Srednicki §56 光子的 LSZ 约化

系列文章：Srednicki QFT 共 97 篇

有了上一节的光子产生、湮灭算符，就可以把散射态中的光子换成场的插入。这正是第5节LSZ约化所做的事。现在自由波方程没有质量项，每条外腿还带有一个横向偏振矢量；沿着同一有限时间推导，便能确定它们应放在哪个位置。接下来求自由场的时间序函数，并把它们组织成外源生成泛函。库仑作用在上一节表现为同一时刻的电荷相互作用，在这里则成为传播核的时间分量。它与横向部分合在一起，在守恒电流之间可以写成很简单的四维形式。

本节仍取四维时空和 $(-,+,+,+)$ 度规。自由场的边界条件沿用上一节的选择，并只计入非零动量模式。

从模式反解到光子外腿

从上一节的模式反解出发，产生、湮灭算符分别为

\begin{aligned} a_\lambda^\dagger(\mathbf k) &=-i\varepsilon_\lambda^{i*}(\mathbf k) \int d^3x\,e^{ikx}\overleftrightarrow{\partial_0}A_i(x),\\ a_\lambda(\mathbf k) &=+i\varepsilon_\lambda^i(\mathbf k) \int d^3x\,e^{-ikx}\overleftrightarrow{\partial_0}A_i(x), \qquad k^0=\omega=|\mathbf k|>0 . \end{aligned} \tag{56.1}

这里 $\partial_0=\partial_t$ ，双向导数定义为 $f\overleftrightarrow{\partial_0}g=f\dot g-\dot f g$ 。偏振的共轭位置来自场展开：产生项是 $\varepsilon_\sigma^i a_\sigma^\dagger e^{-ipx}$ ，所以第一行用 $\varepsilon_\lambda^{i*}$ 投影。在空间积分给出的 $\mathbf p=\mathbf k$ 上，时间导数提供 $i(\omega_{\mathbf p}+\omega)$ ，与外面的 $-i$ 相乘，抵消测度 $d\widetilde p$ 中的 $2\omega_{\mathbf p}$ 。另一频率的系数为频率之差，在 $\mathbf p=-\mathbf k$ 处为零。这些步骤已在式（55.18）、（55.19）逐项展开，因而此处两行都不需要再附加 $\sqrt{2\omega}$ 。

自由场的反解不随时间改变；相互作用场则可用同一式子定义随时间改变的投影。为控制端点和空间积分，先沿第5节使用普通 $d^3k$ 测度的波包。选取光滑紧支撑的 $f_\lambda(\mathbf k)$ ，其支撑避开 $\mathbf k=0$ ，并在所用偏振基的光滑区域内定义矢量核：

\begin{aligned} F_f^i(x)&=\sum_{\lambda=\pm1}\int d^3k\, f_\lambda(\mathbf k)\varepsilon_\lambda^{i*}(\mathbf k)e^{ikx}, &D_0&=-\partial^2,\\ D_0F_f^i&=0,\qquad \partial_iF_f^i=0, &\mathcal A_f^\dagger(t)&=-i\int d^3x\, F_f^i\overleftrightarrow{\partial_t}A_i,\\ C(h,f)&=\sum_\lambda\int d^3k\,(2\pi)^3\,2\omega\, h_\lambda(\mathbf k)^*f_\lambda(\mathbf k). \end{aligned} \tag{56.2}

对自由或渐近场， $\mathcal A_f^\dagger=\sum_\lambda\int d^3k\, f_\lambda a_\lambda^\dagger$ ，它的厄米共轭为 $\mathcal A_f$ 。上一节的模式对易关系给出 $[\mathcal A_h,\mathcal A_f^\dagger]=C(h,f)$ ；偏振克罗内克因子已完成一个偏振求和。式中 $[f]=-2$ 、 $[F_f]=1$ ，故波包算符与内积 $C$ 均无量纲。若一个波包需要多个偏振坐标区域，可将它分成这样的局部波包再相加。

现在求两个有限时刻之间的投影差。双向导数的交叉项相消，而 $\ddot F_f^i=\nabla^2F_f^i$ 。将后一项作两次空间分部积分，得到

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\mathcal A_f^\dagger(t) &=-i\int d^3x\, \bigl(F_f^i\ddot A_i-\ddot F_f^i A_i\bigr) =-i\int d^3x\,F_f^iD_0A_i,\\ \mathcal A_f^\dagger(t_-) &=\mathcal A_f^\dagger(t_+) +i\int_{t_-}^{t_+}d^4x\,F_f^iD_0A_i,\\ \mathcal A_h(t_+) &=\mathcal A_h(t_-) +i\int_{t_-}^{t_+}d^4x\,F_h^{i*}D_0A_i . \end{aligned} \tag{56.3}

最后一行先取厄米共轭，再交换端点，两个操作各改变一次 $i$ 的符号，所以入射、出射两种形式的积分前都为 $+i$ 。这里满足自由方程的是波包核， $A_i$ 仍可为相互作用场。

散射约化还要在矩阵元中保留时间序。设 $B$ 为已经插入的若干场，它们的时间暂固定在 $t_-$ 与 $t_+$ 之间，并记 $H_i(x)=\langle\beta,{\rm out}|\mathrm T\{A_i(x)B\}|\alpha,{\rm in}\rangle$ 。将上一式中的场替换为这个时间序函数，在早端点新场位于最右，在晚端点位于最左，故有

\begin{aligned} &\langle\beta|B\mathcal A_f^\dagger(t_-)|\alpha\rangle -\langle\beta|\mathcal A_f^\dagger(t_+)B|\alpha\rangle\\ &\hspace{2em}=i\int_{t_-}^{t_+}d^4x\,F_f^i(x)D_{0x}H_i(x). \end{aligned} \tag{56.4}

微分作用于整个 $H_i$ ，时间经过 $B$ 中某一场时所产生的等时项也在其中。这与第5节的有限边界恒等式相同，只是标量核换成横向矢量核，并对 $i$ 求和。

为取无穷时间极限，以下假设所讨论的光子通道有共同真空、相应的入出福克态和自由模式对易关系，且上述涂抹矩阵元的逐腿极限存在；场的单光子重叠先取为一。光子没有质量，第5节依赖正质量谱间隙的论证不能直接用来保证这些条件。本节先在满足这些条件的外部光子通道上求约化关系，场重叠的归一稍后说明。

取极限后，晚端点的产生算符作用在出态左矢上。令 $\beta=(h_1,\ldots,h_{n'})$ ，将它移过各个出射湮灭算符，每次交换留下一份 $C(h_r,f)$ ；完全移到真空左矢旁的项才为零。出射腿则把早端点湮灭算符作用于入态。两种结果为

\begin{aligned} \langle\beta|B|f,\alpha\rangle ={}&\sum_r C(h_r,f)\langle\beta\setminus h_r|B|\alpha\rangle\\ &+i\int d^4x\,F_f^i(x)D_{0x} \langle\beta|\mathrm T\{A_i(x)B\}|\alpha\rangle,\\ \langle h,\beta|B|\alpha\rangle ={}&\sum_s C(h,f_s)\langle\beta|B|\alpha\setminus f_s\rangle\\ &+i\int d^4y\,F_h^{i*}(y)D_{0y} \langle\beta|\mathrm T\{A_i(y)B\}|\alpha\rangle . \end{aligned} \tag{56.5}

入态与出态的标记在这两行中分别隐含于右矢和左矢。第一项描述一个光子直接进入出射波包，第二项将它换成场插入。取确定动量的积分核，并补 $\varepsilon^0_\lambda=0$ ，就可把场插入写成四指标形式：

\begin{aligned} a^\dagger_{\lambda,{\mathrm{in}}}(\mathbf k) &\longmapsto i\varepsilon_\lambda^{\mu*}(\mathbf k) \int d^4x\,e^{ikx}D_{0x}A_\mu(x),\\ a_{\lambda,{\mathrm{out}}}(\mathbf k) &\longmapsto i\varepsilon_\lambda^\mu(\mathbf k) \int d^4x\,e^{-ikx}D_{0x}A_\mu(x). \end{aligned} \tag{56.6}

这些箭头用于时间序矩阵元中的外腿操作。由于偏振的时间分量为零， $\varepsilon^\mu A_\mu=\varepsilon^iA_i$ ，不会引入 $A_0=-\varphi$ 的额外负号。这是库仑参考系中的四指标记法；变换参考系以后若仍要求偏振时间分量为零，还需配合相应规范变换。

多条腿的迭代沿用第5节已有的部分匹配证明。对尚未直接配对的入射包 $F=(f_1,\ldots,f_n)$ 和出射包 $H=(h_1,\ldots,h_{n'})$ ，定义全部换成场插入的积分

\begin{aligned} \mathcal R_\gamma(H;F) ={}&\left[\prod_{s=1}^n i\int d^4x_s\, F_{f_s}^{i_s}(x_s)D_{0x_s}\right] \\ &\times\left[\prod_{r=1}^{n'} i\int d^4y_r\, F_{h_r}^{j_r*}(y_r)D_{0y_r}\right]\\ &\times\langle0|\mathrm T\{ A_{j_1}(y_1)\cdots A_{j_{n'}}(y_{n'}) A_{i_1}(x_1)\cdots A_{i_n}(x_n)\}|0\rangle . \end{aligned} \tag{56.7}

重复的空间指标分别缩并。各次运算按第5节的次序嵌套：先引入的入腿积分在外，求后加腿的端点极限时，先前坐标仍固定有限。以 $M$ 表示入出标签的部分匹配， $H_M,F_M$ 表示删去匹配后的波包，完整内积为

S_\gamma(H;F)=\sum_M \left[\prod_{(r,s)\in M}C(h_r,f_s)\right] \mathcal R_\gamma(H_M;F_M), \qquad \mathcal R_\gamma(\varnothing;\varnothing)=1 . \tag{56.8}

每条入腿在式（56.5）中或与一条未使用的出腿配对，或留下场插入，因而全部选择恰好生成一次部分匹配。有 $k$ 对时的选择数仍为 $\binom nk\binom{n'}k k!$ ；每对的内积现在还比较偏振，不再增加另一个阶乘。若只求所有外腿参与同一过程的连通振幅，在式（56.7）中使用连通函数。若所选入出包的内积全为零，完整内积也只剩无直接配对的这一项。

自由理论中 $\mathcal A_{\rm in}=\mathcal A_{\rm out}$ ，一次或两次对易运算分别给出

\begin{aligned} S^{(0)}_\gamma(h;f)&=C(h,f),\\ S^{(0)}_\gamma(h_1,h_2;f_1,f_2) &=C(h_1,f_1)C(h_2,f_2)+C(h_1,f_2)C(h_2,f_1). \end{aligned} \tag{56.9}

这是未发生散射的单光子与双光子内积；后面的自由二点函数还会直接说明，它们不会由全部截去外腿的积分产生。因此这些外腿操作用于完整 $S$ 时，仍须保留式（56.8）中的直接配对项。

单光子重叠与场的归一

外腿操作还需要确定场与真空、单光子态的重叠。在平移与旋转不变的零背景真空中， $\langle A^i(x)\rangle$ 是一个不随 $x$ 改变、在所有空间旋转下不变的矢量，所以只能为零。单光子矩阵元则可直接用上一节的模式展开计算。令 $|\mathbf k,\lambda\rangle=a_\lambda^\dagger(\mathbf k)|0\rangle$ ，仅有产生项作用于右侧真空后留下非零贡献：

\begin{aligned} \langle\mathbf k,\lambda|A^i(x)|0\rangle &=\sum_\sigma\int d\widetilde p\, \langle0|a_\lambda(\mathbf k)a_\sigma^\dagger(\mathbf p)|0\rangle \varepsilon_\sigma^i(\mathbf p)e^{-ipx}\\ &=\varepsilon_\lambda^i(\mathbf k)e^{-ikx},\\ \langle0|A^i(x)|\mathbf k,\lambda\rangle &=\varepsilon_\lambda^{i*}(\mathbf k)e^{ikx},\\ \langle\mathbf p,\sigma|\mathbf k,\lambda\rangle &=(2\pi)^3\,2\omega\, \delta^3(\mathbf p-\mathbf k)\delta_{\sigma\lambda} . \end{aligned} \tag{56.10}

第一行的 $\delta$ 积分抵消 $d\widetilde p$ 的归一，给出第二行；取共轭即得第三行。

相互作用场可以仍与同一个光子态有重叠，但系数未必为一。考虑两种偏振具有共同实正重叠系数的光子通道，将这个系数记为 $r_\gamma$ ，即将上式的两种真空—单光子矩阵元各乘 $r_\gamma$ 。在两点函数中插入单光子态的完备和，两端的矩阵元相乘，于是横向极点项为

\begin{aligned} \widetilde\Delta^{ij}_{\rm full}(q) &=\frac{r_\gamma^2P^{ij}(\mathbf q)}{q^2-i0}+R^{ij}(q), \qquad q^2R^{ij}(q)\longrightarrow0,\\ A_\mu^{\rm new}&=r_\gamma^{-1}A_\mu^{\rm old} . \end{aligned} \tag{56.11}

余项的极限指所用LSZ极限，并不要求它在无质量壳附近解析。因为场投影的单光子部分也多出 $r_\gamma$ ，若保留旧场，每条外腿需乘 $r_\gamma^{-1}$ ；采用第二行的新场后，就恢复单位重叠的约化式。这个归一选择固定极点系数，本节前面所需的渐近矩阵元极限仍是使用条件。

把场重标度写回拉格朗日量，动能和电流耦合便分别带有归一系数：

\begin{aligned} \mathcal L &=-\frac14Z_3F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+Z_1J^\mu A_\mu,\\ Z_3^{\rm new}&=r_\gamma^2Z_3^{\rm old}, \qquad Z_1^{\rm new}=r_\gamma Z_1^{\rm old} . \end{aligned} \tag{56.12}

第二行来自 $A^{\rm old}=r_\gamma A^{\rm new}$ ：场强是场的一次式，动能因而得到 $r_\gamma^2$ ，线性顶角得到 $r_\gamma$ 。 $Z_3$ 是动能系数，其选择须使完整传播子具有规定的单位留数；比较它与某个旧场的极点权重时，还要同时说明旧场的动能归一。 $Z_1$ 通过指定动量处的相互作用顶角来确定。二者均无量纲。第62节将引入费米场的归一系数 $Z_2$ 。下面计算给定经典外流中的自由高斯泛函。

自由光子的时间序函数

求关联函数时，先把相互作用关掉，使用第55节的两个横向振子。将两份场展开相乘，真空期望中只有左边的湮灭项与右边的产生项保留。以 $P^{ij}(\mathbf k)=\sum_\lambda\varepsilon_\lambda^{i*} \varepsilon_\lambda^j$ 记偏振和，有

\begin{aligned} G_+^{ij}(x-y) &\equiv\langle0|A^i(x)A^j(y)|0\rangle\\ &=\sum_{\lambda,\sigma}\int d\widetilde k\,d\widetilde p\, \varepsilon_\lambda^{i*}(\mathbf k)\varepsilon_\sigma^j(\mathbf p) e^{ikx-ipy}\langle0|a_\lambda(\mathbf k)a_\sigma^\dagger(\mathbf p)|0\rangle\\ &=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3\,2\omega}\, P^{ij}(\mathbf k)e^{ik(x-y)} . \end{aligned} \tag{56.13}

正则对易关系给出的 $(2\pi)^3\,2\omega$ 抵消一个模式测度， $\delta_{\lambda\sigma}$ 将两个偏振标签合成一个求和。由式（55.16）， $P^{ij}=\delta^{ij}-k^ik^j/\mathbf k^2$ ，它实、对称且在 $\mathbf k\to-\mathbf k$ 下不变。令 $\tau=x^0-y^0$ 、 $\mathbf r=\mathbf x-\mathbf y$ ，按时间序定义得到

\begin{aligned} G_T^{ij}(\tau,\mathbf r) &=\theta(\tau)G_+^{ij}(\tau,\mathbf r) +\theta(-\tau)G_+^{ji}(-\tau,-\mathbf r)\\ &=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\, \frac{P^{ij}(\mathbf k)}{2\omega} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r-i\omega|\tau|} . \end{aligned} \tag{56.14}

第二项先有 $e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf r+i\omega\tau}$ ；将空间积分变量反号，利用 $P^{ji}(-\mathbf k)=P^{ij}(\mathbf k)$ ，便可与第一项合写。绝对值中的两种时间演化由此确定。

要将时间序函数写成四维傅里叶积分，需先引入独立的能量变量 $k^0$ 。先保留 $\epsilon>0$ ，并令 $\nu_\epsilon=\sqrt{\mathbf k^2-i\epsilon}$ ，取实部为正、虚部为负的根。分母为 $-(k^0-\nu_\epsilon)(k^0+\nu_\epsilon)$ 。在 $\tau>0$ 时向下闭合，顺时针围道给 $-i$ 乘正频率极点留数； $\tau<0$ 时向上闭合，逆时针围道给 $+i$ 乘负频率留数。因此

\begin{aligned} I_\epsilon(\tau,\mathbf k) &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk^0}{2\pi}\, \frac{e^{-ik^0\tau}}{-(k^0)^2+\mathbf k^2-i\epsilon}\\ &=\begin{cases} (-i)\dfrac{-e^{-i\nu_\epsilon\tau}}{2\nu_\epsilon},&\tau>0,\\[2mm] (+i)\dfrac{e^{+i\nu_\epsilon\tau}}{2\nu_\epsilon},&\tau<0, \end{cases}\\ &\xrightarrow[\epsilon\downarrow0]{} \frac{i}{2\omega}e^{-i\omega|\tau|} . \end{aligned} \tag{56.15}

闭合方向由 $e^{-ik^0\tau}$ 在相应半平面的衰减决定。对 $\tau=0$ 可由两侧相同的连续值接上；对时间导数则要保留下面的跳变。偏振和只依赖空间动量，没有改变极点或留数。与式（56.14）比较，定义传播子为

\begin{aligned} G_T^{ij}(x-y)&=\frac1i\Delta_C^{ij}(x-y),\\ \Delta_C^{ij}(x-y) &=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \frac{e^{ik(x-y)}P^{ij}(\mathbf k)}{k^2-i0} . \end{aligned} \tag{56.16}

下标 $C$ 标明库仑规范。两点矩阵元本身是 $\Delta_C/i$ ，与第8节的标量约定相同。偏振数已包含在 $P^{ij}$ 中，取迹便给出 $P^{ii}=2$ 。位置核的质量维数为2，四维动量核为 $-2$ ，也与两个维数为1的场相符。

时间序函数还给出一个检验外腿微分的办法。固定空间动量后， $e^{-i\omega|\tau|}/(2\omega)$ 在原点两侧的导数分别为 $-i/2$ 和 $+i/2$ ，跳跃为 $-i$ 。非零时差处 $D_0G_T=0$ ，原点处则有

\begin{aligned} \partial_\tau G_T^{ij}(0^+,\mathbf r) -\partial_\tau G_T^{ij}(0^-,\mathbf r) &=-i\delta_T^{ij}(\mathbf r),\\ D_{0x}G_T^{ij}(x-y) &=-i\delta(x^0-y^0)\delta_T^{ij}(\mathbf x-\mathbf y),\\ D_{0x}\Delta_C^{ij}(x-y) &=\delta(x^0-y^0)\delta_T^{ij}(\mathbf x-\mathbf y). \end{aligned} \tag{56.17}

这里 $\delta_T^{ij}=P^{ij}\delta^3$ 是第55节的横向单位核。它来自等时 $[\dot A_i,A_j]=-i\delta_T^{ij}$ ，所以空间结构也受到规范约束。与横向波包缩并时，投影将波包映回自身；于是

i\int d^4x\,F_f^i(x)D_{0x}G_T^{ij}(x-y) =F_f^j(y),\qquad D_{0y}F_f^j(y)=0 . \tag{56.18}

第一条外腿的结果不为零，第二条外腿则把剩余的自由波包核消去。这直接核对了式（56.9）：自由光子的完整内积来自直接配对项，而非两条外腿的全部约化积分。同样，若把 $D_0$ 搬入时间序后再逐场使用自由方程，就会漏掉式（56.17）。若在只含上述线性电流耦合的有调节模型中保留常数 $Z_3$ ，则正则动量为 $Z_3\dot A_i$ ，等时项的系数相应为 $-i/Z_3$ ；它由正则代数决定，与单位物理极点留数的选择要分别处理。

两点函数算出以后，多点函数可沿第8节的威克推导求得。每个 $A_i$ 都是模式产生、湮灭算符的一次式，真空期望要求它们成对收缩。因此奇数点函数为零；偶数点对所有不同配对各取一次两点函数的乘积。以 $A_a=A_{i_a}(x_a)$ 、 $G_{ab}=G_T^{i_ai_b}(x_a-x_b)$ 简记，四点为

\langle0|\mathrm T A_1A_2A_3A_4|0\rangle =G_{12}G_{34}+G_{13}G_{24}+G_{14}G_{23} . \tag{56.19}

三个配对分别对应第一场与其余三场收缩，余下两场的配对即已固定。光子是玻色子，移动模式算符不产生费米交换负号。一般 $2n$ 点的配对数为 $(2n)!/(2^n n!)$ ，来自排列全部标签后去掉每对内部的两种次序和 $n$ 对之间的次序；各配对仍带自己的空间指标与坐标。偏振标签改变每条收缩线所带的投影张量，不改变玻色场的配对计数。

标势消元与外源生成泛函

将这些自由关联函数组织成外源中的真空振幅，可以一次生成任意数目的场插入。这里 $J^\mu$ 是给定的经典函数。为产生场插入，先把源的各分量作为独立测试变量；在后面比较规范形式时，再限制到守恒电流。沿用上一节空间边界条件，并用同一调节定义分子、分母，写成

Z_0[J]= \frac{\displaystyle\int\mathcal D\mathbf A_T\,\mathcal D\varphi\, \exp\!\left\{i\int d^4x\left[-\frac14F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} +J^\mu A_\mu\right]\right\}} {\displaystyle\int\mathcal D\mathbf A_T\,\mathcal D\varphi\, \exp\!\left[-\frac i4\int d^4x\,F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\right]}, \quad \partial_iA_{Ti}=0 . \tag{56.20}

分母使 $Z_0[0]=1$ 。积分变量为横向矢势和标势，而非四个未经规范限制的独立振子。可先选有限模式与有限时间调节，再按第7、8节的高斯边界处方取极限；场分解及零模处理与第55节相同。

源项为 $-\rho\varphi+J_iA_i$ 。上一节已经把空间分部积分逐项完成，混合项 $\dot A_i\partial_i\varphi$ 因 $\partial_iA_i=0$ 只留空间边界。令 $L=-\nabla^2$ 、 $J_{Ti}=P_{ij}J_j$ ，再对横向动能作时间分部积分，作用量可写为

\begin{aligned} S_0[J]&=S_A[J_T]+S_\varphi[\rho],\\ S_A[J_T]&=-\frac12\int d^4x\,A_iD_0A_i +\int d^4x\,J_{Ti}A_i,\\ S_\varphi[\rho]&=\int dt\left[ \frac12\langle\varphi,L\varphi\rangle -\langle\rho,\varphi\rangle\right],\qquad \langle f,g\rangle=\int d^3x\,f(\mathbf x)g(\mathbf x). \end{aligned} \tag{56.21}

时间边界取第8节所用的真空处方；若保留有限端点，则应同时保留相应边界态。空间电流可投影为 $J_T$ ，因为 $P$ 自伴且 $PA=A$ 。标势没有时间导数，所以它的高斯积分在每个时刻分别进行。用上一节已经确定的 $L^{-1}(\mathbf x,\mathbf y)=G_C(\mathbf x-\mathbf y)$ ，令 $\varphi_c=L^{-1}\rho$ 、 $\varphi=\varphi_c+\eta$ ，展开得到

\begin{aligned} \frac12\langle\varphi,L\varphi\rangle-\langle\rho,\varphi\rangle ={}&\frac12\langle\eta,L\eta\rangle +\langle\eta,L\varphi_c-\rho\rangle\\ &+\frac12\langle\varphi_c,L\varphi_c\rangle -\langle\rho,\varphi_c\rangle\\ ={}&\frac12\langle\eta,L\eta\rangle -\frac12\langle\rho,L^{-1}\rho\rangle,\\ S_{\rm coul} ={}&-\frac12\int d^4x\,d^4y\, \delta(x^0-y^0)\frac{J^0(x)J^0(y)}{4\pi|\mathbf x-\mathbf y|} . \end{aligned} \tag{56.22}

交叉项因 $L\varphi_c=\rho$ 消去，常数项给出负的二分之一。平移后的 $\eta$ 积分与源无关，在式（56.20）的比值中消去。例如有限模式上若 $L$ 的本征值为 $\ell_a>0$ ，先用 $\ell_a+i\delta$ 、 $\delta>0$ 使每个积分收敛，其零源因子为 $\prod_a[2\pi/(-i(\ell_a+i\delta))]^{1/2}$ ；分子和分母取同一连续平方根，整个因子约掉后再取 $\delta\downarrow0$ 。所以在这个二次问题中，解出驻值并代回作用量就能得到全部依赖外源的部分；涨落行列式只贡献被归一化约去的常数。

$S_{\rm coul}$ 不再含 $\mathbf A_T$ ，所以 $e^{iS_{\rm coul}}$ 可以提出余下的积分。对横向部分，令 $Q_\epsilon=D_0-i\epsilon$ ，其傅里叶本征值为 $k^2-i\epsilon$ 。指数中的 $-iA Q_\epsilon A/2$ 带有 $-\epsilon A^2/2$ ，与前面的费曼极点处方一致。取 $A_c^i=\Delta_{C,\epsilon}^{ij}*J_j$ ，在横向空间有 $Q_\epsilon A_c=J_T$ 。配方给出

-\frac12 A Q_\epsilon A+J_TA =-\frac12(A-A_c)Q_\epsilon(A-A_c) +\frac12J_i\Delta_{C,\epsilon}^{ij}J_j . \tag{56.23}

这一行采用积分核缩记，最后一项包含两份时空积分。它的交叉项为 $(A-A_c)(J_T-Q_\epsilon A_c)=0$ ；常数项为 $-A_cJ_T/2+J_TA_c=J_TA_c/2$ 。有限调节下的复高斯平移与式（7.15）相同，平移前后的源无关行列式再次由零源归一消去。取边界值以后得到

Z_0[J]=\exp\!\left[ iS_{\rm coul}+\frac i2\int d^4x\,d^4y\, J_i(x)\Delta_C^{ij}(x-y)J_j(y)\right]. \tag{56.24}

对这个泛函求外源导数，可以重新得到刚才的模式收缩。令 $Z_T$ 只表示横向指数，二次型的对称性使一次导数给出 $i\Delta_CJ$ ，第二次导数后取 $J=0$ ，便有

\left.\frac1{i^2}\frac{\delta^2Z_T} {\delta J_i(x)\delta J_j(y)}\right|_{J=0} =-i\Delta_C^{ij}(x-y)=G_T^{ij}(x-y). \tag{56.25}

二次型的两个源给出的两项抵消 $1/2$ ， $i^{-2}$ 再把 $i$ 变成 $-i$ 。对于 $2n$ 次导数，指数展开中只有 $n$ 次二次型的一项保留。其 $1/(2^n n!)$ 恰好除去每对内部交换和配对次序，留下式（56.19）的一般配对和；奇数次导数为零。因此高斯泛函重现了全部自由时间序函数。

将库仑作用写入四指标传播核

现在把式（56.24）中的两个指数合并。为了把瞬时项与横向项合写，定义四指标核，使

\begin{aligned} Z_0[J]&=\exp\!\left[\frac i2\int d^4x\,d^4y\, J_\mu(x)\Delta_C^{\mu\nu}(x-y)J_\nu(y)\right],\\ \Delta_C^{\mu\nu}(x-y) &=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, e^{ik(x-y)}\widetilde\Delta_C^{\mu\nu}(k),\\ \widetilde\Delta_C^{\mu\nu}(k) &=-\frac{\delta^{\mu0}\delta^{\nu0}}{\mathbf k^2} +\frac{1}{k^2-i0}\sum_{\lambda=\pm1} \varepsilon_\lambda^{\mu*}(\mathbf k)\varepsilon_\lambda^\nu(\mathbf k). \end{aligned} \tag{56.26}

由于 $\varepsilon^0=0$ ，第二项正好重现空间二次型。第一项的两个下时间指标电流满足 $J_0=-\rho$ ，相乘给正的 $\rho(x)\rho(y)$ ；要重现负的 $S_{\rm coul}$ ，核的00分量就必须带负号。

可以把这一个分量的傅里叶积分直接算完。其分母与 $k^0$ 无关，所以能量积分给出时间 $\delta$ 。若先加高斯因子 $e^{-a(k^0)^2}$ 、 $a>0$ ，第7节的平方完成给出

\int\frac{dk^0}{2\pi}\,e^{-a(k^0)^2-ik^0\tau} =\frac{e^{-\tau^2/(4a)}}{\sqrt{4\pi a}} \xrightarrow[a\downarrow0]{}\delta(\tau). \tag{56.27}

右边的高斯对 $\tau$ 积分为一，宽度随 $\sqrt a$ 趋于零；与光滑测试函数积分时，令 $\tau=2\sqrt a\,v$ 便得到该函数在原点的值。这里 $a$ 的质量维数为 $-2$ ，它只是这次傅里叶恒等式的辅助调节，与传播子中维数为2的 $\epsilon$ 不同。

空间积分取 $r=|\mathbf r|>0$ ，以 $\mathbf r$ 为极轴。先加阿贝尔因子 $e^{-bq}$ 、 $b>0$ ，其中 $q=|\mathbf k|$ ，则

\begin{aligned} G_b(r) &=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\, \frac{e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r-b|\mathbf k|}}{\mathbf k^2}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dq\,e^{-bq} \,2\pi\int_{-1}^{1}d\mu\,e^{iqr\mu}\\ &=\frac{1}{2\pi^2r}\int_0^\infty\frac{dq}{q}\,e^{-bq}\sin(qr). \end{aligned} \tag{56.28}

径向雅可比因子的 $q^2$ 已与分母抵消，极角积分给 $2\sin(qr)/(qr)$ ，方位角积分给 $2\pi$ 。剩余积分记为 $I_b(r)$ 。它在 $r=0$ 为零，对 $r$ 求导后是收敛的拉普拉斯积分：

\begin{aligned} I_b'(r)&=\int_0^\infty dq\,e^{-bq}\cos(qr) =\operatorname{Re}\frac1{b-ir}=\frac{b}{b^2+r^2},\\ I_b(r)&=\int_0^r ds\,\frac{b}{b^2+s^2} =\arctan\frac rb,\\ G_b(r)&=\frac{1}{2\pi^2r}\arctan\frac rb \xrightarrow[b\downarrow0]{}\frac1{4\pi r}. \end{aligned} \tag{56.29}

原点处 $1/r$ 按第55节的局部可积格林核理解，其 $-\nabla^2$ 在分布意义下给 $\delta^3$ 。合并时间和空间结果，得到

\Delta_C^{00}(x-y) =-\frac{\delta(x^0-y^0)}{4\pi|\mathbf x-\mathbf y|}, \qquad \Delta_C^{0i}=\Delta_C^{i0}=0 . \tag{56.30}

代入 $J_\mu\Delta_C^{\mu\nu}J_\nu/2$ ，就逐项恢复式（56.22）的瞬时库仑作用。这个分量来自无独立时间演化的标势约束，横向传播的光子仍只有两种偏振。

守恒电流之间的费曼规范形式

要把库仑核写成便于洛伦兹指标运算的形式，需要显式保留选定的时间方向。定义 $\widehat t^\mu=(1,\mathbf0)$ ，并令 $u=\widehat t\cdot k=-k^0$ 、 $K=\mathbf k^2$ 。将四动量沿时间方向的部分去掉，再作归一，得到

\begin{aligned} \widehat t^2&=-1,\qquad k^\mu+u\widehat t^\mu=(0,\mathbf k), \qquad K=k^2+u^2,\\ \widehat z^\mu&=\frac{k^\mu+u\widehat t^\mu}{\sqrt K}, \qquad K>0,\\ \widehat t\cdot\widehat z &=\frac{u-u}{\sqrt K}=0, \qquad \widehat z^2=\frac{k^2+2u^2-u^2}{K}=1 . \end{aligned} \tag{56.31}

分子是纯空间矢量，所以 $\widehat z^0=0$ 、 $\widehat z^i=k^i/|\mathbf k|$ 。三维偏振完备关系因而可写成

\begin{aligned} P^{\mu\nu} &\equiv\sum_\lambda\varepsilon_\lambda^{\mu*}\varepsilon_\lambda^\nu =g^{\mu\nu}+\widehat t^\mu\widehat t^\nu -\widehat z^\mu\widehat z^\nu,\\ P^{00}&=-1+1=0,\qquad P^{0i}=P^{i0}=0, \qquad P^{ij}=\delta^{ij}-\frac{k^ik^j}{K} . \end{aligned} \tag{56.32}

第二行显示，含时间指标的分量为零，纯空间分量恢复横向投影。该张量还满足 $P^{\mu\nu}\widehat t_\nu=P^{\mu\nu}\widehat z_\nu=0$ ，在与这两个方向正交的二维空间上为单位算符。用它替换式（56.26）中的偏振和，就得到

\widetilde\Delta_C^{\mu\nu}(k) =-\frac{\widehat t^\mu\widehat t^\nu}{K} +\frac{g^{\mu\nu}+\widehat t^\mu\widehat t^\nu -\widehat z^\mu\widehat z^\nu}{k^2-i\epsilon} . \tag{56.33}

这里保留有限的 $\epsilon>0$ ，两个参考方向也显式出现在核中。

现在考虑源二次型，并要求 $\partial_\mu J^\mu=0$ 及分部积分的表面项消失。若传播核中有一个 $k^\mu$ ，傅里叶指数可把它换成 $x$ 导数；若有 $k^\nu$ ，则可换成 $y$ 导数。具体的号为

\begin{aligned} k^\mu e^{ik(x-y)}&=-i\partial_x^\mu e^{ik(x-y)}, \\ \int d^4x\,J_\mu(x)k^\mu e^{ik(x-y)} &=i\int d^4x\,(\partial^\mu J_\mu)e^{ik(x-y)}=0,\\ k^\nu e^{ik(x-y)}&=+i\partial_y^\nu e^{ik(x-y)}, \\ \int d^4y\,J_\nu(y)k^\nu e^{ik(x-y)} &=-i\int d^4y\,(\partial^\nu J_\nu)e^{ik(x-y)}=0 . \end{aligned} \tag{56.34}

两端的导数号相反，但电流守恒使两者都为零。所以在这一守恒电流二次型中，可以略去 $\widehat z^\mu$ 中含 $k^\mu$ 的部分。把 $\widehat z^\mu\widehat z^\nu$ 完整展开，所有带 $k$ 的项及剩余的时间项为

\begin{aligned} \widetilde\Delta_C^{\mu\nu}(k) ={}&\frac{g^{\mu\nu}}{k^2-i\epsilon} -\frac{k^\mu k^\nu +u(k^\mu\widehat t^\nu+\widehat t^\mu k^\nu)} {K(k^2-i\epsilon)}\\ &+\frac{i\epsilon\widehat t^\mu\widehat t^\nu} {K(k^2-i\epsilon)} . \end{aligned} \tag{56.35}

第二项在守恒流间消去。第三项的分子来自 $-(k^2-i\epsilon)+K-u^2=i\epsilon$ 。通分时，瞬时项的系数分成 $-k^2/K$ 和 $i\epsilon/K$ 两部分。这个余项在 $\epsilon>0$ 时保留，取边界值时再求它的分布极限。

这一极限在施瓦茨测试函数上可以直接证明，而且不必删去空间原点。设 $f(k)$ 是这样的测试函数；它也可以取为两个光滑快速衰减电流的时间分量之积。对实四动量， $|\epsilon/(k^2-i\epsilon)|\leq1$ ，于是

\begin{aligned} \left|\frac{i\epsilon f(k)}{\mathbf k^2(k^2-i\epsilon)}\right| &\leq\frac{|f(k)|}{\mathbf k^2},\\ \int dk^0\,d^3k\,\frac{|f(k)|}{\mathbf k^2} &=\int dk^0\int_0^\infty dr\int d\Omega\, |f(k^0,r\widehat{\mathbf n})|<\infty,\\ \lim_{\epsilon\downarrow0}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \frac{i\epsilon f(k)}{\mathbf k^2(k^2-i\epsilon)}&=0 . \end{aligned} \tag{56.36}

第二行的 $r^2$ 测度恰好抵消 $1/r^2$ ：在原点处只剩有限区间的径向积分，无穷远由 $f$ 的快速衰减控制。除 $k^0=\pm|\mathbf k|$ 这两个零测度曲面外，第一行左边逐点趋零，因此可用支配收敛取得最后一行。因此，对施瓦茨电流的二次型，这个调节余项在边界值极限中消失。

将式（56.34）和这个极限合起来，令 $\widetilde J_\mu(k)=\int d^4x\,e^{-ikx}J_\mu(x)$ ，得到

\begin{aligned} &\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \widetilde J_\mu(-k)\widetilde\Delta_C^{\mu\nu}(k) \widetilde J_\nu(k)\\ &\hspace{1em}=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \widetilde J_\mu(-k)\widetilde\Delta_F^{\mu\nu}(k) \widetilde J_\nu(k), \qquad \widetilde\Delta_F^{\mu\nu}(k)=\frac{g^{\mu\nu}}{k^2-i0},\\ &k^\mu\widetilde J_\mu(k)=0 . \end{aligned} \tag{56.37}

最后这个核称为费曼规范的传播子。在守恒电流上，它给出与库仑核相同的归一化 $Z_0[J]$ ，但两者作为场分量的核仍不同，例如 $\widetilde\Delta_C^{00}=-1/\mathbf k^2$ ， $\widetilde\Delta_F^{00}=-1/(k^2-i0)$ 。因此先限制到守恒源并换核后，源导数也须沿该限制取；若再将四个源分量独立求导，就不能把结果当作原库仑泛函的全部源导数。

这个化简还可不用 $\widehat t,\widehat z$ ，直接以电荷和三维电流核对。以下省略傅里叶记号，将 $\rho(-k)\rho(k)$ 记为 $\rho_-\rho_+$ ，其他乘积同理。守恒条件给 $\mathbf k\cdot\mathbf J=k^0\rho$ ，故

\begin{aligned} J_{-\mu}\widetilde\Delta_C^{\mu\nu}J_{+\nu} &=-\frac{\rho_-\rho_+}{K} +\frac{\mathbf J_-\cdot\mathbf J_+ -(k^0)^2\rho_-\rho_+/K}{k^2-i\epsilon}\\ &=\frac{\mathbf J_-\cdot\mathbf J_+-\rho_-\rho_+}{k^2-i\epsilon} +\frac{i\epsilon\rho_-\rho_+}{K(k^2-i\epsilon)} . \end{aligned} \tag{56.38}

第二行再次留下完全相同的调节余项；其余分子正是洛伦兹内积。瞬时电荷项和纵向电流项合并后，产生了协变形式中的时间分量，它们的关系由连续性方程确定。

两种物理偏振也可在这个形式中辨认出来。对实电流有 $\widetilde J(-k)=\widetilde J(k)^*$ 。在非零光子壳 $k^0=\pm|\mathbf k|$ 上，纵向电流为 $\mathbf J_L=\mathbf k\,k^0\rho/K$ ，所以洛伦兹内积的壳上分子为

\begin{aligned} -|\rho|^2+|\mathbf J|^2 &=|\mathbf J_T|^2 +\left(\frac{(k^0)^2}{\mathbf k^2}-1\right)|\rho|^2 \\ &=|\mathbf J_T|^2 =\sum_{\lambda=\pm1}|\boldsymbol\varepsilon_\lambda\cdot\mathbf J|^2 . \end{aligned} \tag{56.39}

这是对化简结果的一个物理检验：光子极点仍只耦合电流的两个横向分量。四维费曼核使实际计算简洁，而库仑形式将约束与传播自由度分别显露出来。守恒电流把这两种表示联系起来。第57节将直接处理光子的路径积分，从另一条途径得到费曼规范核。

← 第 55 节 · 章节地图 · 第 57 节 →