Srednicki §69 非阿贝尔规范理论

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量子电动力学的物质场在每一点作相位变换，电磁势则作相应的改变，使协变导数与物质场一起变换。第24节已经遇到另一类内部对称性：一个变换可以把多重态的不同分量混合起来，而且两个变换的先后次序通常不能交换。现在把这种整体对称性也推广为局域对称性。所需的规范势不再是一个实函数，而是一组实函数组成的矩阵；矩阵之间的不对易性还会使规范场产生自身的相互作用。

先从整体对称的物质拉格朗日量出发，构造协变导数及场强，再用量子色动力学说明各个指标的物理意义。时空度规仍为 $(-,+,+,+)$ 。本节的 $g$ 是非阿贝尔规范耦合，暂不加入重整化因子；它与前面带符号的电子电荷 $e$ 分别定义。

从整体变换到局域变换

设 $\phi_i$ 是一个含 $N$ 个分量的标量或旋量多重态，物质拉格朗日量在

\phi_i(x)\longmapsto U_{ij}\phi_j(x),\qquad U^\dagger U=\mathbf1,\qquad \det U=1 \tag{69.1}

下不变，其中 $U$ 与 $x$ 无关。这是特殊酉群 $SU(N)$ 的整体对称性；若场为实， $U$ 取实正交矩阵，便得到特殊正交群 $SO(N)$ 的相应构造。“特殊”在这里指行列式等于1。内部矩阵不作用于时空指标，也不作用于旋量指标。

如果让 $U$ 依赖于 $x$ ，普通导数多出一项：

\partial_\mu\phi' =U\partial_\mu\phi+(\partial_\mu U)\phi . \tag{69.2}

动能中的这项不能由原来的整体对称性消去。引入协变导数 $D_\mu$ ，要求它满足

D'_\mu\phi'=UD_\mu\phi,\qquad D'_\mu=UD_\mu U^\dagger . \tag{69.3}

第二式是微分算符等式：右端的 $D_\mu$ 也作用在 $U^\dagger$ 上。这一要求规定了新引入的规范场怎样补偿式（69.2）中的附加项。

先回顾阿贝尔情形。沿第58节，取 $U=e^{-ie\Gamma(x)}$ 及 $D_\mu=\partial_\mu-ieA_\mu$ 。对任意测试场 $h$ 展开右端，

\begin{aligned} UD_\mu U^\dagger h &=U\partial_\mu(U^\dagger h)-ieUA_\mu U^\dagger h\\ &=\partial_\mu h+ [U(\partial_\mu U^\dagger)-ieUA_\mu U^\dagger]h,\\ A'_\mu&=UA_\mu U^\dagger+\frac{i}{e}U\partial_\mu U^\dagger . \end{aligned} \tag{69.4}

比较第二行与 $(\partial_\mu-ieA'_\mu)h$ 就确定了最后一行的系数。此时各量可交换， $UA_\mu U^\dagger=A_\mu$ ，而 $U\partial_\mu U^\dagger=ie\,\partial_\mu\Gamma$ ，因此

A'_\mu=A_\mu-\partial_\mu\Gamma . \tag{69.5}

这与第54节的电磁势变换相同。接下来的构造保留式（69.3），只把其中的相位和势改为内部矩阵。

生成元与本节的归一

以 $SU(N)$ 、 $N\ge2$ 为例。在单位矩阵附近写成

\begin{aligned} U&=\mathbf1-ig\theta^aT^a+O(\theta^2),\\ U^\dagger U &=\mathbf1+ig\theta^a(T^{a\dagger}-T^a)+O(\theta^2),\\ \det U&=1-ig\theta^a\operatorname{Tr}T^a+O(\theta^2). \end{aligned} \tag{69.6}

实参数 $\theta^a$ 可独立选择，故酉性与行列式条件分别要求 $T^{a\dagger}=T^a$ 和 $\operatorname{Tr}T^a=0$ 。一个厄米矩阵有 $N$ 个实对角分量和 $N(N-1)$ 个实非对角分量，去掉一个迹条件后剩 $N^2-1$ 个独立方向。因此生成元指标 $a$ 取 $1,\ldots,N^2-1$ ，矩阵指标 $i,j$ 仍取 $1,\ldots,N$ 。耦合 $g$ 被放进指数，是本节的归一选择。

两个厄米无迹生成元的对易子反厄米且无迹，所以 $-i[T^a,T^b]$ 还可在同一实基中展开。这就定义实结构系数：

[T^a,T^b]=if^{abc}T^c,\qquad f^{abc}\in\mathbb R,\qquad f^{abc}=-f^{bac}. \tag{69.7}

如果这些系数不全为零，变换次序便会影响结果。另一方面，厄米矩阵上的 $\operatorname{Tr}(XY)$ 是实的正定内积，因而可以用正交化及统一缩放选择

\operatorname{Tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}. \tag{69.8}

采用这个基本表示归一，便能进一步确定结构系数的反对称性。先将式（69.7）两端右乘 $T^c$ 并取迹，再利用迹的循环性，得到

\begin{aligned} \frac{i}{2}f^{abc} &=\operatorname{Tr}([T^a,T^b]T^c)\\ &=\operatorname{Tr}(T^aT^bT^c-T^aT^cT^b)\\ &=\operatorname{Tr}(T^a[T^b,T^c]) =\frac{i}{2}f^{bca}. \end{aligned} \tag{69.9}

循环置换不变，再与前两指标反对称结合，便知任意两个指标交换都使 $f^{abc}$ 变号。

这里须与第24节使用过的基相接。对同一组 $SU(N)$ 矩阵，那里的迹归一为2，故本节可取

T_{69}^a=\frac12T_{24}^a,\qquad f_{69}^{abc}=\frac12f_{24}^{abc}. \tag{69.10}

第二个关系来自把第一个关系代入对易子：左边缩小为原来的 $1/4$ ，右边的生成元缩小为 $1/2$ ，结构系数还须缩小 $1/2$ 。比较相同的实际变换时，应保持整个相位矩阵不变，即 $\theta_{24}^aT_{24}^a=g\theta_{69}^aT_{69}^a$ ；规范势也应按 $gA_\mu^aT^a$ 这一乘积比较。

例如 $SU(2)$ 取 $T^a=\sigma^a/2$ 。利用已知的泡利关系，直接得到

\begin{aligned} \relax [T^a,T^b] &=\frac14[\sigma^a,\sigma^b] =\frac{i}{2}\epsilon^{abc}\sigma^c =i\epsilon^{abc}T^c,\\ \operatorname{Tr}(T^aT^b)&=\frac14(2\delta^{ab}) =\frac12\delta^{ab}. \end{aligned} \tag{69.11}

所以本节的 $SU(2)$ 结构系数为 $\epsilon^{abc}$ 。后面换用不同的物质表示时，保持的正是这一组已固定的结构系数。

矩阵规范势与物质场

现在把 $A_\mu$ 取为厄米无迹矩阵。定义

\begin{aligned} D_\mu&=\partial_\mu\mathbf1-igA_\mu,\qquad (D_\mu\phi)_j=\partial_\mu\phi_j-ig(A_\mu)_{jk}\phi_k,\\ A'_\mu&=UA_\mu U^\dagger+\frac{i}{g}U\partial_\mu U^\dagger,\\ U(x)&=\exp[-ig\Gamma^a(x)T^a]. \end{aligned} \tag{69.12}

$\Gamma^a$ 为实的有限参数。先取 $g\ne0$ 解释这组含 $1/g$ 的式子，最后的分量关系则有连续的零耦合极限。

有限指数的写法可从酉矩阵的对角化理解。在一个时空点，写 $U=W\operatorname{diag}(e^{-i\alpha_j})W^\dagger$ 。行列式为1给 $\sum_j\alpha_j=2\pi n$ ；把其中一个 $\alpha_j$ 减去 $2\pi n$ ，不会改变 $U$ ，却使相位之和变为零。因此 $W\operatorname{diag}(\alpha_j)W^\dagger$ 是厄米无迹矩阵，可展开为 $g\Gamma^aT^a$ 。当 $U$ 随 $x$ 变化时，我们在光滑的参数片内使用这个表示；不同片上的变换再按群乘法连接。

式（69.12）的变换保持 $A_\mu$ 所需的矩阵性质。由 $\partial_\mu(UU^\dagger)=0$ ，

\begin{aligned} \relax [U(\partial_\mu U^\dagger)]^\dagger &=(\partial_\mu U)U^\dagger=-U\partial_\mu U^\dagger,\\ \operatorname{Tr}(U\partial_\mu U^\dagger) &=\partial_\mu\log\det U^\dagger=0 . \end{aligned} \tag{69.13}

所以非齐次项乘 $i/g$ 后厄米且无迹；齐次项的相应性质由酉共轭保持。更直接地，在实际物质场上计算

\begin{aligned} D'_\mu(U\phi) &=\partial_\mu(U\phi) -ig\left(UA_\mu U^\dagger+\frac{i}{g}U\partial_\mu U^\dagger\right)U\phi\\ &=U\partial_\mu\phi+(\partial_\mu U)\phi -igUA_\mu\phi+U(\partial_\mu U^\dagger)U\phi\\ &=U(\partial_\mu-igA_\mu)\phi . \end{aligned} \tag{69.14}

第二行最后一项等于 $-(\partial_\mu U)\phi$ ，恰好抵消普通导数的附加项。这个展开保持了内部矩阵的次序。先作 $U$ 再作 $V$ 时，导数按 $(VU)D_\mu(VU)^\dagger$ 变换，故这种规则也与群乘法一致。

协变导数已经构造出来，物质动能便容易处理。复标量及狄拉克多重态分别有

\begin{aligned} -(D'_\mu\phi')^\dagger D'^\mu\phi' &=-(D_\mu\phi)^\dagger U^\dagger U D^\mu\phi,\\ i\bar\Psi'\gamma^\mu D'_\mu\Psi' &=i\bar\Psi U^\dagger\gamma^\mu U D_\mu\Psi =i\bar\Psi\gamma^\mu D_\mu\Psi . \end{aligned} \tag{69.15}

$U$ 只作用内部指标，因此与 $\gamma^\mu$ 对易；伴随旋量按 $\bar\Psi'=\bar\Psi U^\dagger$ 变换。质量项 $m^2\phi^\dagger\phi$ 、 $m\bar\Psi\Psi$ 中的两个矩阵也直接相消。若物质有质量矩阵 $M$ ，相应条件是 $U^\dagger MU=M$ 。它允许不同的、彼此不被规范变换混合的多重态具有不同质量。对实 $SO(N)$ 标量，改用实内积并保留实场动能和质量项的 $1/2$ 即可。

更一般的物质密度也可逐项作协变化：先把整体不变密度写成由不变内部张量缩并的场与导数乘积，再把每个导数换为 $D$ 。每一个 $D_\mu\phi$ 都按 $\phi$ 本身的规则变换，缩并时各个 $U$ 便消去。遇到多重导数时也按原次序逐层替换。不同导数次序之差会产生下面要定义的场强，因此还可有其它规范不变相互作用；上述构造给出了本节所需的物质拉格朗日量。

场强与规范场的相互作用

物质动能已能与规范场耦合，但还需要规范场自己的动能。阿贝尔情形以反对称导数构造场强；矩阵情形中，更方便的起点是两个协变导数的对易子。对同一测试多重态 $h$ ，

\begin{aligned} D_\mu D_\nu h ={}&\partial_\mu\partial_\nu h -ig(\partial_\mu A_\nu)h-igA_\nu\partial_\mu h\\ &-igA_\mu\partial_\nu h-g^2A_\mu A_\nu h . \end{aligned} \tag{69.16}

减去 $\mu,\nu$ 互换后的表达式，二阶普通导数相消，所有含 $\partial h$ 的一阶项也成对相消，留下

\begin{aligned} \relax [D_\mu,D_\nu]h =\bigl\{-ig(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu) -g^2[A_\mu,A_\nu]\bigr\}h . \end{aligned} \tag{69.17}

右端只把一个矩阵乘在 $h$ 上。因此定义场强为这个对易子的矩阵系数：

F_{\mu\nu}:=\frac{i}{g}[D_\mu,D_\nu] =\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu]. \tag{69.18}

它是反对称的时空张量，同时是厄米无迹的内部矩阵。最后一项来自导数中两个 $-igA$ 的乘积，不能在非阿贝尔理论中略去。

场强的变换无需再逐项展开所有 $\partial U$ 。对任意 $h$ ，先用 $D'_\nu h=UD_\nu(U^\dagger h)$ ，再用式（69.14），便有 $D'_\mu D'_\nu h=UD_\mu D_\nu(U^\dagger h)$ 。两种次序相减给

[D'_\mu,D'_\nu]=U[D_\mu,D_\nu]U^\dagger,\qquad F'_{\mu\nu}=UF_{\mu\nu}U^\dagger . \tag{69.19}

非阿贝尔场强因而按共轭规则协变，通常不保持原矩阵不变。不过，两个场强相乘并取迹时，中间的 $U^\dagger U$ 先相消，余下的 $U,U^\dagger$ 再由迹循环消去：

\operatorname{Tr}(F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}) =\operatorname{Tr}(UF^{\mu\nu}F_{\mu\nu}U^\dagger) =\operatorname{Tr}(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}). \tag{69.20}

于是选择局域动能 $-\operatorname{Tr}(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})/2$ 。这是具有通常二次导数项的杨—米尔斯动力学；规范不变性容许这个选择，整体系数则按下面的分量动能归一来定。

为了看清独立场的数目和相互作用，按生成元基展开 $A_\mu$ 与 $F_{\mu\nu}$ 。同一迹投影同时给出它们的分量：

\begin{aligned} A_\mu&=A_\mu^aT^a,& 2\operatorname{Tr}(A_\mu T^b) &=2A_\mu^a\operatorname{Tr}(T^aT^b)=A_\mu^b,\\ F_{\mu\nu}&=F_{\mu\nu}^aT^a,& 2\operatorname{Tr}(F_{\mu\nu}T^b)&=F_{\mu\nu}^b . \end{aligned} \tag{69.21}

因为所展开的矩阵厄米，分量均为实数。将两个 $A$ 的展开代入式（69.18），

\begin{aligned} F_{\mu\nu}^cT^c ={}&(\partial_\mu A_\nu^c-\partial_\nu A_\mu^c)T^c -igA_\mu^aA_\nu^b[T^a,T^b]\\ ={}&\bigl(\partial_\mu A_\nu^c-\partial_\nu A_\mu^c +gf^{abc}A_\mu^aA_\nu^b\bigr)T^c,\\ F_{\mu\nu}^c ={}&\partial_\mu A_\nu^c-\partial_\nu A_\mu^c +gf^{abc}A_\mu^aA_\nu^b . \end{aligned} \tag{69.22}

非线性项的正号是 $(-i)(i)=+1$ 的结果。最后一行可由基的线性无关性读出，也可再乘 $T^c$ 取迹得到。动能中的两个基矩阵给另一个 $1/2$ ：

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm kin} &=-\frac12F^{a\mu\nu}F_{\mu\nu}^b\operatorname{Tr}(T^aT^b)\\ &=-\frac14F^{a\mu\nu}F_{\mu\nu}^a . \end{aligned} \tag{69.23}

时空指标在这里照常求和，系数 $1/4$ 已经包含了所选迹归一。

记场强中不含耦合的一次部分为 $f_{0\mu\nu}^c=\partial_\mu A_\nu^c-\partial_\nu A_\mu^c$ 。把式（69.22）平方，二次、三次和四次场项分别为

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm kin} ={}&-\frac14f_0^{c\mu\nu}f_{0\mu\nu}^c -\frac g2 f^{abc}f_0^{c\mu\nu}A_\mu^aA_\nu^b\\ &-\frac{g^2}{4}f^{abc}f^{dec} A_\mu^aA_\nu^bA^{d\mu}A^{e\nu}. \end{aligned} \tag{69.24}

交叉项在平方中出现两次，故三次项的系数为 $-g/2$ ；四次项直接来自两个非线性场强。两个相互作用的系数由同一个 $g$ 和同一个规范动能固定。这是非阿贝尔理论与电磁场的一个主要区别。

甚至空间常量势也能显示这种区别。例如取 $SU(2)$ 、 $A_1=uT^1$ 、 $A_2=vT^2$ ，其它分量为零， $u,v$ 为实常数。普通导数全部消失，但

F_{12}=-iguv[T^1,T^2]=guvT^3=-F_{21},\qquad \mathcal L_{\rm kin}=-\frac12g^2u^2v^2 . \tag{69.25}

最后一式用了 $F_{12}$ 和 $F_{21}$ 各贡献一次，以及 $\operatorname{Tr}[(T^3)^2]=1/2$ 。它也可直接由式（69.24）的四次项得到。四维的量纲相应为 $[A]=1$ 、 $[F]=2$ 、 $[g]=0$ ，三类场项都具有质量维数4。

规范群与能量的正性

这一构造也适用于其它群。对 $SO(N)$ ，取实反对称矩阵 $L^a$ 并令 $T^a=iL^a$ ，便仍有 $T^{a\dagger}=T^a$ ；指数 $e^{-ig\Gamma^aT^a}=e^{g\Gamma^aL^a}$ 为实正交矩阵。此时 $A_\mu=A_\mu^aT^a$ 是纯虚、反对称的厄米矩阵。非齐次项中的 $U\partial_\mu U^T$ 为实反对称，乘 $i/g$ 后恰好也有同样性质。这样就能保持全部协变导数和场强的 $i$ 号。

除了酉群和正交群，还有紧致辛群及五个例外群。这里的 $Sp(2N)$ 指

USp(2N)= \{\,U\in U(2N):U^TJU=J\,\},\qquad J=\begin{pmatrix}0&\mathbf1_N\\-\mathbf1_N&0\end{pmatrix}. \tag{69.26}

它也常记作 $Sp(N)$ ，与第24节取实矩阵的 $Sp(2N,\mathbb R)$ 不同。五个例外群分别记为 $G_2$ 、 $F_4$ 、 $E_6$ 、 $E_7$ 和 $E_8$ 。这些系列来自紧致简单李代数的分类：根系与简单代数的对应见 Etingof 讲义的定理23.7、推论24.4，紧实形式见第41.1节。一般连通紧李群可写成一个环面与单连通紧半单群之积，再除以有限中心子群，见推论43.6。规范场动力学还要求内部二次型具有正性，下面从能量推导这一条件。

对本节的厄米生成元，定义内部二次型 $q_{ab}=2\operatorname{Tr}(T^aT^b)$ 。若 $v^a$ 是不全为零的实系数， $X=v^aT^a$ 便是非零厄米矩阵，所以

v^aq_{ab}v^b=2\operatorname{Tr}(X^2) =2\sum_j\lambda_j(X)^2>0 . \tag{69.27}

基的线性无关性保证 $X\ne0$ ，厄米性保证本征值实。迹的循环性还给 $q$ 在共轭变换下不变；式（69.8）所选的基就是 $q_{ab}=\delta_{ab}$ 。这使规范动能的各个内部方向具有相同的正常号。

能量中的这个号可由正则计算看清。暂取一般非退化不变实对称型 $q$ ，考虑 $\mathcal L=-q_{ab}F^{a\mu\nu}F_{\mu\nu}^b/4$ ，不加入物质场。沿第54节定义 $E_i^a=-F_{0i}^a$ 、 $B_i^a=\epsilon_{ijk}F_{jk}^a/2$ 。再定义作用于内部矩阵的伴随协变导数，

\begin{aligned} D_i^{\rm ad}X&=\partial_iX-ig[A_i,X],\\ (D_i^{\rm ad}X)^c&=\partial_iX^c+gf^{abc}A_i^aX^b,\\ F_{0i}&=\dot A_i-D_i^{\rm ad}A_0,\\ \mathcal L&=\frac12q_{ab}F_{0i}^aF_{0i}^b -\frac14q_{ab}F_{ij}^aF_{ij}^b . \end{aligned} \tag{69.28}

下时间指标使 $F^{0i}=-F_{0i}$ ，而 $(0i)$ 与 $(i0)$ 各出现一次，于是电场二次项为正。正则动量及勒让德变换为

\begin{aligned} \pi_a^i&=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot A_i^a} =q_{ab}F_{0i}^b,\qquad \pi_a^0=0,\\ H&=\int d^3x\left[ \frac12q^{ab}\pi_a^i\pi_b^i +\frac14q_{ab}F_{ij}^aF_{ij}^b +\pi_a^i(D_i^{\rm ad}A_0)^a\right]. \end{aligned} \tag{69.29}

$q^{ab}$ 为 $q_{ab}$ 的逆矩阵。最后一项来自 $\dot A_i=F_{0i}+D_i^{\rm ad}A_0$ 。为处理它，采用周期边界或足够快的空间衰减。普通导数可作分部积分，而 $q$ 的不变性给 $q([A,X],Y)=-q(X,[A,Y])$ ，因此交换子部分也有相同的负号：

\begin{aligned} \int d^3x\,q_{ab}F_{0i}^b(D_i^{\rm ad}A_0)^a &=-\int d^3x\,A_0^a q_{ab}(D_i^{\rm ad}F_{0i})^b,\\ \mathcal G_a&:=q_{ab}(D_i^{\rm ad}F_{0i})^b=0,\\ H\big|_{\mathcal G=0} &=\frac12\int d^3x\,q_{ab} (\mathbf E^a\cdot\mathbf E^b+\mathbf B^a\cdot\mathbf B^b). \end{aligned} \tag{69.30}

对 $A_0$ 变分时， $\delta F_{0i}=-D_i^{\rm ad}\delta A_0$ ；代入 $\delta S$ 再作第一行的分部积分，就得到 $\delta S=\int d^4x\,\delta A_0^a\mathcal G_a$ 。因而第二行是高斯约束，它在哈密顿量中以 $-A_0^a\mathcal G_a$ 出现。第三行还用了 $F_{ij}^aF_{ij}^b=2\mathbf B^a\cdot\mathbf B^b$ 。因此 $q$ 正定时，满足约束的规范场能量非负。

如果 $q$ 有负方向 $t^a$ ，可把势限制在一个生成元方向， $A_\mu^a=t^a a_\mu$ 。所有内部对易子都为零，场方程及高斯约束便退为麦克斯韦形式。选择一个非零横向波包并把其振幅乘 $\lambda$ ，就有

H[\lambda a] =\frac{\lambda^2q(t,t)}2 \int d^3x\,(\mathbf E^2+\mathbf B^2) \longrightarrow-\infty \quad (|\lambda|\longrightarrow\infty). \tag{69.31}

沿这一族满足约束的场构型，能量可以趋于负无穷。在普通杨—米尔斯动力学中，所需条件是内部李代数具有正定不变型。紧致规范群提供这种结构；但仅由局部动能不能确定全局群的拓扑。例如 $\mathbb R\times SU(2)$ 与 $U(1)\times SU(2)$ 具有相同的局部代数，前者不紧致，仍可取阿贝尔与 $SU(2)$ 的正常动能之和。

量子色动力学中的色与味

一个具体例子是量子色动力学（quantum chromodynamics，QCD）。规范群取 $SU(3)$ ，每个狄拉克夸克场有三个被规范变换混合的分量，称为色。此外还有六个味标签：上 $u$ 、下 $d$ 、奇 $s$ 、粲 $c$ 、底或美 $b$ 、顶或真 $t$ 。色是内部量子数的名称；同一味的三个色分量组成一个基本表示，不同味则给六个这样的多重态。

用小写 $i,j=1,2,3$ 记色，大写 $I$ 记味。展开色求和后，拉格朗日量为

\begin{aligned} (D_\mu)_{ij} &=\delta_{ij}\partial_\mu-igA_\mu^aT^a_{ij}, \qquad a=1,\ldots,8,\\ \mathcal L_{\rm QCD} &=\sum_I\left[ i\bar\Psi_{iI}\gamma^\mu(D_\mu)_{ij}\Psi_{jI} -m_I\bar\Psi_{iI}\Psi_{iI}\right] -\frac14F^{a\mu\nu}F_{\mu\nu}^a . \end{aligned} \tag{69.32}

规范变换只混合同一 $I$ 的色分量。质量矩阵在色空间是单位矩阵，在味空间则是 $\operatorname{diag}(m_I)$ ，故不同味的质量并不破坏色规范对称性。各 $m_I$ 是模型的经验参数。例如，取上、下夸克几个MeV及顶夸克178GeV作为历史教学量级，就能看出不同味的质量可以相差很大。

展开协变导数便读出夸克与规范场的相互作用：

\begin{aligned} i\bar\Psi_{iI}\gamma^\mu(D_\mu)_{ij}\Psi_{jI} &=i\bar\Psi_{iI}\slashed\partial\Psi_{iI}\\ &\quad+gA_\mu^a\bar\Psi_{iI}\gamma^\mu T^a_{ij}\Psi_{jI}. \end{aligned} \tag{69.33}

正号由 $i(-ig)=+g$ 给出。内部指标 $a$ 有八个取值，因此有八个规范场，称为胶子。在这个未破缺理论的微扰展开中，它们的二次项是八份无质量自旋一场的动能，而三、四胶子相互作用来自式（69.24）。胶子和夸克的强相互作用都由同一个 $g$ 控制；带色场怎样形成物理强子，属于随后对该理论动力学的研究。

夸克还带有电荷，

Q_u=Q_c=Q_t=\frac23|e|,\qquad Q_d=Q_s=Q_b=-\frac13|e|. \tag{69.34}

本节暂略电磁耦合，专门研究色规范场。这里使用 $|e|$ 表示电荷单位，与先前电子电荷 $e<0$ 的约定相接。

同一规范场怎样作用于不同表示

以上先让物质场按基本表示变换，但规范场的分量不应因物质多重态的维数不同而重新定义。为此引入一般表示 $R$ 。用 $D(R)$ 表示其维数，选取满足同一李代数的厄米矩阵 $T_R^a$ ，即

\begin{aligned} \relax [T_R^a,T_R^b]&=if^{abc}T_R^c,\qquad \phi_R'=U_R\phi_R,\\ D_{R\mu}&=\partial_\mu\mathbf1_{D(R)}-igA_\mu^aT_R^a . \end{aligned} \tag{69.35}

这里 $R$ 是表示的名称， $D(R)$ 是一个整数；它们都不是求和指标。 $U_R$ 由式（69.12）中的 $T^a$ 换为 $T_R^a$ 得到。李代数矩阵首先规定局部变换；若指定了一个全局群，还要求矩阵满足它的全局识别。例如 $\sigma^a/2$ 满足旋转代数，但 $\exp(-i2\pi\sigma^3/2)=-\mathbf1$ ，所以它给 $SU(2)$ 表示，却不能把 $SO(3)$ 中等于恒等变换的 $2\pi$ 转动表示为恒等矩阵。

剩下的关键是证明各表示可以共用同一组 $A_\mu^a$ 。在基本表示中取 $U=\mathbf1-ig\theta^aT^a$ ，规范势的一次变化为

\begin{aligned} \delta A_\mu &=-(\partial_\mu\theta^a)T^a -ig\theta^a A_\mu^b[T^a,T^b],\\ \delta A_\mu^c &=-\partial_\mu\theta^c+gf^{abc}\theta^aA_\mu^b . \end{aligned} \tag{69.36}

第一行的导数项来自 $(i/g)U\partial_\mu U^\dagger$ ，其系数为 $(i/g)(ig)=-1$ ；第二项用对易关系给 $+gf$ 。第二行只含已固定的结构系数与场分量。把它乘以任意表示的 $T_R^c$ ，便重新组合成同一矩阵变换式，因此 $D'_{R\mu}=U_RD_{R\mu}U_R^\dagger$ 对各个物质表示同时成立。下面沿有限参数积分，将这一结果写成收敛的矩阵指数级数。

这一步先在基本表示中比较系数。若某个物质表示不忠实，它的生成元可能线性相关，仅从该表示中的矩阵方程未必能反解全部 $A_\mu^a$ ；平凡表示 $T_R^a=0$ 就是最简单的例子。共同分量仍由式（69.36）变换，只是这个物质场没有相应耦合。不同表示的 $\operatorname{Tr}_R(T_R^aT_R^b)$ 也不必等于基本表示的 $\delta^{ab}/2$ 。保持同一李代数基以后，各表示的差别进入它们的生成元矩阵，而规范场及其变换规律已经统一。

同一组结构系数还给出与全部生成元对易的二次组合。先求有限规范变换，再构造这个将在下一节使用的二次卡西米尔算符。

有限规范变换的分量形式

有限变换可以由刚才的无穷小结果沿参数积分得到。考虑 $U_R(s,x)=\exp[-igs\Gamma^a(x)T_R^a]$ ， $0\le s\le1$ ，其中 $\Gamma^a(x)$ 在这个积分过程中固定。相邻两个 $s$ 之间的变换参数为 $\theta^a=ds\,\Gamma^a$ 。在每个时空点定义只作用于生成元标签的实矩阵 $\mathcal M$ ，则

\begin{aligned} \mathcal M^c{}_b(x)&=g f^{abc}\Gamma^a(x),\\ \frac{dA_\mu^c(s,x)}{ds} &=\mathcal M^c{}_b(x)A_\mu^b(s,x)-\partial_\mu\Gamma^c(x),\\ A_\mu^c(0,x)&=A_\mu^c(x). \end{aligned} \tag{69.37}

为求解这个方程，从左边乘 $e^{-s\mathcal M}$ ，用矩阵指数的导数消掉含 $A_\mu(s)$ 的齐次项。沿 $s$ 从0积分到1后得到

\begin{aligned} \frac{d}{ds}\bigl[e^{-s\mathcal M}A_\mu(s)\bigr] &=-e^{-s\mathcal M}\partial_\mu\Gamma,\\ A'_\mu &=e^{\mathcal M}A_\mu -\int_0^1ds\,e^{(1-s)\mathcal M}\partial_\mu\Gamma,\\ \int_0^1ds\,e^{(1-s)\mathcal M} &=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathcal M^n}{(n+1)!}. \end{aligned} \tag{69.38}

这一式中的 $A_\mu$ 是具有分量 $A_\mu^c$ 的列向量；相应的表示空间矩阵仍记作 $A_{R\mu}=A_\mu^aT_R^a$ 。有限变换同样只依赖 $f^{abc}$ ，所以在所选指数参数片中也与物质表示无关。末行由有限维矩阵指数的绝对收敛级数逐项积分得到，用到了 $\int_0^1(1-s)^n ds=1/(n+1)$ 。这一表达式不要求 $\mathcal M$ 可逆，故也适用于有零特征值的情形。若结构系数全为零，它立即退回 $A_\mu'=A_\mu-\partial_\mu\Gamma$ ，与第58节的 $D=\partial-ieA$ 约定相符。

用这些分量构造的每个 $D_{R\mu}$ 都满足 $D'_{R\mu}=U_RD_{R\mu}U_R^\dagger$ 。因此 $F_{R\mu\nu}=(i/g)[D_{R\mu},D_{R\nu}]$ 满足同样的齐次共轭变换；微分算符及内部矩阵的次序始终保持不变。这正是不同表示的物质场能共同耦合到同一非阿贝尔规范场的原因。

二次卡西米尔算符

现在在任意表示中记二次组合为 $C_R=\sum_aT_R^aT_R^a$ 。对每一项使用 $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$ ，保持矩阵次序，有

\begin{aligned} \relax [C_R,T_R^b] &=\sum_a\left\{ T_R^a[T_R^a,T_R^b]+[T_R^a,T_R^b]T_R^a\right\}\\ &=i\sum_{a,c}f^{abc} \left(T_R^aT_R^c+T_R^cT_R^a\right). \end{aligned} \tag{69.39}

括号内的矩阵组合在 $a,c$ 交换时不变，结构系数却变号。把同一双重和在 $a,c$ 互换后的写法与原写法取平均，便得

[C_R,T_R^b] =\frac{i}{2}\sum_{a,c} (f^{abc}+f^{cba}) \left(T_R^aT_R^c+T_R^cT_R^a\right)=0 . \tag{69.40}

这一对易关系也适用于可约表示。这个二次组合通常称为二次卡西米尔算符；它与所有内部生成元对易的原因，是生成元指标上的对称缩并与结构系数的反对称性。若改用没有正交归一的生成元基，二次缩并也须同时改用该基的不变内积的逆矩阵；单独保留不加权的 $\sum_aT^aT^a$ 便不再是同一个算符。

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