Srednicki §35 旋量指标的运算

上一节确定了两种旋量的变换规律。要用这些场构造拉格朗日量，还需要知道怎样把旋量组合成洛伦兹标量、矢量和张量。计算中有两种负号：一种来自升降指标所用的反对称符号$\epsilon$，另一种来自费米场的反对易性。先求出不变符号的缩并恒等式，再约定省略指标时的缩并次序，就能把场的乘积写得简洁。

继续取$g=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$，$\epsilon^{12}=\epsilon_{21}=+1$、$\epsilon^{21}=\epsilon_{12}=-1$，点指标采用相同的数值。所有升降都同$\epsilon$的第二个指标缩并，例如$\psi^a=\epsilon^{ab}\psi_b$。不变符号$\sigma^\mu=(I,\boldsymbol\sigma)$的行、列分别对应下无点和下点指标；三个泡利矩阵的具体数值及乘法见（34.4）–（34.5）。后面的每一次缩并都沿用这些约定。

两个$\sigma$的缩并

先考虑$\sigma^\mu_{a\dot a}\sigma_{\mu b\dot b}$。洛伦兹指标缩并以后，这个不变张量只剩两个无点指标和两个点指标。每一对基本表示各只有一个反对称单态，因而它只能正比于$\epsilon_{ab}\epsilon_{\dot a\dot b}$。确定比例系数只需计算一组非零分量；为了同时掌握以后会反复用到的缩并方法，我们先从二阶矩阵的完备性求出全部分量。

任意复二阶矩阵$M$都能在$I,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$上展开。要分离单位矩阵的系数，对展开式取迹即可；要分离某个泡利矩阵的系数，则先乘$\sigma_i$再取迹。利用$\operatorname{tr}\sigma_i=0$、$\operatorname{tr}(\sigma_i\sigma_j)=2\delta_{ij}$，得到

为了把矩阵展开式变成分量恒等式，取$M$为只有第$t$行、第$u$列等于1、其余元素全为零的矩阵，再比较等式两边的第$r$行、第$s$列。这给出

这里的$r,s,t,u$只是所选基底中的矩阵行列编号。把它们分别用作两个$\sigma$的行、列，便能求出三个空间分量的和；再加入时间分量，并计入度规在时间方向的负号，所求缩并就成为

中间各项的$\delta$只表示两个取值为1、2的数值标签相等，最后一行才重新写成不变张量。所用的二维恒等式$\epsilon_{ab}\epsilon_{\dot a\dot b} =\delta_{a\dot a}\delta_{b\dot b}-\delta_{a\dot b}\delta_{b\dot a}$，可以按每对指标相等或不等逐项确认。例如取$a=\dot a=1,b=\dot b=2$，只有时间分量和第三空间分量非零，各贡献$-1$，总和为$-2$，确定了比例系数。既然这些数值矩阵代表不变符号，它们的具体缩并就必须具有由不变性确定的张量形式。

也可以先缩并旋量指标，留下两个洛伦兹指标，考虑$T^{\mu\nu}=\epsilon^{ab}\epsilon^{\dot a\dot b} \sigma^\mu_{a\dot a}\sigma^\nu_{b\dot b}$。 对任意二阶数值矩阵$A,B$，仍用同一个二维$\epsilon$恒等式，就能把两个$\epsilon$的缩并化为迹的组合：

于是各时空分量都可直接由迹求出。取$A=B=I$时，$T^{00}=4-2=2$；若一个矩阵为$I$、另一个为$\sigma_i$，则因泡利矩阵无迹而得到零；两个都为空间泡利矩阵时，$T^{ij}=-2\delta_{ij}$。把这三类分量合在一起，便得到

这个只带两个洛伦兹指标的不变张量必与$g^{\mu\nu}$成比例，分量计算确定了其中的系数。这样，无论先缩并洛伦兹指标还是先缩并旋量指标，两个$\sigma$的乘积都有了可直接使用的化简式。

从不变符号求生成元

不变符号还包含了关于生成元的信息。上一节由泡利矩阵无迹得到降指标后的$S_L$对称；现在从有限变换出发，可以更直接地看出这一性质怎样来自不变性。在$\epsilon_{ab}=L_a{}^cL_b{}^d\epsilon_{cd}$中，将两个$L$各展开到$\omega$的一阶。零阶项自动相等，一阶项则必须彼此抵消：

第一项中的$\epsilon_{cb}$与降低生成元第二指标所需的$\epsilon_{bc}$次序相反，因此这一项带负号。由于六个独立变换参数都可任意选择，方括号只能为零，两个下指标的对称性由此得出。把有限变换换成$R$，并将指标全部改为点指标，同样的展开也给出右手生成元的对称性：

接着把这个办法用于$\sigma$。它同时联系矢量、左手旋量和右手旋量三个表示，所以它的不变性将给出三组生成元之间的关系。同时变换三个指标，不变性写为

三个指标同时变换以后，$\sigma$的数值仍与变换前相同。将两个旋量矩阵分别写为$L=I+i\omega_{\mu\nu}S_L^{\mu\nu}/2+O(\omega^2)$、$R=I+i\omega_{\mu\nu}S_R^{\mu\nu}/2+O(\omega^2)$，再将矢量矩阵写为$\Lambda=I+i\omega_{\mu\nu}S_V^{\mu\nu}/2+O(\omega^2)$。其中，矢量表示的生成元是

乘积的一阶项来自三个矩阵各自的一阶展开。将它们相加，分离共同的变换参数后再乘$i$，得到生成元必须满足的约束：

要从这个约束中解出旋量生成元，可以先消去剩余的矢量指标。为此乘$\sigma_{\rho c\dot c}$并缩并$\rho$，前两项便成为$\sigma^\mu_{c\dot c}\sigma^\nu_{a\dot a} -\sigma^\nu_{c\dot c}\sigma^\mu_{a\dot a}$。后两项各含一次两个$\sigma$缩并，可用（35.3）化简。例如左手项的完整过程是

最后一步利用$\epsilon_{bc}=-\epsilon_{cb}$，把生成元第二指标降下时所需的次序恢复过来。右手项按点指标作相同的运算，成为$2i(S_R^{\mu\nu})_{\dot a\dot c}\epsilon_{ac}$。因此，含矢量指标的约束被化为纯旋量指标的等式：

现在已经可以分别解出左右两组生成元。先乘$\epsilon^{\dot a\dot c}$：对称的$S_R$与反对称的$\epsilon$缩并为零，而左手项中的全缩并给出$\epsilon^{\dot a\dot c}\epsilon_{\dot a\dot c}=-2$，使其系数成为$-4i$。将前两项的数值$\sigma$因子交换次序，再解出$S_L$，就有

若改为乘$\epsilon^{ac}$，被消去的就是左手对称项。右手项的系数同样为$-4i$，因而得到

两组生成元由此都表示为不变符号的乘积。系数中的$1/4$来自两处缩并：先将两个$\sigma$化为$\epsilon$，再将两个$\epsilon$全缩并。记住这两步，在改变自由指标的位置时就能继续追踪各项的系数和符号。

$\bar\sigma$及两种自由指标的位置

上面两式还显式带着$\epsilon$。把$\sigma$的两个旋量指标升起，并将点指标排在无点指标之前，就能把它们写成通常的矩阵乘积。为此定义

新矩阵把原来的列指标放在行的位置，因此用第34节的$E$表示这次升降时，还要对原矩阵作一次转置：

代入$E^{-1}=i\sigma_2$、$(E^{-1})^T=-E^{-1}$，两个$i$产生的负号与转置带来的负号相抵，便得到右侧的泡利矩阵乘积。对$\mu=0$，这一乘积为$\sigma_2^2=I$；对$\mu=1,3$，利用$\sigma_i^T=\sigma_i$，两次泡利矩阵乘法给出$-\sigma_i$；对$\mu=2$，则由$\sigma_2^T=-\sigma_2$得到同样的$-\sigma_2$。所以四个矩阵为

现在回到（35.13），升起第二指标以后，$\epsilon^{bc}\epsilon^{\dot a\dot c}\sigma^\nu_{c\dot c} =\bar\sigma^{\nu\dot a b}$，原来显式写出的$\epsilon$便被包含在$\bar\sigma$中，左手生成元成为

对于（35.14），升起的是第一点指标。此时要用$\epsilon^{ac}=-\epsilon^{ca}$，把无点指标按构成$\bar\sigma$所需的$c,a$次序排列。因此右手一式多出一个负号：

这两个矩阵乘积保留着不同位置的自由指标。左式省略的缩并点指标按先下后上排列，右式省略的无点指标则按先上后下排列。省略的次序和留下的自由指标都必须与分量式一致，才能正确使用这些简写。

尤其在与第34节的$S_R=-S_L^*$比较时，要先弄清右式经过了哪一次升降。令$S$表示$(S_R)_{\dot a}{}^{\dot b}$的数值矩阵；将第一指标升起、第二指标降下，按同一缩并规则得到

这里在右侧乘$E^T$，是因为被缩并的$\dot d$位于$\epsilon_{\dot b\dot d}$的第二个指标位置。若改看场分量列的变换，将下点列换成上点列以后，生成矩阵按基变换成为$E^{-1}SE=-T_R$。所以升降生成元张量的两个指标，与改用上点分量表示场的变换，所得矩阵相差一个负号。原点处的场对易式相应写为

这一步也可直接由$\psi^{\dagger\dot a}=\epsilon^{\dot a\dot c} \psi^\dagger_{\dot c}$及下点场的对易式得到。 将转动和推动分量直接代入，左手一式给出

右手张量的两个自由指标位置与左式不同，其矩阵乘积给出

这也可从下点场的$S_R=-S_L^*$求得：$T_R=-E^{-1}S_RE=E^{-1}S_L^*E$，而$E^{-1}\sigma_i^*E=-\sigma_i$。空间分量因此变号；推动分量中的$i$先经共轭变号，再同泡利矩阵变号相抵。真正作用于上点场的生成矩阵为$-T_R$，故$J_i=\sigma_i/2$、$K_i=-i\sigma_i/2$，与（34.22）一致。

反对称的$\sigma$乘积给出生成元，对称部分也有简单的形式。由刚求出的$\bar\sigma$分量可得

两个时间指标给$2I$；一个时间和一个空间指标时，两项抵消；两个空间指标则给$-\{\sigma_i,\sigma_j\}=-2\delta_{ij}I$，所以对称部分只剩度规。它将把以后动能计算中成对出现的$\sigma$矩阵化为时空指标的缩并，与前面的生成元表达式一起构成常用的化简工具。

无指标记号与费米场

矩阵乘积中的缩并次序确定以后，也可以把同样的规则用于旋量场。省去无点缩并指标时约定先上后下，省去点指标时约定先下后上：

这两个乘积都是洛伦兹标量，因为一个因子的变换矩阵会与另一个因子的对偶矩阵相消。以左手乘积为例，上指标列按$(L^{-1})^T$变换，放在缩并的第一因子中便给出$L^{-1}L=I$，从而恢复原来的乘积。

不过，缩并的次序与两个场的乘法次序是两个不同问题。为了描述自旋$1/2$费米子，构造经典拉格朗日量时将外尔场分量取为格拉斯曼奇量：两个奇量交换位置要变号，每个独立生成元的平方因而为零。采用这种奇场代数，分量之间满足

以下缩并采用这套经典奇场代数。量子场的正则反对易关系见第 37 节和第 39 节，不同时空点的反对易子还由场的种类和动力学决定。交换一个缩并乘积中的两个旋量时，场换序与指标升降分别给出负号：

第一个负号来自两个奇场的交换，第二个来自第34节确定的上下指标缩并次序。两者相消，使缩并结果在交换整个旋量时保持不变。因而将两个相同旋量缩并，一般也不等于零。把缩并写成两个分量的乘积，便有

这里非零的是两个不同分量的乘积；正是这个洛伦兹标量，为两分量场的质量项提供了所需的代数结构。点指标的计算完全平行：先用奇场交换，再用点$\epsilon$的反对称性，也得到$\chi^\dagger\psi^\dagger=\psi^\dagger\chi^\dagger$。

对这些标量取厄米共轭时，应先按伴随操作倒转全部因子的次序，同时将无点指标换成点指标。逐因子写出这一操作，得到

乘积取伴随已经完成了次序的倒转，这一步本身不另用反交换规则；只有在随后再交换两个带$\dagger$的场时，才会产生新的奇场负号。为使省略指标后仍能辨认手征性，这里把右手场统一写为某个左手场的厄米共轭，于是不带$\dagger$的符号表示左手场，带$\dagger$的表示右手场。这是一种命名约定：若有一个独立的右手场，就用一个新的左手场名称的$\dagger$来表示，独立场的数目不因此改变。

矢量双线性及其厄米共轭

标量乘积将旋量指标全部直接缩并；在两个场之间插入一个$\bar\sigma$，则能留下一个洛伦兹指标，构成矢量双线性：

要确定这个双线性的变换规律，先把（35.8）中的两个旋量指标升起。利用$E^{-1}L^*E=(L^\dagger)^{-1}$和$E^{-1}LE=(L^{-1})^T$，原来的不变关系成为$\bar\sigma^\mu=\Lambda^\mu{}_{\nu}(L^\dagger)^{-1} \bar\sigma^\nu L^{-1}$。 将两侧的逆矩阵消去，就得到可直接代入场变换的形式：

下点共轭分量按$L^*$变换，作为缩并的第一因子时产生左侧的$L^\dagger$；第二个左手分量则给出右侧的$L$。保持两个场的先后次序，便可用上一式把旋量变换合成矢量变换，同时将场的时空宗量一并带入：

场的时空宗量与分量因子都满足矢量变换律。最后再对这个双线性逐因子取伴随。由于$\bar\sigma^\mu=(I,-\boldsymbol\sigma)$的四个矩阵都是厄米的，矩阵元素共轭后可交换其行列指标，得到

取共轭已经倒转了乘法次序，这里没有再交换两个奇场，所以也没有额外负号。特别地，取$\chi=\psi$时，这个矢量为厄米量。若让导数作用在第二个场上，再将时空指标缩并，$\psi^\dagger\bar\sigma^\mu\partial_\mu\chi$便成为洛伦兹标量，可用于构造下一节的动能；而（35.26）给出了质量项所需的标量结构。

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