Srednicki §68 量子电动力学中的沃德恒等式 II

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上一节把光子的纵向偏振换成流的散度，再利用外腿的在壳条件证明振幅不变。现在保留两条电子腿的离壳动量。流的散度仍然只给接触项，但这些接触项不再被 LSZ留数消去，而是留下两个精确传播子的差。截去外腿以后，这个差就把电磁顶角同电子的逆传播子联系起来。由此可以说明，前面一圈计算中遇到的 $Z_1=Z_2$ 如何在更高阶继续成立，以及这一关系与电荷的定义有什么联系。

先讨论一个狄拉克场，随后转向标量电动力学。仍用 $(-,+,+,+)$ 和 $e<0$ ，本节的动量改取电子以 $p$ 入射、以 $p'$ 出射，光子入动量为 $k=p'-p$ 。各核先在一般离壳的解析域中比较，再取共同的费曼边界。维数调节时按本节约定恢复公共工程因子；下面先用四维记号写出恒等式的结构。

流的散度怎样给出传播子之差

沿用上一节的流归一，记

j^\mu=e\bar\Psi\gamma^\mu\Psi,\qquad J^\mu=Z_2j^\mu,\qquad \mathfrak e=e\,\frac{Z_1}{Z_2}. \tag{68.1}

$J^\mu$ 是以电荷 $e$ 作局域测试相位时得到的诺特流，而麦克斯韦方程的源为 $Z_1j^\mu$ 。暂用 $\mathfrak e$ 保留两种归一之间的比值，就可以在尚未证明 $Z_1=Z_2$ 时进行计算。定义含一个流插入的关联函数：

\begin{aligned} C^\mu_{\alpha\beta}(k,p',p) ={}&iZ_1\int d^4x\,d^4y\,d^4z\, e^{ikx-ip'y+ipz}\\ &\qquad\times \langle0|Tj^\mu(x)\Psi_\alpha(y)\bar\Psi_\beta(z)|0\rangle_c . \end{aligned} \tag{68.2}

下标 $c$ 表示连通部分；在平移及洛伦兹不变的真空中，一点电流为零，真空气泡也已由真空归一除掉。这一定义显式带 $iZ_1$ ，与上一节给每个傅里叶场另乘 $i$ 的写法应分开。在图上， $iZ_1j^\mu$ 具有一个光子顶角的费米场结构。如果流插入直接位于连接两条外电子腿的不可约部分中，便产生通常的1PI顶角；它还可能先位于一个闭费米部分中，经光子线连接到外电子。后面截腿时需要把这两类图一起考虑。

先计算 $k_\mu C^\mu$ 。暂将式（68.2）中的坐标空间关联函数记作 $G^\mu_{\alpha\beta}(x;y,z)$ 。由 $ik_\mu e^{ikx}=\partial_\mu e^{ikx}$ ，对 $x$ 分部积分，得到

\begin{aligned} k_\mu C^\mu_{\alpha\beta} ={}&Z_1\int d^4x\,d^4y\,d^4z\, [\partial_\mu e^{ikx-ip'y+ipz}] G^\mu_{\alpha\beta}(x;y,z)\\ ={}&-Z_1\int d^4x\,d^4y\,d^4z\, e^{ikx-ip'y+ipz} \partial_\mu G^\mu_{\alpha\beta}(x;y,z). \end{aligned} \tag{68.3}

可先对动量用光滑波包作涂抹，使表面项消失，再将结果理解为动量空间的分布恒等式。定义中的 $Z_1$ 始终保留，并将在两个端点接触项中与 $Z_2$ 组合成式（68.1）的比值。

所需的量子流恒等式已在上一节的局域变元推导中得到。把无穷小偶参数提出，令 $\delta\Phi_a=R_a$ 表示其系数，则它写成

\begin{aligned} &-\partial_\mu\langle TJ^\mu(x)\Phi_1(x_1)\cdots\Phi_n(x_n)\rangle\\ &\quad=i\sum_a\delta^4(x-x_a) \langle T\Phi_1\cdots R_a(x_a)\cdots\Phi_n\rangle . \end{aligned} \tag{68.4}

这里使用同一个保持矢量相位的调节、测度和复合插入处方。局域变换的雅可比行列式及接触项的推导可直接复用；本节新的工作是把两个带电端点代入，并完成其傅里叶积分。

对于有序拉格朗日量 $iZ_2\bar\Psi\gamma^\mu\partial_\mu\Psi-Z_m m\bar\Psi\Psi +eZ_1A_\mu\bar\Psi\gamma^\mu\Psi$ ，有

\begin{aligned} R_\Psi&=-ie\Psi,\qquad R_{\bar\Psi}=+ie\bar\Psi,\\ \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\Psi)} &=iZ_2\bar\Psi\gamma^\mu,\qquad \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\bar\Psi)}=0,\\ J^\mu &=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\Psi)}R_\Psi =eZ_2\bar\Psi\gamma^\mu\Psi. \end{aligned} \tag{68.5}

诺特流在这里无需加表面改变量，因为常参数相位使拉氏量严格不变。对两个端点分别使用式（68.4）， $iR_\Psi=+e\Psi$ ， $iR_{\bar\Psi}=-e\bar\Psi$ ，于是

\begin{aligned} &-Z_2\partial_\mu \langle Tj^\mu(x)\Psi_\alpha(y)\bar\Psi_\beta(z)\rangle_c\\ &\quad=e[\delta^4(x-y)-\delta^4(x-z)] \langle T\Psi_\alpha(y)\bar\Psi_\beta(z)\rangle . \end{aligned} \tag{68.6}

两个奇场始终保持 $\Psi\bar\Psi$ 的次序；局域相位参数是偶数，此处变分不交换外场，因而不再产生额外的费米号。

精确二点函数的归一沿第42、62节：

\begin{aligned} \langle T\Psi_\alpha(y)\bar\Psi_\beta(z)\rangle &=\frac1i\int\frac{d^4r}{(2\pi)^4} e^{ir(y-z)}\widetilde S(r)_{\alpha\beta},\\ K(p)&:=\widetilde S(p)^{-1} =\slashed p+m-\Sigma(\slashed p). \end{aligned} \tag{68.7}

$K$ 是旋量矩阵；实际费曼内线为 $\widetilde S/i$ 。现在分别评价式（68.6）中的两个接触项。用 $I_y,I_z$ 表示把共同指数和二点函数分别乘上 $\delta^4(x-y)$ 、 $\delta^4(x-z)$ 后对三个坐标的积分，并记 $D_c=(2\pi)^4\delta^4(k+p-p')$ 。先令 $x=y$ ，两个剩余坐标积分给

\begin{aligned} I_y &=\frac1i\int\frac{d^4r}{(2\pi)^4}\widetilde S(r) \int d^4y\,e^{i(k-p'+r)y} \int d^4z\,e^{i(p-r)z}\\ &=\frac1i\int\frac{d^4r}{(2\pi)^4}\widetilde S(r) (2\pi)^4\delta^4(k-p'+r)(2\pi)^4\delta^4(p-r)\\ &=-iD_c\,\widetilde S(p). \end{aligned} \tag{68.8}

$z$ 积分固定 $r=p$ ，另一个δ函数便成为总动量守恒。对 $x=z$ 的接触项，同样得到

\begin{aligned} I_z &=\frac1i\int\frac{d^4r}{(2\pi)^4}\widetilde S(r) \int d^4y\,e^{i(r-p')y} \int d^4z\,e^{i(p+k-r)z}\\ &=-iD_c\,\widetilde S(p'). \end{aligned} \tag{68.9}

这次由 $y$ 积分固定 $r=p'$ 。所以两个端点的相反电荷，恰好变成两个不同动量传播子的差：

k_\mu C^\mu =\mathfrak e(I_y-I_z) =-iD_c\,\mathfrak e[\widetilde S(p)-\widetilde S(p')] . \tag{68.10}

其中的整体 $-i$ 来自二点函数的 $1/i$ ；差的次序由两个接触位置决定。

从完整流三点到不可约顶角

为了从式（68.10）中取出顶角，先截去两条外电子传播子。以 $iV^\mu$ 表示精确1PI光子—电子—电子顶角，其直接贡献中的三个因子为

\frac{\widetilde S(p')}{i}\,iV^\mu(p',p)\, \frac{\widetilde S(p)}{i} =-i\widetilde S(p')V^\mu(p',p)\widetilde S(p). \tag{68.11}

流所在的闭费米圈也能通过光子线接到一个电子顶角上。这类贡献从 $e^3$ 阶开始；切开连接两部分的光子线，流插入便与两条外电子腿分离，因此它不属于 $V^\mu$ 。完整关联函数必须把它包括进来。

所需的图分解可由流二点函数建立。先在受调节的裸理论中记 $j_B^\mu=e_B\bar\Psi_B\gamma^\mu\Psi_B$ ， $\Delta_{0B}/i$ 为自由光子线， $i\Pi_B$ 为光子的完整1PI物质二点块。把两个流之间所有可切断的单光子桥依次切开，就得到一串这样的块。其端点有标签，先后次序已经固定，不再除以链长的阶乘。每个光子顶角对应 $ij_B$ ；换成两个 $j_B$ 插入时，图值须除以 $i^2$ 。一个不可约块给 $(i\Pi_B)/i^2=\Pi_B/i$ ，两个块给 $(i\Pi_B)(\Delta_{0B}/i)(i\Pi_B)/i^2=\Pi_B\Delta_{0B}\Pi_B/i$ 。因而乘回流二点定义前面的 $i$ ，得到

\begin{aligned} \mathcal H_B^{\mu\nu}(k) &:=i\int d^4x\,e^{-ikx} \langle Tj_B^\mu(x)j_B^\nu(0)\rangle_c,\\ \mathcal H_B &=\Pi_B+\Pi_B\Delta_{0B}\Pi_B +\Pi_B\Delta_{0B}\Pi_B\Delta_{0B}\Pi_B+\cdots\\ &=\Pi_B(1-\Delta_{0B}\Pi_B)^{-1}. \end{aligned} \tag{68.12}

矩阵乘法包含相邻洛伦兹指标的缩并。此处的逆按耦合的形式级数定义：括号从单位矩阵开始，因而可以逐阶求逆。若把完整光子核 $\Delta_B$ 放入中间，同一和只有 $\Pi_B+\Pi_B\Delta_B\Pi_B$ ； $\Delta_B$ 内部已经包含任意多个中间自能块。

另一个流在局域偶相位下的变分为零，因为 $\bar\Psi_B$ 与 $\Psi_B$ 的相反相位在同点相消：

\begin{aligned} \delta j_B^\nu &=e_B[(ie_B\bar\Psi_B)\gamma^\nu\Psi_B +\bar\Psi_B\gamma^\nu(-ie_B\Psi_B)]=0,\\ k_\mu\mathcal H_B^{\mu\nu}&=0,\\ k_\mu\Pi_B^{\mu\nu} &=[k_\mu\mathcal H_B^{\mu\rho}] (1-\Delta_{0B}\Pi_B)_\rho{}^\nu=0. \end{aligned} \tag{68.13}

第二行是将式（68.4）应用于第二个流插入后的结果；同点流乘积沿同一矢量外源的导数定义，保留使沃德式成立的局部接触减除。第三行再使用式（68.12）。这样先证明完整流核横向，再从它推出不可约块横向，没有预先使用所要证明的光子自能性质。

为了回到重整化场，使用第66节的裸量关系。它们给出

\begin{aligned} \Psi_B&=\sqrt{Z_2}\Psi,& A_B&=\sqrt{Z_3}A,& e_B&=\frac{eZ_1}{Z_2\sqrt{Z_3}},\\ Z_1j^\mu&=\sqrt{Z_3}\,j_B^\mu,& P_J^{\mu\nu}&:=Z_3\Pi_B^{\mu\nu},& k_\mu P_J^{\mu\nu}&=0 . \end{aligned} \tag{68.14}

第一行按四维记号书写；在 $d$ 维同时恢复 $e_B$ 的工程因子。 $P_J$ 是把一个光子顶角换成 $iZ_1j^\mu$ 插入后得到的不可约二点块。它与第62节包含麦克斯韦局部反项的自能相差

\Pi_{\rm R}^{\mu\nu} =P_J^{\mu\nu}-(Z_3-1)(k^2g^{\mu\nu}-k^\mu k^\nu). \tag{68.15}

局部项本身横向，因此两种分拆有同一横向性质。这一区别也固定了流乘积的局部部分；不能在几何链中只换一个核的名字，而不同时换算其场归一和接触项。

现在从流端沿第一条光子桥分类。桥左边给 $P_J$ ，桥中是完整重整化光子传播子 $\widetilde\Delta/i$ ，桥右边是 $iV$ ；外侧仍接精确电子传播子。由各顶角及内线的 $i$ 相乘，与式（68.11）相同地得到

\begin{aligned} C^\mu &=-iD_c\,\widetilde S(p') \left[V^\mu+ P_J^{\mu\rho}\widetilde\Delta_{\rho\sigma}V^\sigma\right] \widetilde S(p),\\ k_\mu C^\mu &=-iD_c\,\widetilde S(p')\,k_\mu V^\mu\,\widetilde S(p). \end{aligned} \tag{68.16}

第一行中所有核采用同一调节和相同的参数，光子二点链已经包含在 $\widetilde\Delta$ 中。第二行用 $k_\mu P_J^{\mu\rho}=0$ 消去可约部分。因此，完整流三点函数必须包含光子可约项；收缩流端动量后，这些项才由横向性消失，留下精确1PI顶角。

将式（68.16）与式（68.10）比较，提出共同的 $-iD_c$ ，得到

\widetilde S(p')\,k_\mu V^\mu(p',p)\,\widetilde S(p) =\mathfrak e[\widetilde S(p)-\widetilde S(p')] . \tag{68.17}

在离壳的可逆域中，先从左乘 $K(p')$ ，再从右乘 $K(p)$ 。每个逆核只消去与它相邻的同动量传播子：

\begin{aligned} K(p')[\widetilde S(p')\,k_\mu V^\mu\,\widetilde S(p)]K(p) &=k_\mu V^\mu,\\ K(p')[\widetilde S(p)-\widetilde S(p')]K(p) &=K(p')-K(p). \end{aligned} \tag{68.18}

这里没有交换旋量矩阵的次序。于是得到精确沃德恒等式：

(p'-p)_\mu V^\mu(p',p) =\frac{Z_1}{Z_2}e [\widetilde S(p')^{-1}-\widetilde S(p)^{-1}] . \tag{68.19}

两边的质量量纲都是1，顶角无量纲而逆传播子具有质量维数1。保留局部反项的最低阶式也直接符合这一差序： $K_{\rm loc}=Z_2\slashed p+Z_m m$ ， $V_{\rm loc}^\mu=eZ_1\gamma^\mu$ ，两逆核之差中的质量项消失，右边恰为 $eZ_1\slashed k$ 。下文的一圈比较将把自能和顶角的有限部分一起保留。

两种重整化条件为何给出同一关系

式（68.19）先给出了 $Z_1/Z_2$ 的有限性。为看清它的含义，可在非例外离壳点选一个非零的旋量矩阵分量，或对两边取同一个线性投影。选取使逆核差的树项不为零的投影后，右边这个矩阵差作为形式级数可除，因而

\frac{Z_1}{Z_2} =\frac{\mathcal P[k_\mu V^\mu]} {e\,\mathcal P[K(p')-K(p)]}. \tag{68.20}

$\mathcal P$ 只表示所选矩阵分量或其线性组合。在去掉UV调节后，分子与分母都是已经重整化的有限量，所以比值没有UV极点。这里取离壳点并固定共同的红外处方，使这个判断只涉及紫外减除。

在 $\overline{\mathrm{MS}}$ 方案中， $Z_i$ 是单位项加纯极部。以单狄拉克场的电荷展开为例，

Z_i=1+\sum_{n\ge1}e^{2n}\sum_{r=1}^{n} \frac{z_{i,nr}}{\varepsilon^r},\qquad \frac{Z_1}{Z_2} =1+\sum_{n\ge1}e^{2n}\sum_{r\ge1} \frac{a_{nr}}{\varepsilon^r}. \tag{68.21}

每个固定圈阶只有有限多个负幂。展开 $Z_2^{-1}$ 时，单位项以外的每一项至少含一个负幂，因此乘上 $Z_1$ 后仍没有独立的有限常数修正。又由于式（68.20）证明整个比值有限，每个 $a_{nr}$ 只能为零。于是逐阶有

Z_1=Z_2\qquad \text{在相同的 }\overline{\mathrm{MS}}\text{ 电荷和场定义下}. \tag{68.22}

有限性与纯极部结构共同固定这一比值。若再作有限的电荷或场参数变换，式（68.19）中的系数也须相应换算。

在OS方案中， $Z_i$ 还含有限部分，需使用物理归一条件。此时 $m$ 指极点质量。先保留共同红外调节，使质量壳与软顶角附近可以取导数，并在两电子腿尚未在壳时令 $p'=p+k$ 。展开式（68.19）到 $k$ 的一次项，有

\begin{aligned} k_\mu V^\mu(p+k,p) &=\mathfrak e\,k_\mu\frac{\partial K(p)}{\partial p_\mu}+O(k^2),\\ V^\mu(p,p)&=\mathfrak e\,\frac{\partial K(p)}{\partial p_\mu}. \end{aligned} \tag{68.23}

第二行来自任意小 $k$ 方向上的一次系数相等。如果一开始就把两外腿取在壳并令 $k=0$ ，原差分式只剩 $0=0$ ，所以取导数必须在这一步之前完成。

现在把单位极点留数怎样进入导数写明。在宇称不变真空中，逆核可由两个标量函数 $A(s),B(s)$ 表示，其中 $s=p^2$ 。用 $\slashed p^{\,2}=-s$ 求逆，并令下标0表示 $s=-m^2$ ，有

\begin{aligned} K(p)&=A(s)\slashed p+B(s),\\ \widetilde S(p)&=\frac{-A(s)\slashed p+B(s)}{F(s)}, \qquad F(s)=sA(s)^2+B(s)^2,\\ B_0&=mA_0,\qquad F'_0=A_0[A_0+2m(B'_0-mA'_0)],\\ r_0&=\frac{A_0}{F'_0} =\frac1{A_0+2m(B'_0-mA'_0)}=1 . \end{aligned} \tag{68.24}

第三行前式来自 $K(p)u(p)=0$ ；后式对 $F$ 直接求导，再代入 $B_0=mA_0$ 。极点附近，分子成为 $A_0(-\slashed p+m)$ ，分母成为 $F'_0(s+m^2)$ ，所以最后一行的 $r_0$ 正是与自由分子相比的留数。 OS条件将它规定为1。这里 $A_0$ 从微扰的单位值展开，所作约分成立。这与第62节的 $\Sigma(-m)=0$ 、 $\Sigma'(-m)=0$ 给出同一归一。单位留数约束的是逆核在物理支附近的一次展开，传播子本身仍具有上式所示的极点。

对于相同的外动量，克利福德关系和两端在壳方程给 $\bar u\{\gamma^\mu,\slashed p\}u=-2p^\mu\bar uu =-2m\bar u\gamma^\mu u$ ，即 $p^\mu\bar uu=m\bar u\gamma^\mu u$ 。先按乘积法则求导，再使用这一关系，得到

\begin{aligned} \frac{\partial K}{\partial p_\mu} &=A\gamma^\mu+2p^\mu(A'\slashed p+B'),\\ \bar u\frac{\partial K}{\partial p_\mu}u &=[A_0+2m(B'_0-mA'_0)]\,\bar u\gamma^\mu u\\ &=\bar u\gamma^\mu u . \end{aligned} \tag{68.25}

第二行中先用 $\slashed p\,u=-mu$ 消去一次斜杠，第三行再用式（68.24）的单位留数。因此式（68.23）在物理旋量之间成为

\bar u V^\mu(p,p)u =\mathfrak e\,\bar u\frac{\partial K}{\partial p_\mu}u =\mathfrak e\,\bar u\gamma^\mu u. \tag{68.26}

第63节的物理电荷条件 $F_1(0)=1$ 则规定同一个矩阵元为 $e\bar u\gamma^\mu u$ 。取其非零分量比较，就有

\mathfrak e=e,\qquad Z_1=Z_2\qquad\text{在OS方案中}. \tag{68.27}

这里用到的是零转移的物理投影。第63节的泡利项正比于转移动量，在这一点不参与归一；它在非零转移和磁矩响应中仍然存在。两个 $Z$ 在去掉红外调节时可以含相同的奇性，上述证明始终按同一调节下的恒等式取极限。

协变导数与标量理论

当 $Z_1=Z_2$ 时，拉格朗日量的动能项与电磁相互作用项可以合为

\begin{aligned} iZ_2\bar\Psi\slashed\partial\Psi +eZ_1\bar\Psi\slashed A\Psi &=iZ_2\bar\Psi\slashed D\Psi,\\ D_\mu&=\partial_\mu-ieA_\mu . \end{aligned} \tag{68.28}

同一个系数同时乘在普通导数与电磁势上。这使动能的重整化仍保留第58节协变导数的结构。从这里也能理解为什么电子场归一与顶角归一不能各自任意改变：普通导数对局域相位产生的附加项，需要电磁势的变换以完全相同的系数抵消。

不过，量子计算使用的路径积分已经固定了规范。应说明经典作用量的这一结构怎样传递到量子核。第63节已经保留费米源次序推导了这一步：将规范固定和所用二次红外项记为 $S_{\rm br}$ ，作联合变换 $A\mapsto A-\partial\chi$ 、 $\Psi\mapsto e^{-i\mathfrak e\chi}\Psi$ 及伴随变换。矢量相位的两个贝雷津雅可比行列式相消，而 $\delta S_{\rm br}$ 对场是线性的，取期望值即可换成平均场。因此源变元恒等式经勒让德变换给

\delta\Gamma=\delta S_{\rm br},\qquad \widehat\Gamma:=\Gamma-S_{\rm br},\qquad \delta\widehat\Gamma=0. \tag{68.29}

在 $Z_1,Z_2$ 尚未相等时，这里应取 $\mathfrak e=eZ_1/Z_2$ ；它恰好使含反项的狄拉克动能与电磁项相容。从 $\widehat\Gamma$ 抽出一对费米平均场得到的逆核，因而满足

\begin{aligned} \widehat\Gamma\big|_{\bar\psi\psi} &=-\int d^4y\,d^4z\,\bar\psi(y)\mathcal K[A](y,z)\psi(z),\\ \mathcal K[A-\partial\chi](y,z) &=e^{-i\mathfrak e\chi(y)} \mathcal K[A](y,z)e^{+i\mathfrak e\chi(z)} . \end{aligned} \tag{68.30}

把核的一次背景项写成 $-V^\mu A_\mu$ ，并用 $\delta A_\mu(k)=-ik_\mu\chi(k)$ ，左边给 $ik_\mu V^\mu\chi$ 。右边的出端相位给 $-i\mathfrak e K(p)\chi$ ，入端相位给 $+i\mathfrak e K(p')\chi$ ，又得到式（68.19）。这个核推导与前面的流三点推导具有同一量子起点，同时说明规范固定的已知变分应放在哪里。

最后转向标量电动力学。先写出流与逆核的关系，再展开双光子顶角的纵向收缩。沿第61节的电荷约定， $J^\mu=-ieZ_2\varphi^\dagger\overleftrightarrow{\partial^\mu}\varphi -2e^2Z_1A^\mu\varphi^\dagger\varphi$ 。其中含 $A^\mu$ 的部分与双光子顶角一起保留。在第65节的规范相容条件 $Z_4=Z_1^2/Z_2$ 下，光子源仍为 $(Z_1/Z_2)J^\mu$ ，联合相位系数仍是 $\mathfrak e$ 。对标量逆核应用式（68.30）的同类变换，给

\begin{aligned} K_\varphi(p^2)&=\widetilde\Delta(p)^{-1} =p^2+m^2-\Pi_\varphi(p^2),\\ (p'-p)_\mu V_3^\mu(p',p) &=\mathfrak e[K_\varphi(p'^2)-K_\varphi(p^2)]. \end{aligned} \tag{68.31}

标量三点顶角的质量量纲为1，所以这里两边的质量量纲都是2。离壳有限性与纯极部减除再次给出MS方案中的 $Z_1/Z_2=1$ 。 OS方案则先在离壳关系中对 $p'-p$ 求一次系数，再取质量壳：

V_3^\mu(p,p)=2\mathfrak e p^\mu K_\varphi'(p^2) \ \xrightarrow[\ K_\varphi'(-m^2)=1\ ]{p^2=-m^2}\ 2\mathfrak e p^\mu=2ep^\mu . \tag{68.32}

最后一个等号是同一光子归一及单位标量留数下的物理电荷条件。于是两种方案都给 $\mathfrak e=e$ ；再用三点与双光子耦合的相容关系，得到标量理论的重整化关系：

Z_1=Z_2,\qquad Z_4=\frac{Z_1^2}{Z_2}=Z_2 . \tag{68.33}

再对背景光子取一次系数，就能把双光子顶角的纵向收缩写成两个移位三点顶角之差。同一局域电荷也约束标量的四点接触项。这些关系给出了后续圈计算必须满足的结构条件；有限转移处的形状因子仍须由相应图的计算确定。

一圈顶角与自能的完整差分

取光子入动量 $k=p'-p$ 。第62节的自由费米核记作 $S_{\rm f}$ ，逆核为 $K_{\rm f}(r)=\slashed r+m$ 。在内部传播子无极点的复动量域，有

\begin{aligned} S'&=S_{\rm f}(p'+\ell),\qquad S=S_{\rm f}(p+\ell),\\ \slashed k&=(S')^{-1}-S^{-1},\\ S'\slashed kS &=S'\bigl[(S')^{-1}-S^{-1}\bigr]S=S-S'. \end{aligned} \tag{68.34}

这里始终保留从出电子端到入电子端的矩阵次序。比较完成后取共同的费曼边界；光子红外调节也在两个积分中保持相同。

为显示整体 $i$ 和有限部分的关系，写出两种未加反项的圈图。沿 $d=4-\varepsilon$ 并提出外顶角公共的 $\widetilde\mu^{\varepsilon/2}$ ，记 $\int_\ell=\int d^d\ell/(2\pi)^d$ ，它们是

\begin{aligned} i\Sigma_{\rm loop}(p) &=e^2\widetilde\mu^\varepsilon\int_\ell \gamma^\rho S_{\rm f}(p+\ell)\gamma^\nu \Delta_{{\rm f},\nu\rho}(\ell),\\ iV_{\rm loop}^\mu(p',p) &=e^3\widetilde\mu^\varepsilon\int_\ell \gamma^\rho S_{\rm f}(p'+\ell)\gamma^\mu S_{\rm f}(p+\ell)\gamma^\nu \Delta_{{\rm f},\nu\rho}(\ell). \end{aligned} \tag{68.35}

自能中两个顶角与两条内线给 $(ie)^2(1/i)^2=e^2$ ；顶角图中三个顶角与三条内线给 $(ie)^3(1/i)^3=e^3$ 。两式都沿第62节的内线规则，因而可以直接比较。将式（68.34）放入第二个积分，其余两端矩阵、光子核、测度全部相同，因此

k_\mu V_{\rm loop}^\mu(p',p) =e\,[\Sigma_{\rm loop}(p)-\Sigma_{\rm loop}(p')] . \tag{68.36}

两项保持同一个圈动量路由，因此恒等式对整个调节积分成立，包含极部及有限部分。

现在加入任意指定方案的局部反项：

\begin{aligned} \Sigma_{\rm R}(p) &=\Sigma_{\rm loop}(p)-\delta Z_2\slashed p-\delta Z_m m+O(e^4),\\ K_{\rm R}(p)\equiv\widetilde S_{\rm R}(p)^{-1} &=\slashed p+m-\Sigma_{\rm R}(p),\\ V_{\rm R}^\mu(p',p) &=e(1+\delta Z_1)\gamma^\mu+V_{\rm loop}^\mu(p',p)+O(e^5). \end{aligned} \tag{68.37}

质量反项在 $K_{\rm R}(p')-K_{\rm R}(p)$ 中相减为零，动能反项则留下 $\delta Z_2\slashed k$ 。用上面的圈恒等式逐项相减，得到

\begin{aligned} k_\mu V_{\rm R}^\mu -e[K_{\rm R}(p')-K_{\rm R}(p)] &=e(\delta Z_1-\delta Z_2)\slashed k+O(e^5)\\ &=0+O(e^5),\qquad \delta Z_1=\delta Z_2 . \end{aligned} \tag{68.38}

这就是 $Z_1=Z_2$ 时精确关系（68.19）的一圈展开。条件要求两个反项连同有限部分相等。有限重定义也要保持这个相等关系。证明没有要求外电子在壳，所以适用于一般离壳 $p,p'$ 。

零转移动量也应从这个离壳差分取极限。保持红外调节，令 $p'=p+k$ 并比较 $k$ 的一次系数，可得

\begin{aligned} V_{{\rm loop}}^\mu(p,p) &=-e\,\frac{\partial\Sigma_{\rm loop}(p)}{\partial p_\mu},\\ V_{\rm R}^\mu(p,p) &=e\,\frac{\partial K_{\rm R}(p)}{\partial p_\mu}+O(e^5). \end{aligned} \tag{68.39}

一次系数保留了零转移顶角的信息。

标量流的两个端点与双光子顶角

第67节已经从局域相位求出含 $A^\mu$ 的标量诺特流。把局域变元用于标量流三点函数，两个标量插入分别带电荷 $e$ 和 $-e$ ，故

-\partial_{x\mu} \langle{\rm T}J^\mu(x)\varphi(y)\varphi^\dagger(z)\rangle =e[\delta^4(x-y)-\delta^4(x-z)] \langle{\rm T}\varphi(y)\varphi^\dagger(z)\rangle . \tag{68.40}

为看到傅里叶变换的次序，定义

\begin{aligned} \mathcal C^\mu(k;p',p) &=i\frac{Z_1}{Z_2}\int d^4x\,d^4y\,d^4z\, e^{ikx-ip'y+ipz}\\ &\qquad\times \langle{\rm T}J^\mu(x)\varphi(y)\varphi^\dagger(z)\rangle_c,\\ k_\mu\mathcal C^\mu &=-i\mathfrak e\,(2\pi)^4\delta^4(k+p-p') \bigl[\widetilde\Delta(p)-\widetilde\Delta(p')\bigr]. \end{aligned} \tag{68.41}

这里 $\mathfrak e:=eZ_1/Z_2$ 。分部积分把左侧的 $-\partial_x$ 变为 $+ik$ ；右侧 $x=y$ 的接触项留下动量 $p$ 的二点函数， $x=z$ 的接触项留下动量 $p'$ 的二点函数。再用 $\langle{\rm T}\varphi\varphi^\dagger\rangle$ 的动量核 $\widetilde\Delta/i$ ，便得到第二行。

完整流三点还含光子可约部分；勒让德变换从量子作用量中取出1PI核，将同一个局域变元恒等式变为式（68.31）。这一标量源推导见第65节。

再加入第四个插入 $A^\nu(w)$ 。在只改变带电标量的局域变元中， $A^\nu$ 不变，所以流沃德恒等式仍只有两个带电端点的接触项：

\begin{aligned} -\partial_{x\mu} \langle{\rm T}J^\mu(x)A^\nu(w) \varphi(y)\varphi^\dagger(z)\rangle ={}&e[\delta^4(x-y)-\delta^4(x-z)]\\ &\times\langle{\rm T}A^\nu(w) \varphi(y)\varphi^\dagger(z)\rangle . \end{aligned} \tag{68.42}

流中的 $A^\mu\varphi^\dagger\varphi$ 项必须保留；它所含的局部双光子顶角正是下面四点关系的一部分。对同一个量子作用量取1PI系数，等价于将背景核多展开一阶。

总转移为 $q=p'-p$ ，把指标 $\mu$ 处的光子入动量记作 $k$ ，另一光子的入动量便为 $q-k$ 。相应展开为

\begin{aligned} \mathcal K[A](p',p) ={}&(2\pi)^4\delta^4(q)K(p^2)-V_3^\nu(p',p)A_\nu(q)\\ &-\frac12\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4} V_4^{\mu\nu}(k,p',p)A_\mu(k)A_\nu(q-k)+O(A^3). \end{aligned} \tag{68.43}

由于两个光子相同，二次项带 $1/2!$ 。对它的两个位置分别作 $\delta A=-\partial\chi$ ，两份相等的变分正好消去这个 $1/2$ 。在式（68.30）的标量版本中比较两端的 $\chi(k)A_\nu(q-k)$ 系数，有

\begin{aligned} \delta\mathcal K\big|_{\chi A} &=ik_\mu V_4^{\mu\nu}(k,p',p) \chi(k)A_\nu(q-k),\\ \delta\mathcal K\big|_{\chi A} &=i\mathfrak e\, \bigl[V_3^\nu(p'-k,p)-V_3^\nu(p',p+k)\bigr] \chi(k)A_\nu(q-k). \end{aligned} \tag{68.44}

第二行的第一项来自出端的 $-i\mathfrak e\chi(x)$ 乘核内的 $-V_3A$ ，所以为正号，并把出端动量移到 $p'-k$ ；第二项来自入端的 $+i\mathfrak e\chi(y)$ ，所以为负号，把入端动量移到 $p+k$ 。这两个移位各自都使剩余光子的动量为 $q-k$ 。利用 $\mathfrak e=eZ_1/Z_2=eZ_4/Z_1$ ，最终得到

k_\mu V_4^{\mu\nu}(k,p',p) =\frac{Z_4}{Z_1}e \bigl[V_3^\nu(p'-k,p)-V_3^\nu(p',p+k)\bigr]. \tag{68.45}

差分次序由核的出、入两个端点固定。例如未先令 $Z_i$ 相等的树核给

\begin{aligned} V_{3,\mathrm{tree}}^\nu(p',p)&=eZ_1(p'+p)^\nu,& V_{4,\mathrm{tree}}^{\mu\nu}&=-2e^2Z_4g^{\mu\nu},\\ \frac{Z_4}{Z_1}e\, \bigl[V_{3,\mathrm{tree}}^\nu(p'-k,p) -V_{3,\mathrm{tree}}^\nu(p',p+k)\bigr] &=-2e^2Z_4k^\nu =k_\mu V_{4,\mathrm{tree}}^{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{68.46}

一般圈修正改变三点和四点的动量函数，仍须保持同一差分。在上述两种减除方案中，前面的 $eZ_4/Z_1$ 进一步成为相应方案的 $e$ ： OS中它由零转移物理条件固定， $\overline{\mathrm{MS}}$ 中它为该方案的运行电荷。

第74节将从BRST对称性进一步说明规范固定后的量子约束。

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