Srednicki §15 Lehmann–Källén 形式下的单圈修正

系列文章：Srednicki QFT 共 97 篇

第13节从中间态的谱分解得到精确传播子，第14节则用圈图算出了自能。这两种方法描述同一个二点函数，因此圈积分的结果应当能够重新写成谱表示。先考察传播子的虚部最为方便：它可以直接选出指定不变质量处的谱权重，使单粒子极点和多粒子连续谱分别显现出来。

两种表示与主值恒等式

记 $z=k^2$ ，将第13节的谱表示与第14节的自能表示并列写出：

\begin{aligned} \widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) &=\frac1{z+m^2-i0} +\int_{4m^2}^{\infty}ds\,\frac{\rho(s)}{z+s-i0},\\ \widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) &=\frac1{z+m^2-i0-\Pi(z)}. \end{aligned} \tag{15.1}

场仍取单位单粒子重叠，所以第一行已显式分出单粒子项， $\rho$ 只包含其余谱。以下继续采用第13节的稳定单粒子和正谱条件；第二行中的自能则用上一节的圈展开计算。六维的一圈结果及其中的参数为

\begin{aligned} \Pi_1(z) &=\frac\alpha2\int_0^1dx\,D\ln\frac D{D_0} -\frac\alpha{12}(z+m^2),\\ \alpha&=\frac{g^2}{(4\pi)^3},\qquad a_x=x(1-x),\\ D&=m^2+a_xz-i0,\qquad D_0=m^2(1-a_x). \end{aligned} \tag{15.2}

下标1表示只取 $O(\alpha)$ 项，即 $\Pi=\Pi_1+O(\alpha^2)$ 。要比较两种表示的虚部，先求出传播分母在实轴上的边界值。对实变量 $v$ 和有限调节 $\eta>0$ ，乘以分母的复共轭，可以把实部与虚部分开：

\frac1{v-i\eta} =\frac{v}{v^2+\eta^2} +i\frac{\eta}{v^2+\eta^2}. \tag{15.3}

当 $\eta\to0$ 时，虚部在原点附近越来越窄、越来越高，它的极限要通过与试验函数积分来确定。取任意施瓦茨试验函数 $f$ ，作代换 $v=\eta u$ ，得到

\int_{-\infty}^{\infty}dv\, \frac{\eta f(v)}{v^2+\eta^2} =\int_{-\infty}^{\infty}du\,\frac{f(\eta u)}{1+u^2} \longrightarrow \pi f(0). \tag{15.4}

右边的被积函数受可积函数 $\sup|f|/(1+u^2)$ 控制，因而可以把极限移入积分；剩下的核积分为 $\pi$ ，所以分布极限正是 $\pi\delta(v)$ 。

实部也用同样的办法求极限。它的核关于原点奇对称，将负半轴换到正半轴后，两侧试验函数相减，便有

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}dv\,\frac{vf(v)}{v^2+\eta^2} &=\int_0^\infty dv\, \frac{v[f(v)-f(-v)]}{v^2+\eta^2}\\ &\longrightarrow \int_0^\infty dv\,\frac{f(v)-f(-v)}v =\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}dv\,\frac{f(v)}v . \end{aligned} \tag{15.5}

在原点附近， $f(v)-f(-v)=2vf'(0)+O(v^3)$ ，使第一行的被积函数一致有界；在远处， $f$ 的快速衰减又给出可积控制，所以可以取所写的极限。最后一项称为主值（principal value），其定义是在原点两侧对称去掉 $(-a,a)$ ，再取 $a\to0$ 。将实部与虚部的极限合在一起，得到

\frac1{v-i0} =\operatorname{PV}\frac1v+i\pi\delta(v). \tag{15.6}

上式给出了分布的边界值，前面的有限 $\eta$ 表达式则给出趋向它的普通函数。将这一关系用于式（15.1）中的每个谱质量，传播子的虚部就成为

\begin{aligned} \operatorname{Im}\widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) &=\pi\delta(z+m^2) +\pi\int_{4m^2}^{\infty}ds\,\rho(s)\delta(z+s)\\ &=\pi\delta(z+m^2)+\pi\rho(-z). \end{aligned} \tag{15.7}

delta函数消去关于 $s$ 的积分，换元因子为 $|\partial(z+s)/\partial s|^{-1}=1$ 。由于约定 $\rho(s)$ 在 $s<4m^2$ 时为零，谱积分下限的作用已包含在这一记号中，无须再写阶跃函数。因而在连续谱区域，可以直接由虚部读出

\rho(s)=\frac1\pi \operatorname{Im}\widetilde{\boldsymbol\Delta}(-s), \qquad s>4m^2 . \tag{15.8}

这就将稳定单粒子的delta峰与连续谱密度分开，阈值端则按相应分布或连续极限理解。下面用自能表示计算同一虚部，看这两类贡献怎样出现。

实自能区域中的单粒子极点

先取物理质量壳附近没有吸收部分的区间，其中 $\operatorname{Im}\Pi(z)=0$ 。传播分母的实部记为 $h(z)=z+m^2-\Pi(z)$ ，则两个在壳条件给出

h(-m^2)=0,\qquad h'(-m^2)=1, \qquad h(z)=(z+m^2)+O((z+m^2)^2). \tag{15.9}

因此在足够小的邻域内， $h$ 单调且只有这个简单零点，Feynman边界的方向也保持不变。此时传播子的虚部为 $\operatorname{Im}\widetilde{\boldsymbol\Delta}=\pi\delta(h(z))$ ，其权重由根处的导数决定。应用第3节的delta函数换元公式：若 $h$ 在积分区间内有简单零点 $z_j$ ，则

\delta(h(z)) =\sum_j\frac{\delta(z-z_j)}{|h'(z_j)|}. \tag{15.10}

将式（15.9）中的零点和导数代入，质量壳附近只有一项，且Jacobian等于1，于是得到

\operatorname{Im}\widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) =\pi\delta(z+m^2). \tag{15.11}

导数条件使这个单粒子 delta 峰具有单位权重。在没有其他孤立谱极点的无吸收区间，虚部只含这一单粒子项，连续谱密度为零。

从自能虚部读出连续谱

再看自能具有吸收部分的区域。令 $\Pi_I(z)\equiv\operatorname{Im}\Pi(z)$ 非零，并记 $\Pi_R(z)=\operatorname{Re}\Pi(z)$ 。在固定的这种动量处，可以先取 $\eta\to0$ ，再乘以逆核的复共轭，将传播子分解为

\begin{aligned} \widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) &=\frac1{z+m^2-\Pi_R(z)-i\Pi_I(z)}\\ &=\frac{z+m^2-\Pi_R(z)+i\Pi_I(z)} {[z+m^2-\Pi_R(z)]^2+\Pi_I(z)^2},\\ \operatorname{Im}\widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) &=\frac{\Pi_I(z)} {[z+m^2-\Pi_R(z)]^2+\Pi_I(z)^2}. \end{aligned} \tag{15.12}

逆核的实部为 $z+m^2-\Pi_R(z)$ ，乘以复共轭后便得到上式中的平方和；其中减去自能的号仍与式（15.1）相同。将这个结果用于连续谱，精确关系为

\pi\rho(s) =\frac{\Pi_I(-s)} {[m^2-s-\Pi_R(-s)]^2+\Pi_I(-s)^2}. \tag{15.13}

分母是正的平方和，所以正谱要求该区域的 $\Pi_I(-s)$ 非负；在分母非零而密度为零的区域，同一关系又给出 $\Pi_I(-s)=0$ 。这个分式用于连续谱，孤立极点仍以先前的delta项表示。

吸收部分从哪里开始，可以直接查看式（15.2）中的参数质量 $D$ 。决定对数是否进入负实轴的二次函数满足

a_x=x(1-x)=\frac14-\left(x-\frac12\right)^2,\qquad 0\le a_x\le\frac14, \tag{15.14}

当 $z\ge0$ 时，所有 $D$ 的实部都不小于 $m^2$ ；当 $-4m^2<z<0$ 时，其最小值为 $m^2+z/4>0$ 。同时 $D_0\ge3m^2/4$ 始终为正，故在 $z>-4m^2$ 的零调节边界，对数没有虚部。到 $z=-4m^2$ 时，仅 $x=1/2$ 这一点使 $D=0$ ，而 $D\ln D$ 的连续极限仍为零。

越过阈值，取 $z=-s<-4m^2$ ，便有实数 $\beta=\sqrt{1-4m^2/s}$ ，并在 $x_\pm=(1\pm\beta)/2$ 之间出现负的 $D$ 。这一区间的对数虚部为 $-\pi$ ，而它所乘的 $D$ 也为负，因而积分给出正的吸收部分。第14节已完成这个有限积分，代入 $-z=s$ 即得

\Pi_{1I}(-s) =\frac{\pi\alpha s}{12} \left(1-\frac{4m^2}{s}\right)^{3/2}, \qquad s>4m^2. \tag{15.15}

于是吸收部分在阈值以前为零、在阈值以后非零，恰好与两粒子连续谱的支集相配。还可以进一步读出谱权重的大小。在一圈精度下，式（15.13）的分子已是 $O(\alpha)$ ，所以分母只须保留零阶 $(s-m^2)^2$ 。具体地，将其中的平方项展开为 $(s-m^2)^2+2(s-m^2)\Pi_R+O(\alpha^2)$ ，这个分母修正对整个比值的贡献从 $O(\alpha^2)$ 开始。因此一圈谱密度为

\rho_1(s) =\frac{\alpha s}{12(s-m^2)^2} \left(1-\frac{4m^2}{s}\right)^{3/2} \theta(s-4m^2), \qquad \rho=\rho_1+O(\alpha^2). \tag{15.16}

所得密度非负，质量维数为 $-2$ ，符合第13节的谱测度约定。从阈值上方趋近时，令 $s=4m^2+\delta s$ ，可展开为

\rho_1(s) =\frac{\alpha}{216m^2} \left(\frac{\delta s}{m^2}\right)^{3/2} \left[1+O(\delta s/m^2)\right]. \tag{15.17}

分母在阈值处仍等于 $9m^4$ ，因此这个非整数幂来自两粒子通道的开启。谱密度由此描述场与两粒子中间态的重叠权重怎样从阈值处增长。

连同实部一起恢复谱表示

把割线上的虚部代回围道积分，可以同时恢复传播子的实部。令

H(z)=\frac{\Pi(z)}{(z+m^2)^2},\qquad H(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{H(w)}{w-z}\,dw.

在壳条件消去了 $H$ 在 $-m^2$ 处的表观奇点。对本节的一圈函数，其余有限奇性位于 $(-\infty,-4m^2]$ ，阈值处函数有限，大动量下 $\Pi(w)=O(w\log w)$ 。因此，把围道扩大到半径 $R$ 时，大圆积分为 $O(\log R/R)$ ；绕阈值的小圆积分也趋零，余下的只有割线两岸。

上下岸满足实解析关系 $\Pi(w+i0)=\Pi(w-i0)^*$ ，故其差为 $-2i\operatorname{Im}\Pi(w-i0)$ 。将两岸积分合并，再令 $w=-s$ ，便得

\begin{aligned} H(z) &=-\frac1\pi\int_{-\infty}^{-4m^2}dw\, \frac{\operatorname{Im}\Pi(w-i0)}{(w+m^2)^2(w-z)}\\ &=\frac1\pi\int_{4m^2}^{\infty}ds\, \frac{\operatorname{Im}\Pi(-s-i0)}{(s-m^2)^2(s+z)}. \end{aligned}

乘回 $(z+m^2)^2$ ，得到两次减除的色散关系：

\Pi(z)=\frac{(z+m^2)^2}{\pi} \int_{4m^2}^{\infty}ds\, \frac{\operatorname{Im}\Pi(-s-i0)} {(s-m^2)^2(s+z)}. \tag{15.18}

对满足同样割线解析性、阈值可积性与 $\Pi(w)=o(w^2)$ 无穷远条件的自能，同一围道推导也成立。这里将式（15.16）代入，一圈关系化为

\frac{\Pi_1(z)}{(z+m^2)^2} =\int_{4m^2}^{\infty}ds\,\frac{\rho_1(s)}{s+z}. \tag{15.19}

这条关系把满足在壳条件的自能与谱密度联系起来。另一方面，在同一精度下将精确逆核按 $\alpha$ 展开，有

\widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) =\frac1{z+m^2-i0} +\frac{\Pi_1(z)}{(z+m^2-i0)^2} +O(\alpha^2). \tag{15.20}

由于 $\Pi_1$ 在 $z=-m^2$ 有二阶零点，第二项的表观极点可去，其边界值由式（15.19）给出的解析函数延拓确定。因此可以将两式合并，得到

\widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) =\frac1{z+m^2-i0} +\int_{4m^2}^{\infty}ds\,\frac{\rho_1(s)}{z+s-i0} +O(\alpha^2). \tag{15.21}

这样，自由极点和连续谱不仅给出正确的虚部，也连同实部一起恢复了传播子。一圈展开适用于自能相对自由逆核仍为小修正的区域；在第14节讨论的大对数区间，也须保持相应的小量条件。

高质量处，式（15.16）给出 $\rho_1(s)=\alpha/(12s)+O(\alpha m^2/s^2)$ 。因此传播子谱积分含有的 $(s+z)^{-1}$ 使它收敛，而这一圈系数的总谱积分按对数发散。可以先在 $d=6-\varepsilon$ 、 $0<\varepsilon<2$ 下检验第13节的等时求和规则。

记未加反项的一圈自能为 $\Pi_{\rm loop,\varepsilon}$ 。第14节的导数条件给出 $A_\varepsilon=\Pi'_{\rm loop,\varepsilon}(-m^2)$ 。用柯西导数公式表示，再把围道移到割线两岸，得到

\begin{aligned} A_\varepsilon &=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{\Pi_{\rm loop,\varepsilon}(w)}{(w+m^2)^2}\,dw\\ &=-\frac1\pi\int_{4m^2}^{\infty}ds\, \frac{\operatorname{Im}\Pi_{\rm loop,\varepsilon}(-s-i0)}{(s-m^2)^2} =-\int_{4m^2}^{\infty}ds\,\rho_{1,\varepsilon}(s). \end{aligned} \tag{15.22}

此时大动量行为为 $O(w^{1-\varepsilon/2})$ ，大圆积分按 $R^{-\varepsilon/2}$ 消失；谱尾相应为 $s^{-1-\varepsilon/2}$ ，总谱积分收敛。实反项没有割线虚部，所以式中可直接使用未加反项的圈函数。将 $Z_\varphi=1+A_\varepsilon+O(\alpha^2)$ 展开为倒数，便有

Z_\varphi^{-1} =1-A_\varepsilon+O(\alpha^2) =1+\int_{4m^2}^{\infty}ds\,\rho_{1,\varepsilon}(s)+O(\alpha^2).

这就在同一调节、同一耦合阶内验证了谱求和规则。随 $\varepsilon\downarrow0$ 出现的极点对应第14节场反项中的发散系数；完整谱在任意高质量处的行为还涉及更高圈修正及其重求和。

← 第 14 节 · 章节地图 · 第 16 节 →