Srednicki §42 自由费米子传播子

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上一节已将散射振幅写成时间序关联函数，接下来要建立计算这些关联函数的方法。仍从自由场开始：先求二点函数，再利用模式代数把多点函数展开成二点函数的乘积。与第8节的标量场一样，二点函数将成为微扰计算的基本构件；旋量的指标结构和费米交换号则由下面的模式收缩逐步确定。

两种真空矩阵元

沿用第39节的场归一化，先取 $m>0$ 。记 $p^0=\omega_{\mathbf p} =\sqrt{\mathbf p^2+m^2}>0$ ，并用 $d\mu_p=d^3p/[(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf p}]$ 表示不变测度。要计算一个场与伴随场的乘积，分别将场与伴随场的模式展开写在两个时空点：

\begin{aligned} \Psi(x)&=\sum_s\int d\mu_p\, \bigl[b_s(\mathbf p)u_s(\mathbf p)e^{ipx} +d_s^\dagger(\mathbf p)v_s(\mathbf p)e^{-ipx}\bigr],\\ \bar\Psi(y)&=\sum_r\int d\mu_q\, \bigl[b_r^\dagger(\mathbf q)\bar u_r(\mathbf q)e^{-iqy} +d_r(\mathbf q)\bar v_r(\mathbf q)e^{iqy}\bigr]. \end{aligned} \tag{42.1}

平面波中的相位仍为 $px=-\omega_{\mathbf p}x^0+\mathbf p\cdot\mathbf x$ 。旋量 $u,v$ 是可交换的数值列，场的反对易性质来自模式算符 $b,d$ 。自由真空及模式的归一化满足

\begin{aligned} b_s(\mathbf p)|0\rangle&=d_s(\mathbf p)|0\rangle=0,\\ \{b_s(\mathbf p),b_r^\dagger(\mathbf q)\} &=\{d_s(\mathbf p),d_r^\dagger(\mathbf q)\}\\ &=(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf p} \delta^3(\mathbf p-\mathbf q)\delta_{sr}. \end{aligned} \tag{42.2}

其余模式反对易子均为零，真空归一为 $\langle0|0\rangle=1$ 。将这些关系用于场的乘积，便可逐项判断哪些模式能留下非零真空期望。

我们将费曼传播子定义为时间序二点函数的 $i$ 倍。以 $z=x-y$ 、 $t=x^0-y^0$ 简记坐标差和时间差，这一定义为

\begin{aligned} S_{\alpha\beta}(z)&=iG_{F,\alpha\beta}(z),\\ G_{F,\alpha\beta}(z) &=\langle0|T\Psi_\alpha(x)\bar\Psi_\beta(y)|0\rangle\\ &=\theta(t)\langle0|\Psi_\alpha(x)\bar\Psi_\beta(y)|0\rangle\\ &\quad-\theta(-t)\langle0|\bar\Psi_\beta(y)\Psi_\alpha(x)|0\rangle . \end{aligned} \tag{42.3}

这里 $\alpha$ 始终是未取伴随场的指标， $\beta$ 是伴随场的指标；即使第二项中的算符顺序反转，矩阵仍按 $\alpha,\beta$ 排列。该项的负号属于费米时间序的定义：交换两个奇场时，计入这次置换的符号。本节带坐标差的 $S(z)$ 表示传播子；上一节不带时空自变量的散射算符仍按散射问题中的含义使用。

先分别计算定义中的两个真空矩阵元。正序乘积展开后有四类模式组合，只有 $bb^\dagger$ 的真空期望非零； $d^\dagger d$ 右侧的湮灭算符作用于真空为零，其余两类则含两个产生算符或两个湮灭算符。因而

\begin{aligned} G^+_{\alpha\beta}(z) &\equiv\langle0|\Psi_\alpha(x)\bar\Psi_\beta(y)|0\rangle\\ &=\sum_{s,r}\int d\mu_p\,d\mu_q\, u_{s\alpha}(\mathbf p)\bar u_{r\beta}(\mathbf q) e^{ipx-iqy}\langle0|b_s(\mathbf p)b_r^\dagger(\mathbf q)|0\rangle\\ &=\sum_s\int d\mu_p\,e^{ipz} u_{s\alpha}(\mathbf p)\bar u_{s\beta}(\mathbf p)\\ &=\int d\mu_p\,e^{ipz}(-\slashed p+m)_{\alpha\beta}. \end{aligned} \tag{42.4}

具体地，代入 $bb^\dagger=\{b,b^\dagger\}-b^\dagger b$ 后，后一项湮灭真空，前一项中的 $(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf p}$ 消去 $d\mu_q$ 的分母，动量和自旋 $\delta$ 函数分别令 $q=p$ 、 $r=s$ ，两条积分遂合为一条。最后再用第38节自旋求和 $\sum_su_s\bar u_s=-\slashed p+m$ ，便得到最后一行的矩阵分子。

反序矩阵元用相同方法计算，不过此时留下的是 $dd^\dagger$ ：

\begin{aligned} G^-_{\alpha\beta}(z) &\equiv\langle0|\bar\Psi_\beta(y)\Psi_\alpha(x)|0\rangle\\ &=\sum_{r,s}\int d\mu_q\,d\mu_p\, \bar v_{r\beta}(\mathbf q)v_{s\alpha}(\mathbf p) e^{iqy-ipx}\langle0|d_r(\mathbf q)d_s^\dagger(\mathbf p)|0\rangle\\ &=\sum_s\int d\mu_p\,e^{-ipz} v_{s\alpha}(\mathbf p)\bar v_{s\beta}(\mathbf p)\\ &=\int d\mu_p\,e^{-ipz}(-\slashed p-m)_{\alpha\beta}. \end{aligned} \tag{42.5}

数值旋量的分量彼此可交换，将 $\bar v_\beta v_\alpha$ 写成 $v_\alpha\bar v_\beta$ 并不产生负号。分子中质量项的负号来自 $v$ 的自旋求和，而时间序还须另计式（42.3）中的负号。这两个负号分别在求自旋和与组成时间序函数时出现。

将两种模式收缩相加，便得到控制类空局域性的反对易子：

\begin{aligned} \{\Psi_\alpha(x),\bar\Psi_\beta(y)\} &=\mathcal A_{\alpha\beta}(z)I_{\rm Fock},\\ \mathcal A(z) &=G^+(z)+G^-(z)\\ &=(i\slashed\partial_z+m)\,[W(z)-W(-z)],\\ W(z)&=\int d\mu_p\,e^{ipz}. \end{aligned} \tag{42.6}

例如， $i\slashed\partial e^{ipz}=-\slashed p\,e^{ipz}$ 产生正序分子，而对 $-W(-z)$ 求导则得到 $(-\slashed p-m)e^{-ipz}$ ，正好对应反序分子。两支相加通常不会在异时消失；将空间坐标作傅里叶变换，再取 $\mathbf q=0$ ，便有

\begin{aligned} \widehat{\mathcal A}(t,\mathbf0) &=\frac{\gamma^0+I_4}{2}e^{-imt} +\frac{\gamma^0-I_4}{2}e^{imt}\\ &=\gamma^0\cos mt-iI_4\sin mt . \end{aligned} \tag{42.7}

这个异时反对易子一般非零。类空局域性要求的是类空分离时 $W(z)=W(-z)$ ，从而 $\mathcal A(z)=0$ ，详见第39节的类空核。只有类空分离的两个事件，其时间先后才可能随惯性系改变；在这种情况下，反对易关系恰好保证式（42.3）的两种排序具有一致的变换。费米时间序的交换号与类空局域性因此共同保证了二点函数的洛伦兹协变性。

从能量围道到傅里叶传播子

接下来要把正、负时间的两支合成一个四维傅里叶积分。第8节已经处理过标量分母的围道，现在还需追踪动量分子在两个极点的取值。设 $f$ 为动量的数值多项式或矩阵多项式，考察

I_f(z)=\lim_{\epsilon\to0^+} \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, \frac{e^{ipz}f(p)}{p^2+m^2-i\epsilon}. \tag{42.8}

这里 $p^0=E$ 沿整个实轴积分，质量壳条件要在取极点时才出现。先固定空间动量 $\mathbf q$ ，记 $\omega^2=\mathbf q^2+m^2$ 、 $\Omega_\epsilon=\sqrt{\omega^2-i\epsilon}$ ，并选择实部为正、虚部为负的平方根。于是分母及极点位置可写为

p^2+m^2-i\epsilon=\Omega_\epsilon^2-E^2,\qquad E=\Omega_\epsilon,\ -\Omega_\epsilon . \tag{42.9}

在 $\epsilon\to0^+$ 时，两极点分别趋向 $+\omega-i0$ 与 $-\omega+i0$ ，其中 $\epsilon$ 的量纲为质量平方。

先取 $f=1$ 。当 $t>0$ 时， $e^{-iEt}$ 在下半平面衰减，围道按顺时针方向闭合；当 $t<0$ 时，则在上半平面按逆时针方向闭合。实轴积分已有 $1/(2\pi)$ ，因此两种围道分别给留数乘上 $-i$ 和 $+i$ 。逐个代入极点，得到

\begin{aligned} J_{0,\epsilon}(t,\mathbf q) &\equiv\int\frac{dE}{2\pi}\, \frac{e^{-iEt}}{\Omega_\epsilon^2-E^2}\\ &=\begin{cases} (-i)\dfrac{e^{-i\Omega_\epsilon t}}{-2\Omega_\epsilon}, &t>0,\\[4pt] (+i)\dfrac{e^{+i\Omega_\epsilon t}}{+2\Omega_\epsilon}, &t<0 \end{cases}\\ &=\frac{i}{2\Omega_\epsilon}e^{-i\Omega_\epsilon|t|}. \end{aligned} \tag{42.10}

分母对能量的导数为 $-2E$ ，所以正能极点的留数还有一个负号，与顺时针围道的负号抵消。式（42.10）在时间零点连续，因而也给出了关于 $t$ 的分布。对于一次能量分子，直接用 $E e^{-iEt}=i\partial_t e^{-iEt}$ 求导即可：

\begin{aligned} J_0(t,\mathbf q)&=\frac{i}{2\omega}e^{-i\omega|t|},\\ J_1(t,\mathbf q)&=i\partial_tJ_0 =\frac{i}{2}\operatorname{sgn}(t)e^{-i\omega|t|}. \end{aligned} \tag{42.11}

由于 $J_0$ 在零点连续，第一次求导不产生 $\delta$ 项；一次分子的结果因而可用于整个时间轴上的分布。若 $f(E,\mathbf q)$ 对 $E$ 至多一次，将式（42.11）的正负时间支分别写成在壳动量积分，便得到

\begin{aligned} I_f(z) &=i\theta(t)\int d\mu_p\,e^{ipz}f(p)\\ &\quad+i\theta(-t)\int d\mu_p\,e^{-ipz}f(-p), \qquad p^0=\omega_{\mathbf p}. \end{aligned} \tag{42.12}

负时间一支的留数原本含 $f(-\omega_{\mathbf q},\mathbf q)$ ，相位为 $e^{+i\omega_{\mathbf q}t+i\mathbf q\cdot\mathbf z}$ 。再作 $\mathbf q=-\mathbf p$ ，由于体积雅可比行列式的绝对值为一，且 $\omega_{-\mathbf p}=\omega_{\mathbf p}$ ，才得到第二行的 $f(-p)$ 。这里 $f(-p)$ 中的负号反转全部四动量分量。

若将 $f$ 推广到更高次多项式，能量次数达到二次以后，除极点贡献外还会出现局部接触项。以 $f=E^2$ 为例，先作多项式除法：

\begin{aligned} \frac{E^2}{\omega^2-E^2-i\epsilon} &=-1+\frac{\omega^2-i\epsilon} {\omega^2-E^2-i\epsilon},\\ J_{2,\epsilon}(t,\mathbf q) &=-\delta(t)+\frac{i\Omega_\epsilon}{2} e^{-i\Omega_\epsilon|t|},\\ J_2(t,\mathbf q) &=-\delta(t)+\frac{i\omega}{2}e^{-i\omega|t|}. \end{aligned} \tag{42.13}

第一行常数 $-1$ 的傅里叶变换为 $-\delta(t)$ ，再对空间动量积分便成为 $-\delta^4(z)$ 。同一项也可由 $J_2=-\partial_t^2J_0$ 读出： $J_0'$ 在零点的右极限为 $1/2$ 、左极限为 $-1/2$ ，其导数于是含 $\delta(t)$ 。只写出两个极点在非重合时间的贡献，就会漏掉这一接触项。

对一般能量多项式，可用同样的除法将局部部分与一次余式分开：

\begin{aligned} f(E,\mathbf q) &=(\omega^2-E^2)\,Q(E,\mathbf q) +a(\mathbf q)E+b(\mathbf q),\\ I_f(z) &=Q(i\partial_t,-i\nabla_{\mathbf z})\,\delta^4(z) +I_{aE+b}(z). \end{aligned} \tag{42.14}

商 $Q$ 为多项式，它的傅里叶变换只含 $\delta$ 函数及有限阶导数。这个分解采用 $\epsilon\to0^+$ 的分布边界值；若先保留有限 $\epsilon$ ，代数上还须留下 $i\epsilon Q$ 产生的余项，待撤去调节后再令其趋零。本节所需的 $f=-\slashed p+m$ 仅含一次能量，所以 $Q=0$ ，这时两个极点的贡献就给出完整传播子。

将具体分子代入， $f(-p)=+\slashed p+m=-(-\slashed p-m)$ 。式（42.12）的第一支于是为 $iG^+$ ，第二支为 $-iG^-$ ，两者合起来恰是式（42.3）定义的时间序传播子。传播子的傅里叶表示于是为

\begin{aligned} G_F(z)&=\frac1i\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, \frac{e^{ipz}(-\slashed p+m)}{p^2+m^2-i0},\\ S(z)&=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, \frac{e^{ipz}(-\slashed p+m)}{p^2+m^2-i0}. \end{aligned} \tag{42.15}

正能极点带粒子旋量的自旋和，负能极点带反粒子的自旋和及费米时间序号；四分量矩阵分子便以这种方式同时表示两类传播。

分子对动量是一次的，也意味着可以对第8节的标量核 $\Delta$ 求导来得到旋量核：

S(z)=(i\slashed\partial_z+m)\Delta(z),\qquad \Delta(z)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{e^{ipz}}{p^2+m^2-i0}. \tag{42.16}

对指数求导给 $i\slashed\partial e^{ipz}=-\slashed p\,e^{ipz}$ ，因此这个写法与动量分子一致。四维中 $\widetilde S(p)$ 的质量维数为 $-1$ ，傅里叶测度带四次质量，位置空间核的维数便为 $[S]=3$ ，与两个场的总维数 $[\Psi]+[\bar\Psi]=3$ 相符。取 $m\to0$ 时保留 $i0$ 边界值，也可得到分子为 $-\slashed p$ 的无质量核。

左右狄拉克逆与等时接触项

传播子同外腿约化的联系，表现在它是狄拉克波算符的格林函数。分别从左右作用狄拉克算符，可以看出这一点。沿上一节记 $\mathscr D_x=-i\slashed\partial_x+m$ 、 $\overleftarrow{\mathscr D}_y=+i\overleftarrow{\slashed\partial}_y+m$ ，先用本书的克利福德关系计算两个分子的乘积：

\begin{aligned} \slashed p^{\,2} &=\frac12p_\mu p_\nu\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} =-p^2I_4,\\ (\slashed p+m)(-\slashed p+m) &=(-\slashed p+m)(\slashed p+m) =(p^2+m^2)I_4. \end{aligned} \tag{42.17}

交叉项 $m\slashed p$ 相互抵消，两种矩阵次序都给出同一标量。左作用时， $-i\partial_x$ 作用于指数给 $+p$ ；右作用时， $\partial_y e^{ip(x-y)}=-ip\,e^{ip(x-y)}$ ，所以 $+i\overleftarrow\partial_y$ 也给 $+p$ ，只是 $\gamma$ 矩阵须乘在 $S$ 的右侧。保留有限调节器后，两种作用同时给出

\begin{aligned} \mathscr D_xS_\epsilon(x-y) &=S_\epsilon(x-y)\overleftarrow{\mathscr D}_y\\ &=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{ip(x-y)} \frac{p^2+m^2}{p^2+m^2-i\epsilon}\,I_4\\ &=\delta^4(x-y)I_4 +i\epsilon\,\Delta_\epsilon(x-y)I_4. \end{aligned} \tag{42.18}

最后一行用 $q/(q-i\epsilon)=1+i\epsilon/(q-i\epsilon)$ 把 $\delta$ 项与调节器余项分开。要得到精确的逆，须像第8节一样对费曼核取分布边界值；对实变量 $q$ ，有

\frac1{q-i0}=\operatorname{PV}\frac1q+i\pi\delta(q), \qquad \frac{q}{q-i0}=1 . \tag{42.19}

在本题中 $q=p^2+m^2$ 。当 $m>0$ 时，质量壳上 $q$ 的梯度不为零，可以在每一局部邻域以 $q$ 为横向坐标应用上述恒等式；等价地， $\epsilon/(q-i\epsilon)\to0$ 。因此，撤去调节器后，余项消失，得到双侧逆关系

\mathscr D_xS(x-y) =S(x-y)\overleftarrow{\mathscr D}_y =\delta^4(x-y)I_4 . \tag{42.20}

这个 $\delta$ 函数也可以直接从时间序函数在等时面的跳跃得到。将式（42.6）的第二条动量积分在 $t=0$ 时作 $\mathbf p\mapsto-\mathbf p$ ，两支分子相加为

\begin{aligned} (\omega_{\mathbf p}\gamma^0-p_i\gamma^i+m) +(\omega_{\mathbf p}\gamma^0+p_i\gamma^i-m) &=2\omega_{\mathbf p}\gamma^0,\\ \mathcal A(0,\mathbf z)&=\gamma^0\delta^3(\mathbf z). \end{aligned} \tag{42.21}

空间动量项和质量项相互抵消，只留下 $2\omega_{\mathbf p}$ 与 $\gamma$ 矩阵；前者又消去不变测度的分母，给出等时CAR。现在对式（42.3）作用狄拉克微分，离开 $t=0$ 时，两支分别满足自由方程，留下的正是两个阶跃函数的导数：

\begin{aligned} \mathscr D_xG_F(z) &=-i\gamma^0\delta(t)\,[G^+(0,\mathbf z)+G^-(0,\mathbf z)]\\ &=-i(\gamma^0)^2\delta^4(z)=-i\delta^4(z)I_4,\\ \mathscr D_xS(z)&=\delta^4(z)I_4 . \end{aligned} \tag{42.22}

这里 $(\gamma^0)^2=I_4$ ，所以得到的接触系数与上一节自由旋量LSZ中的微分相同。它由本节自由场的正则归一化确定；传播子定义中的 $i$ 将 $G_F$ 的 $-i\delta^4$ 转成 $S$ 的 $\delta^4$ ，使它恰好成为狄拉克算符的逆。

狄拉克场与马约拉纳场的三种二点核

此前的计算配对了一个 $\Psi$ 和一个 $\bar\Psi$ 。还可以考虑两个未取伴随的场，或两个伴随场；对狄拉克场，这两种配对为零：

\langle0|T\Psi_\alpha(x)\Psi_\beta(y)|0\rangle=0,\qquad \langle0|T\bar\Psi_\alpha(x)\bar\Psi_\beta(y)|0\rangle=0. \tag{42.23}

第一式的模式组合只有 $bb$ 、 $bd^\dagger$ 、 $d^\dagger b$ 、 $d^\dagger d^\dagger$ 。两个产生算符或两个湮灭算符的真空期望均为零；对 $bd^\dagger$ ，先用 $\{b,d^\dagger\}=0$ 换序，再由 $b|0\rangle=0$ 得到零，而 $d^\dagger b$ 直接湮灭右真空。两个伴随场的乘积则含 $b^\dagger b^\dagger$ 、 $b^\dagger d$ 、 $db^\dagger$ 、 $dd$ ，逐项使用同样的混合CAR与真空条件，也都为零，反序排列亦然。从荷守恒看，两个 $\Psi$ 或两个 $\bar\Psi$ 的总荷非零，也不能在中性真空中留下非零期望。

马约拉纳场没有独立的反粒子模式，因而这种零配对结构会改变。沿用第39节的归一化，让两频率支使用同一套 $b$ 模式：

\begin{aligned} \Psi_M(x)&=\sum_s\int d\mu_p\, [b_s(\mathbf p)u_s(\mathbf p)e^{ipx} +b_s^\dagger(\mathbf p)v_s(\mathbf p)e^{-ipx}],\\ \bar\Psi_M(y)&=\sum_r\int d\mu_q\, [b_r^\dagger(\mathbf q)\bar u_r(\mathbf q)e^{-iqy} +b_r(\mathbf q)\bar v_r(\mathbf q)e^{iqy}]. \end{aligned} \tag{42.24}

其中 $b$ 服从式（42.2）的一套CAR。计算 $\langle\Psi_M\bar\Psi_M\rangle$ 时，正序仍留下 $bb^\dagger u\bar u$ ，反序则留下 $bb^\dagger\bar v v$ 。同式（42.4）、（42.5）相比，仅将反粒子模式 $d$ 换成 $b$ ，两套CAR的数值原本相同，因此混合二点函数仍为

i\langle0|T\Psi_{M\alpha}(x)\bar\Psi_{M\beta}(y)|0\rangle =S_{\alpha\beta}(x-y). \tag{42.25}

马约拉纳作用量中的 $1/2$ 已在变分和正则约束中计入，此处二点矩阵元无需再乘 $1/2$ 。

但两个 $\Psi_M$ 相乘时，现在可以留下 $bb^\dagger u v$ ，所以同类场的核不再为零。要计算它，可以直接利用马约拉纳条件，把其中一个场改写成伴随场，再应用已知的混合核。沿第36节的 $\mathcal C$ 矩阵约定，相关转置关系为

\begin{aligned} \bar\Psi_M&=\Psi_M^T\mathcal C, &\Psi_M^T&=\bar\Psi_M\mathcal C^{-1},\\ \bar\Psi_M^T&=\mathcal C^T\Psi_M =\mathcal C^{-1}\Psi_M, &\mathcal C^T&=\mathcal C^{-1}=-\mathcal C . \end{aligned} \tag{42.26}

第一行第二式由右乘 $\mathcal C^{-1}$ 得到；第二行则将原条件转置，交换数值矩阵的行列及场的列行，并不交换两个场。把这两种写法分别用于两个未伴随场和两个伴随场，得到

\begin{aligned} F_{\alpha\beta}(x-y) &\equiv i\langle0|T\Psi_{M\alpha}(x)\Psi_{M\beta}(y)|0\rangle\\ &=i\langle0|T\Psi_{M\alpha}(x)\bar\Psi_{M\gamma}(y)|0\rangle (\mathcal C^{-1})_{\gamma\beta}\\ &=[S(x-y)\mathcal C^{-1}]_{\alpha\beta},\\[2pt] H_{\alpha\beta}(x-y) &\equiv i\langle0|T\bar\Psi_{M\alpha}(x)\bar\Psi_{M\beta}(y)|0\rangle\\ &=(\mathcal C^{-1})_{\alpha\gamma} i\langle0|T\Psi_{M\gamma}(x)\bar\Psi_{M\beta}(y)|0\rangle\\ &=[\mathcal C^{-1}S(x-y)]_{\alpha\beta}. \end{aligned} \tag{42.27}

计算 $F$ 时改写了第二个场，因此矩阵出现在右边；计算 $H$ 时改写第一个场，矩阵就在左边。数值矩阵可从时间序中提出而不带负号，乘法位置则由它连接的指标决定。虽然 $\mathcal C^{-1}=-\mathcal C$ ，保留逆矩阵的写法能直接看出这两种核怎样由混合核得到。

等时关系给出同样的区别。将混合CAR从右或左乘 $\mathcal C^{-1}$ ，再用 $\gamma^0\mathcal C=-\mathcal C\gamma^0$ ，得到

\begin{aligned} \{\Psi_{M\alpha}(\mathbf x),\Psi_{M\beta}(\mathbf y)\} &=(\gamma^0\mathcal C^{-1})_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y) =\mathsf A_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y),\\ \{\bar\Psi_{M\alpha}(\mathbf x),\bar\Psi_{M\beta}(\mathbf y)\} &=(\mathcal C^{-1}\gamma^0)_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y) =-\mathsf A_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y),\\ \mathsf A&=\mathcal C\gamma^0,\qquad \mathsf A^T=\mathsf A . \end{aligned} \tag{42.28}

所得结果与第37节的马约拉纳正则关系一致，也说明两个同类核的矩阵位置须分别保留。对 $F$ 从左作用狄拉克算符，式（42.20）进一步给出

\mathscr D_xF(x-y)=\delta^4(x-y)\mathcal C^{-1}, \qquad \mathcal C\mathscr D_xF(x-y)=\delta^4(x-y)I_4. \tag{42.29}

从时间跳跃计算时，相同的系数为 $\gamma^0\mathsf A=\mathcal C^{-1}$ 。于是 $F$ 是单个马约拉纳场的二次波算符 $\mathcal C\mathscr D$ 的逆核，下一节便可用它完成源泛函中的平方。

自由费米场的配对展开

有了二点函数，还需要求含更多场的时间序真空期望。模式的反对易关系提供了逐对收缩的递推方法。令 $\mathcal F_i$ 表示任意自由场分量，可以是 $\Psi_\alpha(x)$ 或 $\bar\Psi_\beta(y)$ ，并将每个 $\mathcal F_i$ 分为湮灭部分和产生部分，即 $\mathcal F_i=\mathcal F_i^{\rm ann}+\mathcal F_i^{\rm cre}$ 。先按时间从晚到早排列插入，固定这个次序。由于 $\langle0|\mathcal F_1^{\rm cre}=0$ ，最左边只留下 $\mathcal F_1^{\rm ann}$ ；将它依次向右移动，每一步使用 $AB=\{A,B\}-BA$ ，便有

\begin{aligned} \mathcal F_1^{\rm ann}\mathcal F_2\cdots\mathcal F_N &=\sum_{j=2}^{N}(-1)^{j-2} \{\mathcal F_1^{\rm ann},\mathcal F_j\}\, \mathcal F_2\cdots\widehat{\mathcal F_j}\cdots\mathcal F_N\\ &\quad+(-1)^{N-1} \mathcal F_2\cdots\mathcal F_N\mathcal F_1^{\rm ann}. \end{aligned} \tag{42.30}

帽号表示删去该因子，其余次序不变。与第 $j$ 个场收缩以前，湮灭部分已越过 $j-2$ 个奇场，故系数为 $(-1)^{j-2}$ 。自由线性场的反对易子是数值核，可以移到链外；完全移至最右边的一项则湮灭真空。留下的每一个数值核恰是一个二点函数，因为 $\{\mathcal F_1^{\rm ann},\mathcal F_j\} =\langle0|\mathcal F_1\mathcal F_j|0\rangle$ ：右侧第一个场的产生部分被左真空消掉，而换序后的 $\mathcal F_j\mathcal F_1^{\rm ann}|0\rangle=0$ 。

再恢复任意原标签次序，并将每一对也写成费米时间序，便得到威克递推：

\begin{aligned} \langle0|T\mathcal F_1\cdots\mathcal F_{2n}|0\rangle &=\sum_{j=2}^{2n}(-1)^{j-2} \langle0|T\mathcal F_1\mathcal F_j|0\rangle\\ &\qquad{}\times \langle0|T\mathcal F_2\cdots \widehat{\mathcal F_j}\cdots\mathcal F_{2n}|0\rangle . \end{aligned} \tag{42.31}

继续展开右边较短的场链，每一项就成为一组完全配对。恢复原标签次序时的符号，可逐次用相邻交换来说明：交换原链中的两个相邻奇场，左边变号；右边的配对项随之重新标记。若两个场恰在同一对中，二点时间序核变号；若分属两对，则配对置换的符号变号。因此两边具有同样的交替性，在时间已排好的区域成立的递推也适用于任意原标签次序。

递推在 $\langle0|0\rangle=1$ 处结束；奇数场链则最终剩下一个场，其真空期望为零。对于四个场，记 $G_{ij}=\langle0|T\mathcal F_i\mathcal F_j|0\rangle$ ，第一次递推已给出全部结果：

\langle0|T\mathcal F_1\mathcal F_2\mathcal F_3\mathcal F_4|0\rangle =G_{12}G_{34}-G_{13}G_{24}+G_{14}G_{23}. \tag{42.32}

第一场依次与第二、第三、第四场配对，分别越过零、一、两个奇场，故三个符号为加、减、加。对更多偶数场继续使用同一步骤，就得到所有完全配对的求和，即费米威克展开。这里的推导以自由福克真空和自由场的线性模式展开为基础。

现在取交替的狄拉克场次序 $\Psi_\alpha(x),\bar\Psi_\beta(y),\Psi_\gamma(z),\bar\Psi_\delta(w)$ 。由式（42.23），同类场配对给 $G_{13}=G_{24}=0$ 。剩下第三种配对中的 $G_{23}$ 还要改写为未伴随场在前的形式，其原次序为 $\langle T\bar\Psi_\beta(y)\Psi_\gamma(z)\rangle =-\langle T\Psi_\gamma(z)\bar\Psi_\beta(y)\rangle$ ，因此

\begin{aligned} &i^2\langle0|T\Psi_\alpha(x)\bar\Psi_\beta(y) \Psi_\gamma(z)\bar\Psi_\delta(w)|0\rangle\\ &\qquad=S_{\alpha\beta}(x-y)S_{\gamma\delta}(z-w) -S_{\alpha\delta}(x-w)S_{\gamma\beta}(z-y). \end{aligned} \tag{42.33}

每个二点核都包含一个 $i$ ，两对便给出左端的 $i^2$ 。第二项的负号还可直接从原场链看出：第一、第四场组成 $\Psi_\alpha(x)\bar\Psi_\delta(w)$ 后，余下的 $\bar\Psi_\beta(y)$ 与 $\Psi_\gamma(z)$ 须再交换一次，才能写成同方向的混合核。一般狄拉克多点函数只有相反类型的场能配对，所以 $\Psi$ 与 $\bar\Psi$ 数目相等是非零结果的必要条件；对于某些指标组合，配对和仍可能为零。

对于马约拉纳场，可先用 $\bar\Psi=\Psi^T\mathcal C$ 将伴随场改写成未伴随场，把数值 $\mathcal C$ 留在对应指标上。若各场全为 $\Psi_M$ ，三种配对都允许，四点函数因而为

\begin{aligned} &i^2\langle0|T\Psi_{M\alpha}(x)\Psi_{M\beta}(y) \Psi_{M\gamma}(z)\Psi_{M\delta}(w)|0\rangle\\ &\qquad=F_{\alpha\beta}(x-y)F_{\gamma\delta}(z-w)\\ &\qquad\quad-F_{\alpha\gamma}(x-z)F_{\beta\delta}(y-w)\\ &\qquad\quad+F_{\alpha\delta}(x-w)F_{\beta\gamma}(y-z). \end{aligned} \tag{42.34}

代回 $F=S\mathcal C^{-1}$ ，每一项便写成两个混合传播子与各自所连共轭矩阵的乘积。第三种收缩来自粒子和反粒子共用一套模式。

在配对求和中，同一对也可以反向书写。核在同时交换指标与时空点时满足

F_{\alpha\beta}(x-y)=-F_{\beta\alpha}(y-x), \qquad F(-z)^T=-F(z). \tag{42.35}

这也可以直接从傅里叶核看出。保留有限 $\epsilon>0$ ，利用 $\mathcal C(\gamma^\mu)^T\mathcal C^{-1}=-\gamma^\mu$ ，有

\begin{aligned} \widetilde S_\epsilon(p)&=\frac{-\slashed p+m}{p^2+m^2-i\epsilon},\\ \mathcal C\widetilde S_\epsilon(p)^T\mathcal C^{-1} &=\frac{+\slashed p+m}{p^2+m^2-i\epsilon} =\widetilde S_\epsilon(-p),\\ S_\epsilon(-z)^T &=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ipz} \mathcal C^{-1}\widetilde S_\epsilon(-p)\mathcal C =\mathcal C^{-1}S_\epsilon(z)\mathcal C. \end{aligned}

最后一步令四个积分变量同时换号，积分域和绝对雅可比行列式均不变。转置只交换矩阵指标， $-i\epsilon$ 保持原值。再用 $(\mathcal C^{-1})^T=\mathcal C$ 及 $\mathcal C^2=-I_4$ ，两种同类核满足

\begin{aligned} F_\epsilon(-z)^T &=\mathcal C S_\epsilon(-z)^T =S_\epsilon(z)\mathcal C=-F_\epsilon(z),\\ H_\epsilon(-z)^T &=S_\epsilon(-z)^T\mathcal C =\mathcal C^{-1}S_\epsilon(z)\mathcal C^2=-H_\epsilon(z). \end{aligned}

取费曼分布边界值后，这两式仍成立。若将同一配对内的两个场倒写，核与配对置换各变一次号，完整配对项因而不变。因此，一对内部的书写次序可以任取，但核与配对置换的符号必须一同改变。

这样，自由多点函数都能归结到式（42.15）及配对置换，上一节的外腿约化便可作用于这些时间序核。加入相互作用以后，微扰展开的每一项仍用自由场收缩来计算，本节所得的二点核和配对规则也就成为后续计算的基础。

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