E_{\rm trial}}{2\pi v^2} =\frac12\left(\frac{\pi^2}{6}-1+\log\frac32\right) +\frac{\sqrt3}{4} <\frac{13}{24}+\frac7{16}=\frac{47}{48}<1. \tag{92.101}

这里用了 $\pi^2<10$ 、交错对数级数给出的 $\log(3/2)<1/2-1/8+1/24=5/12$ ，以及 $\sqrt3<7/4$ 。这个构型处在绕数1扇区，满足核心正则性和无穷远条件，却有 $E<2\pi v^2$ 。因而能量界的临界参数由 $\beta^2=2$ 固定。

径向有限能量解的存在性可用 Gustafson–Sigal 论文的定理2，该处引用了 Plohr 及 Berger–Chen 的证明。先将能量归一转换到该文的形式，令

\begin{aligned} \boldsymbol y&=\sqrt2ev\boldsymbol x,\qquad \psi=\varphi/v,\qquad \boldsymbol{\mathcal A}=\boldsymbol A/(\sqrt2v),\\ E&=2v^2E_{\mathrm{GS}},\\ E_{\mathrm{GS}} &=\frac12\int d^2y\left[ |(\nabla-i\boldsymbol{\mathcal A})\psi|^2 +(\operatorname{curl}\boldsymbol{\mathcal A})^2 +\frac{\lambda_{\mathrm{GS}}}{4}(|\psi|^2-1)^2\right],\\ \lambda_{\mathrm{GS}}&=\lambda/(2e^2)=b^2 . \end{aligned} \tag{92.48}

其中 $D_x\varphi=\sqrt2ev^2D_y\psi$ 、 $B_x=2ev^2\operatorname{curl}_y\mathcal A$ 、 $d^2x=d^2y/(2e^2v^2)$ ，三项分别给出这个转换。对每个非零整数 $n$ 和 $b>0$ ，所引定理构造了正则、有限能量的径向极小解；正半径处 $0<f,a<1$ 并单调趋1。负 $n$ 由复共轭和磁场反号得到。

研究高绕数涡旋的不稳定性，需要容许破坏旋转对称性的扰动。Gustafson–Sigal 的定理1证明： $|n|\ge2,b>1$ 的上述径向涡旋具有负的能量Hessian模，而 $n=\pm1$ 对所有 $b>0$ 在线性意义下稳定。这里排除了规范和平移对称性给出的零模，负模属于有限能量扰动的二次型定义域。若以 $u_n$ 表示整个静态场组、 $\eta$ 表示该负方向，便有

E(u_n+s\eta)=E(u_n) +\frac{s^2}{2}\langle\eta,L_n\eta\rangle+o(s^2), \qquad \langle\eta,L_n\eta\rangle<0 . \tag{92.49}

场方程使一阶项消失，足够小的非零 $s$ 于是降低能量。这给出了重合高绕数涡核的不稳定依据。这描述了重合涡核附近的线性不稳定性；后续运动由相应的时间演化方程决定。

在二空间维，平移与推动把涡旋变成运动的粒子状构型；在三空间维，沿第三方向延伸则形成Nielsen–Olesen弦，也称规范弦（gauge string）。此时上面的 $E$ 应解释为单位长度能量，临界张力为 $2\pi v^2|n|$ 。曲率半径远大于核心宽度时，可把弯曲弦的局部截面近似看成直涡旋；闭合弦环的进一步运动还受其张力支配。宇宙弦（cosmic string）是这种构型在早期宇宙模型中的应用，后面的统一理论提供可能的场内容。

二球面映射及其度数

再增加一个空间维，远处的边界成为二球面 $S^2$ 。相应取三个实标量，

\begin{aligned} \mathcal L&=-\frac12\partial^\mu\varphi^a\partial_\mu\varphi^a -\frac{\lambda}{8}(\varphi^a\varphi^a-v^2)^2,\qquad a=1,2,3,\\ \varphi_{\mathrm{vac}}^a&=v\widehat\varphi^a,\qquad \widehat\varphi^a\widehat\varphi^a=1 . \end{aligned} \tag{92.50}

因此真空取值也是一个二球面。空间球用 $(\theta,\phi)$ 参数化，边界场 $\widehat{\boldsymbol\varphi}(\theta,\phi)$ 便给从空间球到真空球的映射。

为刻画这个映射，定义映射度（degree），也称缠绕数：

\begin{aligned} n&=\frac1{8\pi}\int d\theta\,d\phi\, \epsilon^{abc}\epsilon^{ij} \widehat\varphi^a\partial_i\widehat\varphi^b \partial_j\widehat\varphi^c\\ &=\frac1{4\pi}\int_0^\pi d\theta\int_0^{2\pi}d\phi\, \widehat{\boldsymbol\varphi}\cdot \bigl(\partial_\theta\widehat{\boldsymbol\varphi} \times\partial_\phi\widehat{\boldsymbol\varphi}\bigr). \end{aligned} \tag{92.51}

在第一行中 $i,j$ 只取两个角坐标， $\epsilon^{\theta\phi}=+1$ 。两种非零排列相等，故 $1/(8\pi)$ 变成 $1/(4\pi)$ 。叉积本身已包含面积Jacobian；外面的测度不再另乘 $\sin\theta$ 。

例如取题92.5的映射

\widehat{\boldsymbol\varphi} =(\sin\theta\cos N\phi,\ \sin\theta\sin N\phi,\ \cos\theta), \qquad N\in\mathbb Z . \tag{92.52}

它的两个角导数为 $(\cos\theta\cos N\phi,\cos\theta\sin N\phi,-\sin\theta)$ 和 $N(-\sin\theta\sin N\phi,\sin\theta\cos N\phi,0)$ 。逐项取叉积，得到 $N\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol\varphi}$ ，所以

n=\frac{N}{4\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta=N . \tag{92.53}

恒等映射对应 $N=1$ ，相反取向给 $N=-1$ 。一般 $N$ 的这个坐标代表在极点只是连续的：北极附近，前两个分量组成 $\theta e^{iN\phi}$ ，通常不是局部笛卡儿坐标的可微函数。上述积分可在去掉两个小极帽后求极限；若需要处处光滑的代表，用立体坐标 $z=\tan(\theta/2)e^{i\phi}$ ，对 $N>0$ 取 $w=z^N$ ，对 $N<0$ 取 $w=\bar z^{|N|}$ ，对 $N=0$ 取常映射。在另一极点改用 $1/z,1/w$ 便看出这些代表也光滑。

度数在光滑形变下不变。暂记 $\boldsymbol n=\widehat{\boldsymbol\varphi}$ 。微分 $\boldsymbol n^2=1$ 给

\boldsymbol n\cdot\delta\boldsymbol n=0,\qquad \boldsymbol n\cdot\partial_i\boldsymbol n=0,\qquad \delta\boldsymbol n\cdot (\partial_i\boldsymbol n\times\partial_j\boldsymbol n)=0 . \tag{92.54}

最后一个式子因为三个向量都在二维切平面内。对度密度变分，落在首个 $\boldsymbol n$ 上的项因而消失，落在两个导数上的项交换 $i,j$ 后相等，于是

\begin{aligned} \delta\!\left[ \epsilon^{ij}\boldsymbol n\cdot (\partial_i\boldsymbol n\times\partial_j\boldsymbol n)\right] &=2\epsilon^{ij}\boldsymbol n\cdot (\partial_i\delta\boldsymbol n\times\partial_j\boldsymbol n)\\ &=2\partial_i\!\left[ \epsilon^{ij}\boldsymbol n\cdot (\delta\boldsymbol n\times\partial_j\boldsymbol n)\right]. \end{aligned} \tag{92.55}

第二行展开后，多出的三切向量项为零，而二阶导数与反对称 $\epsilon^{ij}$ 缩并也为零。在闭球面上积分这个全导数，各坐标片的公共边界互相抵消，故 $\delta n=0$ 。这一写法也说明了坐标不变性：相容取向的换图中，两个导数的Jacobian与有向测度相消；若真的反转定义域球或靶球的取向，度数则变号。

把这些不变量用于任意边界映射，还要导入一个拓扑分类结果。对 $k\ge1$ ，连续有基点映射 $S^k\to S^k$ 的同伦类组成 $\pi_k(S^k)$ ，度映射把它与 $\mathbb Z$ 一一对应，恒等映射对应1；对靶球 $S^2,S^3$ ，放开基点也不改变分类。这里“同伦”就是一个连续族 $H(x,s)$ ，始终把每个 $x$ 映入同一个靶球；有基点同伦还要求选定的一点在整个形变中固定。度数的分类见 Hatcher 的推论4.25，有基点与自由同伦的关系见命题4A.2。

本节的面积积分正是这个度：它在形变下不变，把两个映射分别放在两个不交小球域并在其余地方取常值时，积分直接相加；恒等映射的积分又为1，故在上述整数分类上它只能给相同的整数。这里用到的连续与光滑同伦可以衔接：把紧致域上的连续同伦在局部坐标中以光滑分片单位一致逼近，误差取小于 $1/4$ ，所得 $\mathbb R^{k+1}$ 值函数便不经过零；再除以其模长，就得到球面内的光滑同伦。端点附近先取恒定的时间领圈，逼近时保持端点不变即可。这样，分类定理与刚才用微分计算的形变不变性适用于同一批边界类。

非零度数使边界方向不能收缩成常方向。不过，前面的缩放分析仍阻止当前纯标量模型产生平滑有限能量静态解。我们还要像涡旋一样引入规范场。

实三重态的破缺与电磁场

令三个实场处在 $SU(2)$ 的伴随表示中，拉格朗日量为

\begin{aligned} \mathcal L&=-\frac12(D^\mu\varphi)^a(D_\mu\varphi)^a -\frac{\lambda}{8}(\varphi^a\varphi^a-v^2)^2 -\frac14F^{a\mu\nu}F_{\mu\nu}^a,\\ (D_\mu\varphi)^a&=\partial_\mu\varphi^a +e\epsilon^{abc}A_\mu^b\varphi^c,\\ F_{\mu\nu}^a&=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a +e\epsilon^{abc}A_\mu^bA_\nu^c . \end{aligned} \tag{92.56}

取真空 $\varphi^a=v\delta^{a3}$ 。协变梯度的前两个分量为 $evA_\mu^2,-evA_\mu^1$ ，第三分量为零，因而

\begin{aligned} \mathcal L_{\mathrm{mass}} &=-\frac12e^2v^2\bigl[(A_\mu^1)^2+(A_\mu^2)^2\bigr],\\ W_\mu^\pm&=\frac{A_\mu^1\mp iA_\mu^2}{\sqrt2}, \qquad m_W=ev,\qquad Q(W^\pm)=\pm e . \end{aligned} \tag{92.57}

实场动能带 $1/2$ ，所以这里的 $ev$ 就是正确质量。未破缺的 $T^3$ 使 $A_\mu^3$ 保持无质量。把两个实分量组成 $W^+$ 后，关于 $A_\mu^3$ 的导数为 $\partial_\mu-ieA_\mu^3$ ； $W^-$ 为其共轭，故电荷相反。我们把这个剩余 $U(1)$ 解释为电磁群。模型称Georgi–Glashow模型；它没有标准电弱理论中的有质量中性 $Z$ ，因此其粒子谱不能取代第87节的模型。

当Higgs方向随位置改变时，不能总把第三个内部方向称为电磁方向。令 $\boldsymbol n=\boldsymbol\varphi/|\boldsymbol\varphi|$ ，在 $|\varphi|>0$ 处定义

\mathcal F_{\mu\nu} =\boldsymbol n\cdot\boldsymbol F_{\mu\nu} -\frac1e\boldsymbol n\cdot (D_\mu\boldsymbol n\times D_\nu\boldsymbol n). \tag{92.58}

这里内部矢量的点积、叉积都在伴随的三维空间中；用 $\mathcal F$ 区分这个电磁复合场与原来的 $F^a$ 。伴随规范变换是内部旋转，式中所有内部指标都缩并，所以它规范不变。第二项的作用在展开后最清楚。由 $D_\mu\boldsymbol n=\partial_\mu\boldsymbol n+e\boldsymbol A_\mu\times\boldsymbol n$ 及 $\boldsymbol n\cdot\partial_\mu\boldsymbol n=0$ ，

\begin{aligned} \boldsymbol n\cdot [\partial_\mu\boldsymbol n\times(\boldsymbol A_\nu\times\boldsymbol n)] &=-\boldsymbol A_\nu\cdot\partial_\mu\boldsymbol n,\\ \boldsymbol n\cdot [(\boldsymbol A_\mu\times\boldsymbol n)\times\partial_\nu\boldsymbol n] &=\boldsymbol A_\mu\cdot\partial_\nu\boldsymbol n,\\ \boldsymbol n\cdot [(\boldsymbol A_\mu\times\boldsymbol n)\times (\boldsymbol A_\nu\times\boldsymbol n)] &=\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol A_\mu\times\boldsymbol A_\nu). \end{aligned} \tag{92.59}

前两行由三重积公式 $\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times\boldsymbol c) =\boldsymbol b(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c)-\boldsymbol c(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$ 得到；最后一行可在 $\boldsymbol n=(0,0,1)$ 的正交基中把两个切向分量相乘，因两边都是旋转标量，结果对任意方向成立。因此

\begin{aligned} \boldsymbol n\cdot(D_\mu\boldsymbol n\times D_\nu\boldsymbol n) ={}&\boldsymbol n\cdot (\partial_\mu\boldsymbol n\times\partial_\nu\boldsymbol n)\\ &+e\bigl(\boldsymbol A_\mu\cdot\partial_\nu\boldsymbol n -\boldsymbol A_\nu\cdot\partial_\mu\boldsymbol n\bigr)\\ &+e^2\boldsymbol n\cdot (\boldsymbol A_\mu\times\boldsymbol A_\nu). \end{aligned} \tag{92.60}

把它代回式（92.58），最后一行与 $\boldsymbol F_{\mu\nu}$ 中的非阿贝尔二次项相消。其余项补成普通乘积导数，得到

\mathcal F_{\mu\nu} =\partial_\mu(\boldsymbol n\cdot\boldsymbol A_\nu) -\partial_\nu(\boldsymbol n\cdot\boldsymbol A_\mu) -\frac1e\boldsymbol n\cdot (\partial_\mu\boldsymbol n\times\partial_\nu\boldsymbol n). \tag{92.61}

在 $\boldsymbol n=(0,0,1)$ 的局部规范中，它恰好为 $\partial_\mu A_\nu^3-\partial_\nu A_\mu^3$ ，符合电磁场强的要求。在 $\varphi=0$ 的核心处，Higgs方向本来没有定义；原始的非阿贝尔场仍可保持光滑，稍后能量也应由原始场计算。

磁通量与狄拉克量子化条件

取空间和内部 $\epsilon^{123}=+1$ 。电磁磁场为

\mathcal B_i=\frac12\epsilon_{ijk}\mathcal F_{jk} =\epsilon_{ijk}\partial_j(n^aA_k^a) -\frac1{2e}\epsilon_{ijk}\epsilon^{abc} n^a\partial_jn^b\partial_kn^c . \tag{92.62}

磁通量是电磁二形式在外球面上的积分。若 $n^aA_i^a\,dx^i$ 在该球面上为全局光滑一形式，第一项的闭曲面积分为零：把球面分成两个片，对各片用Stokes定理，公共边界方向相反而抵消。这样不必把Gauss定理穿过 $\boldsymbol n$ 未定义的核心。第二项写成角坐标后，正是式（92.51）中的面积拉回，于是

\begin{aligned} \Phi&=\oint dS_i\,\mathcal B_i =-\frac1e\int d\theta\,d\phi\, \boldsymbol n\cdot(\partial_\theta\boldsymbol n\times\partial_\phi\boldsymbol n)\\ &=-\frac{4\pi n}{e}\equiv Q_M . \end{aligned} \tag{92.63}

在Heaviside–洛伦兹单位中，点电荷场为 $Q_E\hat{\boldsymbol r}/(4\pi r^2)$ ，总电通量等于 $Q_E$ ；磁荷沿相同方式定义。因而正度数 $n=1$ 在当前约定下对应负磁荷，磁场朝内。

若电磁势只在南、北两个片上定义，刚才的“闭曲面上旋度积分为零”便不能直接套用，因为两个片的势并不相同。这个拼接恰好给出狄拉克电荷量子化条件。对 $\mathcal B=Q_M\hat{\boldsymbol r}/(4\pi r^2)$ ，可取

\begin{aligned} \boldsymbol{\mathcal A}_N &=\frac{Q_M}{4\pi r}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\, \hat{\boldsymbol\phi},\\ \boldsymbol{\mathcal A}_S &=-\frac{Q_M}{4\pi r}\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\, \hat{\boldsymbol\phi},\\ \boldsymbol{\mathcal A}_N-\boldsymbol{\mathcal A}_S &=\boldsymbol\nabla\Lambda,\qquad \Lambda=\frac{Q_M\phi}{2\pi}. \end{aligned} \tag{92.64}

北片的势在北极正则，南片的势在南极正则。用球坐标旋度， $\mathcal B_r=(r\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,\mathcal A_\phi)$ ，两者都给要求的径向场。在公共区域，带电场的协变导数为 $\partial-iQ_E\mathcal A$ ，故应以

\psi_N=e^{iQ_E\Lambda}\psi_S,\qquad e^{iQ_E[\Lambda(\phi+2\pi)-\Lambda(\phi)]} =e^{iQ_EQ_M}=1, \qquad Q_EQ_M=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z \tag{92.65}

拼接。最后一个条件保证过渡函数绕赤道一周仍单值。

在全局群取 $SU(2)$ 并允许基本表示时， $T^3=\sigma^3/2$ 的两个权重给 $Q_E=\pm e/2$ 。与式（92.63）相乘，便有 $k=\mp n$ ，恰好满足量子化条件。允许哪些表示属于全局群的定义；只写伴随场的局部拉氏量，还不足以把 $SU(2)$ 与 $SO(3)$ 的电荷格点混同。

从渐近边界构造光滑单极子

现在取最简单的度数 $n=1$ ，令无穷远的Higgs方向沿径向，

\varphi^a(\boldsymbol x)\longrightarrow v\frac{x^a}{r}, \qquad r\to\infty . \tag{92.66}

空间方向与内部方向在这个拟设中相锁定，因而称hedgehog构型。要使远处的协变梯度消失，须有

\partial_i\widehat x^a+e\epsilon^{abc}A_i^b\widehat x^c=0, \qquad \partial_i\widehat x^a=\frac{\delta_{ai}-\widehat x_a\widehat x_i}{r}. \tag{92.67}

一般局部解可以写成

\boldsymbol A_i =-\frac1e\boldsymbol n\times\partial_i\boldsymbol n+c_i\boldsymbol n . \tag{92.68}

因为 $(\boldsymbol n\times\partial_i\boldsymbol n)\times\boldsymbol n =\partial_i\boldsymbol n$ ，第一项恰消普通梯度，而平行分量 $c_i\boldsymbol n$ 不影响叉积。对 $\boldsymbol n=\widehat{\boldsymbol x}$ 选 $c_i=0$ ，得到 $A_i^a=\epsilon^{aij}x_j/(er^2)$ 。

直接缩并指标也可到达同一结果：把式（92.67）乘 $r x_j\epsilon^{jda}$ ，并用 $\epsilon^{jda}\epsilon^{abc}=\delta^{jb}\delta^{dc}-\delta^{jc}\delta^{db}$ ，便有

\epsilon^{dij}x_j+e(x^d x_jA_i^j-r^2A_i^d)=0. \tag{92.69}

取 $x_jA_i^j=0$ 后即得上述连接，它又自动满足这个条件。这是一个相容的选择，并不排除式（92.68）中的平行自由度。

将渐近解延拓到核心，取拟设

\varphi^a=vf(r)\widehat x_a,\qquad A_i^a=\frac{a(r)}{er}\epsilon^{aij}\widehat x_j,\qquad f(\infty)=a(\infty)=1 . \tag{92.70}

正则核心取 $f=O(r)$ 、 $a=O(r^2)$ ，配合相容的奇、偶展开，便使 $\varphi^a$ 在原点近似正比于 $x_a$ 、 $A_i^a$ 近似正比于 $\epsilon^{aij}x_j$ 。下面要把这个拟设实际代入场强，算出能量。

记 $A_i^a=\epsilon^{aij}K_j$ 。场强定义给出

B_i^a=\epsilon_{ijk}\partial_jA_k^a +\frac e2\epsilon_{ijk}\epsilon^{abc}A_j^bA_k^c . \tag{92.71}

线性项用 $\epsilon_{ijk}\epsilon^{akl} =\delta_{il}\delta_{ja}-\delta_{ia}\delta_{jl}$ 变为 $\partial_aK_i-\delta_{ai}\partial_jK_j$ 。二次项的缩并为

\begin{aligned} \frac12\epsilon_{ijk}\epsilon^{abc}\epsilon^{bjl}\epsilon^{ckm}K_lK_m &=\frac12\epsilon_{ijk} (\delta_{al}\epsilon^{jkm}-\delta_{aj}\epsilon^{lkm})K_lK_m\\ &=K_aK_i . \end{aligned} \tag{92.72}

第一项用 $\epsilon_{ijk}\epsilon^{jkm}=2\delta_{im}$ ；第二项与对称的 $K_lK_m$ 缩并为零。因此

B_i^a=\partial_aK_i-\delta_{ai}\partial_jK_j+eK_aK_i. \tag{92.73}

最后一项带着非阿贝尔场强中的耦合 $e$ ，与两个导数项具有相同量纲。

为继续计算，令 $K_i=b(r)x_i$ 、 $b=a/(er^2)$ ，并定义 $P_{ai}=\delta_{ai}-\widehat x_a\widehat x_i$ 、 $Q_{ai}=\widehat x_a\widehat x_i$ 。普通导数为 $\partial_aK_i=b\delta_{ai}+rb'Q_{ai}$ 、 $\partial_jK_j=3b+rb'$ 。于是横向和径向系数分别为 $-2b-rb'=-a_r/(er)$ 及 $-2b+eb^2r^2=-(2a-a^2)/(er^2)$ ，得到

\begin{aligned} B_i^a&=-\frac1e\left[\frac{a_r}{r}P_{ai} +\frac{2a-a^2}{r^2}Q_{ai}\right],\\ (D_i\varphi)^a&=v\left[\frac{(1-a)f}{r}P_{ai}+f_rQ_{ai}\right]. \end{aligned} \tag{92.74}

第二行的普通导数给 $v(fP/r+f_rQ)$ ，连接项减去 $vafP/r$ ，所以只改变横向部分。

现在所有平方都可由三个简单缩并求出：

P_{ai}P_{ai}=3-2+1=2,\qquad Q_{ai}Q_{ai}=1,\qquad P_{ai}Q_{ai}=0. \tag{92.75}

因此

\begin{aligned} \frac12B_i^aB_i^a &=\frac1{2e^2r^4}\left[2r^2a_r^2+(2a-a^2)^2\right],\\ \frac12(D_i\varphi)^a(D_i\varphi)^a &=\frac{v^2}{2r^2}\left[2(1-a)^2f^2+r^2f_r^2\right],\\ V&=\frac{\lambda v^4}{8}(f^2-1)^2 . \end{aligned} \tag{92.76}

横向有两个方向，径向只有一个方向，两个因子2由此出现。把三项相加再乘球面测度 $4\pi r^2dr$ ，就得到了径向能量泛函。

本模型中取 $\rho=evr=m_Wr$ 、 $\kappa=\lambda/e^2$ ，以撇号表示 $d/d\rho$ ，有

M=\frac{4\pi v}{e}\int_0^\infty d\rho\left[ a'^2+\frac{(2a-a^2)^2}{2\rho^2} +(1-a)^2f^2+\frac{\rho^2f'^2}{2} +\frac{\kappa\rho^2}{8}(f^2-1)^2\right]. \tag{92.77}

这里 $\rho$ 用于实三重态模型，等于物理矢量质量乘半径。对 $a$ 的无导数项求导，分别得到 $2(2a-a^2)(1-a)/\rho^2$ 和 $-2(1-a)f^2$ ；导数项给 $2a''$ 。对 $f$ ，导数项给 $(\rho^2f')'$ 。由Euler–Lagrange方程便得

\begin{aligned} a''&=(1-a)\left[\frac{2a-a^2}{\rho^2}-f^2\right],\\ f''+\frac{2f'}{\rho} -\frac{2(1-a)^2f}{\rho^2} +\frac{\kappa}{2}(1-f^2)f&=0 . \end{aligned} \tag{92.78}

它们与 $f(0)=a(0)=0$ 的正则支以及无穷远的单位边界共同决定轮廓。接下来无需先求出一般 $\kappa$ 下的解，就能得到它的质量下界。

磁单极子的质量界与长程作用

从完整三维静态能量出发，令 $s=\operatorname{sign}n$ ，

\frac12B_i^aB_i^a+\frac12(D_i\varphi)^a(D_i\varphi)^a =\frac12[B_i^a+s(D_i\varphi)^a]^2 -sB_i^a(D_i\varphi)^a . \tag{92.79}

余下的交叉项仍能化成边界项。把第70节的协变乘积法则用于 $B_i^a\varphi^a$ ，

\begin{aligned} \partial_i(B_i^a\varphi^a) &=(D_iB_i)^a\varphi^a+B_i^a(D_i\varphi)^a,\\ (D_iB_i)^a &=\frac12\epsilon_{ijk}(D_iF_{jk})^a=0 . \end{aligned} \tag{92.80}

第一行中两个连接项为 $e\epsilon^{abc}A_i^b(B_i^c\varphi^a+B_i^a\varphi^c)$ ，因 $a,c$ 交换而相消。第二行用比安基恒等式：三个循环导数项与 $\epsilon_{ijk}$ 缩并后相等，所以每项都为零。

因此 $\int B_i^a(D_i\varphi)^a=\oint dS_iB_i^a\varphi^a$ 。在具有本节有限能量渐近形式的外球面， $\varphi^a\to vn^a$ 、 $D_i\boldsymbol n$ 的贡献趋零，式（92.58）便给

\int d^3x\,B_i^a(D_i\varphi)^a =\lim_{r\to\infty}\oint dS_i\,B_i^a\varphi^a =v\Phi=-\frac{4\pi nv}{e}. \tag{92.81}

于是

\begin{aligned} M&=\frac{4\pi v|n|}{e} +\int d^3x\left\{\frac12[B_i^a+s(D_i\varphi)^a]^2+V(\varphi)\right\},\\ M&\ge\frac{4\pi v|n|}{e} =\frac{m_W}{\alpha}|n|,\qquad \alpha=\frac{e^2}{4\pi}. \end{aligned} \tag{92.82}

正度数的磁荷为负，所以平方中的加号给正的边界贡献。这个推导适用于各个平滑有限能量拓扑扇区，而不依赖 $n=1$ 的球对称拟设。在弱耦合 $\alpha\ll1$ 时，质量至少比 $m_W$ 大一个 $1/\alpha$ 因子；这里同样出现了基本激发与拓扑构型之间的尺度分离。

高磁荷构型能否裂变，还需要进一步的能量比较。下界本身只给 $M_n\ge C|n|$ ，而单个单位磁荷的质量也只知 $M_1\ge C$ ，因而还不能比较 $M_n$ 和 $|n|M_1$ 。先看可直接说明的长程力。两个相同磁荷相距 $R$ ，在核心尺度之外，磁能的交叉项是

V_{\mathrm{mag}}(R) =\int d^3x\,\boldsymbol{\mathcal B}_1\cdot\boldsymbol{\mathcal B}_2 =\frac{Q_M^2}{4\pi R}. \tag{92.83}

最后一步可令 $\boldsymbol{\mathcal B}_i=-\nabla\Psi_i$ 、 $-\nabla^2\Psi_i=Q_M\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol X_i)$ ，分部积分后取 $\Psi_1(\boldsymbol X_2)$ 。它为正，故同号磁荷相斥。Higgs径向振动质量为 $m_S=\sqrt\lambda v$ ；若用局部源 $J$ 描述其远场，静态二次能量为

\begin{aligned} E_h&=\frac12\int d^3x\,h(-\nabla^2+m_S^2)h-\int d^3x\,Jh,\\ h&=G_{m_S}J,\qquad E_h=-\frac12\int d^3x\,d^3y\,J(\boldsymbol x)G_{m_S}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)J(\boldsymbol y),\\ V_{\mathrm{scalar}}(R)&=-\frac{q_s^2}{4\pi R}e^{-m_SR}. \end{aligned} \tag{92.84}

这里 $G_m(R)=e^{-mR}/(4\pi R)$ ， $q_s$ 由核心匹配确定。平方完成后的负号说明同号标量源相吸； $\lambda>0$ 时这项指数衰减，而磁相互作用保留 $1/R$ ，所以大分离处的领头作用为排斥。BPS极限中标量也无质量，不能再按这个理由略去它。

已有数值研究对特定多单极子作了进一步比较。Kleihaus、Kunz 和 Tchrakian用反厄米矩阵 $\Phi=ih^a\sigma^a/2$ 及势 $\lambda_K(2\operatorname{Tr}\Phi^2+1)^2/16$ 。取 $h^a=\varphi^a/v$ 、无量纲坐标 $ev\boldsymbol x$ ，由 $2\operatorname{Tr}\Phi^2=-h^ah^a$ ，得到 $\lambda_K=2\lambda/e^2$ ，其能量乘 $v/e$ 才成为本节的 $M$ 。他们的轴对称计算在 $10^{-5}\le\lambda_K\le10^5$ 的取样范围内给出 $M_2/2>M_1$ ，并考察了小耦合的磁荷3。

这些数值结果支持上述长程排斥。推广到更高磁荷时，还要比较不同形状构型的能量；给定初态怎样分离则由完整的时间演化决定。

电弱真空与统一模型的区别

Georgi–Glashow模型的真空方向是二球面，允许刚才的非零度数；普通单Higgs双重态电弱模型的情形不同。在第87节的模型中，

\varphi^\dagger\varphi=\frac{v_{\mathrm{EW}}^2}{2}, \qquad \frac{\sqrt2\varphi}{v_{\mathrm{EW}}} =(z_1,z_2)\in\mathbb C^2,\qquad |z_1|^2+|z_2|^2=1 . \tag{92.85}

这是真空轨道 $S^3$ 。一个平滑的 $S^2\to S^3$ 映射可以收缩成常映射：紧致二球可用 $O(\varepsilon^{-2})$ 个直径 $\varepsilon$ 的小片覆盖，光滑映射在各片上具有有界导数，其像落在直径 $O(\varepsilon)$ 的三球小片内。像的三维体积因而至多为 $O(\varepsilon^{-2}\varepsilon^3)=O(\varepsilon)$ 。令 $\varepsilon\to0$ ，可知像没有覆盖整个 $S^3$ 。选一个未覆盖的点作立体投影，整个像就落在 $\mathbb R^3$ 中，以线性插值收缩到一点，再逆投影回来即可。连续映射与光滑代表之间的衔接与前面的逼近相同，故

\pi_2(S^3)=0 . \tag{92.86}

因此该真空轨道没有本节这种由Higgs二球度数保护的平滑单极子扇区。

这里还要固定规范群的全局定义。对固定的紧致 $U(1)$ ，周期已经规定了单值表示的荷格点，不能在同一个全局群中任意加入实数小电荷；改变场内容或群的全局定义，也是在改变模型。真空轨道的分析已经直接说明了上述两种模型的拓扑区别。

若把规范群扩大为单一非阿贝尔群，例如第97节的 $SU(5)$ ，破缺后又可能留下带非平凡二球拓扑的真空轨道。质量的量级仍由重矢量尺度除以耦合决定，

M_{\mathrm{monopole}}\sim\frac{m_X}{\alpha}. \tag{92.87}

若以 $m_X\sim10^{15}\,\mathrm{GeV}$ 作为假设的统一尺度，这个估计说明了单极子为何极重。第97节将给出具体的场内容与破缺结构。

求出BPS单极子的闭式解

回到实三重态模型，令 $\lambda=0$ ，并把 $|\varphi|\to v$ 保留为无穷远的边界条件。势不再选择 $v$ ，但这个固定边界的经典问题仍然成立。若能令式（92.82）中的平方也为零，就达到质量下界。对 $n=1$ ，饱和条件为 $B_i^a=-(D_i\varphi)^a$ 。分别比较式（92.74）中的 $P_{ai}$ 和 $Q_{ai}$ ，得到

a'=(1-a)f,\qquad f'=\frac{2a-a^2}{\rho^2},\qquad \rho=evr . \tag{92.88}

第一式来自 $a_r/(er)=v(1-a)f/r$ ，第二式来自 $(2a-a^2)/(er^2)=vf_r$ 。

为了真正解出这个系统，令 $w=1-a$ 。由 $w'=-wf$ 及 $w(0)=1$ ，在任意有限的正则区间中都有 $w=\exp[-\int_0^\rho f(s)ds]>0$ ，因而可以取 $w=\rho/u$ 。于是

f=\frac{u'}u-\frac1\rho,\qquad f'=\frac{u''u-u'^2}{u^2}+\frac1{\rho^2}. \tag{92.89}

第二个一阶方程又要求 $f'=1/\rho^2-1/u^2$ ，所以

uu''-u'^2=-1,\qquad \frac{d}{d\rho}\left(\frac{u'^2-1}{u^2}\right) =\frac{2u'}{u^3}(uu''-u'^2+1)=0. \tag{92.90}

因此 $u'^2=1+c u^2$ ，其中 $c$ 是积分常数。正则核心 $w(0)=1$ 要求 $u(0)=0,u'(0)=1$ 。若 $c=k^2>0$ ，分离变量给 $\operatorname{arsinh}(ku)/k=\rho$ ，即 $u=\sinh(k\rho)/k$ ；于是 $f(\infty)=k$ ，单位边界固定 $k=1$ 。 $c=0$ 给 $u=\rho$ 、 $f=0$ ，不满足远边界； $c<0$ 给正弦解，会再次经过零，不能提供全正半轴的正则轮廓。故

a(\rho)=1-\frac{\rho}{\sinh\rho},\qquad f(\rho)=\coth\rho-\frac1\rho . \tag{92.91}

这就是Bogomolny–Prasad–Sommerfeld解，简称BPS解；达到相应Bogomolny界的孤子称为BPS孤子。

两端边界也可直接检验。由 $\sinh\rho=\rho+\rho^3/6+\rho^5/120+\cdots$ 和 $\cosh\rho=1+\rho^2/2+\rho^4/24+\cdots$ ，

\begin{aligned} a&=\frac{\rho^2}{6}-\frac{7\rho^4}{360}+O(\rho^6),& f&=\frac{\rho}{3}-\frac{\rho^3}{45}+O(\rho^5),\qquad \rho\to0,\\ 1-a&=2\rho e^{-\rho}[1+O(e^{-2\rho})],& f&=1-\frac1\rho+2e^{-2\rho}+O(e^{-4\rho}),\qquad \rho\to\infty . \end{aligned} \tag{92.92}

核心具有所需的正则幂次；远处标量的 $1/\rho$ 尾对应 $\lambda=0$ 时的无质量径向场，其梯度平方仍按 $r^{-4}$ 衰减，三维总能量有限。继续对式（92.88）求导，

\begin{aligned} a''&=-(1-a)f^2+(1-a)\frac{2a-a^2}{\rho^2},\\ f''+\frac{2f'}{\rho} &=\frac{2(1-a)a'}{\rho^2} =\frac{2(1-a)^2f}{\rho^2}, \end{aligned} \tag{92.93}

便恢复 $\kappa=0$ 的两个二阶方程。

最后把能量积分也求完。临界时，将一阶关系代入式（92.77）的密度，得到

\begin{aligned} \mathcal I(\rho) &=2(1-a)^2f^2+\frac{(2a-a^2)^2}{\rho^2}\\ &=\frac{d}{d\rho}\bigl[f(2a-a^2)\bigr],\\ M(\rho\le R) &=\frac{4\pi v}{e}\,f(R)[2a(R)-a(R)^2],\\ M&=\frac{4\pi v}{e}. \end{aligned} \tag{92.94}

求导时第一项给 $f'(2a-a^2)=(2a-a^2)^2/\rho^2$ ，第二项给 $2f(1-a)a'=2(1-a)^2f^2$ ；下端边界为零，上端趋1。这个结果既显示质量界被饱和，也给数值计算一个带有限半径边界的检验式。注意 $f(R)=1-1/R+O(e^{-2R})$ ，故尚在半径 $R$ 之外的能量占总量 $1/R+O(R^2e^{-2R})$ 。例如无量纲半径40内只含97.5%的总能量，积分时不能把剩下的长程尾部当作指数小量。

本节从同一思路得到了三种不同的构型：真空边界要求场在核心发生变化，能量配方则把一部分能量变成边界量。规范涡旋把圆的缠绕数变成磁通，实三重态单极子把二球度数变成磁荷。它们的具体质量、大小与相互作用仍由动力学决定；拓扑首先固定的是不能在保持远边界时连续改变的整数。

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