Srednicki §19 全阶微扰论

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上一节已经确定高阶计算所需的局部反项，现在可以用这些结果重新组织微扰展开。先求完整的两点和三点函数，再以它们构造更多外腿的1PI顶角，最后把完整顶角连接成树。最后一步虽然只画树，其中的传播子和顶角却已包含任意阶的量子修正。

以下继续采用六维有质量 $\varphi^3$ 理论，外动量均取流入。完整核首先理解为关于 $g$ 的形式展开：“全阶”表示每个给定阶的系数都有确定的构造办法。在实际计算到某个有限阶时，各核也只须展开到该阶所需的次数。下面依次说明，归一条件如何逐阶维持，完整核如何代替反复出现的子图，以及最后的树怎样恢复散射振幅。

逐阶维持质量、留数和耦合定义

完整自能 $\Pi$ 由全部截肢两点1PI图给出，完整三点函数 $V_3$ 由全部截肢三点1PI图给出，两者的图权重分别为 $i\Pi$ 和 $iV_3$ 。在加入更高阶修正时，质量、场的归一和耦合的定义仍采用第14、16节的条件：

\Pi(-m^2)=0,\qquad \Pi'(-m^2)=0,\qquad V_3(0,0,0)=g. \tag{19.1}

这些条件可以逐阶实施。较低阶的反项确定后，将第 $N$ 圈的两点部分写为

\Pi_N(z)=Q_N(z)-A_Nz-B_Nm^2,\qquad z=k^2. \tag{19.2}

其中 $Q_N$ 含本阶圈图和已知的较低阶反项插入， $A_N,B_N$ 则是当前阶尚待确定的部分，均计入本阶的耦合幂次。减去全部真子图以后，剩余UV危险部分至多是 $z$ 的一次多项式，所以这两个局部系数足以吸收它。

先用留数条件确定动能反项：对式（19.2）求导，再取 $z=-m^2$ ，得到 $0=Q_N'(-m^2)-A_N$ 。将它代回质量条件，又有 $0=Q_N(-m^2)+A_Nm^2-B_Nm^2$ ，因此

A_N=Q_N'(-m^2),\qquad B_N=A_N+\frac{Q_N(-m^2)}{m^2}. \tag{19.3}

各式在共同调节仍保留时使用，待各项合并后再移去调节；这里的 $m>0$ 使质量归一有确定的意义。三点函数按同样方式处理，将第 $N$ 圈部分写成 $R_N(k_1,k_2,k_3)+gC_N$ ，其中 $C_N$ 是 $C=Z_g-1$ 在本阶的部分。三点危险部分不含外动量，故条件（19.1）直接给出

gC_N=-R_N(0,0,0). \tag{19.4}

第16节的零动量减除因而可以逐阶继续。真空常数及线性反项仍按既定的真空归一和无蝌蚪条件处理；这些归一条件规定反项的有限部分，所需局部项能够吸收全部发散，则由第18节的局部减除结论保证。

求出自能以后，还要把同一条线上连续出现的两点1PI插入相加，才能得到完整传播子。令 $\widetilde\Delta_0=(z+m^2-i0)^{-1}$ ，逐个写出图线与插入的 $i$ 因子，就有

\begin{aligned} \frac{\widetilde{\boldsymbol\Delta}}i &=\frac{\widetilde\Delta_0}i +\frac{\widetilde\Delta_0}i(i\Pi)\frac{\widetilde\Delta_0}i+\cdots\\ &=\frac1i\,\widetilde\Delta_0 \sum_{r\ge0}(\Pi\widetilde\Delta_0)^r,\\ \widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) &=\frac1{z+m^2-i0-\Pi(z)} . \end{aligned} \tag{19.5}

相邻的 $i\Pi$ 与 $1/i$ 相消，所以级数中每次插入取正号，求逆后才在逆传播子中出现 $-\Pi$ 。由于 $\Pi=O(g^2)$ ，任意固定 $g$ 阶只涉及有限长的插入串，上式因而逐阶成立。

骨架中应去掉哪些修正

对于 $n\ge4$ ，两点和三点修正已经包含在完整核中，便可先画出不含这些插入的基本图，再在线上放完整传播子，在三价点上放完整 $V_3$ 。这种组织称为骨架展开（skeleton expansion）。为了让每幅通常图恰好出现一次，须先准确界定哪些子图应当收进这些完整核。

判断一个子图能否收进两点或三点核，须数它与全图相接的全部端口。以第17节的箱图为例，沿四个角依次标为 $1,2,3,4$ ，切去相对的边 $12$ 和 $34$ ，图便分成 $\{1,4\}$ 和 $\{2,3\}$ 两部分；每一部分都带两条原外腿和两个切口，总共有四个对外端口，因而不属于两点或三点修正。这种分割没有找出可以收进两点或三点核的子图，箱图本身仍是需要保留的骨架贡献。因此，判断插入时要把原外腿也计入端口，不能只数切断了几条内部线。

设 $S$ 是一个连通子图的内部顶点集合，将其端口数定义为

\begin{aligned} t(S)={}& \#\{\text{从}S\text{接到其余顶点的内部边}\}\\ &+\#\{\text{附着在}S\text{上的原外腿}\}. \end{aligned} \tag{19.6}

原外腿与通向余图的内部边都须计入。在本节的图类中，二端口块只能接在内部线上，它可以是一幅自能，也可以是多个自能和二价反项串成的完整两点串；三端口块则代替一个三价顶点。于是骨架应当内部1PI，且不再含非平凡的二端口或三端口插入，单个裸三价点仍然允许。

构造时先按包含关系找出极大的连通两点串，将每串连同两侧传播子段缩成一条边；再在所得图中找出极大的三端口核心，缩成三价顶点。第一步产生的每条边保留原两点修正的资料。若它的两端最后落入同一个三点核心，该修正便属于 $V_3$ 内部；若两端落入不同核心，修正就归入连接两顶角的完整传播子。这样，三点函数内部的自能与外腿上的自能各有确定归属。

在每个有限阶，考虑具有 $n\ge4$ 条固定外腿、内部连通且 1PI 的图；基本点包括三价顶点及二价反项，真空泡和一点分支已经消去。下面证明极大块的划分唯一，并核对重新组合后的对称因子。

端口恒等式与骨架的唯一性

对内部顶点集 $S$ 取诱导子图，其端口数 $t(S)$ 按式（19.6）计入原外腿及通向补集的内部边。 $t(\varnothing)=0$ 、 $t(G)=n$ 。若 $S$ 不连通，其端口数等于各连通分量的端口数之和。

每个非空连通真子集都有至少两个端口。零端口会与余图断开；一个端口若来自内部边，该边便是桥；若只来自原外腿，子集又没有通向余图的边，仍与连通性矛盾。因此

t(S)\ge2 \quad (S\ne\varnothing,\ S\ne G,\ S\text{连通}). \tag{19.A1}

对二端口、三端口插入采用诱导子图，也不会漏掉本来允许的低点块。如果选中顶点之间还漏了一条边，补入这条边会使端口数减少2：二端口变成零端口，三端口变成一端口，两者都与上述下界冲突。所以这种漏边选择不能是一幅允许的低点插入。

对于任意 $A,B$ ，把内部边按两端所在区域分类。连接 $A\setminus B$ 与 $B\setminus A$ 的边，在 $t(A)+t(B)$ 中各数两次，在并集和交集中都不数；其余边的次数相等，原外半边的计数也可加。于是

t(A)+t(B) =t(A\cup B)+t(A\cap B) +2e(A\setminus B,B\setminus A), \tag{19.A2}

其中 $e$ 是两独占区域之间的边数。这个恒等式将控制低点块的重叠。

极大的两点串

考虑所有非空连通且 $t=2$ 的顶点集，按包含关系取极大者。若两个这样的集合 $A,B$ 相交，并集连通，式（19.A2）左边为4。交集即使不连通，每个非空分量也至少有两个端口。若并集等于全图，右边至少为 $n+2\ge6$ ，不可能。若并集是真子集，它至少有两个端口，因此唯一可能是

t(A\cup B)=t(A\cap B)=2,\qquad e(A\setminus B,B\setminus A)=0. \tag{19.A3}

交集也只能有一个连通分量。相交的两点块因而可以合并为更大的两点块，所以不同极大两点块互不相交。

两点块没有原外腿。若它有一条原外腿，至多只剩一条内部连接，后者便是桥；若两条端口都是原外腿，它就与其余顶点断开。因此两端口都接在内部线上。

两点块内部可以有桥，但每条这样的桥必须把两端口分在两侧。否则没有端口的那一侧也只通过该桥接向全图，这条边就是全图的桥。把块内部所有1PI成分收缩后，剩下的便是连接两端口的一条链，链上可以串联多个自能及二价反项。这正是完整传播子中的两点串。

两个二端口块若直接相邻，通过一条边连接，它们的并集端口数为 $2+2-2=2$ ，所以应合并，不能同时极大。将所有极大串连同各自两侧的传播子段收为一条边，得到 $G_2$ 。自由传播子没有内部顶点，原本就是一条边，不另作为非空块计数。

$G_2$ 仍然没有内部桥。若收缩后的某条连接成为唯一通路，原图中相应的连接边也没有绕行路径，与原图1PI矛盾。同时， $G_2$ 不再含二端口顶点集：若还有一个，将其内部收缩边恢复，就会在原图得到一个包含未收缩顶点的更大两点块，与第一步的极大性矛盾。因此 $G_2$ 中每个非空连通真子集满足

t(S)\ge3. \tag{19.A4}

二价反项已经包含在收去的两点串中，所以剩余基本点均为三价。

极大的三点核心

现在在 $G_2$ 中取极大连通三端口集。若两个候选 $A,B$ 相交，式（19.A2）左边为6。若交集有两个分量，右边至少为 $3+3+3=9$ ；若并集是全图，右边至少为 $n+3\ge7$ 。两者均不可能，所以并集是真子集，交集连通，并有

t(A\cup B)=t(A\cap B)=3,\qquad e(A\setminus B,B\setminus A)=0. \tag{19.A5}

因此不同极大三点块互不相交。每个裸三价点本身就是三端口集，故每个顶点都归属于唯一的极大块。

每个三端口块也自动是内部1PI。若其某条内部边是桥，把块分为连通两部分 $P,Q$ ，则

t(P)+t(Q)=t(P\cup Q)+2=5. \tag{19.A6}

但 $G_2$ 没有二端口块， $P,Q$ 各自至少有三个端口，与此式矛盾。所以收去的确实是三点1PI核心，而不是带有外腿自能的普通连通三点图。

把极大三点核心缩成三价点，得到骨架 $H$ 。若 $H$ 仍有二端口块，恢复相应核心便会在 $G_2$ 中得到二端口块。若 $H$ 有包含至少两个顶点的三端口块，恢复后又会把几个原本极大的三点块并入更大的三点块。两种情形都不可能。因此 $H$ 只允许单个裸点这样的平凡三端口块，没有非平凡二、三端口插入。

第一步为 $G_2$ 的每条边留下了确定的两点装饰记录。第二步取定三点核心以后，两端在同一核心内的边及其装饰属于该 $V_3$ 内部；两端在不同核心中的边及其装饰属于骨架完整传播子。这给出了原图中每个两点修正的唯一归属。

将完整核填回骨架

从骨架出发，把任意完整两点串和三点1PI图填入边与顶点，再作上述收缩，应当返回原骨架。关键在于跨越填入部分边界的连通集：若它能形成新的低点块，填满所遇的完整核后，骨架自身也会出现这样的块。

给骨架每条内部边装上一个连通两点串 $B_e$ ，给每个三价点装上一个内部1PI三点图 $K_v$ 。所有接口暂时加标签，不同装饰的内部顶点互不相交。考察装饰后图中的一个连通候选 $S$ ，假设它跨越装饰边界且至多有两个端口。

若 $S$ 只占某个 $K_v$ 的一部分，其交集的每个连通分量必须通过至少一个接口接到 $S$ 的其余部分，否则 $S$ 不连通。记该分量包含的接口数为 $r\ge1$ ，它在 $K_v$ 内部通向未选顶点的边数为 $h$ 。由于 $K_v$ 内部1PI， $h\ge2$ 。把这个交集填满为整个 $K_v$ 时，删去了这些内部边界，最多增添 $3-r$ 个接口边界，所以

\Delta t(S)\le(3-r)-h\le0. \tag{19.A7}

若交集有多个分量，将它们的 $r,h$ 相加，得到的上界仍不大于零。对于两点串 $B_e$ ，连通性给 $h\ge1$ ，相交分量同样须有 $r\ge1$ 个接口，所以填满时

\Delta t(S)\le(2-r)-h\le0. \tag{19.A8}

已经包含完整装饰时不需操作。

逐个填满所遇装饰，保持连通且端口数不增加。若 $S$ 跨过某个三点装饰，最终至少选中了一个骨架顶点。把末端仅伸入边装饰的部分压回骨架边，不会增加对应骨架顶点集的端口数；若两个已选顶点之间尚漏了一条边装饰，补入它还会减少两个边界端口。于是得到骨架中的非空连通顶点集，其端口数至多为2。若它是真子集，与骨架无二端口块矛盾；若它是全图，又与 $n\ge4$ 矛盾。

因此装饰后图的极大两点块只能完全处在一个 $B_e$ 内部，或处在一个 $K_v$ 内部。整个非空 $B_e$ 本身就是两点块，故边上的串被完整收走； $K_v$ 内部的两点块则留下相应的三点核心。第一步收缩不会把边和顶角两侧的修正重新混合。

在收去全部两点块以后，如果某个三端口块横跨两个三点核心，用式（19.A7）继续填满核心，就在 $H$ 中得到一个至少含两个顶点、至多三端口的连通集。真子集违反骨架定义，全图又有 $n\ge4$ 个端口。所以第二步的极大三点块恰好是原来的各个三点核心。独立装饰后再抽取，返回同一个骨架及其装饰，反向构造也成立。

对称因子的恢复

最后核对权重。按照第9节的半边计数，外腿带固定标签的图 $G$ 具有权重 $1/|\operatorname{Aut}G|$ 。自同构必须保持外标签、顶点类型和半边配对；平行边的互换以及允许的边翻转也都算在其中。

对一个固定骨架 $H$ ，记 $A=\operatorname{Aut}H$ 。暂给各装饰接口加标签，令 $d$ 表示在所有边和顶角位置选择的一组装饰。骨架自同构会移动这些位置，并按相同方式重排装饰接口。记 $A_d$ 为使装饰选择保持接口相容同构的稳定子。由于分解是唯一的，每个完整图自同构都诱导一个 $A_d$ 元素。诱导为恒等的自同构，正是各装饰内部逐接口固定的自同构；反过来，每个 $A_d$ 元素都可用相容的装饰同构提升到整个图。因此

|\operatorname{Aut}G| =|A_d|\prod_j|\operatorname{Aut}_{\partial}d_j|. \tag{19.A9}

这里下标 $\partial$ 表示固定装饰边界的接口。

骨架群作用在装饰选择上，一个轨道中的不同选择数为 $|A|/|A_d|$ ：把 $A$ 中的元素按产生相同选择的等价类分组，每类正好含 $|A_d|$ 个元素。所以独立展开所有完整核时，该轨道的总权重为

\frac1{|A|} \frac{|A|}{|A_d|} \prod_j\frac1{|\operatorname{Aut}_{\partial}d_j|} =\frac1{|\operatorname{Aut}G|}. \tag{19.A10}

骨架权重、装饰内部权重和轨道中的选择数，恰好恢复原图的Wick权重。三个接口的排列已包含在这个计数中； $V_3$ 对动量对称，并不意味着还要再乘或再除一个 $3!$ 。

完整1PI顶角怎样组成散射振幅

求得 $\widetilde{\boldsymbol\Delta}$ 及所需的 $V_3,V_4,\ldots$ 以后，就可将完整1PI成分连接起来。为看清连接方式，任取一幅通常的连通图，切开全部内部桥边，余下的各个极大无桥部分就是1PI成分。把这些成分收缩成点，得到的商图必是一棵树：若商图仍含一个圈，圈上任意一条连接边都有另一条绕行路径，便与它原本是桥边相矛盾。

二价成分连同相邻桥边合成完整传播子，沿原外腿的两点串则由LSZ截去。在一点函数已置零的真空中，余下成分至少有三端口，恰好由 $iV_n$ 表示。因此，每幅通常连通图都化成一棵由完整核装饰的树。原图的桥边与二价串均唯一确定，使每幅图只出现一次；上面的固定接口计数同样适用于这些树，因而重新组合保留原来的 Wick 权重。

设最后的树有 $v$ 个顶角、 $I$ 条内部边和 $E$ 条外腿，第 $a$ 个顶角的价数为 $n_a\ge3$ 。树满足 $I=v-1$ ，半边计数又给出 $\sum_a n_a=2I+E$ ，两式合用得到

E=2+\sum_{a=1}^v(n_a-2),\qquad v\le E-2,\qquad n_a\le E. \tag{19.7}

所以对给定的 $E$ ，只需用到 $V_3$ 至 $V_E$ ，最后的树结构也只有有限种。任意多圈的修正已经包含在完整核中，外层的连接无需再增加圈数。树的每个顶角贡献 $i$ ，每条内线贡献 $1/i$ ，总相位为

i^v(1/i)^I=i^{v-I}=i. \tag{19.8}

因此，将 $V_n$ 和 $\widetilde{\boldsymbol\Delta}$ 按树相乘，得到的是 $\mathcal T_E$ ；补回整体 $i$ ，才是连通图的权重 $i\mathcal T_E$ 。动量测度也能逐一消去：每个顶角带 $(2\pi)^6\delta^6(\sum k)$ ，每条内线带 $d^6p/(2\pi)^6$ ，沿树从叶端依次使用 $I=v-1$ 个独立守恒条件，恰好消去全部内线积分及相应的 $2\pi$ 因子。最后剩下整体 $(2\pi)^6\delta^6(\sum_{\rm ext}k)$ ，按第10节的振幅定义提出。

以四外腿为例，式（19.7）只允许一个四价点，或者由一条内线相连的两个三价点。令 $p_{ab}=k_a+k_b$ ，完整振幅便写成

\begin{aligned} \mathcal T_4={}&V_4(k_1,k_2,k_3,k_4)\\ &+\sum_{ab|cd} V_3(k_a,k_b,-p_{ab})\, \widetilde{\boldsymbol\Delta}(p_{ab}^2)\, V_3(k_c,k_d,p_{ab}),\\ ab|cd\in{}&\{12|34,\ 13|24,\ 14|23\}. \end{aligned} \tag{19.9}

三个分组对应三幅不同的交换树，各计一次，无须再除以外腿阶乘。取 $V_3=g$ 、 $\Pi=0$ ，便恢复三种树级交换；再保留 $V_4$ 的一圈项，第17节的三幅箱图就已包含在内。如果此时又用完整顶角另画一个箱圈，就会重复计算同一个最低阶箱图。因此，完成核的求和以后，最后的连接只取树图。

这里重组的是连通散射振幅。恒等散射、旁观粒子的内积以及互不相连的多个过程，仍通过第10节的连通分解组装成完整 $S$ 矩阵。

外腿为什么只给因子一

完整核连接成树时，每条外腿的单位因子可以从LSZ约化直接看出。按前面的约定，LSZ算符作用于外腿傅里叶核给出 $i(k^2+m^2)$ ，完整外传播子则带 $\widetilde{\boldsymbol\Delta}(k^2)/i$ ，二者相乘为

i(k^2+m^2)\, \frac{\widetilde{\boldsymbol\Delta}(k^2)}i =(k^2+m^2)\widetilde{\boldsymbol\Delta}(k^2). \tag{19.10}

在稳定单粒子极点附近，用前面两项归一条件展开自能，有

\Pi(z) =\Pi(-m^2)+(z+m^2)\Pi'(-m^2) +O((z+m^2)^2) =O((z+m^2)^2). \tag{19.11}

自能因而从偏离质量壳的二次项开始，传播子的简单极点留数为

\lim_{z\to-m^2}(z+m^2) \widetilde{\boldsymbol\Delta}(z) =\lim_{z\to-m^2} \frac{z+m^2}{z+m^2-\Pi(z)} =1. \tag{19.12}

这里先取孤立极点的解析留数，再取 Feynman 边界值，得到与单位单粒子重叠相配的外腿因子。

量子作用量的树规则

这些树规则可以集中写进一个泛函，使完整传播子与各价顶角从同一个表达式中产生。先用已经构造好的完整核定义

\begin{aligned} \Gamma_{\rm kernels}[\varphi] ={}&-\frac12\int\frac{d^6k}{(2\pi)^6}\, \widetilde\varphi(-k) \widetilde{\boldsymbol\Delta}^{-1}(k^2) \widetilde\varphi(k)\\ &+\sum_{n\ge3}\frac1{n!} \int\left[\prod_{a=1}^n\frac{d^6k_a}{(2\pi)^6}\right] (2\pi)^6\delta^6\!\left(\sum_a k_a\right)\\ &\hspace{27mm}\times V_n(k_1,\ldots,k_n)\prod_{a=1}^n\widetilde\varphi(k_a). \end{aligned} \tag{19.13}

二次项沿用原作用量 $-\varphi(-\partial^2+m^2)\varphi/2$ 的负号，因此二次核为 $K=-\widetilde{\boldsymbol\Delta}^{-1}$ ，其高斯收缩给出

iK^{-1}=-i\widetilde{\boldsymbol\Delta} =\frac{\widetilde{\boldsymbol\Delta}}i. \tag{19.14}

高点项在 $\exp(i\Gamma_{\rm kernels})$ 中产生 $iV_n$ ，对 $n$ 个相同场求导所得的 $n!$ 恰好抵消分母。这个泛函的树图因此复现前面的完整核连接规则；常数项不影响这些顶角，线性项则按所选真空条件置零。

这一泛函称为量子作用量（quantum action），也称有效作用量（effective action）或量子有效作用量。由于 $V_n$ 依赖外动量，泛函中一般含有非局部核。第21节将从带源连通生成泛函 $W$ 的Legendre变换构造有效作用量，并说明它与此处的核泛函相同。

对其他场论，同样可以先求完整 1PI 核，再沿桥边连成树；传播子中的指标和费米场的次序由相应场的规则确定。

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