Srednicki §25 不稳定粒子与共振

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前面用传播子的实极点确定粒子质量，再用极点留数归一化场，使它能产生精确的渐近单粒子态。若粒子的质量足以使它衰变成更轻的粒子，这个描述就需要改变：衰变使初始粒子的存活概率随时间减小，自能在质量壳上也将出现与此相应的虚部。本节先沿第11节的方法计算树级衰变率，再从重场的自能中求出同一个数，最后把重粒子放到散射图的内线上，说明它的质量和寿命怎样表现为稳定粒子散射中的共振。以下用 $M$ 、 $m$ 分别表示重场 $\varphi$ 与轻场 $\chi$ 的质量。

两体衰变的六维相空间

先考虑两个实标量场的拉格朗日量：

\begin{aligned} \mathcal L={}&-\frac12(\partial\varphi)^2-\frac12M^2\varphi^2 -\frac12(\partial\chi)^2-\frac12m^2\chi^2\\ &+\frac g2\varphi\chi^2+\frac h6\varphi^3+\mathcal L_{\rm ct}. \end{aligned} \tag{25.1}

这里仍取六维时空。动能项给出 $[\varphi]=[\chi]=2$ ，因此 $g,h$ 均无量纲，模型中的三价相互作用属于第12、18节讨论的可重整化相互作用。取 $M>2m>0$ ，重粒子的静止能便足以产生两个轻粒子。相互作用前的 $1/2$ 与两份 $\chi$ 的收缩数 $2!$ 相消，所以该顶点的费曼规则是 $ig$ ，图25a给出的树级振幅为

\mathcal T^{(0)}_{\varphi\to\chi\chi}=g,\qquad k=k'_1+k'_2,\qquad k^2=-M^2,\quad (k'_i)^2=-m^2. \tag{25.2}

图中按衰变过程画出一条入射线和两条出射线，箭头表示物理动量。若写成前面完整顶角所用的全入记号，三个宗量就是 $(k,-k'_1,-k'_2)$ 。

重粒子的树级衰变。虚线表示 $\varphi$ ，实线表示 $\chi$ 。同一顶点的因子为 $ig$ ；两个相同末态的计数因子在相空间积分中处理。

有了树级振幅，就可以在领先弱耦合近似下代入第11节的衰变公式。两份末态虽然在积分中各有一个动量标签，物理上却是相同粒子；若积分遍及两个标签的全部动量空间，必须除去交换标签造成的重复计数。因此物理微分率写为

d\Gamma =\frac{1}{2!}\frac{|\mathcal T|^2}{2M}\,d\mathrm{LIPS}_2, \qquad d\mathrm{LIPS}_2 =(2\pi)^6\delta^6(k-k'_1-k'_2)\,d\widetilde k'_1d\widetilde k'_2. \tag{25.3}

这个 $1/2!$ 也可以留到全角积分后再乘，但在整个计算中只应计入一次。为完成相空间积分，先把六维单粒子测度写成两种等价形式：

d\widetilde k =\frac{d^5\mathbf k}{(2\pi)^5\,2\omega_{\mathbf k}} =\frac{d^6k}{(2\pi)^6}\, 2\pi\delta(k^2+m^2)\theta(k^0), \qquad \omega_{\mathbf k}=\sqrt{\mathbf k^2+m^2}. \tag{25.4}

要从第二种写法恢复第一种，只需先积分能量。质量壳delta函数的宗量有两个根，按各根处导数的绝对值展开，得到

\delta\bigl(\omega_{\mathbf k}^2-(k^0)^2\bigr) =\frac{\delta(k^0-\omega_{\mathbf k})+\delta(k^0+\omega_{\mathbf k})} {2\omega_{\mathbf k}}. \tag{25.5}

其中 $\theta(k^0)$ 选出正能量根，余下的 $2\pi$ 正好把六维傅里叶测度变成五维测度。这个写法在后面把自能虚部化为相空间时还会用到。

现在选初始粒子的静止系 $k=(M,\mathbf0)$ 。动量守恒的空间delta函数令 $\mathbf k'_2=-\mathbf k'_1=-\mathbf p$ ，两份末态能量随之相等。先用这五个delta函数消去一个动量积分，再把剩余积分写成球坐标，便有

d\mathrm{LIPS}_2 =\frac{p^4\,dp\,d\Omega}{(2\pi)^4\,4\omega_p^2} \delta(M-2\omega_p). \tag{25.6}

这里的 $p^4$ 来自五维动量空间的径向测度。剩下的能量delta函数把径向动量固定在唯一的正根上；求出这个根，同时计算其宗量对径向动量的导数：

p_*=\frac12\sqrt{M^2-4m^2},\qquad \omega_*=\frac M2,\qquad \delta(M-2\omega_p)=\frac{\omega_*}{2p_*}\delta(p-p_*). \tag{25.7}

在径向积分中，除把 $p$ 取为 $p_*$ 外，还须乘以上式最后给出的逆导数因子。于是

\int_0^\infty\frac{p^4dp}{4\omega_p^2}\delta(M-2\omega_p) =\frac{p_*^3}{8\omega_*} =\frac{p_*^3}{4M}, \qquad d\mathrm{LIPS}_2=\frac{p_*^3\,d\Omega}{4(2\pi)^4M}. \tag{25.8}

径向积分完成后，余下的被积函数与方向无关。由第14节高斯积分求出的球面面积，五维动量空间的全角面积为

\Omega_5=\frac{2\pi^{5/2}}{\Gamma(5/2)} =\frac{8\pi^2}{3}. \tag{25.9}

将径向结果、全角面积和树级振幅一起代回式（25.3），便得到总衰变宽度：

\begin{aligned} \Gamma_0 &=\frac{g^2}{4M}\, \frac{p_*^3}{4(2\pi)^4M}\,\frac{8\pi^2}{3} =\frac{g^2p_*^3}{96\pi^2M^2}\\ &=\frac{g^2M}{768\pi^2} \left(1-\frac{4m^2}{M^2}\right)^{3/2} =\frac{\pi\alpha M}{12}\,\beta^3,\\ \alpha&=\frac{g^2}{(4\pi)^3},\qquad \beta=\sqrt{1-\frac{4m^2}{M^2}}. \end{aligned} \tag{25.10}

下标0表示这里只保留领先的弱耦合结果。 $\Gamma_0$ 有质量维数1，因而可以与寿命的倒数联系起来。这个结果也显示了阈值附近的相空间压低：径向体积 $p^4dp$ 与能量delta函数带来的 $1/p$ 合成 $p^3$ ，使宽度按 $\beta^3$ 趋于零。若轻粒子质量趋于零，则有 $\Gamma_0/M=\pi\alpha/12$ ；在弱耦合下，宽度仍远小于重粒子质量。

自能的实部减除与吸收部

重场 $\varphi$ 的激发会衰变成轻粒子，寿命有限；稳定 $\chi$ 粒子仍可作为 LSZ 的渐近外态。以下从重场二点函数求出复极点，再把它放入 $\chi\chi$ 散射，确定式（25.10）与共振寿命的关系。

取 $|h|\ll|g|$ ，一圈近似中便可先保留双 $\chi$ 内线，略去正比于 $h^2$ 的重场圈。图25b中交换两条内部 $\chi$ 不改变图，故其对称因子为2。沿用第14节的记号，把截腿图记为 $i\Pi$ ，逐次插入自能后得到完整传播子

\boldsymbol\Delta_\varphi(z) =\frac1{z+M^2-\Pi(z)},\qquad z=k^2, \tag{25.11}

这里的物理边界值仍按费曼处方取得，自能的号也与前面各节相同。

重场的双 $\chi$ 自能圈。两条内部动量均从左流向右，满足 $\ell_1+\ell_2=k$ 。截去虚线外传播子后，整图为 $i\Pi$ ；交换两条 $\chi$ 内线给出对称因子2。

第14节已经求出了六维圈积分，并完成了正则化和紫外局部项的分离。现在圈内粒子的质量变为 $m$ ，外场质量变为 $M$ ，其余参数积分步骤保持原来的形式。为施加适合不稳定粒子的减除条件，先定义

\begin{gathered} a=x(1-x),\qquad D(z,x)=m^2+az-i0,\qquad D_0(x)=m^2-aM^2,\\ F(z)=\frac\alpha2\int_0^1dx\,D(z,x)\ln\frac{D(z,x)}{\mu_R^2}, \qquad \Pi(z)=F(z)-A'z-B'M^2. \end{gathered} \tag{25.12}

其中 $A',B'$ 是吸收发散后仍可选择的有限反项。参照尺度 $\mu_R$ 使对数的宗量无量纲，随后在减除中消去。由于拉格朗日量为实， $A',B'$ 也必须为实数。一旦 $D$ 在部分参数区间为负， $F$ 就有虚部，实反项因而无法施加稳定粒子所用的两个复条件 $\Pi(-M^2)=\Pi'(-M^2)=0$ 。现在把质量和场归一化固定在实部上，取

\operatorname{Re}\Pi(-M^2)=0,\qquad \operatorname{Re}\Pi'(-M^2)=0. \tag{25.13}

第二个条件先确定线性反项 $A'$ ，再把它代入第一个条件求出常数反项 $B'$ ，有

A'=\operatorname{Re}F'(-M^2),\qquad B'=\frac{\operatorname{Re}F(-M^2)}{M^2} +\operatorname{Re}F'(-M^2). \tag{25.14}

把这两个系数放回自能，可将减除写成一个直观的形式：从未减除函数中扣去在壳点处的实部及其实部的斜率，得到

\Pi(z)=F(z)-\operatorname{Re}F(-M^2) -(z+M^2)\operatorname{Re}F'(-M^2). \tag{25.15}

为了继续完成参数积分，先将这里用到的两个实部展开：

\begin{aligned} \operatorname{Re}F(-M^2) &=\frac\alpha2\int_0^1dx\,D_0\ln\frac{|D_0|}{\mu_R^2},\\ \operatorname{Re}F'(-M^2) &=\frac\alpha2\int_0^1dx\,a \left(\ln\frac{|D_0|}{\mu_R^2}+1\right). \end{aligned} \tag{25.16}

虽然 $D_0$ 在两个内部点为零，这些点附近只出现 $\ln|x-x_\pm|$ 型奇性，参数积分仍收敛。接着利用 $D_0+a(z+M^2)=m^2+az$ 合并对数的系数，再用 $\int_0^1a\,dx=1/6$ 完成不含对数的部分，式（25.15）便成为

\Pi(z)=\frac\alpha2\int_0^1dx\, D(z,x)\ln\frac{D(z,x)}{|D_0(x)|} -\frac{\alpha}{12}(z+M^2). \tag{25.17}

式中的 $i0$ 按同一个边界极限处理，参照尺度已在减除中相消。分母的绝对值来自减除点处的实部；分子的复对数则继续保留费曼处方，其虚部正是我们要求的吸收部。

令 $z=-s-i0$ 、 $s>4m^2$ ，考察物理类时区域。此时实分母 $m^2-sx(1-x)$ 会在一段参数区间内变成负数，这一区间的端点由二次方程确定：

x_\pm=\frac12(1\pm\beta_s),\qquad \beta_s=\sqrt{1-\frac{4m^2}{s}},\qquad x_-<x<x_+. \tag{25.18}

在两个根之间，费曼处方给出 $\ln(D)=\ln|D|-i\pi$ ，所以对数的虚部为 $-\pi$ 。

由于反项为实，吸收部完全来自这段负分母区间。代入对数的虚部后，需要计算的积分就是

\operatorname{Im}\Pi(-s-i0) =-\frac{\pi\alpha}{2}\int_{x_-}^{x_+}dx\,[m^2-sx(1-x)]. \tag{25.19}

为把区间化成关于原点对称的形式，置 $u=2x-1$ 。这时 $dx=du/2$ ，积分限变为对称的 $\pm\beta_s$ ，括号内的二次式则变为 $s(u^2-\beta_s^2)/4$ 。于是积分可逐项完成：

\int_{x_-}^{x_+}dx\,[m^2-sx(1-x)] =\frac s8\left(\frac{2\beta_s^3}{3}-2\beta_s^3\right) =-\frac{s\beta_s^3}{6}. \tag{25.20}

将这个参数积分代回吸收部，并在重粒子质量壳上取值，得到

\begin{gathered} \operatorname{Im}\Pi(-s-i0) =\frac{\pi\alpha s}{12} \left(1-\frac{4m^2}{s}\right)^{3/2}\theta(s-4m^2), \\ I:=\operatorname{Im}\Pi(-M^2-i0)=M\Gamma_0. \end{gathered} \tag{25.21}

吸收部之所以为正，是因为负分母乘上了对数的负虚部。按式（25.11）中自能前的负号，正的 $I$ 将使正能量极点移向下半平面，正好对应随时间衰减的振幅。

为了进一步求极点位置，还需要自能在质量壳附近的斜率。先对 $s\beta_s^3$ 求导：

\frac{d}{ds}(s\beta_s^3) =\beta_s^3+\frac{6m^2}{s}\beta_s =\beta_s\left(1+\frac{2m^2}{s}\right).

再用 $d/dz=-d/ds$ 转回自能的宗量，并结合实部的在壳减除条件，就有

\Pi'(-M^2-i0) =-\frac{i\pi\alpha}{12}\, \beta\left(1+\frac{2m^2}{M^2}\right). \tag{25.22}

因此在壳点的完整导数仍含有虚部。对于不稳定粒子，实部归一化并不使复极点的留数自动等于1；求更高阶的极点位置和宽度时，这个斜率也要保留下来。

从双切线直接得到相空间

前面分别计算了衰变相空间和圈图，发现两者由自能虚部联系起来。下面直接处理圈图，看看两条虚内线怎样给出真实末态的相空间。为同时保留两个能量方向的信息，暂不消去第二条内线动量，记

\int_k:=\int\frac{d^6\ell_1}{(2\pi)^6} \frac{d^6\ell_2}{(2\pi)^6}(2\pi)^6 \delta^6(\ell_1+\ell_2-k),\qquad X_i=\ell_i^2+m^2. \tag{25.23}

把两顶点、两传播子以及对称因子放在一起，系数为 $(ig)^2(1/i)^2/2=g^2/2$ 。按截腿图的定义，这给出 $i\Pi_{\rm loop}=(g^2/2)\int_k[(X_1-i0)(X_2-i0)]^{-1}$ ；除去图前的虚数单位后，自能写成

\Pi(k^2)=-\frac{ig^2}{2} \int_k\frac1{X_1-i0}\frac1{X_2-i0} -Ak^2-BM^2. \tag{25.24}

这里 $A,B$ 包含实的紫外减除，对吸收部没有贡献。因此关键在于费曼分母的虚部如何产生质量壳delta函数。先对单个实变量分解分母：

\frac1{X-i\eta}=\frac{X}{X^2+\eta^2} +i\frac{\eta}{X^2+\eta^2} \ \longrightarrow\ \operatorname{PV}\frac1X+i\pi\delta(X). \tag{25.25}

箭头表示 $\eta\downarrow0$ 的分布极限。将两边与光滑测试函数 $f$ 相乘并积分，第一项在原点两侧对称删去小区间后趋于主值。第二项作代换 $X=\eta u$ ，便有 $\int du\,f(\eta u)/(1+u^2)\to\pi f(0)$ ，所以给出delta函数，其系数为正的 $\pi$ 。

简记 $P_i=\operatorname{PV}(1/X_i)$ 、 $\delta_i=\delta(X_i)$ 。把这个分解分别用于两条线，分母之积为

(P_1+i\pi\delta_1)(P_2+i\pi\delta_2) =P_1P_2-\pi^2\delta_1\delta_2 +i\pi(P_1\delta_2+\delta_1P_2). \tag{25.26}

圈积分外的 $-i$ 会把实部与虚部联系起来，因此 $\Pi$ 的虚部由上式的实部给出：

\operatorname{Im}\Pi(k^2) =-\frac{g^2}{2}\int_k \left(P_1P_2-\pi^2\delta_1\delta_2\right). \tag{25.27}

可见，式（25.25）中的两个delta项还不是全部贡献，主值乘积也在其中。为了把结果完全写成质量壳上的积分，需要再找出主值乘积与双delta项之间的关系。这可以利用时间支撑相反的两个因果核来实现。

先看坐标空间与圈动量之间的对应。将 $\Delta(x)=\int d^6\ell\,e^{i\ell x}/[(2\pi)^6(\ell^2+m^2-i0)]$ 与自身相乘，再对 $x$ 作傅里叶积分，便得到

\int d^6x\,e^{-ikx}\Delta(x)^2 =\int_k\frac1{X_1-i0}\frac1{X_2-i0}. \tag{25.28}

其中 $x$ 积分产生 $(2\pi)^6\delta^6(\ell_1+\ell_2-k)$ ，恰好恢复两条内线在顶点的动量守恒。改用第8节的推迟和超前传播子时，两份核具有相反的时间支撑。下面用能量围道直接求出它们卷积的零值，同时确定时间边界的处理。

令 $\ell_2^0=k^0-\ell_1^0$ ，先固定空间动量，同时保留实的空间紫外截断。两份混合核的能量分母取为

\frac1{\omega_1^2-(\ell_1^0-i\eta)^2}\, \frac1{\omega_2^2-(k^0-\ell_1^0+i\eta)^2}, \qquad \eta>0. \tag{25.29}

把两个分母各自分解为一次因子，四个 $\ell_1^0$ 极点分别位于

\ell_1^0=\pm\omega_1+i\eta,\qquad \ell_1^0=k^0\mp\omega_2+i\eta. \tag{25.30}

这四个极点全部在上半平面，而被积函数在大圆上按 $(\ell_1^0)^{-4}$ 下降。因此向下半平面闭合围道时没有留数，能量积分为零。先在固定空间动量和截断下得到这一结果，再取边界值与空间截断极限，就给出了所需零积分的具体含义。

记 $\sigma_i=\operatorname{sign}\ell_i^0$ 。式（25.29）中的第一因子趋于 $P_1-i\pi\sigma_1\delta_1$ ，第二因子趋于 $P_2+i\pi\sigma_2\delta_2$ 。两者相乘，并对刚才得到的零积分取实部，便有

0=\int_k\left(P_1P_2+\pi^2\sigma_1\sigma_2\delta_1\delta_2\right). \tag{25.31}

把这个零积分从式（25.27）中的组合减去，主值乘积便相消，只留下两条线同时在壳上的部分：

\operatorname{Im}\Pi(k^2) =\frac{g^2\pi^2}{2}\int_k (1+\sigma_1\sigma_2)\delta_1\delta_2. \tag{25.32}

能量异号时， $1+\sigma_1\sigma_2=0$ ；同号时这个因子等于2。又因为 $k^0>0$ ，且动量守恒要求 $\ell_1^0+\ell_2^0=k^0$ ，两条线不可能同时具有负能量。因此，在当前积分内可以把它改写成

(1+\sigma_1\sigma_2)\delta_1\delta_2 =2\theta(\ell_1^0)\theta(\ell_2^0)\delta_1\delta_2. \tag{25.33}

再将系数写为 $g^2\pi^2=(g^2/4)(2\pi)^2$ ，把两个圆周因子分别归到两条线上，就得到

\begin{aligned} \operatorname{Im}\Pi(k^2) ={}&\frac{g^2}{4}\int_k \bigl[2\pi\delta(\ell_1^2+m^2)\theta(\ell_1^0)\bigr]\\ &\hspace{34mm}\times \bigl[2\pi\delta(\ell_2^2+m^2)\theta(\ell_2^0)\bigr]\\ ={}&\frac{g^2}{4}\int d\mathrm{LIPS}_2. \end{aligned} \tag{25.34}

每个方括号都把原来的六维积分变成一份正能量单粒子测度，两条内线的虚动量积分因此落到了可达末态的质量壳上。这就是把内部线“切开”的含义。在 $k^2=-M^2$ 处，式（25.3）给出 $M\Gamma_0=(g^2/4)\int d\mathrm{LIPS}_2$ ，再次得到 $\operatorname{Im}\Pi(-M^2-i0)=M\Gamma_0$ 。系数 $1/4$ 已经包含原图的对称计数以及虚部关系中的二，两个相同粒子的 $2!$ 无需再除一次。

同一个结果也可以从原费曼圈的能量积分直接得到。这样还能看清切线规定的能量方向怎样由费曼极点选出。在 $k=(E,\mathbf0)$ 、 $E>2m$ 时，两份 $\omega$ 相同，下半平面的极点为 $\ell^0=\omega-i0$ 和 $\ell^0=E+\omega-i0$ 。暂略去共同的无穷小量，把两处留数相加，有

-\frac1{2\omega E(2\omega-E)} +\frac1{2\omega E(2\omega+E)} =-\frac1{\omega(4\omega^2-E^2)}. \tag{25.35}

下半平面围道按顺时针方向闭合，与测度 $d\ell^0/(2\pi)$ 一起给出 $-i$ 。恢复费曼边界值后，能量积分因而为

\int\frac{d\ell^0}{2\pi} \frac1{\omega^2-(\ell^0)^2-i0} \frac1{\omega^2-(E-\ell^0)^2-i0} =\frac{i}{\omega(4\omega^2-E^2-i0)}. \tag{25.36}

将这个结果乘回式（25.24）中的 $-ig^2/2$ ，再取虚部，能量分母便产生一个径向delta函数。其宗量在根处的雅可比为 $|d(4\omega_p^2-E^2)/dp|_{p_*}=8p_*$ ，所以

\begin{aligned} \operatorname{Im}\Pi(-E^2-i0) &=\frac{\pi g^2}{2}\frac{\Omega_5}{(2\pi)^5} \int_0^\infty dp\,\frac{p^4}{\omega_p} \delta(4\omega_p^2-E^2)\\ &=\frac{\pi g^2}{2}\frac{\Omega_5}{(2\pi)^5} \frac{p_*^3}{8(E/2)} =\frac{g^2E^2}{768\pi^2} \left(1-\frac{4m^2}{E^2}\right)^{3/2}. \end{aligned} \tag{25.37}

这里 $p_*=\sqrt{E^2-4m^2}/2$ ，所得阈值因子和系数与式（25.21）相同。两种计算中，一种先把费曼分母分解成分布，另一种先完成能量积分；它们都把吸收部归结为正能量末态的相空间。

更一般的切线规则（Cutkosky rules）把图的不连续性写成所有允许切法之和：穿过切面的线取正能量质量壳，两侧振幅按共轭关系组合。对于厄米相互作用、稳定渐近态以及保持这些关系的正则化，最大时间等式把这一关系推广到各阶图。其传播子分解、顶点标记与切线规则的关系，可参看 Denner 与 Lang 的 §2.2。

共振极点与寿命

自能虚部与衰变相空间的联系确定了宽度的数值。要进一步了解这个数怎样决定寿命，先考察量子力学中的共振。若一条分波振幅在能量 $E_0$ 附近由孤立简单极点支配，将缓变留数吸收到系数中后，可以写成

f_\ell(E)\simeq\frac{r_\ell}{E-E_0+i\Gamma/2}. \tag{25.38}

这个近似保留了洛朗展开的极点项，要求被忽略的正则部分在所讨论能量区间内较小。为了求相应的时间变化，再将不同能量的振幅合成为波包。若其能量分布为 $\widetilde\psi(E)$ ，要计算的积分就是

\int_{-\infty}^{\infty}dE\, \frac{\widetilde\psi(E)e^{-iEt}}{E-E_0+i\Gamma/2}. \tag{25.39}

取 $t>0$ ，并假定波包因子在所用下半平面区域解析、大弧贡献消失。此时按顺时针方向闭合围道，只需取极点 $E_0-i\Gamma/2$ 的留数，得到极点部分的时间依赖

-2\pi i\,\widetilde\psi(E_0-i\Gamma/2) e^{-iE_0t-\Gamma t/2}. \tag{25.40}

完整波包还包含割线与背景的贡献。在极点项占主导的时间范围内，振幅的模方按 $e^{-\Gamma t}$ 下降，对应的指数衰减寿命为 $\tau=1/\Gamma$ 。这说明能量极点的负虚部与衰减率之间相差一个因子二。

对重场传播子作同样的傅里叶积分，就能把前面求出的自能虚部放入这一解释。先在共振附近将 $\Pi$ 冻结为 $iI=iM\Gamma_0$ ，并定义

\Omega_{\mathbf k}=\sqrt{\mathbf k^2+M^2-iI}, \qquad \operatorname{Re}\Omega_{\mathbf k}>0,\quad \operatorname{Im}\Omega_{\mathbf k}<0. \tag{25.41}

按前面的约定，时间有序二点核是 $\boldsymbol\Delta_\varphi/i$ 。在正能量极点处，带时间指数的被积函数留数为 $i e^{-i\Omega_{\mathbf k}t}/(2\Omega_{\mathbf k})$ ；乘上顺时针围道给出的 $-i$ ，便有

\int\frac{dE}{2\pi}\, \frac{-i\,e^{-iEt}}{-E^2+\mathbf k^2+M^2-iI} =\frac{e^{-i\Omega_{\mathbf k}t}}{2\Omega_{\mathbf k}}, \qquad t>0. \tag{25.42}

在静止系中， $\Omega_{\mathbf0}=M-i\Gamma_0/2+O(\Gamma_0^2/M)$ ，因此恢复式（25.40）中的衰减指数。对于运动的重粒子，令 $E_{\mathbf k}=\sqrt{\mathbf k^2+M^2}$ ，将平方根按小宽度展开，得到

\Omega_{\mathbf k} =E_{\mathbf k}-\frac{iM\Gamma_0}{2E_{\mathbf k}} +O\!\left(\frac{M^2\Gamma_0^2}{E_{\mathbf k}^3}\right). \tag{25.43}

虚部随动量的变化使实验室系中的概率衰减率成为 $M\Gamma_0/E_{\mathbf k}$ ，寿命相应延长为静止寿命的 $E_{\mathbf k}/M$ 倍，与相对论的时间延缓一致。

这里的指数律来自极点近似，其时间范围也由极点近似决定。例如，若归一化制备态具有有限的能量方差，直接在制备时刻附近展开时间演化，有

\begin{aligned} \langle\psi|e^{-iHt}|\psi\rangle &=1-i\langle H\rangle t-\frac12\langle H^2\rangle t^2+o(t^2),\\ \bigl|\langle\psi|e^{-iHt}|\psi\rangle\bigr|^2 &=1-\bigl(\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2\bigr)t^2+o(t^2). \end{aligned} \tag{25.44}

模方中的两个一次项相消，所以极短时间内的概率下降从二次项开始。前面的指数描述则对应随后由近极点谱权重支配的衰减区间。

要将复极点与第13、15节的谱表示相接，还须说明它位于哪一张解析面。物理费曼值取在 $z=-s-i0$ 的下岸，而冻结自能后求得 $z_p=-M^2+iI$ 。这个极点由物理下岸穿过割线延拓到相邻的第二张黎曼面；若在第一张面的上岸直接取复共轭值，得到的就不是同一个延拓。不稳定粒子在谱中表现为连续态结构，稳定粒子所具有的孤立实质量壳已被取代。因此，精确的共振极点应定义为

z_p+M^2-\Pi_{\rm II}(z_p)=0,\qquad s_p=-z_p=(M_p-i\Gamma_p/2)^2. \tag{25.45}

令 $\delta z=z_p+M^2$ ，并在远离阈值的局部解析区展开逆核，就有

\bigl[1-\Pi'_{\rm II}(-M^2)\bigr]\delta z =iI+\frac12\Pi''_{\rm II}(-M^2)(\delta z)^2+\cdots. \tag{25.46}

领先阶只保留自能在壳上的值，给出 $\delta z=iI$ ，即 $s_p=M^2-iM\Gamma_0$ 。若再保留 $\Pi'_{\rm II}(-M^2)=ib$ ，仅求线性项所得的解就已经改为

\delta z=\frac{iI}{1-ib} =\frac{-Ib+iI}{1+b^2}, \tag{25.47}

从 $s_p$ 取平方根还会继续产生更高阶修正。因此， $I/M$ 、固定宽度峰形中的宽度以及由复极点定义的 $\Gamma_p$ 在领先窄宽度阶相等；若提高精度，就应按式（25.45）连同自能斜率一起求极点。在更高阶计算中，切线规则仍用来计算吸收部，而由吸收部求宽度还须结合所采用的宽度定义和极点留数。

在稳定粒子的散射中观察共振

现在可以把重粒子的复极点放回可观测的散射过程。考虑 $\chi\chi\to\chi\chi$ ，并取保持 $\chi\mapsto-\chi$ 的真空。此时含奇数个 $\chi$ 的完整顶角均为零，特别是三 $\chi$ 顶角以及 $\varphi$ – $\chi$ 混合二点核都消失，所以单线可约交换只能由 $\varphi$ 承担。轻场仍可在完整顶角和四点核内部成圈。

按第19、21节的完整核展开，将可能出现共振的 $s$ 道单独提出，其余项合在背景中，得到

\mathcal T(s,t) =\frac{V_L(s)V_R(s)} {-s+M^2-\Pi(-s-i0)}+B(s,t). \tag{25.48}

其中 $V_L,V_R$ 为两个完整 $\varphi\chi\chi$ 顶角，稳定的 $\chi$ 外腿已归一化； $B$ 包含 $t,u$ 交换和四点不可约核。图25c画出第一项，两个空心圆之间的双虚线代表一条完整重场传播子。整图因子为 $(iV_L)(\boldsymbol\Delta_\varphi/i)(iV_R) =iV_L\boldsymbol\Delta_\varphi V_R$ ，除去散射图共同的 $i$ 后，便得到式（25.48）中的正分子。

稳定轻粒子散射中的重粒子共振。空心圆表示完整三点顶角，双虚线表示一条完整 $\varphi$ 传播子。四条实线均为 $\chi$ ，中心线带总入射动量。

在远离共振的区域，每多插入一次自能只带来 $O(\alpha)$ 的相对修正，可以按圈数逐阶展开。接近共振时，树传播子的逆核本身变小；一旦达到

|s-M^2|\sim M\Gamma_0=O(\alpha M^2), \qquad \left|\frac{\Pi(-s)}{M^2-s}\right|\sim1, \tag{25.49}

各次自能插入就同样重要，需要保留Dyson求和后的完整分母。若共振孤立且窄， $t,u$ 交换和不可约四点项在这个小能量窗口内缓慢变化，第一项则因接近极点而增强。因此，在计算领先峰形时可以略去 $B$ ，并以 $V_LV_R\simeq g^2$ 近似缓变的顶角乘积。

将顶角近似为实耦合 $g$ 同样只适用于这里的领先阶。阈值以上的完整顶角一般含有吸收部，实反项只能调节实部，不能将整个复顶角调成实 $g$ 。例如，在 $g^3$ 三角图中，可以切开外 $\varphi$ 顶点旁的两条 $\chi$ 线。剩下的重场交换分母为 $M^2+(q-p)^2>0$ ，因为同质量、未来指向的壳上动量 $q,p$ 满足 $(q-p)^2\ge0$ 。只要两体相空间非零，这种切法就给出非零吸收项。因而可在所选运动学点用 $\operatorname{Re}V_3$ 定义实耦合，并在本节所保留的阶数内使用

V_3=g+O(g\alpha). \tag{25.50}

以下用这个实耦合及其领先宽度求出窄共振的峰形。

为把分母写成能量偏离共振位置的形式，令质心总能量为

\sqrt s=M+\varepsilon,\qquad s=M^2+2M\varepsilon+\varepsilon^2,\qquad |\varepsilon|\ll M. \tag{25.51}

这里 $\varepsilon$ 是两份入射轻粒子的总能量偏差。将运动学部分和自能都在共振附近展开，有

\begin{aligned} -s+M^2-\Pi(-s-i0) ={}&-2M\varepsilon-\varepsilon^2-\Pi(-M^2-i0)\\ &+2M\varepsilon\Pi'(-M^2-i0)+\cdots. \end{aligned} \tag{25.52}

在 $\varepsilon=O(\Gamma_0)$ 的窗口内， $\varepsilon^2$ 和 $\varepsilon\Pi'$ 比领先分母多一个弱耦合阶。若还满足 $M\Gamma_0\ll M^2-4m^2$ ，这个窗口就与轻粒子阈值充分分离，自能和顶角在窗口内的能量变化可以先忽略。于是使用 $\operatorname{Re}\Pi(-M^2)=0$ 及 $I=M\Gamma_0$ ，保留领先项后得到：

\mathcal T(s,t)\simeq -\frac{g^2}{2M}\frac1{\varepsilon+i\Gamma_0/2}, \qquad |\mathcal T|^2\simeq \frac{g^4}{4M^2}\frac1{\varepsilon^2+\Gamma_0^2/4}. \tag{25.53}

这就是Breit–Wigner共振形式。整体负号来自传播子逆核中的 $-s+M^2-\Pi$ ；能量分母内虚部的正号则使极点位于下半平面，与前面求出的时间衰减相符。振幅模方在 $\varepsilon=\pm\Gamma_0/2$ 处降到峰值的一半，所以按质心总能量扫描时，半高全宽为 $\Gamma_0$ 。

实验中的截面还含有通量、末态相空间，并可能受到与 $B$ 干涉的影响。这些因子在窄峰内近似不变时，截面峰宽就直接给出上述宽度；若接近阈值或相邻共振，则需保留背景、相空间和 $\Pi$ 的能量依赖。由此，最初从衰变相空间算出的参数，通过自能吸收部和复极点，成为稳定粒子散射中可以测量的共振宽度。

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