Srednicki §78 背景场规范

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第73节求出了杨—米尔斯理论的一圈贝塔函数。那次计算分别确定了物质场、规范场以及顶角的重整化因子，再把它们组合成同一个裸耦合。最终结果很简单，中间步骤却不短。现在改选一种规范，使量子作用量显式保持对外部规范场的规范不变性。这样，耦合常数的重整化就能完全归结为这个外部场的二点函数。更有意思的是，规范场的一圈贡献将分成两部分：一部分和标量场相似，另一部分直接来自自旋与背景场强的耦合。渐近自由的负号主要由后一部分决定。

以下沿用第73节的规范场归一。局域变换参数 $\theta$ 没有吸收耦合，故它与第77节的无量纲参数相差一个 $g$ 。取度规 $(-,+,+,+)$ 、 $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=-2g^{\mu\nu}$ 和 $d=4-\epsilon$ ，圈积分中的耦合为 $g_d=g\widetilde\mu^{\epsilon/2}$ 。先考虑一个简单规范群因子，物质表示可以是若干不可约表示的直和。

让规范固定条件随背景协变

从规范固定后的杨—米尔斯理论开始：

\begin{gathered} \mathcal L_{\rm YM}=-\frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}, \qquad F_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a +gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c,\\ \mathcal L_{\rm gf}=-\frac1{2\xi}G^aG^a,\qquad \mathcal L_{\rm gh} =\bar c^a\frac{\delta G^a}{\delta A_\mu^b}D_\mu^{bc}c^c,\\ D_\mu^{bc} =\delta^{bc}\partial_\mu+gf^{bac}A_\mu^a, \qquad (T_A^a)^{bc}=-if^{abc}. \end{gathered} \tag{78.1}

这里 $\delta G/\delta A$ 应按微分算符理解。若 $G$ 含有作用在 $A$ 上的导数，这个导数在鬼核中就继续作用于右侧。第71节的法捷耶夫—波波夫构造已经说明，选定规范函数以后，规范固定项和鬼项须一起加入。通常的 $R_\xi$ 规范取 $G^a=\partial^\mu A_\mu^a$ ；它便于求传播子，却使规范固定后的作用量失去普通规范不变性。

为改变这一点，引入一个任意但固定的经典场 $\bar A_\mu^a$ 。它是路径积分的参数， $A$ 仍是积分变量。用背景场构造协变导数，再用它对两场之差取散度：

\bar D_\mu=\partial_\mu-igT_A^a\bar A_\mu^a,\qquad q_\mu^a=A_\mu^a-\bar A_\mu^a,\qquad G^a=(\bar D^\mu q_\mu)^a. \tag{78.2}

$q$ 表示相对于背景的量子涨落；用它可以清楚地说明规范函数怎样变换。计算法捷耶夫—波波夫行列式时只改变积分场，背景保持不动。由 $\delta_GA=-D\theta$ 得到

\begin{aligned} \delta_GG^a&=-\bar D^{\mu ab}D_\mu^{bc}\theta^c,\\ \mathcal L_{\rm gh} &=\bar c^a\bar D^{\mu ab}D_\mu^{bc}c^c \doteq-(\bar D^\mu\bar c)^a(D_\mu c)^a . \end{aligned} \tag{78.3}

符号 $\doteq$ 表示两边的作用量相等，密度可相差一个全导数。具体地，伴随连接是实反对称矩阵，因此在紧支撑场或没有边界流出的条件下， $\int X^a(\bar D_\mu Y)^a=-\int(\bar D_\mu X)^aY^a$ 。把 $X=\bar c$ 、 $Y=Dc$ 代入就给出最后一式。这里移动的是偶微分算符， $\bar c$ 始终在 $c$ 之前，没有另一次奇变量交换。

接着区分两种变换。普通变换 $\delta_G$ 只变换 $A,c,\bar c$ ；另一种 $\delta_{\rm BG}$ 只变换背景：

\begin{array}{c|cc} &\delta_G&\delta_{\rm BG}\\ \hline A_\mu&-D_\mu\theta&0\\ \bar A_\mu&0&-\bar D_\mu\theta\\ c&-ig\theta^aT_A^ac&0\\ \bar c&-ig\theta^aT_A^a\bar c&0 \end{array} \tag{78.4}

反鬼也按同一伴随表示变换；它与 $c$ 是独立的奇变量，而伴随表示本身是实的。单独作 $\delta_G$ 时，固定的 $\bar A$ 不能随 $A$ 转动，故规范固定项和鬼项一般改变。单独作 $\delta_{\rm BG}$ 时， $\mathcal L_{\rm YM}$ 不变，因为它只含 $A$ ，但另两项仍会改变。把这两种变换相加以后，情况不同：两个连接的非齐次部分正好在差场中抵消。

\begin{aligned} \delta q_\mu^b &=-(D-\bar D)_\mu^{ba}\theta^a =igq_\mu^c(T_A^c)^{ba}\theta^a\\ &=-ig\theta^a(T_A^a)^{bc}q_\mu^c,\qquad \delta=\delta_G+\delta_{\rm BG}. \end{aligned} \tag{78.5}

最后一个等号用了 $f^{cba}$ 的全反对称性。因此，两连接之差是一个普通伴随场。于是 $\bar Dq$ 、 $\bar D\bar c$ 和 $Dc$ 在联合变换下都齐次变换。记 $R_\theta=-ig\theta^aT_A^a$ ，有 $R_\theta^T=-R_\theta$ ；任意两个这样的列 $X,Y$ 满足 $\delta(X^TY)=X^T(R_\theta^T+R_\theta)Y=0$ 。所以 $G^aG^a$ 与鬼动能的群指标缩并都不变。杨—米尔斯项也保持不变，完整作用量便有了这种联合规范对称性。

从背景沃德恒等式得到一个重整化因子

量子作用量 $\Gamma$ 由去掉外传播子的1PI图组成，各外腿用相应的平均场代替。背景 $\bar A$ 又出现在所有内线和顶角中，因此应把它单独列在分号之后，写成 $\Gamma(A,c,\bar c;\bar A)$ 。前一个 $A$ 是勒让德变换的平均场，后一个 $\bar A$ 是定义积分时给定的参数。

经典的联合对称性怎样传给 $\Gamma$ ？以 $q$ 为积分变量，给它加入源 $\int Jq$ 。联合变换下让 $J$ 也按伴随表示转动，源项就保持不变。在测度、调节和反项保持这一对称性的条件下，改变积分变量得到

\begin{gathered} Z[J;\bar A] =\int\mathcal Dq\,\mathcal Dc\,\mathcal D\bar c\, e^{\,iS[\bar A+q,c,\bar c;\bar A]+i\int Jq}, \qquad W=-i\ln Z,\\ \widehat q=\frac{\delta W}{\delta J},\qquad \Gamma[\widehat q;\bar A]=W[J;\bar A]-\int J\widehat q,\\ \delta W=0,\qquad \delta\widehat q=R_\theta\widehat q,\qquad \delta\Gamma=0 . \end{gathered} \tag{78.6}

为简洁省去了鬼的源；加上它们时，论证完全相同。关键在于 $q$ 的变换是线性的，因而对变换后的场取平均与先取平均再变换相同。总场 $A$ 虽有一个 $\partial\theta$ 项，它不依赖积分变量，也不妨碍这个结论。这也是第21节有效作用量对称性证明在背景场中的应用。纯杨—米尔斯和向量型物质可采用相容的背景规范调节；若加入外尔物质，须先满足第75–77节的规范反常消除条件。

现在令平均场 $A=\bar A$ ，即 $\widehat q=0$ 。这一限制在联合变换下保持，因为零伴随场仍变为零。保留鬼平均场时，将量子作用量分成树项与圈项：

\begin{aligned} \Gamma(\bar A,c,\bar c;\bar A) ={}&\int d^4x\left[ -\frac14\bar F_{\mu\nu}^a\bar F^{a\mu\nu} -(\bar D^\mu\bar c)^a(\bar D_\mu c)^a\right]\\ &+\Gamma_{\rm loops}(\bar A,c,\bar c;\bar A). \end{aligned} \tag{78.7}

规范固定项在这条对角线上为零。背景仍按 $\delta\bar A=-\bar D\theta$ 变换，鬼仍齐次变换，故整个表达式具有普通的背景规范不变性。再令外鬼为零，记 $\Gamma_{\rm bg}[\bar A]=\Gamma(\bar A,0,0;\bar A)$ ，任意 $\theta(x)$ 的系数给出

0=-\int d^4x\,\frac{\delta\Gamma_{\rm bg}}{\delta\bar A_\mu^a} (\bar D_\mu\theta)^a =\int d^4x\,\theta^a\bar D_\mu^{ab} \frac{\delta\Gamma_{\rm bg}}{\delta\bar A_\mu^b}. \tag{78.8}

这一沃德恒等式约束了紫外反项。对本节的四维可重整理论，CP偶的纯背景动能反项须与 $\bar F^2$ 成正比；它展开后的二、三、四点项同乘一个系数。有限量子作用量还可含非局域项，但求耦合重整化只需上述局域极部。

为了和第73节普通量子规范场的归一区别，把背景场归一因子记为 $Z_B$ 。背景裸场与耦合应组合成同一个协变导数，因此

\begin{gathered} \bar A_{0\mu}=Z_B^{1/2}\bar A_\mu,\qquad g_0\bar A_{0\mu}=g_d\bar A_\mu,\qquad g_d=g\widetilde\mu^{\epsilon/2},\\ g_0=Z_B^{-1/2}g\widetilde\mu^{\epsilon/2},\qquad \bar F_{0\mu\nu}=Z_B^{1/2}\bar F_{\mu\nu},\qquad g_0^2=Z_B^{-1}g^2\widetilde\mu^\epsilon . \end{gathered} \tag{78.9}

场强中导数项和二次背景项具有同一个 $Z_B^{1/2}$ ，恰好需要第二个关系。例如二次项给 $g_0\bar A_0\bar A_0=Z_B^{1/2}g_d\bar A\bar A$ 。这样 $-\bar F_0^2/4$ 展开后的各背景顶角自动共用 $Z_B$ 。

物质项也有相同特点。将 $\Psi_0=Z_\Psi^{1/2}\Psi$ 代入裸动能，再用（78.9），得到 $Z_\Psi\bar\Psi i\gamma^\mu(\partial_\mu-ig_d\bar A_\mu^aT_R^a)\Psi$ ，动能与一个背景场顶角同乘 $Z_\Psi$ 。鬼动能则整体乘 $Z_c$ ，其中一个、两个背景场顶角随它共同重整化。因此，背景顶角与相应动能项的重整化因子满足

Z_1=Z_2,\qquad Z_1'=Z_2',\qquad Z_3=Z_{3g}=Z_{4g}=Z_B \quad\text{（背景外腿）}. \tag{78.10}

量子涨落 $q$ 可以有另一个归一系数 $Z_q$ ，含量子外腿的顶角也另有相应关系。这里之所以简化，是因为所求 $\Gamma_{\rm bg}$ 的外腿全是背景场。由（78.9），只要算出背景二点函数的 $Z_B$ ，就能求出 $g$ 的贝塔函数。

一圈只需二次涨落

下面实施平移 $A=\bar A+q$ 。平移的雅可比因子为一；背景不再出现在自由积分变量中，而是作为外部插入进入顶角。若把 $\bar A$ 设为零，传播子和纯量子顶角立即回到第72节的 $R_\xi$ 规则。带背景外腿的顶角还得到规范固定项和鬼项的贡献，下面将从这些附加项求出完整规则。

先展开场强。把含一个 $q$ 和两个 $q$ 的部分分别记为 $Q,H$ ，直接由（78.1）得到

\begin{gathered} F_{\mu\nu}^a=\bar F_{\mu\nu}^a+Q_{\mu\nu}^a+H_{\mu\nu}^a,\\ Q_{\mu\nu}^a=(\bar D_\mu q_\nu)^a-(\bar D_\nu q_\mu)^a, \qquad H_{\mu\nu}^a=gf^{abc}q_\mu^bq_\nu^c,\\ \mathcal L_{\rm gf}=-\frac1{2\xi}(\bar D^\mu q_\mu)^a (\bar D^\nu q_\nu)^a . \end{gathered} \tag{78.11}

两个含 $\bar A q$ 的交叉项恰好组成 $\bar Dq$ 。平方时把各次数保留到最后，得到

-\frac14F^2 =-\frac14\bar F^2-\frac12\bar FQ -\frac14Q^2-\frac12\bar FH -\frac12QH-\frac14H^2 . \tag{78.12}

一次项 $-\bar FQ/2$ 经分部积分给 $\int q_\nu^a(\bar D_\mu\bar F^{\mu\nu})^a$ 。任意背景一般不满足经典场方程，所以它并不自行消失。我们计算的是固定 $\widehat q=0$ 的勒让德有效作用量；（78.6）中的树级源正是 $J^{a\nu}=-(\bar D_\mu\bar F^{\mu\nu})^a$ ，它抵消这个一次项。图形上，一个只有一条量子腿的顶角通过单条桥边连到其余部分，属于1PI构造已经排除的可约贡献。

三次和四次量子项为何也不用保留？对没有量子外腿的连通背景图，若顶角 $v$ 带 $n_v$ 条量子内腿，则

2I=\sum_v n_v,\qquad L=I-V+1=1+\frac12\sum_v(n_v-2). \tag{78.13}

一次顶角已由勒让德构造去除，因此 $n_v\ge2$ 。要使 $L=1$ ，每个顶角都必须恰有两条量子腿。背景外腿的个数不受这个计数限制。于是 $QH$ 、 $H^2$ 以及鬼项中的 $\bar cqc$ 都不进入当前的一圈 $\Gamma_{\rm bg}$ 。保留的杨—米尔斯二次项为

\begin{aligned} \mathcal L_{{\rm YM},2} ={}&-\frac12(\bar D^\mu q^\nu)^a(\bar D_\mu q_\nu)^a +\frac12(\bar D^\mu q^\nu)^a(\bar D_\nu q_\mu)^a\\ &-\frac g2f^{abc}\bar F^{a\mu\nu}q_\mu^bq_\nu^c . \end{aligned} \tag{78.14}

第一行来自 $-Q^2/4$ ； $Q$ 的两个反对称项给两个相同的平方项及两个交叉项。最后一行则来自 $-\bar FH/2$ 。因此，被略去的高次量子项只在更高圈的背景图中出现。

交叉导数项还能提供另一个场强耦合。把两次分部积分明确写在积分内：

\begin{aligned} &\int d^dx\,(\bar D^\mu q^\nu)^a(\bar D_\nu q_\mu)^a\\ &=-\int d^dx\,q_\mu^b(\bar D^\nu\bar D^\mu)^{bc}q_\nu^c\\ &=\int d^dx\left[-q_\mu^b(\bar D^\mu\bar D^\nu)^{bc}q_\nu^c +q_\mu^b[\bar D^\mu,\bar D^\nu]^{bc}q_\nu^c\right]\\ &=\int d^dx\left[(\bar D^\mu q_\mu)^a(\bar D^\nu q_\nu)^a -gf^{abc}\bar F^{a\mu\nu}q_\mu^bq_\nu^c\right]. \end{aligned} \tag{78.15}

这里 $[\bar D^\mu,\bar D^\nu]=-igT_A^a\bar F^{a\mu\nu}$ ，而 $-i(T_A^a)^{bc}=-f^{abc}$ ，所以最后一项的号是负的。乘回（78.14）交叉项的 $1/2$ ，它与原有 $-g/2$ 相加成 $-g$ 。规范固定项又与散度平方合并，二次密度成为

\begin{aligned} \mathcal L_2\doteq{}& -\frac12(\bar D^\mu q^\nu)^a(\bar D_\mu q_\nu)^a +\frac12(1-\xi^{-1})(\bar D^\mu q_\mu)^a(\bar D^\nu q_\nu)^a\\ &-gf^{abc}\bar F^{a\mu\nu}q_\mu^bq_\nu^c -(\bar D^\mu\bar c)^a(\bar D_\mu c)^a . \end{aligned} \tag{78.16}

现在取背景费曼规范 $\xi=1$ 。散度平方消失，只剩一个标量型协变拉普拉斯算符和一个不含量子场导数的自旋势。加上背景树项，用于一圈计算的密度便是

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm bg,1} ={}&-\frac14Z_B\bar F_{\mu\nu}^a\bar F^{a\mu\nu} -\frac12(\bar D^\mu q^\nu)^a(\bar D_\mu q_\nu)^a\\ &-gf^{abc}\bar F^{a\mu\nu}q_\mu^bq_\nu^c -(\bar D^\mu\bar c)^a(\bar D_\mu c)^a . \end{aligned} \tag{78.17}

即使在内部 $q$ 二次项前保留共同的 $Z_q$ ，也可把 $q$ 作常数缩放以消去它：一圈每个顶角有两条 $q$ 腿，一个环上的顶角数与内线数相等，顶角和传播子的缩放因子成对抵消。等价地， $\operatorname{Tr}\ln(Z_qK)=\operatorname{Tr}\ln K+\operatorname{Tr}\ln Z_q$ ，后一项只影响背景无关的归一。无外鬼时鬼的常数归一也一样。因此背景树项的 $Z_B$ 要保留，内部共同归一却不影响下面所求的背景依赖。

为便于认识自旋势，把矢量二次核升一个洛伦兹指标，写成作用在 $q_\beta^c$ 上的算符：

\mathscr K_{b\alpha}{}^{c\beta} =(\bar D^2)^{bc}\delta_\alpha{}^\beta -2ig(T_A^a)^{bc}\bar F_\alpha{}^{a\beta}. \tag{78.18}

它来自双线性型的核 $g_{\alpha\beta}(\bar D^2)^{bc} -2gf^{abc}\bar F_{\alpha\beta}^a$ 。先升指标再作矩阵乘法，洛伦兹迹就是 $\delta_\alpha{}^\alpha=d$ 。后面将用这个算符计算高斯积分。

鬼圈与标量型的规范场涨落

（78.17）把一圈问题分成了三个拓扑，如图78.1。前两图来自 $\bar D^2$ ：展开协变导数时，有一个背景场的三点顶角，也有两个背景场的海鸥顶角。右图则由两个自旋场强插入组成。先看最小耦合的两图，再单独计算自旋项。

背景场一圈修正的三种拓扑。左、中图的虚内线分别可取鬼场或量子矢量场的最小动能部分，波浪外腿是 $\bar A$ 。右图两黑点各代表一个 $\bar Fqq$ 插入，波浪内线是 $q$ ，没有外部传播子。为说明非零外动量的计算，左图标出两内线动量；右图的两个场强插入也先取相反的非零动量。

六类含背景场的混合顶角

先保留一般的非零 $\xi$ 求规则，再取一圈计算所需的 $\xi=1$ 。以下动量全流入顶角，局部傅里叶因子为 $e^{ikx}$ ，导数给 $ik_\mu$ 。顶角核按上指标场作泛函微分，所有洛伦兹指标均取下标，省去共同的 $(2\pi)^4\delta^{(4)}(\sum k)$ 。图中使用的 $iV$ 已含作用量指数的 $i$ ；进入圈积分时统一将 $g$ 恢复成 $g_d$ 。

先看胶子顶角。将 $A=\bar A+q$ 代入杨—米尔斯密度，三价和四价系数仍由第72节的场收缩给出，只是外腿现在分别标明 $\bar A$ 或 $q$ 。新的贡献来自

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm gf} ={}&-\frac1{2\xi}(\partial\cdot q^e)^2\\ &-\frac g\xi f^{eac}(\partial\cdot q^e) \bar A^{a\mu}q_\mu^c\\ &-\frac{g^2}{2\xi}f^{eac}f^{ebd} \bar A_\mu^a q^{c\mu}\bar A_\nu^bq^{d\nu}. \end{aligned} \tag{78.37}

这里交叉项的2抵消了前面的 $1/2$ 。由于 $G$ 对 $q$ 是一次的，规范固定只增加 $\bar A q^2$ 和 $\bar A^2q^2$ 两类顶角。

在三点顶角上，依次放置 $\bar A^{a\mu}(k)$ 、 $q^{b\nu}(p)$ 、 $q^{c\rho}(r)$ ，其中 $k+p+r=0$ 。杨—米尔斯项给出

iV_{\rm YM} =-g f^{abc}\big[ (p-r)_\mu g_{\nu\rho} +(r-k)_\nu g_{\rho\mu} +(k-p)_\rho g_{\mu\nu}\big]. \tag{78.38}

规范固定的交叉项中，被微分的 $q$ 有两种分配。若它接 $(b,\nu,p)$ ，则 $f^{bac}=-f^{abc}$ ；若它接 $(c,\rho,r)$ ，则 $f^{cab}=f^{abc}$ 。把导数和指数中的 $i$ 一起算入，分别得到

\begin{aligned} i\!\left(-\frac g\xi\right)f^{bac}(ip_\nu)g_{\mu\rho} &=-\frac g\xi f^{abc}p_\nu g_{\mu\rho},\\ i\!\left(-\frac g\xi\right)f^{cab}(ir_\rho)g_{\mu\nu} &=+\frac g\xi f^{abc}r_\rho g_{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{78.39}

所以完整的背景三胶子顶角是

\begin{aligned} iV_{\bar Aqq,\mu\nu\rho}^{abc}(k,p,r) &=-g f^{abc}\Big[ (p-r)_\mu g_{\nu\rho} +(r-k)_\nu g_{\rho\mu}\\ &\qquad +(k-p)_\rho g_{\mu\nu} +\xi^{-1} (p_\nu g_{\mu\rho}-r_\rho g_{\mu\nu})\Big]. \end{aligned} \tag{78.40}

两个 $q$ 的完整标签互换时，括号和 $f^{abc}$ 各反号，顶角保持不变。

在 $\xi=1$ 时，用 $k+p+r=0$ 整理后两项，得到

iV_{\mu\nu\rho}^{abc} =-gf^{abc}\left[ (p-r)_\mu g_{\nu\rho} +2k_\rho g_{\mu\nu}-2k_\nu g_{\mu\rho}\right] \qquad(\xi=1). \tag{78.19}

其中 $(p-r)_\mu g_{\nu\rho}$ 来自最小动能，另两项来自自旋势。收缩背景动量时，自旋两项相消， $k\cdot(p-r)=-p^2+r^2$ ，所以

k^\mu iV_{\mu\nu\rho}^{abc} =gf^{abc}(p^2-r^2)g_{\nu\rho}. \tag{78.20}

这正是两条自由最小量子逆核之差。背景对称性在单个树顶角上已有明确的表现。

还可以不令 $\xi=1$ 而收缩背景动量。定义去掉颜色单位阵的自由逆核

\begin{aligned} K_{\nu\rho}(p) &=p^2g_{\nu\rho}-(1-\xi^{-1})p_\nu p_\rho,\\ k^\mu iV_{\bar Aqq,\mu\nu\rho}^{abc} &=-g f^{abc}\big[K_{\nu\rho}(r)-K_{\nu\rho}(p)\big]. \end{aligned} \tag{78.41}

直接验证时， $k\cdot(p-r)=r^2-p^2$ ，而剩余的纵向部分由 $p_\nu k_\rho-r_\rho k_\nu=r_\nu r_\rho-p_\nu p_\rho$ 给出。背景腿的收缩因而等于两条量子腿逆核之差。

四点杨—米尔斯顶角没有动量。为同时表示两种外腿分配，记

\begin{aligned} \mathcal Q_{\mu\nu\rho\sigma}^{abcd} ={}&f^{abe}f^{cde} (g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho})\\ &+f^{ace}f^{bde} (g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho})\\ &+f^{ade}f^{bce} (g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma}-g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}). \end{aligned} \tag{78.42}

第72节已经从 $-g^2f^{abe}f^{cde}A_\mu^aA_\nu^bA^{c\mu}A^{d\nu}/4$ 的24种分配得到 $iV_{\rm YM,4}=-ig^2\mathcal Q$ 。把其中两条腿指定为背景时，场展开中有 $\binom42=6$ 种位置选择，而两条背景腿及两条量子腿各有 $2!$ 种收缩，仍是 $6\times2!\times2!=24$ 种。因此这一部分的顶角不再附加二分之一。

令四条腿依次为 $\bar A^{a\mu}$ 、 $\bar A^{b\nu}$ 、 $q^{c\rho}$ 、 $q^{d\sigma}$ 。（78.37）最后一项中，每个背景场与同一括号内的 $q$ 相接。有两种配对，每种配对又有两个相等的分配：

\begin{aligned} (\bar A^a,q^c)(\bar A^b,q^d) &:\quad2f^{eac}f^{ebd}g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma},\\ (\bar A^a,q^d)(\bar A^b,q^c) &:\quad2f^{ead}f^{ebc}g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}. \end{aligned} \tag{78.43}

这些2恰好抵消密度中的 $1/2$ ，故

\begin{aligned} iV_{\bar A\bar Aqq,\mu\nu\rho\sigma}^{abcd} &=-ig^2\Big[ \mathcal Q_{\mu\nu\rho\sigma}^{abcd}\\ &\qquad +\xi^{-1}\big( f^{ace}f^{bde}g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} +f^{ade}f^{bce}g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho} \big)\Big]. \end{aligned} \tag{78.44}

这个表达式分别对两条背景腿和两条量子腿的交换对称。若只有第一条腿是背景，另外三条都是 $q$ ，规范固定项不能贡献；杨—米尔斯展开的 $4\times3!$ 种分配给出

iV_{\bar Aqqq,\mu\nu\rho\sigma}^{abcd} =-ig^2\mathcal Q_{\mu\nu\rho\sigma}^{abcd}. \tag{78.45}

接着看鬼场。鬼线是有向的，保留反鬼在前、鬼在后的 $\bar c^i c^j$ 次序，就能把每一条线上色矩阵的行、列固定下来。为展开鬼密度 $-(\bar D_\mu\bar c)^a(D^\mu c)^a$ ，引入偶矩阵 $\mathcal B_\mu=-igT^a\bar A_\mu^a$ 和 $\mathcal C_\mu=-igT^a q_\mu^a$ 。它们在伴随颜色指标上均为反对称矩阵，于是

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm gh} ={}&-\partial_\mu\bar c^{\,T}\partial^\mu c -\partial_\mu\bar c^{\,T}\mathcal B^\mu c +\bar c^{\,T}\mathcal B_\mu\partial^\mu c +\bar c^{\,T}\mathcal B_\mu\mathcal B^\mu c\\ &-\partial_\mu\bar c^{\,T}\mathcal C^\mu c +\bar c^{\,T}\mathcal B_\mu\mathcal C^\mu c . \end{aligned} \tag{78.46}

这里的转置符号 $T$ 与生成元 $T^a$ 的颜色标签无关。推导例如第二个含导数的背景项时， $-(\mathcal B_\mu\bar c)^T\partial^\mu c =-\bar c^T\mathcal B_\mu^T\partial^\mu c =+\bar c^T\mathcal B_\mu\partial^\mu c$ ；偶矩阵的移动没有交换两个鬼变量。

含一条背景线的两个导数项合起来是

\mathcal L_{\bar A\bar c c} =ig\bar A_\mu^a \big[(\partial^\mu\bar c^i)(T^a)_{ij}c^j -\bar c^i(T^a)_{ij}\partial^\mu c^j\big]. \tag{78.47}

对 $\bar A^{a\mu}(k)$ 、 $\bar c^i(r)$ 、 $c^j(s)$ 取 $k+r+s=0$ 。两个导数分别给 $ir_\mu$ 和 $is_\mu$ ，从而

\begin{aligned} iV_{\bar A\bar cc,\mu}^{a;ij}(k,r,s) &=-ig(T^a)_{ij}(r-s)_\mu\\ &=-g f^{aij}(r-s)_\mu . \end{aligned} \tag{78.48}

相比之下，（78.46）中只含 $q$ 的导数项只有反鬼被微分，给出 $-ig(T^a)_{ij}r_\mu$ ，正好还原第72节的普通鬼顶角。背景势在两个协变导数中都出现，所以背景顶角含两个端点动量之差。

余下两种鬼顶角由没有导数的项给出：

\begin{aligned} \mathcal L_{\bar A\bar A\bar cc} &=-g^2\bar c^i(T^aT^b)_{ij}c^j \bar A_\mu^a\bar A^{b\mu},\\ \mathcal L_{\bar A q\bar cc} &=-g^2\bar c^i(T^aT^b)_{ij}c^j \bar A_\mu^a q^{b\mu}. \end{aligned} \tag{78.49}

第一行的两条背景腿可以交换位置，必须把 $T^aT^b$ 与 $T^bT^a$ 相加：

iV_{\bar A\bar A\bar cc,\mu\nu}^{ab;ij} =-ig^2\{T^a,T^b\}_{ij}g_{\mu\nu}. \tag{78.50}

第二行的背景场来自作用在反鬼一侧的 $\bar D$ ，量子场来自作用在鬼一侧的 $D$ 。两者的角色已由作用量规定，因而结果保留有序乘积

iV_{\bar A q\bar cc,\mu\nu}^{ab;ij} =-ig^2(T^aT^b)_{ij}g_{\mu\nu}. \tag{78.51}

这项没有第二种背景、量子交换收缩。作为一个具体例子，取 $SU(2)$ 的伴随生成元 $(T^a)_{bc}=-i\epsilon^{abc}$ ，以 $E_{ij}$ 记矩阵单位，则

T^1T^2=-E_{21},\qquad T^2T^1=-E_{12},\qquad [T^1,T^2]=iT^3=E_{12}-E_{21}. \tag{78.52}

这个有序乘积因此确定了颜色流。（78.50）的反对易子则确实是两条相同背景腿所要求的结果。

共有三类胶子顶角和三类鬼顶角。杨—米尔斯密度至多四次，规范固定至多含两个 $q$ ，鬼密度至多含两个规范场，故满足“至少一条背景腿、至少两条量子腿”的顶角均已列出。其中 $\bar A q^3$ 和 $\bar A q\bar c c$ 各有三条量子腿；另外四类各有两条量子腿。按（78.13）的圈数关系，一圈只用 $n_v=2$ 的顶点，正是图78.1采用的四类规则。

最小动能部分的二点核

计算二点函数时仍用第73节的定义，

\Pi_{\mu\nu}^{ab}(k) =\delta^{ab}(k^2g_{\mu\nu}-k_\mu k_\nu)\Pi(k^2), \qquad \Pi_{\rm ct}(k^2)=-(Z_B-1). \tag{78.21}

实际插入为 $i\Pi_{\mu\nu}^{ab}$ 。反项的负号可直接从 $-\delta Z_B\bar F^2/4$ 的二次部分看出：对两个背景场取导数，所得正是 $-i\delta Z_B(k^2g_{\mu\nu}-k_\mu k_\nu)\delta^{ab}$ 。

第73节已把复标量泡和海鸥相加，求得横向核。这里只需把其表示换成当前内部场的表示。保留相同的极点处方与工程因子，复标量贡献为

\begin{aligned} \Pi_{\rm CS}(k^2) &=-\frac{g^2T(R_{\rm CS})}{i} \int_0^1dx\,(1-2x)^2J_2\bigl(m_s^2+x(1-x)k^2\bigr),\\ J_2(D) &=\frac{i}{16\pi^2} \left[\frac2\epsilon-\ln\frac{D-i0}{\mu^2}+O(\epsilon)\right],\\ \int_0^1(1-2x)^2dx &=\left[x-2x^2+\frac43x^3\right]_0^1=\frac13,\\ \Pi_{\rm CS}\big|_{\rm UV} &=-\frac{g^2T(R_{\rm CS})}{24\pi^2\epsilon}. \end{aligned} \tag{78.22}

分母积分和横向组合沿用前节的结果，参数权重积分给 $1/3$ 。紫外极点与 $m_s$ 无关，质量只进入有限部分。下面的鬼场和 $q$ 都是无质量的；取 $k^2>0$ 可以在求极点时保持离壳。

鬼由两套独立的格拉斯曼变量构成，闭圈比复标量多一个负号。因此把 $R_{\rm CS}$ 换成伴随表示，再反号，便得到鬼圈贡献：

\Pi_{\rm gh}\big|_{\rm UV} =+\frac{g^2C_A}{24\pi^2\epsilon}, \qquad C_A=T(A). \tag{78.23}

复标量的粒子与反粒子已包含在同一个复场中，鬼也按这一整套核比较，不再多乘二。图中海鸥在当前无质量维数正规化下正比于 $\int d^d\ell/\ell^2$ ，是无尺度积分，因而为零。它仍属于从协变动能展开得到的完整规则，在引入质量的其他红外整理中不能预先删去。

暂不考虑自旋势， $q_\nu$ 的每个洛伦兹分量都有实标量型的动能。沿圈缩并这个附加指标给 $d$ ；每个实场相对于复场有一个 $1/2$ ，也就是交换两条相同实内线的对称因子。因此，量子矢量的最小动能部分给出

\begin{aligned} \Pi_{\rm orb}\big|_{\rm pole} &=\left.\frac d2\,\Pi_{\rm CS}\right|_{R_{\rm CS}=A,\ {\rm pole}},\\ \frac{4-\epsilon}{2} \left(-\frac{g^2C_A}{24\pi^2\epsilon}\right) &=-\frac{g^2C_A}{12\pi^2\epsilon} +\frac{g^2C_A}{48\pi^2}. \end{aligned} \tag{78.24}

第二行的有限项来自 $d-4$ 乘极点；因此求极点留数时可取 $d=4$ ，求有限部分时须保留 $d$ 。升起一个指标后，洛伦兹迹为 $\delta_\nu{}^\nu=d$ 。鬼与轨道部分合起来，在 $g^2C_A/(24\pi^2\epsilon)$ 单位下给 $1-2=-1$ 。要得到完整规范场贡献，还须计入（78.18）的自旋势。

自旋与场强耦合产生的紫外项

把 $\bar F$ 当作外源，可以直接计算图78.1右侧的真空泡。由 $-gf^{abc}\bar F^{a\mu\nu}q_\mu^bq_\nu^c$ 对两个 $q$ 求导时，同时交换 $(b,\mu)$ 与 $(c,\nu)$ ，结构常数和场强各反号，乘积不变；两个槽给相同贡献。因此场强插入的图因子是

\mathcal V_{\mu\nu}^{bc}[\bar F] =-2igf^{abc}\bar F_{\mu\nu}^a. \tag{78.25}

两次插入的真空图除以 $S=2\times2=4$ 。一个二来自交换两条相同的实内线，另一个二来自交换两个相同类型的外源，也可从指数展开的 $2!$ 得到。把所有因子分别算出，

\begin{gathered} \frac14(-2ig)^2\left(\frac1i\right)^2=+g^2,\\ \operatorname{Tr}(T_A^aT_A^b) =(-i)^2f^{acd}f^{bdc} =f^{acd}f^{bcd}=C_A\delta^{ab}. \end{gathered} \tag{78.26}

第一行的两个 $1/i$ 来自两条内线，第二行用了 $f^{bdc}=-f^{bcd}$ 。洛伦兹收缩则把两场强变成 $\bar F_{\mu\nu}^a\bar F^{a\mu\nu}$ ，所以所余困难只有一个对数发散积分。

取两个场强插入的动量为 $k$ 和 $-k$ ，并令 $k^2>0$ 。这一离壳选择控制了红外端点，使紫外极点可以单独提取。若先取常场，得到的无尺度积分 $\int d^d\ell/(\ell^2)^2$ 会把紫外与红外极点一并抵消。所需积分为

I(k)=\widetilde\mu^\epsilon \int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d} \frac1{(\ell^2-i0)((\ell+k)^2-i0)}, \qquad d=4-\epsilon . \tag{78.27}

在 $0<\operatorname{Re}\epsilon<2$ 时，紫外区域和两个无质量内线端点都可积；所得函数再解析延拓到 $\epsilon=0$ 附近。使用 $1/(ab)=\int_0^1dx/[xa+(1-x)b]^2$ ，分母中完成平方：

\begin{aligned} x\ell^2+(1-x)(\ell+k)^2 &=[\ell+(1-x)k]^2+x(1-x)k^2,\\ I(k) &=\widetilde\mu^\epsilon\int_0^1dx \int\frac{d^dL}{(2\pi)^d} \frac1{[L^2+x(1-x)k^2-i0]^2}. \end{aligned} \tag{78.28}

平移 $L=\ell+(1-x)k$ 的雅可比因子为一。在共同费曼处方下作威克旋转，积分测度给一个 $i$ ；第62、73节已求出的欧氏径向 $\Gamma$ 函数积分可直接用于这里的正量 $D=x(1-x)k^2$ 。再把参数积分真正求完，得到

\begin{aligned} I(k) &=\frac{i\widetilde\mu^\epsilon}{(4\pi)^{2-\epsilon/2}} \Gamma(\epsilon/2)(k^2)^{-\epsilon/2} \int_0^1dx\,[x(1-x)]^{-\epsilon/2}\\ &=\frac{i\widetilde\mu^\epsilon}{(4\pi)^{2-\epsilon/2}} \frac{\Gamma(\epsilon/2)\Gamma(1-\epsilon/2)^2} {\Gamma(2-\epsilon)}(k^2)^{-\epsilon/2}\\ &=\frac{i}{16\pi^2} \left[\frac2\epsilon-\ln\frac{k^2}{\mu^2}+2+O(\epsilon)\right]. \end{aligned} \tag{78.29}

第二行用了贝塔函数积分 $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ ，此处 $a=b=1-\epsilon/2$ 。最后一行也可直接展开参数式核对： $\Gamma(\epsilon/2)=2/\epsilon-\gamma_E+\cdots$ ，尺度因子提供 $\ln(4\pi\widetilde\mu^2/k^2)$ ，而 $\int_0^1\ln[x(1-x)]dx=-2$ 。用 $\mu^2=4\pi e^{-\gamma_E}\widetilde\mu^2$ 合并常数，恰好得到显示的有限项。

因此紫外留数是 $i/(8\pi^2)$ ，与非零 $k$ 无关。此时才把这个极部写成局域的场强平方，或者在它的系数中取常场极限。将（78.26）的因子与这一积分相乘，得到：

\begin{aligned} \frac{i\Gamma_{\rm spin}^{\rm UV}}{VT} &=\frac14(-2ig)^2\left(\frac1i\right)^2 f^{acd}f^{bcd}\bar F_{\mu\nu}^a\bar F^{b\mu\nu} \frac{i}{8\pi^2\epsilon}\\ &=\frac{ig^2C_A}{8\pi^2\epsilon}\bar F_{\mu\nu}^a\bar F^{a\mu\nu}. \end{aligned} \tag{78.30}

$VT$ 是取常场后的时空体积。这个局域写法只用于极部；（78.29）中的 $\ln k^2$ 还保存着有限作用量的非局域信息，不能一起令 $k=0$ 。

现在将有效作用量密度转成（78.21）的 $\Pi$ 。由（78.30）可知 $\Gamma$ 中有正的 $g^2C_A\bar F^2/(8\pi^2\epsilon)$ 。若一个二点圈的标量系数为 $\Pi_{\rm loop}$ ，相应局域作用量是 $+\Pi_{\rm loop}\bar F^2/4$ ；它与反项 $-\delta Z_B\bar F^2/4$ 相消。因此场强平方系数须乘四，得到

\Pi_{\rm spin}\big|_{\rm UV} =\frac{g^2C_A}{2\pi^2\epsilon} =\frac{g^2}{24\pi^2\epsilon}\,12C_A . \tag{78.31}

还可能画出一个最小顶角和一个自旋顶角的混合泡。最小项在洛伦兹空间为单位阵，自旋项为 $\bar F_\alpha{}^\beta$ ，所以闭圈给 $\bar F_\alpha{}^\alpha=0$ 。只含一次自旋插入的圈也因同一迹而为零。这两个零在积分之前已由反对称指标决定，与无尺度积分归零的理由不同。至此，图78.1包含的一圈贡献已经全部确定。

用高斯积分合并一圈图

二次涨落还能把上述图形统一写成四个行列式。取 $\xi=1$ ，量子场、鬼场和物质场的平均值均为零；背景的一次项由（78.6）中的源抵消。先考虑无质量物质。

把矢量生成元的第二个指标升起后，（78.18）的二次核可写成

\begin{aligned} (S_v^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta &=-i(\delta^\mu{}_\alpha g^{\nu\beta} -\delta^\nu{}_\alpha g^{\mu\beta}),\\ gT^a\bar F_{\mu\nu}^a(S_v^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta &=-2igT^a\bar F_\alpha{}^{a\beta},\\ \mathscr K&=\bar D_A^2 I_v +gT_A^a\bar F_{\mu\nu}^aS_v^{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{78.53}

这把矢量表示 $(2,2)$ 中的自旋耦合显式写了出来。若保留一般 $\xi$ ，（78.18）还会多出 $-(1-\xi^{-1})(\bar D_\alpha\bar D^\beta)^{bc}$ ；这些协变导数按所写次序作用。只有 $\xi=1$ 时才得到这一最小矢量算符。

鬼场和无质量复标量的二次型更直接。把导数移到右边后，它们与狄拉克二次型一起写成

\begin{aligned} \bar D_{R\mu} &=\partial_\mu-igT_R^a\bar A_\mu^a,\\ S_{{\rm gh},2}&=\int d^4x\,\bar c^a(\bar D_A^2)^{ab}c^b,\\ S_{{\rm CS},2}&=\int d^4x\,\phi^\dagger\bar D_{R_{\rm CS}}^2\phi,\\ S_{{\rm DF},2}&=\int d^4x\,\bar\Psi Q_D\Psi, \qquad Q_D=i\gamma^\mu\bar D_\mu . \end{aligned} \tag{78.54}

标量与鬼场都取洛伦兹标量表示，故 $S_{(1,1)}^{\mu\nu}=0$ 。表示 $R$ 的生成元作用于颜色空间，洛伦兹生成元作用于另一个因子；这两个矩阵空间之间可交换。 $\bar D$ 与背景场的乘法算符之间则仍须保持次序。

现在对二次型积分。在有限模式调节下，一组实玻色变量、一个复玻色列及一对独立格拉斯曼列分别给出

\begin{aligned} \int dx\,e^{\,ix^TKx/2} &\propto(\det K)^{-1/2},\\ \int dz^*dz\,e^{\,iz^*Kz} &\propto(\det K)^{-1},\\ \int d\bar\eta\,d\eta\,e^{\,i\bar\eta K\eta} &\propto\det K. \end{aligned} \tag{78.55}

第一行逐实本征模式给一个平方根；第二行的一复模式有两个实积分，平方根合成一次幂。第三行取每一对奇变量的最高次系数，排列求和形成行列式。因此实量子胶子给 $-1/2$ ，复标量给 $-1$ ，鬼与狄拉克场各先给 $+1$ 。其中所有常数、 $i$ 的背景无关幂及零背景真空因子都在归一化比值中消去。

各高斯积分采用共同的费曼处方，在零背景附近取连续的微扰支；零模用同一红外规定处理。

为了与玻色核直接比较，也把狄拉克算符写成二阶形式。用克利福德关系 $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=-2g^{\mu\nu}$ 逐步计算：

\begin{aligned} Q_D^2 &=-\gamma^\mu\gamma^\nu\bar D_\mu\bar D_\nu\\ &=-\frac12\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}\bar D_\mu\bar D_\nu -\frac14[\gamma^\mu,\gamma^\nu] [\bar D_\mu,\bar D_\nu]\\ &=\bar D^2+\frac{ig}{4}T_R^a\bar F_{\mu\nu}^a [\gamma^\mu,\gamma^\nu]\\ &=\bar D^2+gT_R^a\bar F_{\mu\nu}^aS_D^{\mu\nu}, \qquad S_D^{\mu\nu}=\frac i4[\gamma^\mu,\gamma^\nu]. \end{aligned} \tag{78.56}

最后一行把最小耦合与自旋势分开。平方后的行列式怎样取根，可以在一个连续的、可逆的调节算符族 $Q_D(t)$ 上明确检查：

\begin{aligned} \frac d{dt}\operatorname{Tr}\ln Q_D^2 &=\operatorname{Tr}\!\left[ Q_D^{-2}(Q_D\dot Q_D+\dot Q_D Q_D)\right]\\ &=2\operatorname{Tr}(Q_D^{-1}\dot Q_D) =2\frac d{dt}\operatorname{Tr}\ln Q_D . \end{aligned} \tag{78.57}

两个对数因此相差一个与背景无关的常数。以零背景固定这个常数及连续支，狄拉克行列式成为二阶算符行列式的 $+1/2$ 次幂。

令 $\square_{R,L}=\bar D_R^2 I_L+gT_R^a\bar F_{\mu\nu}^aS_L^{\mu\nu}$ ，便得到一圈背景作用量的行列式形式

\begin{aligned} e^{i\Gamma_1(\bar A,0,0;\bar A)} \propto{}& (\det\square_{A,(1,1)})^{+1} (\det\square_{A,(2,2)})^{-1/2}\\ &\times (\det\square_{R_{\rm DF},(2,1)\oplus(1,2)})^{+1/2} (\det\square_{R_{\rm CS},(1,1)})^{-1}. \end{aligned} \tag{78.58}

这里的 $(1,1)$ 、 $(2,1)\oplus(1,2)$ 和 $(2,2)$ 是第33节的洛伦兹表示维数记号。若物质有质量，复标量核变为 $\bar D^2-m_s^2$ 。对这里的向量型狄拉克场， $\gamma_5Q_D\gamma_5=-Q_D$ 把两个质量符号的行列式联系起来；在选定的参考背景附近，它们只差背景无关号。再用 $(Q_D-m_f)(Q_D+m_f)=Q_D^2-m_f^2$ ，取相同连续支后相应替换为 $\square_D-m_f^2$ 。这些质量改变完整有限作用量；本节 $\bar F^2$ 的质量无关紫外极部可以在有共同红外控制时单独提取。

最后核对行列式与图解的权重。对（78.58）取对数， $\operatorname{Tr}$ 同时包括时空、颜色和洛伦兹标签：

\begin{aligned} i\Gamma_1 ={}&\operatorname{Tr}\ln K_{\rm gh} -\frac12\operatorname{Tr}\ln K_v\\ &+\frac12\operatorname{Tr}\ln K_D^{(2)} -\operatorname{Tr}\ln K_{\rm CS} +\text{背景无关常数}. \end{aligned} \tag{78.59}

标量型算符 $K_s=\bar D^2$ 展开到 $\bar A^2$ ，恰好给出两个三点顶角组成的泡图，以及一个四点顶角组成的海鸥图。鬼项与复标量的算符相同而对数系数相反，所以每个闭鬼圈相对复标量多一个负号。矢量最小部分为 $K_sI_v$ ，洛伦兹单位阵的迹给 $d$ ，再乘实场的 $1/2$ ；它相当于 $d/2$ 个复标量。沿 $d=4-\epsilon$ 取极部时才可令 $d=4$ ，被省去的 $-\epsilon$ 只影响有限项。

自旋耦合由 $V_F=gT^a\bar F_{\mu\nu}^a S^{\mu\nu}$ 表示。将 $K_sI+V_F$ 先分解为 $K_s(I+K_s^{-1}V_F)$ ，再取对数，有

\begin{aligned} \operatorname{Tr}\ln(K_sI+V_F) ={}&\operatorname{Tr}\ln(K_sI) +\operatorname{Tr}(K_s^{-1}V_F)\\ &-\frac12\operatorname{Tr} (K_s^{-1}V_FK_s^{-1}V_F)+\cdots . \end{aligned} \tag{78.60}

时空核与场强相乘的顺序保留在每一项中。单个 $V_F$ 的洛伦兹迹为零，因此一个最小顶角与一个自旋顶角的混合圈也为零。对矢量场，（78.53）进一步给出

\begin{aligned} \operatorname{tr}_{A,v}(V_F^2) &=(-2ig)^2 \operatorname{tr}_A(T^aT^b) \bar F_\alpha{}^{a\beta}\bar F_\beta{}^{b\alpha}\\ &=4g^2T(A)\bar F_{\alpha\beta}^a\bar F^{a\alpha\beta}. \end{aligned} \tag{78.61}

第二步用了 $\bar F_\alpha{}^\beta\bar F_\beta{}^\alpha=-\bar F_{\alpha\beta}\bar F^{\alpha\beta}$ 。（78.59）的 $-1/2$ 乘对数展开的 $-1/2$ ，给两次插入的 $+1/4$ ，对应图78.1右图的两个源交换和两条实内线交换。

在两次场强插入这一阶，以自由逆核 $K_0^{-1}(\ell)=-1/(\ell^2-i0)$ 代替 $K_s^{-1}$ 。对数展开中的逆核已经由高斯积分产生，两项的负号相消，得到

i\Gamma_{v,F^2}=\frac14\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\,I(k)\,\operatorname{tr}[V_F(k)V_F(-k)].

代入（78.29）的极部和上面的矢量自旋迹，正好恢复（78.30）的系数，再将场强平方系数乘四得到（78.31）。

狄拉克平方算符可以作同样的检查。沿 $\operatorname{tr}_D I=4$ 的维数续接，先由四个gamma矩阵的迹得到

\begin{aligned} \operatorname{tr}_D [\gamma^\mu,\gamma^\nu][\gamma^\rho,\gamma^\sigma] &=16(g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho} -g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}),\\ \operatorname{tr}_D(S_D^{\mu\nu}S_D^{\rho\sigma}) &=g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma} -g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho},\\ \operatorname{tr}_{R,D}(V_F^2) &=2g^2T(R)\bar F_{\mu\nu}^a\bar F^{a\mu\nu}. \end{aligned} \tag{78.62}

第二行的号来自 $(i/4)^2=-1/16$ ，第三行的2来自两个反对称场强的缩并。这次对数前的系数为 $+1/2$ ，两次插入则给 $-1/4$ ，所以

\begin{aligned} i\Gamma_{D,F^2}\big|_{\rm pole} &=-\frac{ig^2T(R)}{16\pi^2\epsilon}\int d^4x\,\bar F^2,\\ \Pi_{D,\rm spin}\big|_{\rm pole} &=-\frac{g^2T(R)}{4\pi^2\epsilon}. \end{aligned} \tag{78.63}

狄拉克最小算符的迹给4，再乘 $+1/2$ ，相对复标量的 $-1$ 是 $-2$ 倍。将复标量已得的 $\Pi_{\rm CS}|_{\rm pole}=-g^2T(R)/(24\pi^2\epsilon)$ 代入，最小部分给 $+2$ 单位，自旋部分给 $-6$ 单位，合成 $-4$ 单位，正好还原狄拉克圈的完整贡献。

对于实表示中的马约拉纳场，以 $C$ 记电荷共轭矩阵，高斯积分给普法夫式 $\operatorname{Pf}(CQ_D)$ ，其平方为 $\det(CQ_D)$ ，故连续支上的对数是狄拉克场的一半。实标量的 $-1/2$ 次幂也直接是复标量 $-1$ 次幂的一半。外尔场在两点函数的偶宇称部分保留半个狄拉克迹；含 $\gamma_5$ 的部分在积分后只能正比于 $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}k_\rho k_\sigma=0$ 。由此得到后面物种计数中的三个半因子。

合并各场的贡献并求贝塔函数

狄拉克物质圈沿第73节的夸克闭圈已经求出的结果，只须将二次群迹换成完整物质表示；复标量圈则由（78.22）给出。为把不同来源放在同一归一下，将紫外极点写成下表。这里 $T(R_{\rm DF})$ 、 $T(R_{\rm CS})$ 对所有相应物种求和，因直和表示的迹等于各块迹之和。

\begin{array}{c|c} \text{圈的来源}& \Pi|_{\rm UV}\big/\bigl[g^2/(24\pi^2\epsilon)\bigr]\\ \hline \text{伴随鬼}&+C_A\\ \text{量子矢量最小动能}&-2C_A\\ \text{量子矢量自旋势}&+12C_A\\ \text{狄拉克物质}&-4T(R_{\rm DF})\\ \text{复标量物质}&-T(R_{\rm CS}) \end{array} \tag{78.32}

其中狄拉克项为 $-g^2T(R_{\rm DF})/(6\pi^2\epsilon)$ 。加上 $-(Z_B-1)$ 以后，要求总二点核没有紫外极点，在 $\overline{\mathrm{MS}}$ 方案下得到：

\begin{aligned} Z_B &=1+\frac{g^2}{24\pi^2\epsilon} \left[(1-2+12)C_A-4T(R_{\rm DF})-T(R_{\rm CS})\right]+O(g^4)\\ &=1+\frac{bg^2}{\epsilon}+O(g^4),\qquad b=\frac{11C_A-4T(R_{\rm DF})-T(R_{\rm CS})}{24\pi^2}. \end{aligned} \tag{78.33}

这里的 $\overline{\mathrm{MS}}$ 尺度已由 $\mu^2=4\pi e^{-\gamma_E}\widetilde\mu^2$ 固定。由于用的是 $\epsilon=4-d$ ，极点系数也须沿这一约定保留。

最后固定（78.9）中的裸耦合，对 $t=\ln\mu$ 求导。先保留 $d$ 维工程项，记 $B_g=dg/dt=-\epsilon g/2+\beta(g)$ ，则

\begin{aligned} 0&=\epsilon+\frac{2B_g}{g} -B_g\partial_g\ln Z_B,\\ \partial_g\ln Z_B&=\frac{2bg}{\epsilon}+O(g^3),\\ 0&=\frac{2\beta(g)}g -\left(-\frac{\epsilon g}{2}\right)\frac{2bg}{\epsilon} +O(g^4) =\frac{2\beta(g)}g+bg^2+O(g^4),\\ \beta(g) &=-\frac{g^3}{48\pi^2} \left[11C_A-4T(R_{\rm DF})-T(R_{\rm CS})\right]+O(g^5). \end{aligned} \tag{78.34}

第三行只保留一圈所需的 $g^2$ 阶； $\beta$ 乘一圈极点等项从 $g^4$ 起，需要和高圈反项一并处理。有限的 $bg^2$ 正是工程项乘极点留下的量，所以求导之前不能先令 $\epsilon=0$ 。这就由一个背景二点函数得到了贝塔函数，与第73节通过几个独立反项组合求得的答案相同。

若物质是同表示的外尔或马约拉纳场，二点函数的自由度权重为狄拉克的一半；实标量也是复标量的一半。于是对分别列出的物种，

\beta(g) =-\frac{g^3}{16\pi^2}\left[ \frac{11}{3}C_A-\frac23\sum_{\text{外尔}}T(R_f) -\frac16\sum_{\rm real}T(R_s)\right]+O(g^5). \tag{78.35}

一个复标量等于两个实标量，一个狄拉克场等于两套外尔自由度，代回便恢复（78.34）。对单独的马约拉纳或独立实标量，规范变换还须保持相应实条件，因而需要合适的实表示。一般外尔表示不受同样的实条件限制，但它们组成的规范理论须满足前章的反常条件。这些半因子也与前面的高斯积分一致。

作为阿贝尔极限，把 $C_A$ 设为零并保留一个单位电荷狄拉克场，（78.34）给 $\beta(g)=g^3/(12\pi^2)+O(g^5)$ ，恢复第66节的电动力学结果。自旋行列式也提供了另一种比较：由狄拉克二阶核求出的最小部分 $+2$ 与自旋部分 $-6$ ，其和正好是表中的 $-4$ 。

对QCD，规范群是 $SU(3)$ ，有 $n_F$ 个基本表示狄拉克夸克味，没有基本标量。代入 $C_A=3$ 、 $T(R_{\rm DF})=n_F/2$ ，得到

\begin{gathered} \beta_{\rm QCD}(g) =-\frac{g^3}{16\pi^2}\left(11-\frac23n_F\right)+O(g^5),\\ \frac1{g^2(\mu)} =\frac1{g^2(\mu_0)} +\frac{11-2n_F/3}{8\pi^2}\ln\frac{\mu}{\mu_0} \qquad\text{（一圈，固定活跃味数）}. \end{gathered} \tag{78.36}

第二行由 $d(g^{-2})/dt=-2g^{-3}\beta$ 直接积分得到。对整数 $n_F\le16$ ，对数项系数为正，能标增大时耦合减小，这就是紫外渐近自由。取 $n_F=6$ 时，括号为7；在跨越夸克质量阈值的实际应用中，应按第28、29节的方法匹配活跃物种。在低能耦合变大以后，一圈式便不再提供受控的近似。

背景方法还解释了答案为何会有这样的号。标量型的轨道运动与鬼合计只给 $-C_A$ ，场强对自旋的耦合却给 $+12C_A$ ；它们组成 $11C_A$ ，再由裸耦合的关系转成负的贝塔函数。物质场产生相反方向的贡献，物种足够多时可以抵消规范场的作用。这里的分解依赖所选背景规范，但最后的一圈贝塔系数与先前计算一致。背景场因此既减少了所需的图，也把规范场自相互作用中起决定作用的部分显露出来。

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