Srednicki §22 连续对称性与守恒流

第2节用生成元描述了平移和洛伦兹变换，现在可以从拉格朗日量出发，构造出这些生成元的具体表达式。我们先研究经典场论：拉格朗日量在连续变换下的不变性给出诺特流，流的时间分量在空间积分后给出守恒荷。接着把场变换放进路径积分，同一个守恒关系就成为关联函数之间的恒等式。其中的接触项将说明，守恒荷怎样作用于场。最后把这套方法用于时空对称性，便能得到能量、动量和洛伦兹生成元。

本节回到四维时空，采用度规$(-,+,+,+)$。先考虑一组实标量$\varphi_a$及只含一阶场导数的$\mathcal L(\varphi_a,\partial_\mu\varphi_a)$。以下$\Pi_a$表示正则动量，其场分量下标使它与前面的两点自能$\Pi(k^2)$相区别。

从场的变分得到诺特流

在固定坐标处作无穷小变换$\varphi_a\mapsto\varphi_a+\delta\varphi_a$。拉氏密度同时通过场和场的导数发生变化，依次使用链式法则，得到

要看出这种变化与场方程的关系，需要对作用量$S=\int d^4y\,\mathcal L(y)$求泛函导数。场在一点的变动只直接影响同一点的场值，因此所需的两个基本关系为

第二式的delta导数作用于$y$。代入作用量后，把这个导数从delta函数移到$p_a^\mu(y)$上，分部积分便产生一个负号：

这一步可先取紧支撑变分，或取保持边界数据的变分，使表面项消失。经典作用量原理要求$E_a=0$，式（22.3）给出了其中的欧拉导数。现在便能在拉氏密度的变分中分出场方程项。

用式（22.3）把$\partial\mathcal L/\partial\varphi_a$改写为$\partial_\mu p_a^\mu+E_a$。这样，两个含$p_a^\mu$的项恰好合成乘积的导数，得到

将全导数内的量定义为诺特流，上式就成为这个流的散度关系：

这个恒等式把拉氏密度的变化、流的散度和场方程联系在一起，而且到这一步仍未使用场方程。若变换使拉氏密度不变，再令场满足经典方程，右边两项都为零，便得到守恒流。

通常将无穷小变换写成$\delta\varphi_a=\epsilon R_a$，并提出常参数$\epsilon$。以下用$j^\mu=p_a^\mu R_a$表示去参数的流，于是$j_\delta^\mu=\epsilon j^\mu$。对上述对称变换，在场方程成立时，这个流满足连续性方程

因此可以把$j^0$解释为荷密度，把$\mathbf j$解释为相应的流密度。对有限空间区域积分并使用散度定理，就把局域关系写成区域内的荷与穿过边界的通量之间的关系：

如果无穷远的总通量消失，$Q=\int d^3x\,j^0$便不随时间改变。对于局域波包，足够快的空间衰减可以保证这一点；在周期空间中，则由相对边界的通量相消。下面用一个具体的对称性来看，这个守恒荷究竟计数什么。

一个复标量的相位对称性

考虑具有四次相互作用的复标量模型：

将复场写成$\varphi=(\varphi_1+i\varphi_2)/\sqrt2$，就有$\varphi^\dagger\varphi=(\varphi_1^2+\varphi_2^2)/2$。动能展开中的两个交叉项也相消，因而同一个理论可写为

这里的$1/\sqrt2$使每个实场都具有标准的$1/2$动能系数；四次势的$1/16$则来自原系数$1/4$再乘两个$1/2$。复场和两个实场因此只是同一理论的两种场坐标，下面也可以用这两种写法分别求出其守恒流。

先在复场形式下，对实常数$\alpha$作相位变换

每个$\varphi^\dagger\varphi$中的相位互相消去，常相位又可穿过导数，所以拉氏密度保持不变。相位因子$e^{-i\alpha}$可看作一个$1\times1$酉矩阵，这些变换组成$U(1)$群。把实部和虚部分开，同一变换就成为两个实场之间的旋转：

这个矩阵的转置乘自身为1，行列式为$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$，所以它属于$SO(2)$。若采用平面内逆时针为正的习惯，矩阵所表示的旋转角是$-\alpha$。如此便得到$U(1)$相位与$SO(2)$实旋转之间的对应。

求流时只需要无穷小形式，即$R_\varphi=-i\varphi$、$R_{\varphi^\dagger}=i\varphi^\dagger$。可以把$\varphi,\varphi^\dagger$作为独立变分坐标；这等价于先对$\varphi_1,\varphi_2$求导，再取相应的线性组合。对两个坐标分别求动量密度，并代入诺特流定义，得到

这里采用双向导数$A\overleftrightarrow{\partial^\mu}B =A\partial^\mu B-(\partial^\mu A)B$。方括号取共轭后变为自身的负值，因而是纯虚的；乘以$-i$便得到它的虚部。因此，流也可写成$\operatorname{Im}[\varphi^\dagger\overleftrightarrow{\partial^\mu}\varphi]$，其中仍包含双向导数的两项。

用实场形式也能求出相同的流。由式（22.11）读出$R_1=\varphi_2$、$R_2=-\varphi_1$，代入两项实场动量密度，便有

直接展开式（22.12）也得到这一表达式，因此流与选择复场还是实场坐标无关。再用$\partial^0=-\partial_t$写出时间分量，就得到荷密度及其空间积分：

荷为什么是两种粒子数之差

守恒流已经确定，要理解总荷的粒子意义，还需把它写成模式系数。先在经典理论中采用如下模式坐标：

对自由场，这些系数不随时间变化。对于相互作用场，也可在某个固定时刻用同样的展开表示场值及其一阶时间导数，此时模式系数是一组初始数据；若要取到渐近时刻，则仍须使用此前散射理论的渐近场条件。

现在把两份模式展开及其时间导数代入$j^0$。令左边来自$\varphi^\dagger$的动量为$p$，右边来自$\varphi$的动量为$k$。两种模式各取一项，共有下面四类乘积，时间导数分别给出所列的频率系数：

例如第一行来自$i[a^*e^{-ipx}(-i\omega_k a e^{ikx}) -(i\omega_p a^*e^{-ipx})a e^{ikx}]$，两个时间导数因而给出频率之和。后两行在空间delta函数上满足$\omega_{\mathbf p}=\omega_{\mathbf k}$，频率之差为零，所以它们对总荷没有贡献。第一行剩下的归一化则为

第二行作相同的积分，同时保留其频率系数前的负号。把两个非零部分合起来，总荷为

量子化以后，两套模式满足$[a(\mathbf p),a^\dagger(\mathbf k)] =[b(\mathbf p),b^\dagger(\mathbf k)] =(2\pi)^3\,2\omega_{\mathbf k}\delta^3(\mathbf p-\mathbf k)$，混合对易子为零。若沿用上面的经典次序，荷算符先写成$a^\dagger a-bb^\dagger$，其中含有一个排序产生的真空常数。本节选择相位不变的真空并令$Q|0\rangle=0$，对自由或渐近模式作正规排序，就得到

总荷于是等于两种粒子数之差。它对单粒子的作用可以直接由对易子看出：用$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$展开，模式对易关系中的delta函数消去积分测度，便有

因此每个$a$粒子对总荷贡献$+1$，每个$b$粒子贡献$-1$。将这些关系代回场展开，得到$[Q,\varphi]=-\varphi$、$[Q,\varphi^\dagger]=\varphi^\dagger$，正好产生最初的相位变换。

这一生成作用也可由正则场直接求出。对于不含时间导数的内部变换 $R_a$，取对称排序的荷

$R_a$ 只依赖等时场及其空间导数，与 $\varphi_b$ 对易。因此只有荷中的正则动量参与收缩：

取 $R_\varphi=-i\varphi$ 就回到上述荷对易子。保留局域密度时，同一计算给出 $[j_R^0(x),\varphi_b(y)]_{x^0=y^0}=-iR_b(y)\delta^3(\mathbf x-\mathbf y)$，后面时间序乘积中的接触项正由它产生。

荷的守恒进一步限制了可能的散射过程。若入、出态$|\alpha\rangle,|\beta\rangle$都是守恒荷的本征态，而且散射保持这项对称性，就有

只要入出净荷不同，散射振幅便为零。这个选择定则也逐顶点体现在费曼图中：相互作用$(\varphi^\dagger\varphi)^2$包含两条$\varphi$腿和两条$\varphi^\dagger$腿，所以每个顶角流入、流出的净荷相等。其$2!\,2!$种微分分配又恰好抵消拉氏密度中的$1/4$，留下固定腿标签的顶角权重$-i\lambda$。

路径积分中的场方程

模式展开已经给出守恒荷的粒子解释。为了把局域流的守恒也写成量子理论中的关系，先研究场方程在关联函数里以什么形式出现。仍从带源路径积分出发：

作与场无关的无穷小位移$\varphi_a(x)\mapsto\varphi_a(x)+h_a(x)$，其中$h_a$光滑且具有紧支撑，并假定所用调节的测度和边界允许这一换元。积分值保持不变；将指数按$h$展开到一阶，便有

要由这个积分恒等式得到关联函数之间的关系，对$J_{a_r}(x_r)$作$n$次导数，再令$J=0$。记$O=\prod_{r=1}^n\varphi_{a_r}(x_r)$，并用$O_{\widehat r}$表示去掉第$r$个因子的乘积。

这些导数有两种作用方式。若全部落在指数上，连同积分外面的$i$，会产生$i^{n+1}E_aO$；若其中一次落在显式的$J_a(x)$上，就产生$\delta_{aa_r}\delta^4(x-x_r)$，其余$n-1$次仍作用于指数，系数为$i^n$。由于显式源只出现一次，对它作第二次导数便为零。约去公共的$i^n$后，剩下

下标PI表示按照原路径积分定义的插入。每个外标签各有一次机会与显式源配对，因此恰好出现$n$个接触项，计数中没有另一个$n!$。再利用测试函数$h_a(x)$的任意性，取出它在每一点的系数，就得到施温格–戴森方程（Schwinger–Dyson equations）：

场方程由此成为关联函数之间的恒等式。含导数的插入仍按路径积分的导数处方解释，也就是对整个时间序关联函数求导，包括其中表示时间排序的阶跃函数。这个规定正是接触项的来源，在自由实场中可以直接看到。

令$C(x-y)=\langle\mathrm T\varphi(x)\varphi(y)\rangle$，先显式写出两个时间顺序：

第一次对时间求导，阶跃函数产生的delta项乘以$[\varphi(x),\varphi(y)]$，在等时为零。再求一次导数，则留下$[\dot\varphi(x),\varphi(y)]$，由正则对易关系得到

将自由场方程用于通常的二阶导数部分，这些项互相抵消，而时间排序产生的接触项留下来，使二点函数满足

这也重现了第8节的格林方程。传播子成为波动算符的格林函数，所需的非齐次项恰好来自时间排序的接触项。

当$x$与所有$x_r$分离时，式（22.24）中的delta函数都没有支撑，因而$\langle\mathrm T E_a(x)O\rangle=0$。这说明场方程在不重合的关联函数插入中仍然成立；到了重合点，就要保留接触项。对于相互作用理论，$E_a$和其他复合插入也须采用同一调节及重整化定义，才能在这些关系中一致地使用。

量子流与Ward恒等式

现在把一般场位移换成使拉氏密度不变的对称变换，以求出量子流的守恒关系。为提取局域信息，先将常参数换成紧支撑函数$\epsilon(x)$：

常参数变换使拉氏密度不变，但参数依赖位置以后，它的导数会产生新的项。把$\partial_\mu(\epsilon R_a) =\epsilon\partial_\mu R_a+(\partial_\mu\epsilon)R_a$代入链式变分，便可将两类项分开：

最后一步用了常参数对称性$\delta_R\mathcal L=0$。对时空积分，再通过分部积分移去$\epsilon$上的导数，就有$\delta_\epsilon S=-\int d^4x\,\epsilon\,\partial_\mu j^\mu$。因此局域参数把流的散度从作用量变分中挑了出来，而且这个等式对路径积分中的任意场都成立，无须先满足运动方程。

在含插入$O$的零源路径积分中作同一换元。如果测度和积分域保持不变，一阶变化便由插入本身及作用量的变化组成：

插入是各点场的乘积，所以它的变分是依次改变其中一个因子的和：

把每个$\epsilon(x_r)$改写为$\int d^4x\,\epsilon(x)\delta^4(x-x_r)$，所有项就带有同一个测试函数。再取任意$\epsilon(x)$的系数，得到

这个关系称为Ward恒等式，也称Ward–Takahashi恒等式。若从始至终保留无穷小常参数，只须同时以$j_\delta^\mu,\delta\varphi_a$替换$j^\mu,R_a$，便得到含常参数的同一个恒等式。

对本节的 $SO(2)$ 模型，可以在每个调节格点上分别作实旋转；即使角度随位置改变，旋转矩阵的行列式仍为1，因而满足推导所用的局域测度不变性。Ward 式于是把流的散度集中在各插入点，接触项由相应场的对称变换决定。

为看清这些接触项如何表达荷，考察自由复场的一个三点函数。记$C=\Delta/i$，对去掉真空常数的$j^\mu$和$\varphi(y)\varphi^\dagger(z)$作Wick收缩。只有两种$\varphi$与$\varphi^\dagger$的配对参与连通部分，因而

对它取散度时，两个一阶导数的乘积互相消去。余下的两个$\Box C$用$(\Box-m^2)C=i\delta^4$改写，质量项也成对相消，最后只剩

另一方面，在式（22.31）中代入$R_\varphi=-i\varphi$和$R_{\varphi^\dagger}=i\varphi^\dagger$，同样得到$y$点的负号和$z$点的正号。两个接触项的相反符号，由此与两类粒子的相反荷联系起来。

平移对称性与能量–动量张量

还可以把对称性的条件稍作推广：拉氏密度的变分只要是全散度，作用量仍可在适当边界条件下不变。设$\delta\mathcal L=\partial_\mu K^\mu$，由式（22.4）移项，便得到相应的流

场方程成立时，这个流仍然守恒。若重复局域参数的推导，拉氏变分中会多出$\partial_\mu(\epsilon K^\mu)$，但积分后该表面项消失，只留下$(\partial_\mu\epsilon)j^\mu$，因而仍可按前面的方式得到流的关系。

时空平移正属于这种情形。对主动变换$\varphi_a(x)\mapsto\varphi_a(x-a)$取无穷小参数，场和拉氏密度分别变化为

将这个结果代入式（22.34），再提出常参数$a_\nu$，就能从流中读出一个二阶张量：

其中$+a^\mu\mathcal L$来自流定义中的$-K^\mu$。平移参数$a_\nu$任意，所以场方程给出$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$，每个平移方向都有相应的守恒流。

为识别这些流的物理意义，取具有标准动能的实标量模型：

四维可重整化势 $V$ 的次数至多为四；以下荷的计算适用于一般的无导数势。将当前标准动能的动量密度代入便得

这一张量是对称的。再用$\partial^0=-\partial_t$和$g^{00}=-1$展开其时间分量，得到

$T^{00}$就是正则哈密顿密度，而$T^{0i}$则应当描述动量密度。为求出它的模式形式，先取自由质量矩阵的对角场，对每个实场在式（22.15）中令$b=a$。不同场的模式对易子带有$\delta_{ab}$，所以各物种分别贡献。

把展开代入空间积分后，$a_aa_a$及其共轭项中的delta函数要求$\mathbf p=-\mathbf k$，余下被积式在$\mathbf k\mapsto-\mathbf k$下为奇，故对称积分为零。混合项则留下$k^i$乘以数算符。正规排序后，总动量写成

混合项的系数可以直接核对：来自 $-\dot\varphi\,\partial_i\varphi$ 的 $a^\dagger(\mathbf p)a(\mathbf k)$ 和 $a(\mathbf p)a^\dagger(\mathbf k)$ 都带 $+\omega_{\mathbf p}k_i$。空间积分给 $(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf k)$，消去 $p$ 测度中的 $2\omega_{\mathbf p}$ 后，两项各留下 $k_i/2$，故

箭头表示将真空动量取为零的正规排序；各物种的测度使用各自质量。每个粒子对总动量贡献自己的动量，加上前面识别出的总能量，得到能量–动量四矢量

守恒荷实际生成平移

得到荷的显式形式后，就可以进一步确定它对场的作用。无穷小平移关系可由正则对易子$[\varphi_a(t,\mathbf x),\Pi_b(t,\mathbf y)] =i\delta_{ab}\delta^3(\mathbf x-\mathbf y)$直接求出。哈密顿量中的势与梯度只含等时场，因而都与$\varphi_a$对易；动量平方则产生两个相等的项。分别计算时间与空间分量，得到

空间动量若写成厄米排序 $P^i=-\frac12\int(\Pi_b\partial_i\varphi_b+\partial_i\varphi_b\Pi_b)$，两个收缩各贡献一半，结果相同。两个分量合起来，正是$[\varphi_a,P^\mu]=\partial^\mu\varphi_a/i$，所以这些荷的无穷小作用已经具有平移的形式。

接着定义$T(a)=e^{-iP^\mu a_\mu}$，并引入$F(\tau)=e^{i\tau P\cdot a}\varphi_a(x)e^{-i\tau P\cdot a}$。这样就能把有限共轭作用化成关于参数的微分方程。使用刚求出的对易子，有

沿初始条件解这个一阶方程，得到$F(\tau)=\varphi_a(x-\tau a)$，从而

因此，从拉格朗日量构造的正则荷确实实现了第2节规定的平移作用；时间分量和有限变换指数中的符号也随同一个对易关系确定下来。

洛伦兹流与生成元

最后考虑洛伦兹对称性。标量场的无穷小变化为$\delta\varphi_a=\delta\omega^\nu{}_\rho x^\rho\partial_\nu\varphi_a$，其中$\delta\omega_{\nu\rho}=-\delta\omega_{\rho\nu}$。与平移变分相比，它相当于取位置依赖的参数$a^\nu(x)=-\delta\omega^\nu{}_\rho x^\rho$。参数现在也要参与求导，流的散度因而成为

第二项由场方程下的能量–动量守恒而消失；第一项则是反对称参数与对称张量$T^{\mu\nu}$的缩并，也为零。因此，对当前标量模型仍能得到守恒流。将洛伦兹参数提出，并只保留与它反对称部分相配的系数，就可写成

由于$\delta\omega_{\nu\rho}$反对称，第二行的两项与它缩并后相等，所以第一行要乘$1/2$。也可以直接对这个流求散度，观察张量对称性与平移守恒怎样共同使它为零：

这里求导时缩并的是第一个指标，后两个指标则反对称。标量场没有独立的自旋指标，所以洛伦兹流由这个轨道形式给出。将其时间分量作空间积分，得到相应的守恒荷：

由于流中带有坐标因子，荷的守恒还要求带坐标权重的无穷远通量消失。再用推导式（22.42）时的局域delta函数，把积分中的坐标取在场所在的点，就得到荷对场的作用

这正是第2节中的标量微分表示，式（22.48）因而给出了所需洛伦兹生成元的具体场表达式。

从能量和动量密度算出生成元代数

先在经典正则理论中计算。用光滑紧支撑权重积分能量和动量密度，定义

对场及正则动量分别变分，再把 $\delta\varphi_a$ 上的导数分部积分，得到四个泛函导数：

将它们放入泊松括号的定义

两份能量的势项相消，空间二阶导数也相消，只剩权重的一阶导数：

对一份动量和一份能量，将动量平方、梯度平方及势的贡献分别积分，三部分为

例如梯度项原为 $-\int\xi_i\partial_i\varphi_a\partial_j(f\partial_j\varphi_a)$；分部积分后，用 $\partial_j\varphi_a\partial_i\partial_j\varphi_a=\frac12\partial_i(\nabla\varphi_a)^2$ 就得到第二行。将三行相加，$\partial_i f$ 的系数组成能量密度，其余部分组成 $T^{ij}$。两份动量的计算则消去二阶场导数，给出

现在选取全局荷的权重。常数或坐标权重可先乘大半径截断，再在前述衰减条件下去掉截断。设 $e_i$ 为第 $i$ 个常单位向量，记

常权重的导数为零，所以 $\{P_i,P_j\}_{\rm P}=\{P_i,H\}_{\rm P}=0$。含一个坐标权重时，有

转动权重的导数 $\partial_\ell(\xi_i)_k=\epsilon_{i\ell k}$ 反对称，与 $T^{k\ell}$ 缩并为零。因而混合括号给 $\{J_i,H\}_{\rm P}=0$、$\{J_i,B_j\}_{\rm P}=\epsilon_{ijk}B_k$；两份动量的括号给 $\{J_i,P_j\}_{\rm P}=\epsilon_{ijk}P_k$。最后，

所以 $\{J_i,J_j\}_{\rm P}=\epsilon_{ijk}J_k$，各个经典括号均已确定。

在量子理论中，取保持平移与洛伦兹对称性的厄米荷，以及场和荷的共同不变定义域；在所讨论的真空扇区中令各荷湮灭真空。相应的量子代数为

这一量子关系可从荷对场的作用直接确定。将各个荷记为 $Q_A$，把式（22.42）与式（22.49）写成 $[\varphi,Q_A]=D_A\varphi$；这些微分算符满足 $[D_A,D_B]=if_{AB}{}^CD_C$，其中 $f_{AB}{}^C$ 就是上述结构常数。雅可比恒等式于是给出