Srednicki §44 费米子路径积分的形式化推导

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上一节从自由场的时间序矩阵元出发，构造了相应的生成泛函，并用源导数产生各个场的插入。对于狄拉克场，所得结果是

\begin{aligned} Z_{0,D}[\bar\eta,\eta]&=\exp(i\bar\eta S\eta),\\ \mathscr D&=-i\slashed\partial+m,\qquad \mathscr D_xS(x-y)=\delta^4(x-y)I_4 . \end{aligned} \tag{44.1}

对反交换变量的积分提取含有全部被积变量的顶阶系数。由这一定义可以求出线性换元的行列式因子，再通过平方完成得到含源高斯积分。

我们先研究有限个变量，待积分规则和含源公式都建立后，再恢复连续时空指标。其中 $\mathscr D$ 和 $S$ 的边界条件仍采用第42节的费曼处方，有限调节器下使用上一节所定的相容逆核。

格拉斯曼变量和微分

满足 $\psi_i\psi_j=-\psi_j\psi_i$ 的生成元称为格拉斯曼变量。系数取实数或复数时，令 $i=j$ 便得到 $\psi_i^2=0$ 。这些生成元构成外代数：每个生成元在单项式中至多出现一次，而交换两个相邻生成元会改变符号。因此， $n$ 个独立生成元的单项式基共有 $2^n$ 个。若系数中还含有独立奇源，就将这些源也置于同一个外代数中，按统一的交换规则运算。

先看单个 $\psi$ 。由于它的平方为零，函数展开只剩常数项和一次项，将系数放到右边便有

f(\psi)=a+\psi b,\qquad |a|=|f|,\qquad |b|=|f|+1\pmod2 . \tag{44.2}

这里 $|f|$ 是齐次函数的格拉斯曼宇称，系数 $a,b$ 均不含 $\psi$ ，并统一写在右侧。先取偶函数，此时 $a$ 为偶、 $b$ 为奇；因而 $b$ 与 $\psi$ 反交换，且 $b^2=0$ ，同一个函数也可写成 $f=a-b\psi$ 。这种重排说明，取变量左侧还是右侧的系数，会影响微分的符号。一般函数则可先拆成偶、奇两部分，分别作同样处理。

具体地，将变分 $\delta\psi$ 移到最左端或最右端，就分别定义左导数与右导数：

\begin{aligned} \delta f &=\delta\psi\,\partial_\psi^L f =(\partial_\psi^R f)\delta\psi,\\ \partial_\psi^L f&=b,\qquad \partial_\psi^R f=(-1)^{|b|}b =(-1)^{|f|+1}b . \end{aligned} \tag{44.3}

对于偶函数，左右导数分别为 $+b$ 与 $-b$ 。对乘积作左微分时，导数越过奇因子也会变号，因而有 $\partial^L(AB)=(\partial^LA)B+(-1)^{|A|}A\,\partial^LB$ 。此后的积分与源微分均采用左导数，而第37节定义正则动量时使用右导数，以配合哈密顿密度中 $\pi\dot\psi$ 的排列。例如，动能项 $i\psi^\dagger\dot\psi$ 给出右动量 $i\psi^\dagger$ ，左动量却是 $-i\psi^\dagger$ ；两者之间的符号与将速度移回动量右边的操作相配，具体讨论见第37节。

积分怎样定义

定义奇变量积分时，可以保留普通全轴积分的两个基本性质。在收敛域内，普通积分满足线性 $I(f+cg)=I(f)+cI(g)$ 及平移不变性 $I(f(x+a))=I(f(x))$ ，其中 $c$ 为数值常数。我们要求奇积分也满足这两项性质；对于置于右侧的外部系数，我们同时约定可以从积分的右边提出。

由于单变量函数只有两项，积分由 $I(1)=c_0$ 和 $I(\psi)=c_1$ 完全决定。用一个独立奇数 $\xi$ 作平移，便有 $I(\psi+\xi)=c_1+c_0\xi$ 。平移不变性迫使 $c_0=0$ ，余下的 $c_1$ 只决定整体归一。取非平凡归一 $c_1=1$ ，就得到

\int d\psi\,1=0,\qquad \int d\psi\,\psi=1,\qquad \int d\psi\,[a+\psi b]=b . \tag{44.4}

这个取系数的线性运算称为贝雷津积分。单变量函数只有常数项和一次项，所以积分与左微分给出相同结果。推广到多变量时，仍可先将函数写成有限展开，再决定积分应取哪一项。多变量展开可统一写为

f(\psi)=\sum_{r=0}^{n}\frac1{r!} \psi_{i_1}\cdots\psi_{i_r}\,c_{i_1\cdots i_r}. \tag{44.5}

各指标从 $1$ 到 $n$ ，系数取全反对称形式，并放在全部 $\psi$ 的右侧。对固定的一组有序指标，求和包含 $r!$ 个排列；变量与系数各给出一个排列号，两号相乘为正，故需用 $1/r!$ 除去重复计数。若函数的宇称确定，各阶系数满足 $|c_{i_1\cdots i_r}|=|f|+r\bmod2$ 。

这一写法也便于求导。用左导数 $\partial_j^L$ 作用于第 $r$ 阶项，选中第 $a$ 个 $\psi$ 时须越过前面的变量，产生 $(-1)^{a-1}$ ；再将系数中相应指标移到首位，又产生 $(-1)^{a-1}$ 。重命名余下的求和指标后， $r$ 个贡献全部相同，于是

\partial_j^L f =\sum_{r=1}^{n}\frac1{(r-1)!} \psi_{i_2}\cdots\psi_{i_r}\,c_{j i_2\cdots i_r}. \tag{44.6}

对积分而言，关键是含有全部生成元的顶阶项。顶阶反对称张量只有一个独立分量，定向取 $\epsilon_{1\cdots n}=1$ 后，便可写为

c_{i_1\cdots i_n}=d\,\epsilon_{i_1\cdots i_n},\qquad \frac1{n!}\psi_{i_1}\cdots\psi_{i_n}c_{i_1\cdots i_n} =\psi_1\cdots\psi_n d . \tag{44.7}

这个顶阶项由右侧系数 $d$ 决定；它可以包含外源，宇称为 $|f|+n\bmod2$ 。仿照单变量的取系数规则，定义多变量积分为

d^n\psi:=d\psi_n\cdots d\psi_1,\qquad \int d^n\psi\, f(\psi)=d . \tag{44.8}

这个测度次序使最右端的 $d\psi_1$ 先积分，然后依次取走 $\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n$ ，留下右边的 $d$ 。将各 $d\psi_i$ 看作奇测度记号，并令它们与其它 $d\psi_j$ 及 $\psi_j$ 反交换，便能用单变量规则 $\int d\psi_i=0$ 、 $\int d\psi_i\,\psi_j=\delta_{ij}$ 重现这一结果。

还可以从平移不变性看出，为什么只能选取顶阶系数。平移某个 $\psi_j$ 后，独立平移参数的系数必须消失，即 $I_n(\partial_j^L f)=0$ 。任何缺少 $\psi_j$ 的单项式 $g$ 都能写成 $\partial_j^L(\psi_jg)$ ，所以次数小于 $n$ 的单项式积分均为零。这样，只剩顶阶单项式的归一尚可选择，式（44.8）将它定为1。反过来， $\psi_j\mapsto\psi_j+\xi_j$ 不会改变含全部积分变量的系数，因而这个定义也确实满足平移不变性。

逐个取走奇变量还会改变结果的宇称。这决定了奇系数从哪一侧提出时会变号：若 $c$ 是不含被积变量的齐次外部系数，则

I_n(fc)=I_n(f)c,\qquad I_n(cf)=(-1)^{n|c|}c\,I_n(f). \tag{44.9}

第二式中的符号来自把 $c$ 移过顶阶单项式的 $n$ 个变量。

线性变量变换

积分已经化为顶阶系数的提取，变量变换的规则便可从顶阶项本身求出。取 $\psi_i=J_{ij}\psi'_j$ ，其中 $J$ 先取普通复数的可逆矩阵，矩阵元与所有奇变量交换。展开顶阶乘积时，重复的 $j$ 指标使该项为零；其余项各对应一个排列 $\pi$ ，所以

\begin{aligned} \psi_1\cdots\psi_n &=\sum_{\pi\in S_n}J_{1\pi(1)}\cdots J_{n\pi(n)} \psi'_{\pi(1)}\cdots\psi'_{\pi(n)}\\ &=\left[\sum_{\pi\in S_n}\operatorname{sgn}(\pi) \prod_{i=1}^nJ_{i\pi(i)}\right]\psi'_1\cdots\psi'_n\\ &=(\det J)\psi'_1\cdots\psi'_n . \end{aligned} \tag{44.10}

将同一结果写成列维–奇维塔形式，就是 $\epsilon_{i_1\cdots i_n}J_{i_1j_1}\cdots J_{i_nj_n} =(\det J)\epsilon_{j_1\cdots j_n}$ 。将变元代入带系数 $d$ 的顶阶项，新系数便为 $(\det J)d$ 。比较两套坐标下所提取的系数，便得到

\begin{aligned} \int d^n\psi'\,f(J\psi')&=(\det J)\int d^n\psi\,f(\psi),\\ \int d^n\psi\,f(\psi) &=(\det J)^{-1}\int d^n\psi'\,f(J\psi'),\\ d^n\psi&=(\det J)^{-1}d^n\psi' . \end{aligned} \tag{44.11}

测度中的逆雅可比行列式由此确定：变元后的顶阶系数已乘上 $\det J$ ，测度必须补以倒数，才能保持积分不变。单变量例子最为直接，若 $\psi=a\psi'$ ，则 $\int a^{-1}d\psi'\,a\psi'=1$ ，仍满足原来的归一。

作为比较，再看普通实变元 $x=Jx'$ 。对于实全空间上的正测度，变量变换公式应写成

\int_{\mathbb R^n}d^nx\,f(x) =|\det J|\int_{\mathbb R^n}d^nx'\,f(Jx'). \tag{44.12}

绝对值对不保向的实变换尤其重要。取 $x=-x'$ 和 $f=e^{-x^2/2}$ 时，新旧坐标下均为正积分，因此普通测度不能仅乘 $-1$ ；若采用有向微分形式，积分方向也应一同变换。格拉斯曼积分则已由变量次序选定定向，式（44.11）中的 $\det J$ 因而不取绝对值。

反对称核的高斯积分

有了变量变换规则，现在计算 $\int d^n\psi\,\exp(\psi^TM\psi/2)$ 。矩阵 $M$ 的元素取普通复数，而 $\psi^TM\psi=\psi^T(M-M^T)\psi/2$ ，因此二次型只保留矩阵的反对称部分，可以直接设 $M^T=-M$ 。先从二维积分着手：

\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix}0&m\\-m&0\end{pmatrix},\\ \frac12\psi^TM\psi&=m\psi_1\psi_2,\qquad e^{\psi^TM\psi/2}=1+m\psi_1\psi_2,\\ \int d\psi_2d\psi_1\,e^{\psi^TM\psi/2}&=m . \end{aligned} \tag{44.13}

由于 $(\psi_1\psi_2)^2=0$ ，指数只剩两项，积分直接取出含两份变量的系数。这里 $m$ 可为任意复数，整个计算是有限多项式运算，无须控制积分变量在无穷远处的行为。

一般维数的计算可以化为这些二维积分的乘积。为此选取酉矩阵 $U$ ，使 $U^TMU$ 成为二维分块的形式，这种变换称为酉合同变换。为说明它的构造，设 $M\ne0$ ，则厄米矩阵 $M^\dagger M$ 至少有一个正本征值 $\sigma^2$ 。选取相应的单位本征向量 $v$ ，并定义

M^\dagger Mv=\sigma^2v,\qquad u=\frac{\overline{Mv}}{\sigma}. \tag{44.14}

这样有 $u^\dagger u=1$ ，同时 $u^\dagger v=(Mv)^Tv/\sigma=-v^TMv/\sigma=0$ ，因为普通数值向量的反对称二次型 $v^TMv$ 为零。由这两个向量的定义和本征方程，还可得到它们与原矩阵的关系：

\begin{aligned} u^TM&=\frac{(Mv)^\dagger M}{\sigma} =\frac{v^\dagger M^\dagger M}{\sigma} =\sigma v^\dagger,\\ v^TM&=-(Mv)^T=-\sigma u^\dagger . \end{aligned} \tag{44.15}

因此 $u^TMv=\sigma$ 、 $v^TMu=-\sigma$ ，它们正好构成所需二维块。若 $q$ 在厄米内积下同时正交于 $u,v$ ，则 $u^TMq=v^TMq=0$ ，反对称性又使反向交叉项同时消失。将 $u,v$ 补成正交单位基，就分离出了一个与其余方向解耦的二维块。余下矩阵仍然反对称，重复这一过程便得到

U^TMU= \bigoplus_{I=1}^{r} \begin{pmatrix}0&\sigma_I\\-\sigma_I&0\end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r},\qquad U^\dagger U=I,\quad \sigma_I>0 . \tag{44.16}

每次分离出的非零块都占两个维度，所以反对称矩阵的秩必为偶数。奇数维至少保留一个零方向，偶数维的奇异矩阵也会留下零块。正实块参数描述非零部分，上式中的零块则描述核的零模。

先取 $n=2r$ 且 $M$ 可逆，令 $\psi=U\psi'$ ，并保留式（44.11）的变元因子。各块二次型都是偶量，彼此交换，包含两个变量的整块互换也不产生负号，因此积分分解为

\begin{aligned} P(M)&:=\int d^{2r}\psi\,e^{\psi^TM\psi/2}\\ &=(\det U)^{-1}\prod_{I=1}^r \int d\psi'_{2I}d\psi'_{2I-1}\, e^{\sigma_I\psi'_{2I-1}\psi'_{2I}}\\ &=(\det U)^{-1}\prod_{I=1}^r\sigma_I . \end{aligned} \tag{44.17}

要将这个结果与原矩阵联系起来，对式（44.16）取行列式即可。每个二维块贡献 $\sigma_I^2$ ，于是

(\det U)^2\det M=\prod_I\sigma_I^2,\qquad P(M)^2=\det M . \tag{44.18}

积分的平方虽等于行列式，积分本身的符号和相位仍由既定变量次序决定。直接展开指数可以把它们一并保留下来：只有第 $r$ 次项含有全部 $2r$ 个变量，将指数中的 $1/r!$ 与每个二次型的 $1/2$ 相乘，再把变量排回固定次序，就有

\begin{aligned} P(M) &=\frac{1}{2^r r!}\, \epsilon_{i_1\cdots i_{2r}} M_{i_1i_2}\cdots M_{i_{2r-1}i_{2r}}\\ &\equiv\operatorname{Pf}M . \end{aligned} \tag{44.19}

这一多项式称为Pfaffian，它连同相位一起确定了积分，而不必再选择行列式的平方根。以四维为例，所有配对归并后只剩三项：

\operatorname{Pf}M =M_{12}M_{34}-M_{13}M_{24}+M_{14}M_{23}. \tag{44.20}

第二项的次序 $1,3,2,4$ 需要交换一次，第三项的次序 $1,4,2,3$ 需要交换两次，因而三项的符号为 $+,-,+$ 。每对内部的两种方向给出 $2^2$ ，两对的排列给出 $2!$ ，恰好消去式（44.19）中的分母。可见，Pfaffian的组合系数和符号都来自同一次顶阶展开。

再比较线性变元前后的顶阶系数，便得到它的变换性质和平方关系：

\operatorname{Pf}(J^TMJ)=(\det J)\operatorname{Pf}M,\qquad (\operatorname{Pf}M)^2=\det M . \tag{44.21}

第一式来自式（44.10）；第二式已由非奇异核的分块积分得到。由于两边都是矩阵元的多项式，让非奇异反对称矩阵趋于奇异矩阵，恒等式也随之延续。奇数维的情形则更直接：二次指数只含偶数阶变量，无法产生奇数阶顶项，所以无源积分为零。

固定测度为何必须保留，可以再看二维式（44.13），它的答案始终是 $m$ 。当 $m<0$ 时，若将 $(\det M)^{1/2}$ 逐次解释为主平方根，就会误得 $|m|$ 。式（44.17）中的 $\det U$ 相位已为积分选定了平方根。对于固定的自由核，这一源无关因子可在 $Z[0]=1$ 的归一中消去；若核随其它场改变，它的变化也须留在积分中，节末会用到这一点。

与普通实高斯的比较

再与普通实变量的高斯积分比较，就能看出行列式幂次的区别。普通积分还需选定收敛域：设 $M=A+iB$ 为复对称矩阵， $A,B$ 均实对称，并取 $A>0$ ，则 $|e^{-x^TMx/2}|=e^{-x^TAx/2}$ 可积。先用实正定平方根 $A^{-1/2}$ 化简实部，再用正交矩阵 $O$ 对角化 $A^{-1/2}BA^{-1/2}$ ，就能将积分分成一维积分：

\begin{aligned} x&=A^{-1/2}Oy,\qquad O^TA^{-1/2}BA^{-1/2}O=\operatorname{diag}(\lambda_j),\\ d^nx&=(\det A)^{-1/2}d^ny,\qquad x^TMx=\sum_j(1+i\lambda_j)y_j^2 . \end{aligned} \tag{44.22}

所有 $\lambda_j$ 都为实数，而这里的普通雅可比行列式已经取绝对值。所需的一维积分见第6节；为了确定此次延拓的平方根，记 $G(a)=\int_{\mathbb R}dy\,e^{-ay^2/2}$ ，并取 $\operatorname{Re}a>0$ 。高斯衰减使分部积分的边界项消失，从而

\begin{aligned} 0&=\int_{\mathbb R}dy\,\frac{d}{dy} (y e^{-ay^2/2}) =G(a)-a\int_{\mathbb R}dy\,y^2e^{-ay^2/2},\\ G'(a)&=-\frac{G(a)}{2a},\qquad G(1)=\sqrt{2\pi},\\ G(a)&=\sqrt{2\pi}\, \exp\!\left[-\frac12\operatorname{Log}a\right]. \end{aligned} \tag{44.23}

其中 $\operatorname{Log}a$ 取右半平面内由 $a=1$ 连续确定的分支。衰减还允许将参数导数移入积分号内，所以这个微分方程与初值共同固定了一维结果。将它代入式（44.22），便有

\begin{aligned} \int_{\mathbb R^n}d^nx\,e^{-x^TMx/2} &=(2\pi)^{n/2}(\det A)^{-1/2} \prod_j(1+i\lambda_j)^{-1/2}\\ &=(2\pi)^{n/2}(\det M)^{-1/2}. \end{aligned} \tag{44.24}

最后一行的平方根由前一行定义，也就是从正实核连续延拓而来；它不一定等于对最终复数 $\det M$ 单独取主平方根。普通积分给出行列式的负半幂，奇积分给出正半幂，这与两者变量变换因子的相反幂次相配。普通积分除了要求 $M$ 复对称，还需要上述收敛条件；例如 $M=-I$ 时，普通积分发散，有限格拉斯曼积分仍是一个有定义的多项式。

复格拉斯曼变量与配对测度

接下来为两套独立场变量准备相应的积分规则。仿照普通复变量的记号，将两个生成元组合成

\chi=\frac{\psi_1+i\psi_2}{\sqrt2},\qquad \bar\chi=\frac{\psi_1-i\psi_2}{\sqrt2}. \tag{44.25}

这只是以复数系数换一组基，仍然保留两个独立生成元。反解这两个关系时，按右侧列的次序 $(\bar\chi,\chi)^T$ 排列，变换矩阵及其行列式为

\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}1&1\\i&-i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bar\chi\\\chi\end{pmatrix},\qquad \det J=\frac{-i-i}{2}=-i . \tag{44.26}

因此，逆雅可比行列式给出测度关系 $d\psi_2d\psi_1=(-i)^{-1}d\chi d\bar\chi$ 。二次单项式也需换到同一组变量中：

\psi_1\psi_2 =\frac{i}{2}(\bar\chi+\chi)(\bar\chi-\chi) =-i\bar\chi\chi . \tag{44.27}

测度和单项式带来的两个因子互相抵消，原来的归一便成为

1=\int d\psi_2d\psi_1\,\psi_1\psi_2 =\int d\chi d\bar\chi\,\bar\chi\chi . \tag{44.28}

按照这个次序，先对 $\bar\chi$ 积分，再对 $\chi$ 积分。一对复生成元的函数只有四项，积分取出其中同时含两份变量的系数，所以

\begin{aligned} f(\chi,\bar\chi)&=a+\chi b+\bar\chi c+\bar\chi\chi d,\\ \int d\chi d\bar\chi\,f&=d,\\ \int d\chi d\bar\chi\,e^{m\bar\chi\chi} &=\int d\chi d\bar\chi\,(1+m\bar\chi\chi)=m . \end{aligned} \tag{44.29}

推广到 $n$ 个复对时，需要连同这个次序一起推广。将测度定义为

\begin{aligned} d^n\chi\,d^n\bar\chi &:=d\chi_n d\bar\chi_n\cdots d\chi_1 d\bar\chi_1,\\ \int d^n\chi\,d^n\bar\chi\, \bar\chi_1\chi_1\cdots\bar\chi_n\chi_n&=1 . \end{aligned} \tag{44.30}

左边是右边交错测度的简写。每对积分包含两个奇积分，整体为偶，因而整对交换不会变号。若改将顶阶变量排成全部带横线的变量在前、其余变量在后的两组，每个 $\chi_i$ 都需越过后面的 $n-i$ 个带横线的变量，交换总数为 $\sum_i(n-i)=n(n-1)/2$ ，因此

\begin{aligned} \bar\chi_1\chi_1\cdots\bar\chi_n\chi_n &=(-1)^{n(n-1)/2} \bar\chi_1\cdots\bar\chi_n\chi_1\cdots\chi_n,\\ I_{\rm pair}(f)&=(-1)^{n(n-1)/2}I_{\rm group}(f). \end{aligned} \tag{44.31}

第43节的有限算例采用的是后一种分组顶阶次序。它在 $n=2$ 时给狄拉克零源积分 $+1$ ，换成本节配对测度就给 $-1$ 。相同换序也作用于带源分子，所以零源归一后的生成泛函和关联函数保持不变。以下采用式（44.30）的配对测度。

两套生成元可以分别作独立的可逆变元 $\chi=J\chi'$ 、 $\bar\chi=K\bar\chi'$ ，两组坐标的总变换行列式为 $\det J\det K$ 。若将坐标重新排成配对次序，只是同时排列矩阵的行和列，行列式不变。因此

d^n\chi\,d^n\bar\chi =(\det J)^{-1}(\det K)^{-1} d^n\chi'\,d^n\bar\chi'. \tag{44.32}

这些代数变元不要求 $K=J^*$ ，因为两套积分生成元彼此独立。后面所用的 $\chi^\dagger=(\bar\chi_1,\ldots,\bar\chi_n)$ ，也只是由带横线的变量组成的行，不会额外限制变元矩阵。

一般复核给出行列式

现在用两套独立变元计算 $I_C(M)=\int d^n\chi\,d^n\bar\chi\,e^{\chi^\dagger M\chi}$ ，其中 $M$ 为一般复矩阵。用两个独立酉矩阵可将这个核化为对角形式。这两个矩阵可从厄米矩阵的谱分解构造：取 $M^\dagger M$ 的一组正交单位本征向量 $u_j$ ，将本征值记为 $\sigma_j^2\geq0$ ；在 $\sigma_j>0$ 的方向上定义 $r_j=Mu_j/\sigma_j$ ，则

r_i^\dagger r_j =\frac{u_i^\dagger M^\dagger Mu_j}{\sigma_i\sigma_j} =\delta_{ij}. \tag{44.33}

这些 $r_j$ 彼此正交且范数为一，将它们补成一组完整的正交单位基即可。其余方向满足 $\sigma_j=0$ ，相应地 $Mu_j=0$ 。取 $U=(u_1,\ldots,u_n)$ 、 $R=(r_1,\ldots,r_n)$ 和 $V=R^\dagger$ ，便得到奇异值分解

VMU=\operatorname{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n). \tag{44.34}

非零奇异值为正；若矩阵奇异，零值也保留在这个对角形式内。令 $\chi=U\chi'$ 、 $\chi^\dagger=\chi'^\dagger V$ ，后一式写成带横线的列时对应 $K=V^T$ ，所以测度中出现 $\det V$ 。随后用式（44.29）逐对积分，得到

\begin{aligned} I_C(M) &=\frac1{\det U\,\det V} \prod_{j=1}^n\int d\chi'_j d\bar\chi'_j\, e^{\sigma_j\bar\chi'_j\chi'_j}\\ &=\frac{\prod_j\sigma_j}{\det U\,\det V} =\det M . \end{aligned} \tag{44.35}

由于各二次型和整对积分均为偶，这里的分块乘积没有额外交换号。若出现零奇异值，相应一对只留下常数项，其积分为零，结果仍与 $\det M=0$ 一致。

行列式的排列结构也可以直接从顶阶项看出。指数中只有 $(\bar\chi M\chi)^n/n!$ 能含全部积分变量；先将带横线的变量移到前面，会得到 $(-1)^{n(n-1)/2}$ 。随后，带横线的指标和未加横线的指标分别组成排列 $\sigma,\tau$ ，所以分组顶阶系数为

\begin{aligned} I_{\rm group}\!\left(e^{\bar\chi M\chi}\right) &=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{n!} \sum_{\sigma,\tau\in S_n} \operatorname{sgn}\sigma\,\operatorname{sgn}\tau \prod_{a=1}^nM_{\sigma(a),\tau(a)}\\ &=(-1)^{n(n-1)/2}\det M . \end{aligned} \tag{44.36}

固定 $\sigma$ 并令 $\pi=\tau\circ\sigma^{-1}$ ，矩阵元的乘积成为 $\prod_iM_{i,\pi(i)}$ ，两排列号之积则为 $\operatorname{sgn}\pi$ 。这样，每个 $\sigma$ 都给出同一个 $\det M$ ，共有 $n!$ 个贡献，恰好消去分母。再依式（44.31）换回配对次序，两个相同的整体符号相乘为正，便重新得到式（44.35）。行列式中的反对称求和，正是在计算奇变量乘积的排列。

与普通复高斯的比较

与前面的实变量对照相似，我们还可以计算普通复变量的高斯积分。采用坐标及测度

z_j=\frac{x_j+iy_j}{\sqrt2},\qquad \bar z_j=\frac{x_j-iy_j}{\sqrt2},\qquad d^nz\,d^n\bar z:=d^nx\,d^ny . \tag{44.37}

这里 $z$ 与 $\bar z$ 在实际积分区域内互为共轭。为保证收敛，取 $H=(M+M^\dagger)/2>0$ ，于是 $|e^{-z^\dagger Mz}|=e^{-z^\dagger Hz}$ 可积。变量变换也应保持这个共轭关系，因此采用酉变元 $z=Uw$ ：选 $M$ 的一个单位本征向量作为 $U$ 的第一列并补成正交单位基，变换后第一列在对角线以下的矩阵元便全为零；对余下块重复操作，就将 $U^\dagger MU$ 化为上三角矩阵 $T$ 。酉变元的实雅可比行列式为 $|\det U|^2=1$ ，故测度不变。

上三角形式使我们能够逐个积分。关于第一个变量 $w_1$ 的部分只有

T_{11}|w_1|^2+\bar w_1 A_1,\qquad A_1=\sum_{j>1}T_{1j}w_j,\qquad \operatorname{Re}T_{11}>0 . \tag{44.38}

最后一个条件由 $U^\dagger HU>0$ 保证。代入 $w_1=(r\cos\theta+ir\sin\theta)/\sqrt2$ 后，展开 $e^{-\bar w_1A_1}$ ，其第 $k$ 项含有 $e^{-ik\theta}$ ，因而除 $k=0$ 外，角积分全为零。固定其它变量时，各项绝对值之和由 $e^{-\operatorname{Re}T_{11}r^2/2+|A_1|r/\sqrt2}$ 控制，可以逐项积分。因此

\begin{aligned} \int dx_1dy_1\,e^{-T_{11}|w_1|^2-\bar w_1 A_1} &=2\pi\int_0^\infty r\,dr\,e^{-T_{11}r^2/2}\\ &=\frac{2\pi}{T_{11}} . \end{aligned} \tag{44.39}

积掉第一个变量后，余下主子块的厄米部分仍正定，可以继续采用同一方法。全积分的绝对收敛允许使用富比尼定理按此顺序逐个积分，最终得到

\int d^nz\,d^n\bar z\,e^{-z^\dagger Mz} =\frac{(2\pi)^n}{\prod_jT_{jj}} =\frac{(2\pi)^n}{\det M}. \tag{44.40}

其中每对变量贡献的 $2\pi$ 来自 $1/\sqrt2$ 坐标定义和 $dx\,dy$ 测度。若改用 $z=x+iy$ 并仍用 $dx\,dy$ ，每对贡献 $\pi$ 。普通复高斯给出行列式的负一次幂，与奇复高斯的正一次幂相对应。上述正定条件保证普通积分收敛，例如 $M=-I$ 时该积分便不收敛。

加入外源并完成平方

无源高斯已求出，积分的平移不变性又允许消去线性项，因此可以继续求含源积分。以下外源与所有被积变量反交换，矩阵核 $M$ 取可逆，以便确定所需平移。

先考虑 $M^T=-M$ 的情形，配以一套奇列源 $\eta$ 。记 $a=M^{-1}\eta$ ，由 $(M^{-1})^T=-M^{-1}$ 得 $a^T=-\eta^TM^{-1}$ 。在展开二次型之前，将三个相关乘积写出：

\begin{aligned} \psi^TMa&=\psi^T\eta=-\eta^T\psi,\\ a^TM\psi&=-\eta^T\psi,\\ a^TMa&=-\eta^TM^{-1}\eta . \end{aligned} \tag{44.41}

前两个交叉项相同：交换奇向量的符号与反对称核的转置号相配。利用这三个关系逐项展开平移后的二次型，就能完成平方：

\frac12\psi^TM\psi+\eta^T\psi =\frac12(\psi-a)^TM(\psi-a) +\frac12\eta^TM^{-1}\eta . \tag{44.42}

新变量 $\xi=\psi-a$ 仍与源反交换。其线性变元部分为单位矩阵，而奇平移不改变顶阶系数，所以积分保持不变。剩余的纯源二次项是偶量，可以从被积指数中提出，得到

\int d^{2r}\psi\,e^{\psi^TM\psi/2+\eta^T\psi} =\operatorname{Pf}M\, e^{+\eta^TM^{-1}\eta/2}. \tag{44.43}

这里的Pfaffian按式（44.19）由固定测度确定。纯源项的正号与 $1/2$ 都由式（44.41）中的交叉项确定。

对于复对，则有两套独立奇源，将 $\bar\eta$ 写成行。保持奇量原有次序相乘，平方完成成为

\begin{aligned} \bar\chi M\chi+\bar\eta\chi+\bar\chi\eta &=(\bar\chi+\bar\eta M^{-1}) M(\chi+M^{-1}\eta) -\bar\eta M^{-1}\eta . \end{aligned} \tag{44.44}

右侧乘积展开后依次给出原二次型、两个线性源项和 $+\bar\eta M^{-1}\eta$ ，最后这个纯源项由末项抵消。因此可定义新变量 $\xi=\chi+M^{-1}\eta$ 、 $\bar\xi=\bar\chi+\bar\eta M^{-1}$ ；若反过来以新变量表示旧变量，就分别减去这两个移位。利用平移不变性，积分遂为

\int d^n\chi\,d^n\bar\chi\, e^{\bar\chi M\chi+\bar\eta\chi+\bar\chi\eta} =\det M\,e^{-\bar\eta M^{-1}\eta}. \tag{44.45}

单源公式留下正二次源项，双源公式留下负二次源项。核有零模时，可以回到最高系数定义求积分。以 $M=\left(\begin{smallmatrix}0&m\\-m&0\end{smallmatrix}\right)$ 为例，式（44.43）在 $m\ne0$ 时给出

I(m,\eta)=m\,e^{-\eta_1\eta_2/m} =m-\eta_1\eta_2 . \tag{44.46}

直接展开原积分也能得到这个多项式。原二次型贡献 $m\psi_1\psi_2$ ，源指数的二次项贡献 $\eta_1\psi_1\eta_2\psi_2=-\psi_1\psi_2\eta_1\eta_2$ ，其余项都不含顶阶积分所需的全部变量。因此，即使 $m=0$ ，结果仍含 $-\eta_1\eta_2$ ，两份外源补足了两个零模。此时无源积分却为零，不能再除以 $I(0,0)$ 。

回到狄拉克和马约拉纳场

现在可以将有限指标推广为旋量和时空指标。先保留有限个模式，并将积分权重吸收入模式坐标，使二次型、源项和核乘法都由同一组有限矩阵表示。自由传播子的费曼边界条件按式（44.1）选择，受调节的 $\mathscr D$ 与 $S$ 互为真正的逆，最后再撤去模式截断和边界调节。这样，刚建立的平方完成便可用于各个场分量。

狄拉克作用量中的指数为 $-i\bar\Psi\mathscr D\Psi+i\bar\eta\Psi+i\bar\Psi\eta$ 。为代入式（44.45），暂将有限公式的参数加下标 $f$ ，对应关系是

M_f=-i\mathscr D,\qquad M_f^{-1}=iS,\qquad \eta_f=i\eta,\qquad \bar\eta_f=i\bar\eta . \tag{44.47}

两套源独立缩放，因此两者都乘 $i$ 。代回纯源二次型，得到 $-\bar\eta_fM_f^{-1}\eta_f =-i^3\bar\eta S\eta=+i\bar\eta S\eta$ ，于是未归一积分及其归一比值分别为

\begin{aligned} I_D[\bar\eta,\eta] &=\det(-i\mathscr D)\,e^{i\bar\eta S\eta},\\ Z_{0,D}[\bar\eta,\eta] &=\frac{I_D[\bar\eta,\eta]}{I_D[0,0]} =e^{i\bar\eta S\eta}. \end{aligned} \tag{44.48}

第一行使用本节的配对测度。例如，第43节的二维有限核 $D$ 满足 $\det D=1$ ，在这里给出的无源值是 $\det(-iD)=-1$ ；按照式（44.31）改回当时的分组测度，就得到 $+1$ 。共同因子在分子、分母间消去，所以第二行的生成泛函完全相同。

马约拉纳场只有一套奇变量，因而使用单源公式。沿上一节，核 $K=\mathcal C\mathscr D$ 在连同连续指标交换及分部积分的转置下满足 $K^T=-K$ ，其逆是 $F=S\mathcal C^{-1}$ ；这里的转置同时作用于旋量和时空指标。对作用量指数 $-i\Psi^TK\Psi/2+i\eta^T\Psi$ ，应代入

M_f=-iK,\qquad M_f^{-1}=iF,\qquad \eta_f=i\eta . \tag{44.49}

纯源项由此成为 $\eta_f^TM_f^{-1}\eta_f/2=i^3\eta^TF\eta/2 =-i\eta^TF\eta/2$ ，积分及归一结果为

\begin{aligned} I_M[\eta] &=\operatorname{Pf}(-i\mathcal C\mathscr D)\, e^{-i\eta^TF\eta/2},\\ Z_{0,M}[\eta] &=\frac{I_M[\eta]}{I_M[0]} =e^{-i\eta^TS\mathcal C^{-1}\eta/2}. \end{aligned} \tag{44.50}

所得生成式与式（43.34）一致。一套奇变量的二次积分给出Pfaffian，两套独立奇变量的二次积分给出行列式；零源归一以后，分别留下上述两种源高斯。再按上一节的源导数规则求导，就产生自由场的全部威克配对。

恢复连续记号时， $\bar\eta S\eta=\int d^4x\,d^4y\, \bar\eta_\alpha(x)S_{\alpha\beta}(x-y)\eta_\beta(y)$ 。四维中 $[\Psi]=3/2$ 、 $[\eta]=5/2$ 、 $[S(x-y)]=3$ ，所以这一指数的质量维数为 $-8+5/2+3+5/2=0$ ，与作用量中的源项 $\int d^4x\,\bar\eta\Psi$ 相符。有限模式积分确定了生成泛函的这些代数关系，连续极限则仍按原理论的调节和边界条件处理。

这里的自由核固定，行列式或Pfaffian因而不依赖外源及被积场，可以由零源归一消去。若矩阵核 $M[\varphi]$ 还依赖另一个尚待积分的场 $\varphi$ ，积掉费米子后所得 $\det M[\varphi]$ 仍是 $\varphi$ 的函数，必须保留在 $\varphi$ 的积分内。第53节与第71节的计算将具体用到这一依赖关系。下一节将先利用已经求出的自由生成泛函，讨论狄拉克场的费曼规则。

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格拉斯曼 变量和微分

积分怎样定义

线性变量变换

反对称核的 高斯 积分

与普通实 高斯 的比较

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