Srednicki §41 自旋二分之一粒子的 LSZ 约化

要计算自旋二分之一粒子的散射，首先仍须构造遥远过去的入态和遥远未来的出态，再将它们的内积写成场的关联函数。所需的波包散射极限已在第5节讨论，旋量和模式归一化则沿用第38、39节。有了这些准备，我们可以逐条约化外部粒子：一阶狄拉克方程使每条外腿带上一阶微分和数值旋量，模式的反对易关系则决定交换粒子次序时的负号。

从单粒子态到波包

先考虑保持$\Psi\mapsto e^{-i\alpha}\Psi$的狄拉克理论。在动能项系数为一、相互作用不含场导数时，这个对称性给出守恒流$j^\mu=\bar\Psi\gamma^\mu\Psi$及荷$Q=\int d^3x\,j^0$。选定荷单位，使粒子荷取$+1$、反粒子荷取$-1$，两类单粒子态便可用荷标签区分。自由理论中的态由产生算符作用于真空得到，而产生算符本身又可由场的空间投影抽取。将这两层关系写在一起：

其中$b_s^\dagger$的投影由模式反演中的$\Psi^\dagger u$改写而来，只需用$\bar\Psi\gamma^0=\Psi^\dagger$；$d_s^\dagger$的投影同样用$\bar v\gamma^0=v^\dagger$改写。投影中的四动量取正能量质量壳，$p^0=\omega_{\mathbf p}=\sqrt{\mathbf p^2+m^2}$，平面波相位为$px=-\omega_{\mathbf p}t+\mathbf p\cdot\mathbf x$。自由模式的反对易关系随即确定态的内积：

例如，计算正荷态的内积时，把湮灭算符移到右边，$b^\dagger b$项湮灭真空，只留下$\{b,b^\dagger\}$。不同荷的内积则由混合模的反对易子给出，因而为零。这样固定的动量态适合表示振幅，却尚不能描述空间中彼此分离的入射粒子；为此需要将它们叠加成波包。

波包用普通$d^3p$积分，场展开中的不变测度因子已包含在模式归一化中。允许同一个包同时包含两种自旋，定义波包算符及其内积为

将模式CAR代入两条动量积分，$\delta$函数消去其中一条，就得到$C(h,f)$的积分式。对于固定自旋$s_1$，选择$f_s(\mathbf p)=\delta_{ss_1}N \exp[-(\mathbf p-\mathbf p_1)^2/(4\sigma^2)]$。 常数$N$由$C(f,f)=1$确定；其窄包展开沿用第5节式（5.4），自旋求和在这里仅留下一个固定标签。

这个包的空间传播由自由场矩阵元$\langle0|\Psi(x)B^\dagger[f]|0\rangle =\sum_s\int d^3p\,f_s(\mathbf p)u_s(\mathbf p)e^{ipx}$描述。将场展开代入后，只有一个$b,b^\dagger$收缩留下来，CAR中的$(2\pi)^3 2\omega$正好消去不变测度的分母。当$\sigma/\omega_1\ll1$时，可将$u_s(\mathbf p)$在包中心展开；首项为常旋量乘第5节的高斯包络，空间宽度约为$\sigma^{-1}$。这个近似舍去了相对$O(\sigma/\omega_1)$级的旋量变化，保留$u_s(\mathbf p)$的原积分则给出精确包形。

相位对动量的导数确定包中心速度$\mathbf v_1=\mathbf p_1/\omega_1$。在薛定谔图景中，同一态的动量振幅随时间乘上$e^{-i\omega_{\mathbf p}t}$，色散关系的二阶导数又使波包逐渐展宽。因此，判断远过去或远未来的粒子是否分离，须同时考虑中心运动和波包扩散。第5节的分离论证可逐分量用于这里的旋量积分，因为紧动量支撑上的$u_s$光滑有界。严格构造取互不相交的速度支撑；具有不同中心的两个高斯包则描述相应的近似制备。

由这些包构造多粒子态时，还须计入费米交换。将$B[f_1]$依次移过两个产生算符，两粒子范数为

第一项来自$B[f_1]$与第一个产生算符的反对易子；产生第二项时，它先越过这个算符一次，故多一个负号。若两包相同，行列式为零，反映同一单粒子态不能被占据两次。两包各自归一且相互正交时，整个态已归一；一般在$\det G>0$时，应将产生链除以$\sqrt{\det G}$。继续按CAR递推，更多粒子的范数便成为更高阶格拉姆行列式。把$b^\dagger$换为$d^\dagger$可构造反粒子包，两类模式之间仍保持反对易关系，内积另带荷标签的$\delta$。

现在将式（41.1）右侧换成相互作用场。投影一般开始依赖时间，因而要在遥远过去和未来分别取极限，用来制备入态和出态。这里继续采用第5节的散射假设：选择稳定、孤立的质量$m$通道，插值场与它有非零重叠，并假定相应的渐近福克映射和逐腿矩阵元极限存在。以$B_{\rm in/out}$表示得到的渐近算符，归一的两粒子态可写成

渐近投影沿用第5节的谱滤波与时间平均。下面先计算产生链的内积，再除以式（41.5）中的两个范数因子。

四种有限时间边界式

把渐近模式换成场插入的关键，是求同一投影在两个时间端点之差。约化时先采用本节后面的单位单粒子重叠，场如何归一化留待那里说明。先在有限的$t_-<t_+$上求投影差。简写$\int_f=\sum_s\int d^3p\,f_s(\mathbf p)$，其中$u_s,v_s,p$仍随积分变量变化。用微积分基本定理，再代入式（41.1），得到

其中$-i\omega_{\mathbf p}$来自平面波的时间导数；此时对$\Psi$只作了求导，没有代入它的运动方程。要将时间项与空间项合并，可以先利用外部数值旋量的在壳方程：

将它代入式（41.6），方括号作用于$u_s$后成为$(\partial_0\bar\Psi)\gamma^0 -i\bar\Psi p_i\gamma^i-im\bar\Psi$。这一步把能量换成了空间动量和质量；接下来再将空间动量写成作用于平面波的导数，并把导数移到场上：

分部积分的表面项由波包条件控制：先保留Schwartz包，或采用动量空间紧支撑的光滑包，空间无穷远的项便在所取涂抹矩阵元中消失。时间端点则保留在等式左侧，正是我们要计算的投影差。现在时间与空间$\gamma$项已能合为一个狄拉克微分，因而

整体因子由$i(i\partial+m)=-\partial+im$确定，与式（41.6）中的端点顺序相配。对自由场，伴随方程$\bar\Psi\overleftarrow{\mathscr D}=0$使右侧为零，故产生算符与时间无关。相互作用场一般不满足这个自由方程；它偏离自由演化的部分，正通过右侧积分进入端点差。

粒子出腿可由同一等式取厄米共轭得到。先用$\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0=\gamma^0\gamma^\mu$将共轭后的矩阵整理成狄拉克伴随形式：

例如导数项给出$-i u_s^\dagger\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0\partial_\mu\Psi =-i\bar u_s\gamma^\mu\partial_\mu\Psi$。整体虚数也在共轭时变号；再反转端点差，两个负号抵消，于是得到一般复波包的出腿表达式：

取伴随也把波包权函数变成$f_s^*$。对于实高斯，复共轭不改变权函数；一般出腿则须保留这里的复共轭，才能与态的内积相配。

对反粒子，从$d^\dagger$的投影开始。记波包算符为$D^\dagger[f]=\sum_s\int d^3p\,f_s d_s^\dagger$，这次所用的伴随旋量方程是$\bar v_s(-\slashed p+m)=0$，亦即$\omega_{\mathbf p}\bar v_s\gamma^0 =\bar v_s(p_i\gamma^i-m)$。质量项的号随之改变，同样的时间微分和空间分部积分给出

第一行的$-ip_i$先写成作用于指数的导数，再按式（41.8）移过一次，第二行就出现了场的空间导数。这里$v$方程的质量号与粒子情形相反，最后提出的系数因而为$-i$。对这个结果取伴随并交换端点，便得到反粒子出腿：

四个边界式都把无量纲波包算符的差写成时空积分。例如入射$b^\dagger$这一项的量纲为$[d^3p]+[f]+[d^4x]+[\bar\Psi]+[\mathscr D]+[u] =3-2-4+3/2+1+1/2=0$。可见，一阶狄拉克微分须与维数$1/2$的外部旋量一起出现，才能和模式投影的归一化一致。

时间序与未散射的配对项

接着把边界式用于散射内积。按式（41.5）选定的产生链，两入两出的矩阵元为

出态取厄米共轭后，两个湮灭算符的次序反转。因此，交换$h_1,h_2$或$f_1,f_2$中的任意一对，整个内积都改变符号。将它改写成场的关联函数时，时间排序必须保存这种反对称性。对两个奇场，定义

对更多奇因子也按同一规则排序：每交换一对就乘$-1$。原来的入端点在右、出端点在左，已经依时间先后排列，故可插入$T$。随后边界式会把某条腿移到另一端点，这时新端点的位置与经过的奇因子数必须一起计入。

设$\mathcal B$包含已经插入的$r$个奇场，暂将它们的时间全部固定在$t_-$与$t_+$之间。为了约化下一条入腿，先定义包含一个待积分场的行旋量矩阵元：

这里$|\alpha_{\rm in}\rangle$是其余尚未约化的入态。早端点的$\bar\Psi$位于$\mathcal B$右边，无需交换；到了晚端点，它须移过$r$个奇场。因此，在相应端点极限中，$Q_f(t_-)$给出$\langle\beta|\mathcal B B_{\rm in}^\dagger[f]|\alpha_{\rm in}\rangle$，$Q_f(t_+)$则给出$(-1)^r\langle\beta|B_{\rm out}^\dagger[f]\mathcal B|\alpha_{\rm in}\rangle$。将式（41.6）–（41.9）的运算用于整个$H(x)$，两者之差为

这个关系先在有限端点建立，再对矩阵元取散射极限。由于被微分的是整个时间序分布，当$x^0$经过某个插入时间时，式（41.15）中的阶跃函数也会给出导数项，稍后将在自由两点函数中看到它的作用。

现在取$\beta=(h_1,\ldots,h_M)$，考察晚端点一项。这里的产生算符与出射湮灭算符同属out代数，因而可以逐次使用CAR，把它移向左边的真空：

帽号表示删去相应的包。产生算符从右向左首先遇到$B[h_1]$；与第$j$个配对以前，要先越过$j-1$个湮灭算符，这就确定了求和中的符号。完全移到真空左矢旁的一项为零，沿途出现的内积项却须保留。将这个展开代回式（41.17），入射单腿约化便分成两部分：

一部分让这条入腿与某条出腿直接配对，表示该粒子未发生散射，其余粒子仍可参与散射；另一部分将它换成场插入，继续留在关联函数中。这两种选择的递推，也将决定完整散射矩阵的结构。

对出腿改用$T\{\Psi(x)\mathcal B\}$，晚端点已在正确位置，早端点则须交换$r$次。将式（41.11）用于这个矩阵元，得到

若先处理完全部入腿，右边的剩余入态就是真空，第二项中的$B_{\rm in}$将其湮灭；此后逐条约化出腿，只需保留积分项。每处理一条外腿，先把已有场的坐标固定在有限区间，再完成这一腿的端点极限，各层积分依此嵌套。这正是第5节所用次序在费米场中的实现。

时间序导数的一个检验

时间序的阶跃函数为何不能略去，可以从自由场两点函数$G_0(x,y)=\langle0|T\Psi(x)\bar\Psi(y)|0\rangle$直接看出。对式（41.15）求$\partial_{x^0}$，两个阶跃函数的导数合成等时反对易子；其余部分由自由狄拉克方程消去。因此

最后一行改为对$y^0$求导，阶跃函数给出的号与前面相反，但左作用狄拉克导数的系数为$+i$，两者合起来仍给$-i$。将粒子外腿的$+i$乘上这个接触项，便留下单位单粒子重叠。继续约化另一端时，余下的数值旋量和平面波满足自由狄拉克方程，完整的两腿转移积分为零；自由一粒子内积则由式（41.18）中的$C(h,f)$提供。由此可见，若把狄拉克微分直接移入$T$，只对场使用运动方程，就会在第一步丢掉这个非零接触项。

配对的符号怎样汇成行列式

现在把逐腿递推合在一起。用$\mathcal R(H;F)$表示所有外腿都换成场插入后的积分，并约定$\mathcal R(\varnothing;\varnothing)=1$；这一积分中仍可包含几个互不连通的散射过程。从$f_1$开始依次使用式（41.19），每条入腿或与出腿直接配对，或成为场插入，再用式（41.20）处理剩余出腿。按哪些标签被配对来归组，就得到

其中未被删去的标签始终保持原顺序，空行列式取一。行列式来自同一组入、出腿的所有配法，而它前面的符号还记录了这些腿在原产生链中的位置。要看清两者怎样分开，设被配对的入腿为$i_1<\cdots<i_k$，它们依次配到出腿$j_1,\ldots,j_k$。处理第$a$次配对时，此前未被配对的入腿已留下$i_a-a$个场插入；若先前删去的出腿中有$\ell_a$个编号小于$j_a$，当前这条出腿就在剩余列表的第$j_a-\ell_a$个位置。于是式（41.19）累计的负号次数为

这里$\operatorname{inv}$数出出腿列表中的逆序对，而$k(k+1)$恒为偶数。固定两组标签后，对它们的全部配法求和，逆序号就组成$\det C_{J,I}$。每个部分匹配在按序约化入腿时恰好出现一次，所以不再有额外阶乘。

在所选稳定单粒子通道中，一入一出的散射矩阵等于态内积，故$\mathcal R(h;f)=0$。两入两出时，所有只余一条入腿和一条出腿的项随之消失，留下

自由理论的入、出算符相同，最后一项为零，前两项则恢复式（41.4）的反对称内积。全部外腿都转移为场插入的积分是$\mathcal R$；完整散射矩阵还包含前面两项未散射配对。当入、出包之间所有直接内积均为零时，这个积分也等于该组波包的完整$S$。若只求两入两出的连通散射部分，则在积分中使用连通四点函数即可。

四腿公式与一般外腿规则

有了波包的等式，就可以提取确定动量的振幅。窄包形式上对应$\sigma\to0$。应先对任意合适的波包建立等式，再读出乘在$\prod h^*\prod f$旁的动量分布。若始终保持高斯包的单位范数，它不会在希尔伯特空间中收敛为动量$\delta$态，分布态仍须采用式（41.2）的归一化。这与第5节的平面波极限完全相同。

为写出四腿积分，先固定关联函数中的场次序，并简记积分测度与相位：

这个场次序来自刚才的逐腿约化：两条入腿先给出$\bar\Psi_1,\bar\Psi_2$，再按$1',2'$处理出腿，每次将新场放到时间序积左侧，最后便为$\Psi_{2'}\Psi_{1'}\bar\Psi_1\bar\Psi_2$。将四条边界式的系数和微分一起写出，所有外腿的转移核就是

其中$u_i=u_{s_i}(\mathbf p_i)$。各狄拉克微分作用于$G$的相应坐标，外面已经写出的指数不参与这一步求导。矩阵指标的顺序由原来相乘的场决定：数值行、列旋量彼此可交换，奇场则保持式（41.25）中的顺序。四个$i$分别来自四条边界差；也无需另补$(2\pi)^3 2\omega$分母，因为波包采用普通$d^3p$，模式投影的归一化已在第39节处理。要恢复完整平面波$S$，还须加上式（41.24）的两项直接配对，并将其中的$C_{ji}$换成式（41.2）的分布内积。

任意粒子数或含反粒子的过程可按同样步骤处理。保留原有外部算符的位置，依次采用四种替换：

这些箭头表示散射矩阵元中的约化积分，端点直接内积仍按式（41.22）保留，其中不同荷的配对为零。待外腿全部换入以后，对真空期望中的场作费米$T$排序，并让各微分作用于整个时间序分布，就得到所需的关联函数。这里入、出下标分别对应遥远过去和遥远未来的渐近算符。

马约拉纳粒子为何有两种相同的写法

马约拉纳粒子没有独立的反粒子模式，场满足$d_s=b_s$及$\bar\Psi=\Psi^T\mathcal C$。因此，上述四条外腿规则中，两条入腿应给出同一结果，两条出腿也应相同。第38节固定的数值旋量相位给出$u_s^T\mathcal C=\bar v_s$、$v_s^T\mathcal C=\bar u_s$，可以据此直接联系两种写法。取任意可交换数值列$w$，把唯一的奇场转置，逐项得到

第二行只交换了数值旋量与一个奇场，未交换两个奇场；负号来自$\mathcal C^T=-\mathcal C$。导数项再用$(\gamma^\mu)^T\mathcal C^T=\mathcal C\gamma^\mu$，便合成最后一行的狄拉克算符。分别代入$w=u_s,v_s$，得到

这就把式（41.27）的两条入腿、两条出腿分别联系起来。计算中可以选择场排列较方便的一种，但须保持这个奇插入在原乘积中的位置。马约拉纳作用量的$1/2$已在正则约束与模式归一化中处理，外部单粒子态仍采用式（41.2），所以外腿无需再乘半因子。

相互作用场应怎样归一化

以上边界运算使用了外部数值旋量的自由方程，而相互作用场保留在关联函数中。要让场的投影在渐近极限中产生指定的粒子，还需把它与单粒子态的重叠固定下来。这些重叠中，有些由对称性要求为零，另一些则决定场的归一化。

先看真空期望。令$w=\langle0|\Psi(0)|0\rangle$，洛伦兹不变真空被$M^{\mu\nu}$湮灭，故原点的场变换关系要求

由于$S^{12}$可逆，立即有$w=0$；再用真空的平移不变性，便得$\langle0|\Psi(x)|0\rangle=0$。这个论证只用到了旋量的洛伦兹变换，对没有狄拉克荷标签的马约拉纳场也适用。

对于带荷单粒子态，还可用荷守恒判断哪些重叠必为零。取$Q|0\rangle=0$、$Q|p,s,q\rangle=q|p,s,q\rangle$，将$[\Psi,Q]=\Psi$及$[\bar\Psi,Q]=-\bar\Psi$放入相应矩阵元，得到

当$q=+1$时，第一种重叠只能为零；当$q=-1$时，第二种重叠只能为零。剩下两个允许非零的重叠，取为单位旋量归一化。连同这两个由荷守恒给出的零式，可写成

这里的指数由平移协变性确定：在$\Psi(x)=e^{-iP\cdot x}\Psi(0)e^{iP\cdot x}$中，左矢是动量$p$的本征态，真空动量为零。对第三行取厄米共轭再乘$\gamma^0$，也可写成$\langle0|\Psi(x)|p,s,+\rangle=u_s e^{ipx}$，便于同自由场展开比较。

这一归一化的作用可直接从投影看出。把单位重叠代入波包产生算符的定义，得到

空间积分先给$(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)$，再用$u_r^\dagger u_s=2\omega_{\mathbf q}\delta_{rs}$；在$\mathbf p=\mathbf q$处，时间相位也变成一。对$d^\dagger$用$v_r^\dagger v_s$可得同一归一化。因此，这两个非零重叠使投影的单粒子分量具有既定的包归一化，也固定了约化外腿应带的数值系数。

接下来要说明在什么条件下可以把重叠写成这种形式。记$U_s(p)=\langle0|\Psi(0)|p,s,+\rangle$、$V_s(p)=\langle p,s,-|\Psi(0)|0\rangle$。第39节的维格纳转动给出

第二行取左矢，转动矩阵随之复共轭。在静止系，$D(R)=\operatorname{diag}(w,w)$。把两个自旋标签排成矩阵的两列，则$U$的上下两块分别满足$wA=Aw$。与$\sigma_3$对易要求$A$为对角阵，再与$\sigma_1$对易要求两个对角元相等，每块因而独立地正比于$I_2$。$V$的每块则满足$wA=Aw^*$；由$wE=Ew^*$，$AE^{-1}$与$w$对易，故该块正比于$E$。沿用第38节的$e_s,\eta_s=Ee_s$，可写成

标准推动$L(p)$从静止动量出发时，其维格纳转动为单位矩阵。将上式乘$D(p)$，并用左右投影与$D(p)$对易，便得到正规正时洛伦兹协变性允许的通式：

左右外尔块各有一个常数，洛伦兹协变性本身并不要求$a=b$。例如，把归一的自由场改为$\Phi=e^{i\theta\gamma_5}\Psi$，两个手征块的重叠分别乘上$e^{-i\theta}$和$e^{i\theta}$，一个整体常数就无法同时将它们变成一。要用一个整体尺度归一化，还须有进一步的条件把左右两块联系起来。

本节末尾由标量双线性量构成的实耦合四费米例，可以采用更具体的对称设置：$P,C$按第40节的方式实现，对称性和真空都不破缺，所选稳定粒子的宇称相位与插值场相容。由$P|p,s,\pm\rangle=i|-\mathbf p,s,\pm\rangle$及$P^{-1}\Psi P=i\beta\Psi$，两种矩阵元分别满足

第二式的额外负号来自左矢中$i$的复共轭。在静止系，$\beta$交换上下块，第一式要求$a=b$，第二式要求$c=d$。再取$C|p,s,+\rangle=|p,s,-\rangle$，由第40节的场变换得到

取狄拉克伴随时$\beta$交换左右投影，故电荷共轭联系的是$c=b^*$、$d=a^*$。合并宇称条件，得到

把两荷态共同乘$e^{-i\arg a}$，$U_s$的系数变成$|a|$，$V_s$的系数也变成$|a|$，两态的$C$关系保持。记$R=|a|^2>0$，再令$\Psi_{\rm new}=\Psi_{\rm old}/\sqrt R$，便得到式（41.32）。在一般仅有$U(1)$的模型中，则要保留左右块留数，或先作合适的插值场重定；这里用于联系两荷通道的$C$对称性也须另行满足。

对于已经选好单位重叠的马约拉纳场，有

将第二行转置，并在右侧乘$\mathcal C$，用$v_s^T\mathcal C=\bar u_s$即可得到第三行。这里不再有两种独立的荷态。马约拉纳实条件联系场的两个频率支，左右块重叠的选择仍须与式（41.34）所说明的条件相容。

四费米例中的三个归一条件

场的重标度会相应改变拉格朗日量的系数。以四费米相互作用为例，写出

其中$m$是所选稳定粒子的物理质量，$g$由指定运动学条件下的散射量定义，具体条件在使用模型时选定。前因子$1/4$是定义$g$时采用的规范，而$Z$调到单位单粒子重叠。三类系数分别服务于质量、耦合和外腿归一化，须由相应条件确定；自由方程并不将它们预先约束成同一个数。

在保留调节的模型中，场与参数怎样一同变化可以直接写出。设原场为$\chi$，动能系数为一，质量和四费米系数为$m_0,g_0$，标量单粒子重叠为$\sqrt R$。作重标度$\chi=\sqrt R\,\Psi$后，每个双线性量带来一个$R$，因此

物理质量$m$包含相互作用修正，故$m_0$与$m$一般不同；由散射量定义的$g$也不必等于$g_0$。若模型还保留其他有效算符，它们同样按所含场的数目重标度。

守恒流也随场定义改变。对局部相位变分$\delta\Psi=-i\alpha(x)\Psi$、$\delta\bar\Psi=+i\alpha(x)\bar\Psi$，无导数的质量项和四费米项不产生$\partial_\mu\alpha$。动能项的变分则有两部分，不含$\partial\alpha$的项彼此抵消，只剩