Srednicki §64 电子的磁矩

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上一节求出的 $F_2(0)=\alpha/(2\pi)+O(\alpha^2)$ 会改变电子在弱磁场中的能量。求出能量对磁场的一次响应，就能把这个顶角系数转化为磁矩。计算中既要保留顶角的新泡利项，也要保留原来最小耦合的贡献。后者虽然没有显式写出自旋矩阵，却会通过动量旋量的变化产生磁矩。

从形状因子写出磁场耦合

沿用 $q=p'-p$ 及本书的 $(-+++)$ 度规，上一节的在壳顶角为

\begin{gathered} \bar u'V^\mu(p',p)u =e\bar u'\left[F_1(q^2)\gamma^\mu -\frac{i}{m}F_2(q^2)S^{\mu\nu}q_\nu\right]u,\\ S^{\mu\nu}=\frac i4[\gamma^\mu,\gamma^\nu]. \end{gathered} \tag{64.1}

我们关心的是匀强磁场的响应，所需转移动量趋于零。因此这里只用到

F_1(0)=1,\qquad F_2(0)=\frac{\alpha}{2\pi}+O(\alpha^2),\qquad \alpha=\frac{e^2}{4\pi}. \tag{64.2}

第一式是物理电荷的归一条件，第二式才是圈计算给出的结果。为把这两个系数用于经典外场，可像第21节那样，用量子作用量的相应项来表示完整顶角。在含一对电子场和一个外光子的部分，选择

\Gamma_{\rm int}^{(1A)} =\int d^4x\left[ eF_1(0)\bar\Psi\gamma^\mu A_\mu\Psi +\frac{eF_2(0)}{2m} F_{\mu\nu}\bar\Psi S^{\mu\nu}\Psi \right]+\text{高阶转移项}. \tag{64.3}

这是在壳矩阵元的低转移匹配，乘外电子运动方程后消失的项不影响它。第63节先保持正的红外调节质量，使转移展开可以在零点进行。磁矩所需的系数由 $F_1(0)$ 和有限的 $F_2(0)$ 给出，求出后再去掉调节质量。

第二项的系数可直接核对。对入射光子的一个平面波分量，取 $A_\mu=\varepsilon_\mu^*e^{iqx}$ ，于是

\begin{aligned} F_{\mu\nu} &=i(q_\mu\varepsilon_\nu^*-q_\nu\varepsilon_\mu^*)e^{iqx},\\ \frac{eF_2(0)}{2m}F_{\mu\nu}S^{\mu\nu} &=\frac{ieF_2(0)}m q_\mu S^{\mu\nu}\varepsilon_\nu^*e^{iqx}\\ &=-\frac{ieF_2(0)}m S^{\mu\nu}q_\nu\varepsilon_\mu^*e^{iqx}. \end{aligned} \tag{64.4}

第一步用 $S^{\mu\nu}=-S^{\nu\mu}$ 把两项合并，消去 $1/2$ ；第二步交换哑指标，再使用反对称性，得到顶角中的负号。作用量在振幅中还要乘 $i$ ，所以从这里读取的是 $V^\mu$ ，相应顶角因子仍为 $iV^\mu$ 。

现在取沿第三轴的匀强磁场，选择规范势

\begin{gathered} A_0=0,\qquad \mathbf A=(0,Bx,0),\qquad F_{12}=-F_{21}=B,\\ \widetilde A_2(q)=iB(2\pi)^4\delta(q^0)\, \partial_{q_1}\delta^3(\mathbf q),\\ \widetilde F_{12}(q)=B(2\pi)^4\delta(q^0)\delta^3(\mathbf q), \qquad q^2\widetilde A_2(q)=0. \end{gathered} \tag{64.5}

这里 $x=x^1$ ，傅里叶变换采用 $A_\mu(x)=\int d^4q\,e^{iqx}\widetilde A_\mu(q)/(2\pi)^4$ 。把 $x$ 变成对 $q_1$ 的导数便得到第二行，再用 $q_1\partial_{q_1}\delta^3=-\delta^3$ 得到场强的第三行。 $q^2$ 乘这个δ函数导数时，其零点值和一次导数都为零，故乘积为零；固定调节下含额外 $q^2$ 的形状因子项因此不贡献匀强磁场响应。同时 $F_{\mu\nu}S^{\mu\nu}=2BS^{12}$ ，其它场强分量均不参与。

归一化波包与磁矩的定义

为了得到有限范数的静止电子态，先按第38节不附加转动的推动约定选定 $s=+$ 的旋量，再把动量集中在 $\mathbf p=0$ 附近。记

\begin{aligned} |e\rangle &=\int d\widetilde p\,f(\mathbf p)b_+^\dagger(\mathbf p)|0\rangle,\\ d\widetilde p&=\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf p}}, \qquad\omega_{\mathbf p}=\sqrt{m^2+\mathbf p^2},\\ \{b_+(\mathbf p'),b_+^\dagger(\mathbf p)\} &=(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf p} \delta^3(\mathbf p'-\mathbf p),\\ \langle e|e\rangle &=\int d\widetilde p'\,d\widetilde p\, f^*(\mathbf p')f(\mathbf p)(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf p} \delta^3(\mathbf p'-\mathbf p)\\ &=\int d\widetilde p\,|f(\mathbf p)|^2=1. \end{aligned} \tag{64.6}

δ函数消去一个动量积分时，其 $2\omega$ 恰好与该积分的测度相消。选择径向函数 $f(\mathbf p)=f(|\mathbf p|)$ ，轨道生成元 $-i\mathbf p\times\nabla_{\mathbf p}$ 作用于包函数便为零；沿第三轴的角动量由所选自旋给出。

具体选择高斯波包。把归一常数记为 $\mathcal N_a$ ，有

\begin{aligned} f_a(\mathbf p)&=\mathcal N_a e^{-a^2\mathbf p^2/2},\\ \mathcal N_a^{-2} &=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf p}}e^{-a^2\mathbf p^2}\\ &=\frac{\pi^{3/2}}{(2\pi)^3\,2ma^3} \left[1-\frac{3}{4a^2m^2}+O((am)^{-4})\right],\\ \frac{\Delta p}{m}&\sim\frac1{am}\ll1,\qquad am\gg1. \end{aligned} \tag{64.7}

这个展开用 $1/\omega=m^{-1}[1-\mathbf p^2/(2m^2)+\cdots]$ ，再用 $\int d^3p\,e^{-a^2p^2}=\pi^{3/2}/a^3$ 及其对 $a^2$ 的导数。对 $x\ge0$ ，泰勒余项满足 $0\le(1+x)^{-1/2}-1+x/2\le3x^2/8$ ；取 $x=\mathbf p^2/m^2$ 后由下一高斯矩控制误差，因而大动量尾部不妨碍所写渐近阶次。动量分布的宽度与 $a$ 成反比，因此窄动量包要求 $a\gg1/m$ 。

静磁场的两项耦合都不含新的费米场时间导数，所以线性相互作用哈密顿量由 $-\mathcal L_{\rm int}$ 得到：

H_1=-eB\int d^3x\, \bar\Psi\left[x\gamma^2+\frac{F_2(0)}mS^{12}\right]\Psi. \tag{64.8}

令 $\delta E$ 表示相对于真空的单电子能移。磁矩就是这个能移对磁场的一次响应：

\delta E=\langle e|H_1|e\rangle=-\mu_z B,\qquad \mu_z=-\left.\frac{\partial\,\delta E}{\partial B}\right|_{B=0}. \tag{64.9}

我们先对固定有限 $a$ 的波包取这个导数，再取 $am\to\infty$ 的静止极限。若把 $B$ 看作小而有限的数， $|eB|a^2\ll1$ 是一组足够的弱场条件：在波包尺度上，磁场改变的动量 $|eB|a$ 小于原来的动量宽度 $1/a$ 。计算只保留关于 $B$ 的一次项、非相对论展开的首项，以及形状因子的一圈修正。

空间坐标怎样变为旋量的动量导数

下面在 $t=0$ 计算这个期望值。将自由场的平面波展开用于有效哈密顿量的树级矩阵元；圈修正已经包含在 $F_2$ 中。取相对于真空正规序的局部双线性，电子的两个外算符分别与其中的 $b^\dagger,b$ 相配，得到

\begin{aligned} &\langle0|b_+(\mathbf p'):\bar\Psi_\alpha(x)\Psi_\beta(x): b_+^\dagger(\mathbf p)|0\rangle\\ &\qquad=\bar u_+(\mathbf p')_\alpha u_+(\mathbf p)_\beta e^{i(p-p')x}. \end{aligned} \tag{64.10}

每次收缩都给 $(2\pi)^3\,2\omega\,\delta^3$ ，与相应场展开的测度相消，所以右边没有额外的 $2\omega$ 。电子部分的算符次序是 $b(\mathbf p')b^\dagger(\mathbf k')b(\mathbf k)b^\dagger(\mathbf p)$ ，两次收缩均取正号。正规序去掉真空收缩，留下这个连通单粒子矩阵元。

用两个包函数组合平面波态，就有

\begin{aligned} \delta E=-eB\int d\widetilde p\,d\widetilde p'\,d^3x\, &e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x} f^*(\mathbf p')\bar u_+(\mathbf p')\\ &\times\left[x\gamma^2+\frac{F_2(0)}mS^{12}\right] u_+(\mathbf p)f(\mathbf p). \end{aligned} \tag{64.11}

泡利项不显含坐标，空间积分直接给δ函数。最小耦合项多一个 $x$ ，可先写成动量导数：

x\,e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x} =-i\partial_{p_1}e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x}. \tag{64.12}

这个形式使用 $t=0$ ；在一般时间，四维相位中的 $\omega_{\mathbf p}t$ 也参与求导。选定零时刻的波包使所需的静磁响应计算最为直接。

分部积分时，导数不仅作用于 $u_+f$ ，还要作用于 $d\widetilde p$ 中的 $1/(2\omega)$ 。将 $\mathbf p$ 积分暂时写为普通勒贝格测度，便有

\begin{aligned} &-i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{u_+f}{2\omega}\,\partial_{p_1} e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x}\\ &\qquad=i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x} \partial_{p_1}\left(\frac{u_+f}{2\omega}\right),\\ \partial_{p_1}\left(\frac{u_+f}{2\omega}\right) &=\frac1{2\omega} \left(\partial_{p_1}-\frac{p_1}{\omega^2}\right)(u_+f). \end{aligned} \tag{64.13}

高斯衰减使无穷远表面项为零。最后一行用了 $\partial_{p_1}\omega=p_1/\omega$ ，因而 $\partial_{p_1}\ln(1/2\omega)=-p_1/\omega^2$ 。

接着做空间积分，再用 $(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf p')$ 消去 $p'$ 。这一次δ函数来自傅里叶积分，前面没有收缩产生的 $2\omega'$ ，所以 $p'$ 测度中的 $1/(2\omega')$ 会留下来。完整的一动量式为

\delta E=-eB\int\frac{d\widetilde p}{2\omega}\, f^*\bar u_+ \left[i\gamma^2\left(\partial_{p_1}-\frac{p_1}{\omega^2}\right) +\frac{F_2(0)}mS^{12}\right](u_+f). \tag{64.14}

其中的测度导数项来自协变归一。对本节的径向波包，该项的积分恰好为零。利用 $\bar u_+\gamma^2u_+=2p_2$ ，两个不对旋量求导的贡献分别正比于

\begin{aligned} \int\frac{d\widetilde p}{2\omega}\, 2ip_2 f^*\partial_{p_1}f&=0,\\ \int\frac{d\widetilde p}{2\omega}\, \left(-\frac{2ip_1p_2}{\omega^2}\right)|f|^2&=0. \end{aligned} \tag{64.15}

径向 $f$ 的导数带 $p_1$ ，其余系数只依赖 $p^2$ ；两行在反射 $p_1\to-p_1$ 或 $p_2\to-p_2$ 时都变号。因此余下的最小耦合贡献来自 $\partial_{p_1}u_+$ ，这正是自旋磁矩从狄拉克耦合中出现的位置。

静止旋量的变化给出狄拉克磁矩

第38节已用不附加转动的推动构造了动量旋量。现在只需这个推动在原点的一阶展开：

\begin{aligned} u_s(\mathbf p)&=\exp(i\eta\hat{\mathbf p}\cdot\mathbf K)\,u_s(0),\\ K^j&=S^{j0}=\frac i2\gamma^j\gamma^0,\qquad \eta=\operatorname{arsinh}(|\mathbf p|/m),\\ \eta\hat p_j&=\frac{p_j}{m}+O(|\mathbf p|^3/m^3),\\ u_s(\mathbf p) &=\left[1+\frac{i}{m}p_jK^j+O(\mathbf p^2/m^2)\right]u_s(0). \end{aligned} \tag{64.16}

虽然 $\hat{\mathbf p}$ 在原点没有确定方向，乘积 $\eta\hat{\mathbf p}$ 在原点却有平滑的一阶展开，因而动量导数存在。对 $p_1$ 求导，并用静止正能旋量的 $\gamma^0u_s(0)=u_s(0)$ ，得到

\left.\partial_{p_1}u_+(\mathbf p)\right|_{\mathbf p=0} =\frac{i}{m}K^1u_+(0) =-\frac1{2m}\gamma^1\gamma^0u_+(0) =-\frac1{2m}\gamma^1u_+(0). \tag{64.17}

代入最小耦合项，两个空间伽马的反对易关系给

\begin{aligned} \left.\bar u_+i\gamma^2\partial_{p_1}u_+\right|_{\mathbf p=0} &=-\frac{i}{2m}\bar u_+(0)\gamma^2\gamma^1u_+(0)\\ &=\frac{i}{2m}\bar u_+(0)\gamma^1\gamma^2u_+(0)\\ &=\frac1m\bar u_+(0)S^{12}u_+(0). \end{aligned} \tag{64.18}

所以狄拉克项与泡利项现在具有相同的自旋矩阵结构。前者的系数为1，后者的系数为 $F_2(0)$ ；它们会相加。

对径向窄包，线性于 $\mathbf p$ 的修正角积分为零，首个相对修正为 $\langle\mathbf p^2\rangle/m^2=O((am)^{-2})$ 。同时，

\begin{aligned} \int\frac{d\widetilde p}{2\omega}|f_a|^2 &=\frac1{2m}\left[1+O((am)^{-2})\right],\\ \delta E &=-\frac{eB}{2m^2}[1+F_2(0)] \bar u_+(0)S^{12}u_+(0) +O\left(\frac{|eB|}{m(am)^2}\right). \end{aligned} \tag{64.19}

第一行保留原有的相对论归一 $\int d\widetilde p\,|f_a|^2=1$ ，只对额外留下的 $1/(2\omega)$ 作展开。这个额外因子使第二行的分母成为 $2m^2$ ；该行按静止近似理解。

最后使用自旋本征值和旋量范数，

\begin{aligned} S^{12}u_\pm(0)&=\pm\frac12u_\pm(0),\qquad \bar u_\pm(0)u_\pm(0)=2m,\\ \bar u_+(0)S^{12}u_+(0)&=m,\\ \delta E &=-\frac{eB}{2m}\left[1+\frac{\alpha}{2\pi} +O(\alpha^2)+O((am)^{-2})\right]. \end{aligned} \tag{64.20}

依磁矩定义，并取静止极限，便得

\begin{aligned} \boldsymbol\mu&=g\,\frac e{2m}\,\mathbf S,\qquad \mu_z=g\,\frac e{2m}\,\frac12,\\ g&=2[1+F_2(0)] =2\left[1+\frac{\alpha}{2\pi}+O(\alpha^2)\right],\\ a_e:=\frac{g-2}{2}&=F_2(0). \end{aligned} \tag{64.21}

这里 $a_e$ 称反常磁矩的无量纲系数，区别于波包的长度 $a$ 。最小狄拉克耦合给 $g=2$ ，一圈泡利项给第一个偏离2的修正。由于 $e<0$ ，自旋向上态的 $\mu_z$ 为负，磁矩与自旋反向；沿正第三轴加磁场时，该态的能量升高。这里的 $e/(2m)$ 带电荷符号；用作正单位的玻尔磁子大小为 $\mu_B=|e|/(2m)$ 。

还可用经典带电旋转小球来比较这个结果。若电荷密度和质量密度处处成同一比例 $\rho_e=(e/m)\rho_m$ ，并且两者具有同一个速度场 $\mathbf v$ ，则

\boldsymbol\mu_{\rm cl} =\frac12\int d^3x\,\mathbf r\times(\rho_e\mathbf v) =\frac e{2m}\int d^3x\,\mathbf r\times(\rho_m\mathbf v) =\frac e{2m}\mathbf L. \tag{64.22}

经典轨道运动的系数因而对应 $g_L=1$ 。电子自旋的狄拉克值是它的两倍，这个差别由式（64.18）的旋量计算得出。下文给波包加上球谐角向依赖，直接从同一个哈密顿量求出轨道磁矩与自旋磁矩的和。

有限宽度波包的静止极限

还可以在式（64.8）所取的两项中保留全部波包动量，检查前面的非相对论近似怎样成立。为方便写分量，暂把第38节的外尔矩阵作一个常数酉变换：

T=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}I_2&I_2\\-I_2&I_2\end{pmatrix}, \qquad u_D=Tu_W,\qquad \gamma_D^\mu=T\gamma_W^\mu T^\dagger. \tag{64.23}

于是 $\gamma_D^0=\operatorname{diag}(I_2,-I_2)$ ， $\gamma_D^i=\left(\begin{smallmatrix}0&\sigma_i\\-\sigma_i&0\end{smallmatrix}\right)$ 。这是同一克利福德代数的另一组矩阵；所有双线性都保持原值，以下略去下标 $D$ 。对 $\chi=(1,0)^T$ ，式（64.16）的完整推动可写为

u_+(\mathbf p)=\sqrt{\omega+m} \begin{pmatrix}\chi\\ \dfrac{\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p}{\omega+m}\chi\end{pmatrix}, \qquad S^{12}=\frac12\begin{pmatrix}\sigma_3&0\\0&\sigma_3\end{pmatrix}. \tag{64.24}

这由 $\cosh(\eta/2)=\sqrt{(\omega+m)/(2m)}$ 和 $\sinh(\eta/2)=|\mathbf p|/\sqrt{2m(\omega+m)}$ 代入推动矩阵得到。泡利项的双线性为

\begin{aligned} \bar u_+S^{12}u_+ &=\frac{\omega+m}{2} \left[1-\frac{\chi^\dagger(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p) \sigma_3(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p)\chi} {(\omega+m)^2}\right]\\ &=\frac{\omega+m}{2} -\frac{2p_3^2-\mathbf p^2}{2(\omega+m)} =\omega-\frac{p_3^2}{\omega+m}. \end{aligned} \tag{64.25}

第二行用 $(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p)\sigma_3 (\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p) =2p_3(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p)-\mathbf p^2\sigma_3$ ，并代入 $\chi^\dagger\boldsymbol\sigma\chi=(0,0,1)$ 。

最小耦合项中的导数也可直接求出。记 $n=\sqrt{\omega+m}$ 、 $R=\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p/(\omega+m)$ ，则 $\partial_1n=p_1/(2\omega n)$ ， $\partial_1R=\sigma_1/(\omega+m) -p_1\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p/[\omega(\omega+m)^2]$ 。按上下两个块相乘，有

\begin{aligned} \bar u_+i\gamma^2\partial_{p_1}u_+ &=n(\partial_1n)\chi^\dagger(i\sigma_2R+Ri\sigma_2)\chi\\ &\quad+n^2\chi^\dagger i\sigma_2(\partial_1R)\chi\\ &=\frac{ip_1p_2}{\omega(\omega+m)} +1-\frac{p_1(p_1+ip_2)}{\omega(\omega+m)}\\ &=1-\frac{p_1^2}{\omega(\omega+m)}. \end{aligned} \tag{64.26}

这里 $\{\sigma_2,\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p\}=2p_2I$ 、 $\chi^\dagger i\sigma_2\sigma_1\chi=1$ ，而 $\chi^\dagger i\sigma_2(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p)\chi=p_1+ip_2$ 。虚部在两种导数之间消去，静止点的值正好为1。

定义径向包的平均 $\langle h(\omega)\rangle_f=\int d\widetilde p\,|f|^2h(\omega)$ 。对球面作角平均时 $p_1^2$ 、 $p_3^2$ 均变成 $\mathbf p^2/3$ ，再用 $\mathbf p^2/(\omega+m)=\omega-m$ 。式（64.14）于是给

\mu_z(f)=\frac e{2m}\left[ \left\langle\frac{m(2\omega+m)}{3\omega^2}\right\rangle_f +F_2(0)\left\langle\frac{2\omega+m}{3\omega}\right\rangle_f \right]. \tag{64.27}

两个平均在静止极限都趋于1。展开 $\omega/m=\sqrt{1+\mathbf p^2/m^2}$ ，得到

\begin{aligned} \frac{\mu_z(f)}{e/(2m)} &=1+F_2(0) -\left[\frac23+\frac{F_2(0)}6\right] \frac{\langle\mathbf p^2\rangle_f}{m^2} +O(\langle\mathbf p^4\rangle_f/m^4),\\ \frac{\langle\mathbf p^2\rangle_{f_a}}{m^2} &=\frac{3}{2(am)^2}+O((am)^{-4}),\\ \frac{\mu_z(f_a)}{e/(2m)} &=1+F_2(0)-\frac{1+F_2(0)/4}{(am)^2}+O((am)^{-4}). \end{aligned} \tag{64.28}

最后两行在同一个相对论归一中取高斯平均，故归一常数的修正也已经包含。这个例子把式（64.19）的误差阶具体算出；先前抽取的静止磁矩与波包长度无关。

顶角计算给出了自旋能级劈裂的量子修正。实验从磁场中的能级差测定同一个 $g$ 因子，便可检验 $F_2(0)$ 的圈展开。

球谐波包的轨道磁矩

前面选择没有轨道角动量的径向波包，用来分离电子自旋的磁矩；现在给同一波包乘上球谐函数，考察由角向相位产生的额外响应。质量仍记为 $m$ ，球谐函数的磁量子数改记为 $m_\ell$ ，避免两个 $m$ 混用。

球谐波包的归一

取静止自旋标签 $s=+$ 的单电子态，并以任意动量的无转动推动旋量构造波包。记 $E_{\mathbf p}=\sqrt{m^2+\mathbf p^2}$ ，则

\begin{aligned} |\Phi\rangle &=\int d\widetilde p\,f(\mathbf p)b_+^\dagger(\mathbf p)|0\rangle,\\ d\widetilde p&=\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}},\\ \langle\mathbf p',s'|\mathbf p,s\rangle &=(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}\, \delta^3(\mathbf p'-\mathbf p)\delta_{s's},\\ 1&=\int d\widetilde p\,|f(\mathbf p)|^2. \end{aligned} \tag{64.29}

态内积中的δ函数消去一重动量积分，正好给出最后的归一条件。这个波包和球谐函数的归一取为

f(\mathbf p)=\mathcal N e^{-a^2r^2/2}Y_{\ell m_\ell}(\theta,\phi), \qquad r=|\mathbf p|,\qquad \int d\Omega\,|Y_{\ell m_\ell}|^2=1. \tag{64.30}

这里 $\ell$ 为非负整数， $-\ell\le m_\ell\le\ell$ 。径向分布的动量宽度为 $1/a$ ，所以前面要求的窄动量包应满足 $am\gg1$ ，并以 $\delta=(am)^{-1}$ 作为非相对论展开参数。

角积分已经归一，故 $\mathcal N$ 由一个径向积分固定：

|\mathcal N|^{-2} =\frac1{(2\pi)^3}\int_0^\infty \frac{r^2e^{-a^2r^2}}{2\sqrt{m^2+r^2}}\,dr. \tag{64.31}

这个式子保留完整的协变测度。为把它评价到这次计算所需的精度，对 $\int_0^\infty e^{-a^2r^2}dr=\sqrt\pi/(2a)$ 按 $a^2$ 求导，得到下面两个高斯矩；再展开 $1/E_{\mathbf p}$ ：

\begin{aligned} \int_0^\infty r^2e^{-a^2r^2}dr&=\frac{\sqrt\pi}{4a^3},& \int_0^\infty r^4e^{-a^2r^2}dr&=\frac{3\sqrt\pi}{8a^5},\\ \int_0^\infty\frac{r^2e^{-a^2r^2}}{2E_{\mathbf p}}dr &=\frac{\sqrt\pi}{8ma^3} \left[1-\frac34\delta^2+O(\delta^4)\right],\\ |\mathcal N|^2 &=\frac{8ma^3(2\pi)^3}{\sqrt\pi} \left[1+\frac34\delta^2+O(\delta^4)\right]. \end{aligned} \tag{64.32}

于是 $f$ 的质量维数为 $-1$ ，与 $d\widetilde p$ 的维数2相配。下面先保持式（64.31）的精确归一，最后才对磁矩作非相对论展开。

绕 $z$ 轴旋转时，动量测度中的 $E_{\mathbf p}$ 不变。将 $f(R_z^{-1}\mathbf p)$ 对旋转角展开，便得到作用在标量包络上的轨道角动量算符

L_z=-i\left(p_1\partial_{p_2}-p_2\partial_{p_1}\right) =-i\partial_\phi,\qquad L_zf=m_\ell f,\qquad \langle L_z\rangle=m_\ell. \tag{64.33}

径向测度不随 $\phi$ 变化，所以这里的 $L_z$ 与通常的平直动量测度有同一形式。最后一个等式使用了波包归一。

包络角向导数的贡献

选择 $A_2=Bx$ 、其余分量为零。只取能量对 $B$ 的一次响应，并以相同真空的能量为基准，含泡利形状因子的相互作用哈密顿量为

\begin{aligned} H_1&=-eB\int d^3x\, \bar\Psi\left[x\gamma^2+\frac{F_2(0)}mS^{12}\right]\Psi, \\ \Delta E&=\langle H_1\rangle,\qquad \mu_z=-\frac{\Delta E}{B}. \end{aligned} \tag{64.34}

这里 $F_1(0)=1$ 已经固定电荷归一， $e<0$ 。按前面使用单电子连通矩阵元，选 $t=0$ 作为波包的参考时刻， $x\gamma^2$ 项给出

\begin{aligned} \Delta E_{\rm min} ={}&-eB\int d\widetilde p\,d\widetilde p'\,d^3x\, e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x}\\ &\hspace{1em}\times f^*(\mathbf p')\bar u_+(\mathbf p')\, x\gamma^2u_+(\mathbf p)f(\mathbf p). \end{aligned} \tag{64.35}

在这个积分中，包络的角向依赖将产生新的贡献。用 $x e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x} =-i\partial_{p_1}e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x}$ 分部积分时，导数也必须作用在 $d\widetilde p$ 的 $1/(2E_{\mathbf p})$ 上。若将这个权重记为 $w(\mathbf p)=1/[(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}]$ ，则完整的导数为

\begin{aligned} \partial_{p_1}\log w&=-\frac{p_1}{E_{\mathbf p}^2},\\ D_1(uf) &:=w^{-1}\partial_{p_1}(wuf) =\partial_{p_1}(uf)-\frac{p_1}{E_{\mathbf p}^2}uf. \end{aligned} \tag{64.36}

分部积分给出的系数是 $+iD_1$ 。随后空间积分产生 $(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p'-\mathbf p)$ ，而对 $d\widetilde p'$ 积分还留下 $1/(2E_{\mathbf p})$ ，所以含泡利项的完整结果为

\Delta E=-eB\int\frac{d\widetilde p}{2E_{\mathbf p}}\, f^*\bar u_+ \left[i\gamma^2D_1(u_+f) +\frac{F_2(0)}mS^{12}u_+f\right]. \tag{64.37}

这里的 $D_1$ 只作用在括号内的 $u_+f$ 上。下面将分别计算旋量导数、包络导数和测度导数，说明最后一项在这个波包中的积分为何恰好为零。

高斯因子使无穷远的表面项消失。对于 $\ell>0$ ， $Y_{\ell m_\ell}(\widehat{\mathbf p})$ 在 $\mathbf p=0$ 可能没有方向无关的极限，但这不妨碍上述一次分部积分：先挖去半径 $\eta$ 的小球，其表面项因 $f,u_+,w$ 有界而为 $O(\eta^2)$ ；角向导数至多为 $O(1/r)$ ，在三维中局部可积，且 $\int_{r<\eta}d^3p\,|\nabla f|^2=O(\eta)$ 。令 $\eta\to0$ ，便得到同一弱导数公式。单点处给 $f$ 选择什么值不影响积分。

将 $D_1(u_+f)$ 拆成旋量导数和包络导数。后者连同测度导数定义这次计算的轨道贡献。使用同动量旋量恒等式 $\bar u_+\gamma^2u_+=2p_2$ ，得到

\begin{aligned} \Delta E_{\rm orb} ={}&-eB\int d\widetilde p\, \frac{ip_2}{E_{\mathbf p}}f^*\partial_{p_1}f\\ &+ieB\int d\widetilde p\, \frac{p_1p_2}{E_{\mathbf p}^3}|f|^2. \end{aligned} \tag{64.38}

对这个球谐函数， $|Y_{\ell m_\ell}|^2$ 与方位角 $\phi$ 无关。第二行的 $p_1p_2=r^2\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi$ 在 $\phi$ 上积分为零；测度导数项在方位角积分后消失。

朗道规范中的轨道磁矩

剩下的第一行表面上只含 $p_2\partial_{p_1}$ ，并非完整的 $L_z$ 。这个差别来自 $A_2=Bx$ 所选的朗道规范。写 $Y_{\ell m_\ell}=\Theta_{\ell m_\ell}(\theta)e^{im_\ell\phi}$ ，其中 $\Theta_{\ell m_\ell}$ 可取实函数，动量导数为

\partial_{p_1} =\sin\theta\cos\phi\,\partial_r +\frac{\cos\theta\cos\phi}{r}\partial_\theta -\frac{\sin\phi}{r\sin\theta}\partial_\phi. \tag{64.39}

前两项乘上 $ip_2 f^*$ 后均带 $\sin\phi\cos\phi$ ，方位角积分为零。最后一项作用在 $e^{im_\ell\phi}$ 上，给 $ip_2[-im_\ell\sin\phi/(r\sin\theta)]|f|^2 =m_\ell\sin^2\phi\,|f|^2$ 。因 $\sin^2\phi$ 的方位角平均为 $1/2$ ，便有

\begin{aligned} \int d\widetilde p\,\frac{ip_2}{E_{\mathbf p}} f^*\partial_{p_1}f &=\frac{m_\ell}{2}\int d\widetilde p\, \frac{|f|^2}{E_{\mathbf p}} \\&=\frac12\left\langle\frac{L_z}{E_{\mathbf p}}\right\rangle . \end{aligned} \tag{64.40}

这就是所需的二分之一。若改用对称规范 $\mathbf A=(-By/2,Bx/2,0)$ ，两项分别给 $ip_2\partial_{p_1}$ 与 $-ip_1\partial_{p_2}$ ，在哈密顿量中直接合成 $L_z/2$ ；这次计算的轴对称波包使两种写法的能量期望一致。

于是轨道磁矩在尚未作窄包展开时为

\begin{aligned} \Delta E_{\rm orb} &=-\frac{eB\,m_\ell}{2}\left\langle E_{\mathbf p}^{-1}\right\rangle,\\ \mu_{{\rm orb},z} &=\frac{e\,m_\ell}{2}\left\langle E_{\mathbf p}^{-1}\right\rangle. \end{aligned} \tag{64.41}

这里的轨道部分是相对于本书固定静止自旋基的包络角动量而言；旋量随动量变化所给的部分仍保留在式（64.37）中。归一常数在这个径向期望中抵消，因而可直接评价为

\begin{aligned} \left\langle E_{\mathbf p}^{-1}\right\rangle &=\frac{\displaystyle\int_0^\infty \frac{r^2e^{-a^2r^2}}{2(m^2+r^2)}\,dr} {\displaystyle\int_0^\infty \frac{r^2e^{-a^2r^2}}{2\sqrt{m^2+r^2}}\,dr}\\ &=\frac1m \frac{1-\frac32\delta^2+O(\delta^4)} {1-\frac34\delta^2+O(\delta^4)} =\frac1m\left[1-\frac34\delta^2+O(\delta^4)\right]. \end{aligned} \tag{64.42}

分子使用 $1/E^2=m^{-2}(1-r^2/m^2+\cdots)$ ，分母已在式（64.32）中评价。泰勒余项在 $x\ge0$ 时满足 $0\le(1+x)^{-1/2}-1+x/2\le3x^2/8$ 及 $0\le(1+x)^{-1}-1+x\le x^2$ 。令 $x=r^2/m^2$ ，下一阶高斯矩便控制了上式的 $O(\delta^4)$ 误差。这里保持 $\ell,m_\ell$ 固定，归一角积分不随 $a$ 改变。最终得到

\begin{aligned} \mu_{{\rm orb},z} &=\frac{e\,m_\ell}{2m} \left[1-\frac{3}{4(am)^2}+O((am)^{-4})\right],\\ \boldsymbol\mu_{\rm orb} &=\frac{e}{2m}\langle\mathbf L\rangle \qquad\text{在非相对论主阶}. \end{aligned} \tag{64.43}

球谐态有 $\langle L_x\rangle=\langle L_y\rangle=0$ ，所以第二行在这次计算中只含 $z$ 分量。当 $m_\ell=0$ 时，轨道项已由式（64.41）精确为零。由于 $e<0$ ，正的轨道角动量投影对应负的磁矩投影，其能量在 $B>0$ 时增加。

最后把轨道结果与前面的自旋部分放在一起。在 $\mathbf p=0$ 处，本书固定相位的旋量满足

\begin{aligned} \left.\partial_{p_1}u_+(\mathbf p)\right|_0 &=-\frac1{2m}\gamma^1u_+(0),\\ \left.\bar u_+i\gamma^2\partial_{p_1}u_+\right|_0 &=\frac1m\bar u_+(0)S^{12}u_+(0)=1,\\ \bar u_+(0)S^{12}u_+(0)&=m. \end{aligned} \tag{64.44}

第二行由 $S^{12}u_+(0)=u_+(0)/2$ 和 $\bar u_+(0)u_+(0)=2m$ 得到。因此式（64.37）中的旋量导数与泡利项，在非相对论主阶分别给 $e/(2m)$ 与 $eF_2(0)/(2m)$ 。归一角密度不改变这两个静止值，故

\begin{aligned} \mu_z &=\frac{e}{2m}\left[m_\ell+1+F_2(0)\right] +O\!\left(\frac{|e|}{m}(am)^{-2}\right)\\ &=\frac{e}{2m} \left[m_\ell+1+\frac{\alpha}{2\pi}+O(\alpha^2)\right] +O\!\left(\frac{|e|}{m}(am)^{-2}\right). \end{aligned} \tag{64.45}

此处宽度误差按固定 $\ell,m_\ell$ 计，自旋部分尚未展开到该阶；式（64.43）中额外给出的宽度修正只属于轨道项。用角动量系数表示，轨道因子为 $g_L=1$ ，而自旋因子为 $g_s=2[1+F_2(0)]$ 、 $\langle S_z\rangle=1/2$ 。轨道响应的主阶系数由物理电荷归一 $F_1(0)=1$ 固定，反常磁矩则出现在自旋的系数中。

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